21 bai tap cong tru nhan chia so huu ti ket noi tri thuc co dap an toan 7 hw0l0

CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
A. Phương pháp giải

a
,y
m

1. Với x

x

a
m

y

2. Với x

b
m
a
;y
b

a c
.
b d

x.y

b

a,b,m Z,m
m
a

b

;x

m

0 ta có:

a
m

y

b
m

a

b
m

.

c
ta có:
d

ac
;x : y
bd

a c
:
b d

a.d
(với y
b.c

0 ).

3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hốn, kết hợp và phân phối của phép
nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc
chuyển vế cũng như trong tập hợp Z.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a)

1
18

1
9

1
6

1
;
3

1
2

b)

1
3

1
23

1
;
6

Giải
 Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực
hiện trong ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta
có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc. Ngồi ra có thể dùng tính chất giao hốn
và kết hợp nhằm giải bài tốn được nhanh hơn.
 Trình bày lời giải.
a)

1
18

b)

1
2

1
9
1
3

1
6

1
3

1
23

1
6

1
18
1
2

1
9

1
3

1
6
1
23

1
3
1
6

1
18
1
2

2
18

3
18

1
3

1
6

b)

3
4

6
18
1
23

12
18
1

2
;
3

1
23

1

1
23

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính
a)

1

2

13 5
:
14 7

2
21

1 5
: ;
7 7

5 2
:
13 7

2

1
4

8 2
:
13 7

Giải
Trang 1

 Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên
ta có thể vận dụng tính chất phân phối:
a:m

b:m

a

b :m

a:m

b:m

a

b :m

 Trình bày lời giải
1
2

a)

13
14
3
4

b)

2
21

5
13

2

1 5
:
7 7
1
4

10 7
.
21 5

8 2
:
13 7

2
3

2.

7
2

7

Ví dụ 3. Tìm x.
3
x
5

3
;
65

2
x
9

4 1
9 3

4
:x
7

a)

1
x
2

c)

x 5
2015

x 6
2014

x 7
2013

x 8
2012

x 9
2011

d)

x 2
338

x 3
337

x 4
336

x 5
335

x

b)

0;

5;

360
5

0.

Giải
 Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:
 ax

bx

k
a



k.

 A.B

a

b x

k
1
nên
a
a

0 thì A

k
b

k
c

k.

0 hoặc B

1
a

1
b

1
c

0

 Trình bày lời giải.
a)

1
x
2

3
x
5

2
x
9

1
2

3
.x
5

3
65

11
.x
10

3
65

x

3 11
:
65 10

6
143

x

b)

3
65

2
x
9

4 1
9 3

4
:x
7

4
4
hoặc
:x
9
7

2
x
9

0
1
3

x

4
9

0 hoặc

2 hoặc x

1
3

4
:x
7

0 suy ra

12
.
7
Trang 2


Vậy x
c)

2;

x 5
2015
x

1
2015

x 7
2013

1

2020
2014

1

2015

1
2014

x 8
2012

1

x

2020
2013

1
2014

1
2013

1
2013

1
2012

x

x 9

2011

1

2020
2012

1
2012

1
2011

x

0

2020
2011

1
2011

0 nên x

1

0

0

2020

0

2020

x 2
338

Mà

x

2020 .

x

d)

x 6
2014

1

2020
2015

x

Vì

12
7

x 3
337

1

x

340
338

x

340

1
338

x

340
337

1
338

1

337

x 4
336

1
x

1
337
1
336

1

340
336

1
336
1
335

x 5
335

x

340
335

1
335

1
5

1
5

1
x

5
x

y
4

360
5

340
5

4

0

0

0

0 . Suy ra x

Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết:

x

340 .

1
8

Giải
 Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab

k a,b Z,b

0 thì a

Ư(k), b Ư(k).
Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế cịn lại là một số ngun.
 Trình bày lời giải.
5
x

y
4

1
8

5
x

Vì x; y Z

1
8

y
4

5
x

1 2y
8

1 2y .x

40

1 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:

1 2y

1

5

-1

-5

y

40

8

-40

-8
Trang 3


Từ đó suy ra x; y

40;0 , 8; 2 ,

40;1 ,

8;3

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

a) A

5
5
5
13 19 27
11 11 11
11
3 19 27

b) B

1
6
1
8

6
101
11
101

5

1
39
1
52

6
123
11

123

6
134 ;
11
134

1
51
1
68

Giải
 Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể
dẫn đến sai lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy
ta nên vận dụng tính chất phân phối
k
a

k
b

k
c

k.

1
a

1
b

1
để rút gọn.
c

 Trình bày lời giải.
5
5
5
13 19 27
11 11 11
11
3 19 27

6
101
11
101

5

a) Ta có: A

1
13
1
11 1
3

1
19
1
19

51

A

5
11

b) Ta có: B

1
27
1
27

6
123
11
123

6
134
11
134

1
1
1
101 123 134
1
1
1
11
101 123 134
6

6
1
11
1
6
1
8

1
39
1
52

1
51
1
68

1

3
1
4

1
2
1
2

1
13
1
13

1
17
1
17

1 1
:
3 4

4
3

Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương a1;a 2 ;...a 2021 thỏa mãn:

Trang 4

1
a1

1
a2

1

...

1011 . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên

a 2021

dương đã cho bằng nhau.
Giải
 Tìm cách giải. Dạng tốn này chúng ta khơng chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai
giá trị nào, mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà
thôi. Đối với dạng tốn này thơng thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:
 Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử khơng có hai số ngun dương nào bằng
nhau.
 Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển
nhiên.
 Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.
 Trình bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyên dương a1;a 2 ;...a 2021 thỏa mãn: khơng có hai số nào bằng nhau.
Khi đó

1

1
2

1
a1

1
a2

1
2

1

...

a 2021

1
2

...

1
1

1
2

...

1
2021

1
1010 1011 mâu thuẫn với đề bài.
1

Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau
 Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác
nhau chúng ta đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy
2021 số nguyên dương nhỏ nhất cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào
đó cũng khơng thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.
Ví dụ 7. Cho a
Tính giá trị: S

b

c

2070 và

a
b

b
c

c

1
a

1
b

b

1
c

c

a

1
90

c
a

a

b

Giải

Trang 5

 Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta khơng thể tính được giá trị của a, b, c.
Do vậy chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và
Quan sát kỹ chúng ta thấy phần kết luận
tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a

a
b

b

b
c

c

1
a

c
a

a

b

1
b

b

1
c

c

a

, mỗi phân số đều có

c . Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với

1, và có lời giải sau:
 Trình bày lời giải.
a

Ta có S
S

S
S

b

c

b

c

a
b

a

b

1

c

a

c

b

2070.

c

c

1
90

a
b

c

3

a
a

a

b

c

23 3

c

3

b

1
c

1 3

b

a

1

b

c

1

1
a

a

3

b

20

Ví dụ 8. Tìm x, biết:
a) x 1 x

2

0;

b) 2x

4 9 3x

0

Giải
 Tìm cách giải. Đối với dạng tốn này chúng ta chú ý kiến thức sau:
 A.B

0

A và B cùng dấu.

 A.B

0

A và B khác dấu.

 Trình bày lời giải
a) x 1 x
mà x

2

Vậy với x
b) 2x

2

0

x 1 và x

x 1 nên suy ra: x

2

2 cùng dấu.
0 hoặc x 1 0

2 hoặc x 1 thì x 1 x

2

.

x

2 hoặc x 1 .

0

4 và 9 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:

 Trường hợp 1:

2x 4 0
9 3x 0

2x
3x

4
9

x
x

2
;
3

 Trường hợp 2:

2x 4 0
9 3x 0

x 2
3x 9

x
x

2
loại.
3
Trang 6


Vậy với 2

3 thì 2x

x

4 9 3x

0

 Nhận xét. Ngồi cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:
2x

4 9 3x

0

2 và x

x

Mà x

3

x

Vậy với 2

6 x

2 x

3

0

x

2 x

3

0

3 khác dấu.
2 nên suy ra: x
3 thì 2x

x

0 và x

2

4 9 3x

3

0

...

1
199

x

2 và x

3.

0

Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng:
1
2

1

1
3

1
4

1
199

...

1
200

1

101

1
102

1
200

Giải
1
2

Xét vế trái, ta có: 1

1
3

1
4

1
199

...

1

1
2

1
3

1
4

...

1
199

1
200

1

1
2

1
3

1
4

...

1
199

1
1
1
200
2

1
101

1
102

...

1
199

2

1
2

1
200

1
4

...

1
200

...

1
100

1
.
200

Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
 Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:
1
101

1
102

...

1
199

1
200

1
200

1
200

1
2

1
200

...

1
200

1
. Từ đó bạn có thể giải được bài
2

tốn sau: Chứng tỏ rằng:
1

1
2

1
3

1
4

...

1
199

C. Bài tập vận dụng
2.1. Viết số hữu tỉ

14
thành:
45

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).
Trang 7


a) 5

1
5

1
3

3
4

b)

2
9
3
5

5
7

c)

3
1
:
5 15

e)

7 5
.
13 9

3
35

5
6

2

9

1
36

1
;
15

1
2

1

1
64

5
67

d)

1
23

2

13
30

1
6

2

5
6

8

2
7

3
1
14

1
;
18

2
;
5

3
1
1
:
1 ;

5 3
15

5
.
9

2
13

5 18
. .
9 13

2.3. Thực hiện các phép tính sau:

54
64

a) D

1 8
1
81
:
:
:
;
9 27 3 128

193 2
17 193

b) E

2.4. Rút gọn: A

3
386

11
7
:
34 1931

11 1931
3862 25

3
2

1
3
:
10 2

1
.
12

2
5

2
3

9
.
2

(Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết:
a)

3
5

7
;
13

x

c) 4x

9 2,5

7
x
3

0;

b)

3
2

d)

x 5
2015

x

5
6

8
;
9

x 6
2014

x 7
2013

x 8
.

2012

2.6. Tính:
P

1

1
1
2

2

1
1
3

2

3

1
1
4

2

3

4

2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và y , sao cho:

...

1
1
16

1
x

1
y

1
y

3
.
4

2

3 ... 16

1
5

2.8. Tìm số nguyên x, y biết:

a)

1
x

1
6

y
;
3

b)

x
6

1
y

1
;
2

c)

x
4

Trang 8

2.9. Tính tổng M

19
x

y

19
y z

x

19
z

z , biết:

y

7x
y z

x

7y
z x

7z

x

2.10. Tìm các số hữu tỉ x, y,z thỏa mãn: x
1
1.2

2.11. Cho biểu thức A
a) A

1
51

1
52

1
53

...

1
3.4

1
99

1
5.6

133

10

y

1
;y
2

y

x

1
6

1
. Chứng minh rằng:
99.100

...

1
;
100

1
;z
3

z

b)

7
12

A

5
6

2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số nguyên khác 0: a1,a 2 ,a 3 ,...,a 20 có các tính chất sau:
+ a1 là số dương.
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
+ Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng: a1.a14

a14a12

a1.a12

2.14. Đặt A

1
.1
1011

1
3

1
5

...

1
và
2019

B

1
1
.
1010 2

1
4

1
6

...

1
2020

So sánh A và B.
2.15. Cho 100 số tự nhiên a1;a 2 ;...;a100 thỏa mãn

1
a1

1
a2

...

1
a100

101
.
2

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau.
(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0

a

b 1 c

2 và a

b

c

1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của c.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
2.1.

Trang 9


a)

17
60

1
30

1
4

1
20

b)

17
60

1
3

c)

17
60

1
3

1
20

2
15

7
60

9
20

1
6

d)

17
60

1
6

7
60

2
5

1
12

1
4

1
30

8

2
7

1
20

7
30

11
30

1
12

1
5

1
4

1
2

13
60

2.2.
1
5

a) 5

2
9

5 2
3

b)

2

1
23

2 8

1
5

1
23

0 1

1
3

3
4

3
5

1
3

3

5

1
15

5
7

c)

13
30
1
2

13
30

1
2

5
6

3 7
:
5 30

e)

5 7
.
9 13

3 7
:
5 5
2
13

1
36

18
13

2
9

5
6

1
23

1
15

1
36

1 1
5
67

1
18

1
18

22
23

2
9

2
5

5
6

2
7

1
5
1
2

6

1
2

0

d)

2
9

3
4

3
35

3
35
3

1
64

5
67

2

1
64

3
1
14

1
64

1 1

1
64

2
5

3
14

5
7

5
67

5
67

3 30
.
5 7
5 9
.
9 13

3 5
.
5 7

3
.
5

30
7

5
7

3
.( 5)
5

3

5
13

2.3.
a) D

27
32

1 27
1
81
.
:
:
9 8
3 128
Trang 10


D

27
32

D

27
32

3 3 128
.
.

8 1 81
9 128
.
8 81

27 36 128
.
32
81

D

193 2
17 193

b) E

3
386

E

2
17

3
34

E

2
17

7 14
:
17 50

E

5 1
:
17 2

15
10

A

11 7
:
34 25

11
50

11
50

11 1931
3862 25

9
2

9
2

9
2

5
:5
17

2
5

1
3
:
10 2

4
10

4
9

11
7

:
34 1931

9
2

3
2

2.4. A

9 128
.
32 81

1
17

1 18
:
10 12

2
3

1
12

8
12

1
12

12 11
:
10 12

6 12
.
5 11

72
55

2.5.
7
13

a) x
b)

3
2

x

c) 4x

9

suy ra 4x

x

3
5
5
6

8
9

3
2

0 hoặc 2,5

9 hoặc

9
hoặc x
4

Vậy x

35
65

x

7
x
3

5 7
:
2 3

39
65

5
6

8
9

7
3

74
65
x

x

27
18

15
18

16
18

26
18

13
9

0
2,5

15
14

9 15
;
4 14

Trang 11


d)

x 5
2015

Mà

x 6
2014

1

x 7
2013

1

x 8
2012

1

1

x

2020
2015

x

2020
2014

x

2020
2013

x

2020
2012

x

2020
2015

x

2020
2014

x

2020
2013

x

2020
2012

x

2020

1
2014

1
2013

1
2015

1
2015

1
2014

1
2013

1
2012

2.6. Theo công thức: 1 2
Suy ra: P

1

3

2

4
2

1 2.3
.
2 2

5
2

0 nên x

3 ...

1 3.4
.
3 2

1
2012

n

1 4.5
.
4 2

0

0
2020

0 hay x

2020

n n 1
2

...

1 16.17
.
16 2

17
2

P

1

...

P

1
1 2

2

3 ... 17

P

1 17.18
.
2 2

1
2

1
2

76

2.7. Vì x và y có vai trị như nhau, khơng giảm tính tổng qt, giả sử

x

1
x

y 1

1
y

1
x

1
y

1
5

2
y

y 10

Mặt khác

1
x

1
y

1
5

1
y

1
5

y

5

5

+ Với y

6

1
x

1
6

1
5

1
x

1
5

1
6

1

30

+ Với y

7

1
x

1
7

1
5

1
x

1
5

1
7

3
loại.
35

+ Với y

8

1
x

1
8

1
5

1
x

1
5

1
8

3
loại.
40

+ Với y

9

1
x

1
9

1
5

1
x

1
5

1
9

4
loại.
45

y 10
x

y

6;7;8;9;10

30

Trang 12

+ Với y

1
x

10

1
10

1
5

1
x

1
5

1
10

x

10

Vậy cặp x; y là 30;6 ; 6;30 ; 10;10
2.8.

a)

1
x

1

2y
6

x1

2y

1 2y là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị

vì x; y Z
1

2y

x

1

3

-1

-3

6

2

-6

-2

Từ đó suy ra x; y
b)

6

1
2

6;0 , 2;1 ,

x
6

1
2

1
y

6; 1 ,

x
6

1
y

x

3

x

3 và y là ước của 6, mà Ư(6)

2; 2

1
y

6

x

3 .y

6

1;2;3;6; 1; 2; 3; 6

Từ đó ta có bảng sau:

x

3

y

1

2

3

6

-1

-2

-3

-6

6

3

2

1

-6

-3

-2

-1

Từ đó suy ra x; y
c)

1
y

4;6 , 5;3 , 6;2 , 9;1 , 2; 6 , 1; 3 , 0; 2 ,

x
4

3
4

x

3 và y là ước của 4, mà Ư(4)
x

x

3

1
y

4

3

y

-1

-2

-4

4

2

1

-4

-2

-1

4;4 , 5;2 , 7;1 , 2; 4 , 1; 2 ,
1

x

y

y

z

x

y

1
z

y
z

z
x

1

x

y
z

1;2;4; 1; 2; 4 nên ta có bảng giá trị:

4

Từ đề bài, ta có:

z

4

2

2.9. Từ đề bài suy ra:

y

3 y

1

Từ đó suy ra x; y

x

x

y

z
z

x

x

3; 1

y

x

133
:19
10

1; 1
17
10

133
:7
10

19
10
Trang 13


x
y

z

x

y

z

z

y

x

y

y
x

y

7
10

y
x

19
10

1

y

x

1

z

z.

x

z

z

y

z

1

x

z

x

x

y

1

z

49
10

y

1

3

1

49
10

z

z

x

x

y

49
10

x

y

z

7 hay M

7

2.10. Ta có:
x

y

y

1
2

Suy ra:

z

z

1
2

z

1
2

x

z

1
3

0 mà: y

1
6
z

2 x

y

z

1

1

3

y

1
;z
3

1
2

1
3

1
4

1
5

1
2

1
4

...

1
100

x
1
6

x

y

z

1
2

1
6

x

1 1
; ;0 .
6 3

Vậy x; y;z

2.11. a) Xét biểu thức ta có:
1
1.2

A

1
3.4

1
5.6

...

1
99.100

1

1

1
2

1
3

1
4

1
5

1
6

...

1
100

1

1
2

1
3

1
4

1
5

1
6

...

1
1
1
100
2

1
53

...

1
100

1
51

1
52

2

...

1
6

...

1
99

1
75

...

1
75

1
100

1
50

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh.
b) Ta có:
1
51

1
52

1
53

...

1
100

1
50

1
50

...

1
50

25 ph©n sè

Hay A

25
50

25
75

1
2

1
3

5
6

A

1

75

25 ph©n sè

5
(1)
6

Trang 14


1
51

1
52

1
53

1
100

...

1
75

1
75

1
75

...

1
100

1
100

25 ph©n sè

Hay A

25
75

25
100

1
3

1
4

7
12

Từ (1) và (2), suy ra:

7
12

...

1
100

25 ph©n sè

7
(2)
12

A

5
. Điều phải chứng minh.
6

A

2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đó là a1;a 2 ;a 3 ;...;a100
a) Theo đề bài ta có: a1.a 2 .a 3
Giả sử a1

trong ba số a1;a 2 ;a 3 tồn tại ít nhất một số âm.

0

0

Xét a1;a 2 ;a 3 ;...;a100

a1 a 2 .a 3.a 4 a 5.a 6 .a 7 ... a 98.a 99.a100

0 theo đề bài: a 2a 3a 4

Ta có: a1

0;a 5a 6a 7

0;...;a 98a 99a100

(có 33 nhóm) nên a1 a 2 .a 3.a 4 a 5.a 6 .a 7 ... a 98.a 99 .a100
b) Theo đề bài ta có a 2a 3a 4

0

Giả sử a 2

0 mà a1a 2

0 . Xét a1.a 2 .a 3

Xét a1.a 2 .a k

0 với k

0

0

trong ba số a 2 ;a 3 ;a 4 tồn tại ít nhất một số âm.
0 nên a 3

4,100 mà a1a 2

0

ak

0
0

Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Ta có:
a1

a2

a3

a4

...

a11

a12

a13

a14

a15

a16

a17

a18

a19

a 20

0

a4

0;...;a11

a12

a13

0;a15

a16

a17

0;a18

a19

a 20

0

a14

...

a10

a11

a12

a13

a14

0

a12

0

0;a14

0

a1.a14

...

1
;
2019

Mà
a1

0;a 2

a3

0

Cũng như vậy:
a1

a2

a3

Mặt khác. a12

Từ các điều kiện a1

0;a12

a13

2.14. Đặt C

1011.A

1

1
3

1
5

D

1
2

1
6

...

1
2020

1010.B

1
4

a14

a15

a14 .a12

a16

a17

a18

a19

a 20

0

a1.a12 (điều phải chứng minh).

Trang 15

a13

a


1
4

Ta có C 1

1
2

C

1
8

1
4

...

1
2020

...

1
2

1
2

1
4

1
6

1
2

1
2

...

1
2

...

1
2020

D (1)
1

2

Mặt khác D
D
1010

1
6

1
2020

1
2

1010
2

1
(2)
2

Từ (1) và (2)

D
1010

C

D

1011.D
1010

C
1011

D
hay A
1010

B

2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương a1;a 2 ;...;a100 thỏa mãn: Khơng có hai số nào bằng
nhau.
Khi đó

1

1
a1

1
2

1
a2

1
2

...

1
a100

1
2

...

1
1

1
1

99
2

1
2

...

1
100

101
mâu thuẫn với giả thiết.

2

Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
2.16. Vì 0
1 3c

a

2 nên a

b 1 c

3 (vì a

b

c

Vậy giá trị nhỏ nhất của c là:

b

1) hay 3c

2
khi đó a
3

c

2

c

2

c
4
;b
3

c 1 c

2
3
1
3

Trang 16