MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bài tiểu luận môn Triết học
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA
TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN
CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI
GV: TS Nguyễn Ngọc Khá
TS Nguyễn Chương Nhiếp
HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa
Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số và lí thuyết số
TP. HỒ CHÍ MINH
THÁNG 01 NĂM 2011
MỤC LỤC
MỤC LỤC 2
LỜI CẢM ƠN 2
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC 4
1.Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực 4
2.Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học 6
3.Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học 8
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 9
1.Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học 9
2.Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học 10
3.Toán học là công cụ của nhận thức 11
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY
VẬT BIỆN CHỨNG 12
1. “Cấu trúc” trong toán học 12
2.Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học 13
3.Sự phủ định của phủ định trong toán học 15
4.Bất biến và vạn biến trong toán học 16

LỜI CẢM ƠN
2
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Chương Nhiếp và thầy Nguyễn
Ngọc Khá vì những bài giảng triết học của các thầy đã truyền cảm hứng cho tôi
thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận dụng triết học vào việc
học tập của bản thân.
Tôi xin được cảm ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham
khảo rất có giá trị trong việc khơi gợi niềm say mê học tập của thế hệ trẻ, trong đó
có tôi.
Trần Thị Hiếu Nghĩa
Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời
sống. Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình
hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực. Mối quan hệ này được vận dụng như thế
nào để những người học toán (nói riêng) nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con
người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và
phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm. Trong bài viết ngắn này,
3
chúng ta sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có
ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống.
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC
Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của toán học.
Triết học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng
nhằm định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học.
Đây là quan niệm rất kinh điển mà ta không bàn thêm về tính đúng đắn của nó. Sau
đây chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học.
1. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực
Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người.
Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế
giới khách quan. Qua từng thời kì lịch sử toán học đã phát triển các đối tượng của
nó liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng

trong thực tiễn. Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián
tiếp, xuất phát từ thực tiễn. Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng
vẫn tồn tại. Ví dụ:
• Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như
trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học
sinh mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được. Ta thấy rằng
dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu
khác nhau nhưng bản chất là như nhau.
• Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt
tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong
ly (hình trụ tròn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây
bị võng xuống,
Đối với hình học, C. Mác và Ăngghen cho rằng:
“Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của
các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng
mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem
832, [2])
*
Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh, từ
trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm
các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng
trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,
4
* Xem trang 832 tài liệu số 2
Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn
đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn. Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm
đa tạp, khái niệm hàm số:
• Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ. Khi đó vì
bình gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên
một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy.

Như vậy ở đây ta có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi
điểm trên bình có vùng hoa văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phôi) với
một vùng trên tờ giấy (không gian Euclide 2 chiều).
• Khi in tranh Đông Hồ, người ta đem bản khắc gỗ bức tranh được phủ mực in
lên tờ giấy thì ta có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi điểm trên bản gỗ với một
điểm trên tờ giấy. Đó là một biểu hiện thực tiễn của khái niệm hàm số.
Qua việc quan sát cẩn thận thực tiễn thì tư duy toán học cũng sâu sắc hơn và còn có
thể phát hiện ra những kiến thức toán học mới, có thể là mới đối với bản thân thôi
cũng là điều có ích vì đó là cơ sở ban đầu cho các phát minh toán học.
Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng tìm được một mô hình cho các đối
tượng toán học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng toán học là tính trừu tượng
rất cao. Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng toán học, chúng
được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một
sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ). Toán học
chỉ quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng. Các khái
niệm, tính chất trong toán học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất
và tính đúng đắn của các mệnh đề toán học được chứng minh theo tư duy logic từ
tính đúng đắn của các mệnh đề chứ không qua sự kiện thực tiễn.
Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của toán học, nhất là
từ khi các kí hiệu toán học phát huy được sức mạnh của nó. Với các kí hiệu toán
học người ta có thể trình bày những vấn đề toán học mà không dùng đến sự liên hệ
thực tế nào. Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn trình bày
tất cả các kiến thức toán học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu.
Mặc dù, tính trừu tượng của toán học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ thực
tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn. Nhiều khái niệm toán học là kết
quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp. Ví
dụ: khái niệm “metric” (metric là một ánh xạ) xuất phát từ khoảng cách thông
thường. Trên không gian được trang bị metric này, người ta xây dựng các khái niệm
“tập mở”, “tập đóng”, “ánh xạ liên tục”,…
Không chỉ các đối tượng toán học mới có nguồn gốc từ thực tiễn mà những

quy luật logic trong toán học cũng xuất phát từ thực tiễn. Chúng đã được rút ra qua
5
rất nhiều sự kiện thực tế. Chẳng hạn, tính chất bắc cầu trong toán học đã đúng trong
“rất nhiều” sự kiện thực tiễn. Ở đây nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế
giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa nhưng
hiện tại nó vẫn đang đúng.
Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để và trước sau gì
cũng không liên quan đến thực tiễn) như dùng các kí hiệu (không thể hiện cho bất
cứ cái gì trong thực tế) và nêu ra những quy tắc, định lí, tính chất hoàn toàn không
có trong thực tế nhưng điều này không giúp ích gì lắm cho sự phát triển của toán
học bởi vì nó hoàn toàn thiên về việc tưởng tượng (mọi thứ đều phải tưởng tượng vì
nếu không tưởng tượng mà dùng những suy luận như lâu nay vẫn dùng thì lại quay
về thực tế). Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết là không thể thành điều có thể thì
cũng là vận dụng quy luật phủ định. Một công trình mà về bản chất không liên quan
gì đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) thì cũng khó phát triển lâu dài.
Toán học cũng phát triển do những yêu cầu nội tại của nó. Điều này không mâu
thuẫn với quan điểm thực tế là cơ sở của lí luận vì bên cạnh quan điểm này, chủ
nghĩa duy vật biện chứng còn khẳng định tính độc lập tương đối của lí luận và khả
năng đi trước thực tế của lí luận. Sự phát triển này xuất phát từ những mâu thuẫn
nội tại trong toán học, tính trừu tượng ngày càng cao của tư duy toán học, Hình
học Lobachevsky là một ví dụ.
Trong việc dạy toán, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách
trình bày kiến thức toán học. Ví dụ: học sinh mới học toán cần có những liên hệ
thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt. Khi lên
các lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư duy trừu tượng vì không phải lúc nào
cũng tìm được mô hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương đối với
thực tiễn) và đó cũng là việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu các tri thức toán học
cao cấp hơn.
2. Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học
Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được

kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn. Các công trình toán học, xét cho
cùng, sẽ được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách
để thực tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức toán học.
Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một công trình toán học là khả
năng ứng dụng vào đời sống. Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp,
dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy
trường hợp. Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới
của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị
thực tiễn ở một mức nào đấy).
6
Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ:
• Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay không
bằng cách tìm ra được một mô hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả
của mình. Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản
ví dụ, ta thường cố gắng tìm một mô hình thực tế (đúng) mà trái với điều
được phát biểu.
• Trong “thuật toán khái quát hóa” mà giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nêu ra để
phát triển khả năng học toán của học sinh (xem [4]) thể hiện quan điểm “thực
tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học”. Bước thứ 6 và 7 trong thuật toán
đó là tìm ví dụ để làm rõ một phỏng đoán: nếu ví dụ là sai thì bác bỏ phỏng
đoán; nếu ví dụ là đúng thì củng cố thêm khả năng phỏng đoán là đúng.
Một điểm có thể thấy là trong các chứng minh toán học, nếu tìm thấy một mô
hình trong thực tế trái với lí luận thì lí luận bị sai nhưng nếu ta chỉ ra rất nhiều điều
đúng trong thực tế thì chưa chứng minh được lí luận là đúng. Ta không thể nói
3
n n−
chia hết cho 3 vì với n bằng 1, 2, 3,…, 1000 thì
3
n n−
chia hết cho 3. Đó là

do tính đặc thù của toán học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh
không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể.
Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những
hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau. Điều này dễ nhận
thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực
tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau. Nhiều kết quả của toán
học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác.
Tuy ta vẫn thấy có những công trình toán học chưa được ứng dụng gì trong thực
tiễn hiện tại nhưng nó đã được chứng minh là đúng đắn bằng lí luận toán học thì có
thể là do nó đã phát triển nhanh quá mức mà con người chưa thể ứng dụng được
(thực tiễn chưa kiểm tra được hoặc những người khác chưa nhận ra được) chứ
không hẳn nó sai và tách khỏi thực tiễn hoàn toàn. Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc
đầu sự ra đời của nó bị cho là quái gở nhưng về sau nó được đánh giá là một phát
minh rất quan trọng. Điều này cho ta một luận điểm quan trọng trong nhận thức
toán học:
“Một lí thuyết toán học, dù kì quặc đến đâu, cũng có quyền tồn tại nếu nó đứng
vững về mặt toán học, nghĩa là nó phù hợp với logic; logic lại không phải từ trên
trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là phù hợp
với thực tiễn, nếu không phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn trong tương
lai. Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực tiễn trong
tương lai mà hiện nay chưa ai biết.” (xem 873, [4])
7
Trong toán học cần đào sâu, lật đi lật lại vấn đề, không nên nghĩ rằng cái gì
thực tiễn đã kiểm nghiệm đúng là không còn gì để làm nữa. Điều này nghĩa là luôn
luôn học hỏi, tìm tòi để hoàn thiện hơn tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, không nên
quá tin tưởng vào điều gì. Ví dụ: trước đây người ta đã chứng minh được sự tồn tại
của hạt vật chất nhỏ nhất (lúc đó người ta nghĩ rằng nó là nhỏ nhất) là nguyên tử.
Nếu như người ta chấp nhận, không có một sự “nghi ngờ khoa học” nào thì ta
không thể biết rằng nguyên tử còn có thể chia nhỏ nữa. Hoặc nếu nghĩ rằng hình
học Euclide đã đủ để biểu thị mọi mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian

thì đã không có thêm hình học Lobachevsky, hình học siêu phi Euclide. Chính sự
nghi ngờ và tò mò khoa học đã dẫn đến nhiều phát minh toán học.
3. Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học
Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã
hội và tư duy con người. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào
đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự
nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để
nghiên cứu toán học. Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó?
Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật. Phương pháp luận duy
vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng trong tự
nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học.
Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với sự hình
thành và phát triển của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong việc
nhận thức toán học. Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán học trên cơ sở
phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc ngẫu
nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội thông
qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối
lập.” (xem 73, [4])
Từ việc hiểu nguồn gốc của các phát minh toán học, những người ở thế hệ
sau có thể tiếp tục phát triển toán học. Cụ thể là các học sinh, sinh viên, những ai
yêu thích toán học có thể tận dụng được công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật
trong việc nghiên cứu toán học của mình.
Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều thầy cô giáo dạy toán đã nghiên cứu các
vấn đề Triết học trong toán học để tìm ra phương pháp học toán, dạy toán và nghiên
cứu toán. Ở nước ta có thể kể đến là giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, người đã có nhiều
công trình nghiên cứu về vấn đề triết học và toán học cùng những ứng dụng trong
nghiên cứu, giảng dạy và đời sống. Ông rất quan tâm đến mối liên hệ giữa toán học
với thực tiễn, ông đã tìm hiểu và vận dụng rất thành công mối liên hệ này và phép
biện chứng duy vật trong việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán. Tác phẩm

8
Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học của
giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn là tài liệu rất có giá trị trong việc học và dạy toán. (xem
[5])
Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học
vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những
vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi
không nhận ra. Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động
trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học
và trong các hoạt động thường ngày.
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên. Ngược lại các phát
minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng.
1. Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học
Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức
không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao. Toán học có các
đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng.
Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những
phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao. Vì thế mà tính đúng đắn
của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể
nào. Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các
ngành khoa học khác.
Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về
mặt lượng của các đối tượng khác nhau. Do đó, toán học cung cấp tri thức cho
những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả. Cơ học và thiên văn
học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy. Toán học được sử dụng trong
sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến. Ngay cả trong các lĩnh vực tưởng chừng như
không dùng đến toán học như văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng
góp của toán học. Ví dụ:

• Trong văn học, khảo sát khả năng xuất hiện từ ngữ nào đó trong văn chương
để tìm hiểu phong cách của tác giả hoặc ý đồ nghệ thuật của tác giả.
• Trong ngôn ngữ học, người ta sử dụng tri thức toán học để giải mã ngôn ngữ
của người cổ xưa hay nghiên cứu ngôn ngữ của một vùng nào đó. Chẳng
hạn: từ ngữ đó tương ứng với từ nào trong ngôn ngữ hiện dùng và một khi nó
tương ứng với từ đó thì không thể hoặc ít có khả năng tương ứng với từ khác
(sử dụng tri thức về ánh xạ).
9
• Trong hội họa, người ta từng khảo sát rất nhiều bức họa đẹp thì thấy bố cục
của chúng tuân theo “tỉ lệ vàng”. Hoặc trong kĩ thuật dệt tranh thì người ta
phóng bức tranh to ra, chia tranh thành các ô vuông rất nhỏ rồi dệt theo từng
ô, ô được dệt tương ứng số 1, ô không dệt tương ứng với số 0.
Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng toán học và các lĩnh vực của đời sống luôn
thâm nhập vào nhau. Toán học lấy mặt lượng và quan hệ số lượng của các sự vật,
hiện tượng trong các lĩnh vực khác làm đối tượng nghiên cứu của mình. Sau đó
những tri thức toán học phục vụ trở lại các lĩnh vực khác. Điều này giúp cho toán
học và các khoa học khác cùng phát triển.
Toán học không chỉ đơn thuần cung cấp tri thức về mặt số lượng cho các lĩnh
vực khác mà nó còn cung cấp tri thức về phương pháp, cách thức tư duy có thể
vận dụng vào các khoa học khác. Ví dụ: tri thức về xác suất thống kê được áp dụng
vào ngành y rất hiệu quả. Người ta đã vận dụng tri thức này để chọn đối tượng nào
đem khảo sát thì cho kết quả tốt, tính toán khả năng bệnh di truyền xảy ra,… Tất
nhiên sự ứng dụng là linh hoạt vì thế kiến thức và cách tư duy của toán học cần
được hiểu rõ để vận dụng chính xác, hiệu quả.
Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến
thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp. Vì thế việc học toán và nhất là các
phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đối với mọi người.
2. Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học
Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh
và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất

của sự vật hiện tượng.
Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định):
Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức. Nó giúp cho lập
luận được chính xác, chặt chẽ hơn.
Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân,
tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển
logic biện chứng.
“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên,
thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” ( xem 606, [1])
Ví dụ: Nhà toán học Godel đã chứng minh được rằng trừ hai hệ hình thức đơn giản
là toán mệnh đề và toán tân từ (và các hệ hình thức tương đương với chúng) là đầy
đủ (tức không xảy ra nghịch lí) còn các hệ hình thức phức tạp hơn (hệ tiên đề về số
học, về tập hợp, ) đều không thể trở thành hệ đầy đủ (nếu ta bổ sung thêm các tiên
đề để khắc phục nghịch lí thì lại có một nghịch lí khác xảy ra).
10
Đây là một minh chứng cho một nguyên lí của nhận thức luận: quá trình tìm kiếm
chân lí không có giới hạn cuối cùng, không đạt đến tuyệt đối cuối cùng. Điều này có
nghĩa là ta không thể xây dựng một lí thuyết nào có thể giải thích và bao quát được
toàn bộ thế giới hiện thực, tuy vẫn không ngừng xây dựng được những lí thuyết
ngày càng mạnh, càng bao quát được nhiều phương diện của thế giới hiện thực. Do
đó, dù cho ta dùng một nguyên lí mạnh đến thế nào cũng không suy ra được mọi
hiện tượng của thế giới khách quan. Nghĩa là công cụ nhận thức thế giới không thể
duy nhất lí trí mà còn phải có thực tiễn.
Trong từng giai đoạn phát triển của triết học, toán học, trực tiếp hoặc gián
tiếp, đã có nhiều đóng góp quan trọng cho sự phát triển của triết học.
3. Toán học là công cụ của nhận thức
Toán học không những giúp con người kiểm chứng các nguyên tắc nhận
thức, nó còn cho ta những công cụ thật khoa học để nghiên cứu thế giới tự nhiên.
Từ lâu toán học và phương pháp của nó được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên
cứu khoa học. Loài người sử dụng toán học không chỉ để tính toán mà còn để khám

phá những tri thức mới. Toán học giúp cho con người có một cách thức khoa học để
tìm hiểu thế giới tự nhiên. Nếu như trước đây người ta phải phụ thuộc vào các sự
kiện thực tế mà ngẫu nhiên xảy ra thì nay con người nghiên cứu có mục đích, có kế
hoạch và còn có thể dự đoán các sự việc xảy ra. Chẳng hạn:
• Nhà toán học Le Verrier chỉ ra vị trí của sao Hải Vương (chỉ sai lệch một độ)
bằng những phép tính toán.
• Paul Dirac đã dự đoán sự tồn tại của positron từ việc lí giải nghiệm âm của
phương trình năng lượng. Sau đó, người ta đã tìm thấy positron trong các tia
vũ trụ với các tính chất hoàn toàn phù hợp với các dự đoán của Dirac.
• Hiện nay, lí thuyết biểu diễn nhóm của toán học được dùng để nghiên cứu
vật lí lượng tử.
Toán học được xem như là công cụ để nhận thức triết học. Trước đây, toán
học chưa được xem trọng, người ta chỉ xem việc học các môn tự nhiên là để nhận
thức được triết học. Và bởi mối quan hệ mật thiết giữa triết học và toán học mà
nhiều nhà toán học đồng thời là nhà triết học: Cantor, Descartes, D’Alembert, Các
nhà toán học và triết học cũng đánh giá cao vai trò của toán học trong việc nhận
thức thế giới. Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học,
nhất là của toán học, vào triết học. Ông cho rằng “Trong khi tìm kiếm con đường
thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta
không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình
học”.
11
Marx công nhận vai trò to lớn của toán học trong nhận thức các vấn đề về
kinh tế. Khi nghiên cứu phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa, ông đã thường
xuyên chú ý đến toán học, coi đó là công cụ để tìm kiếm những tri thức mới.
Viện sĩ A.N.Kolmogorov cho rằng: “Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng
phương pháp toán học là không hạn chế: tất cả các dạng vận động đều có thể
nghiên cứu theo kiểu toán học”. Điều này cho thấy ông đánh giá rất cao vai trò của
phương pháp toán học trong việc nhận thức thế giới. Có thể thấy rằng toán học có
thể thâm nhập vào bất cứ lĩnh vực đời sống nào miễn là có một mô hình toán học

được xây dựng. Mô hình đó xây dựng được khi nó định lượng được đối tượng trong
các lĩnh vực khác. Mô hình toán học giúp tính toán và dự đoán được trước các quan
hệ số lượng. Chẳng hạn:
• Hình học fractal cho phép nghiên cứu được các phân dạng (vật thể hình học
có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại) bởi vì nó xây dựng được
phép đo đạc mới về kích thước của vật thể mà các phép đo của hình học
Euclide và giải tích không làm được.
• Tri thức về tổ hợp, xác suất thống kê được áp dụng trong sinh học để khảo
sát các tổ hợp khi lai giống cây trồng hay tính toán khả năng xuất hiện tổ hợp
kiểu nào.
Trên đây là vài ví dụ cho thấy sự cần thiết của toán học trong đời sống trong vô vàn
các hoạt động cần đến toán học và tư duy logic của con người.
Con người cần có tư duy chính xác, chặt chẽ trong các hoạt động thường
ngày và trong thời đại tin học cũng cần phải biết sử dụng những công cụ do toán
học sản sinh ra như máy vi tính, các phần mềm tin học, … Tư duy logic đóng vai
trò rất quan trọng trong đời sống thường ngày và trong các ngành khoa học. Toán
học chứa đựng trong bản thân nó những hoạt động lí trí, của lập luận trừu tượng.
Toán học đóng góp vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức nên tư duy có lí
luận chính xác, chặt chẽ. Do đó nó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư
duy.
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN
ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG
Trong mục này ta sẽ tìm hiểu một số nội dung triết học thể hiện trong toán
học và việc vận dụng chúng trong việc học toán và trong nhận thức như thế nào.
1. “Cấu trúc” trong toán học
Vấn đề “cấu trúc” trong toán học đã được các nhà toán học quan tâm từ cuối
thế kỉ XIX đến nay. Sự ra đời của của cấu trúc toán học không chỉ đơn thuần là
đánh dấu sự xuất hiện của một khái niệm toán học mới mà còn là một sự xuất hiện
12
kiểu tư duy tiến bộ trong toán học. Nhìn sự vật hiện tượng trong tổng thể, tức là các

phần tử của tập hợp không phải được cho một cách riêng lẻ mà được cho trong một
cấu trúc, có liên hệ với những thành phần khác.
Một ích lợi khác khi xem xét đối tượng toán học ở dạng cấu trúc là sử dụng
quan hệ “đẳng cấu” để chỉ ra cấu trúc của tập hợp khác. Điều này cho phép bỏ qua
sự phức tạp về hình thức giữa những đối tượng có cùng một nội dung. Phép đẳng
cấu giữa hai cấu trúc toán học cho phép ta biết những tính chất của cấu trúc này dựa
trên tính chất đã biết của cấu trúc đẳng cấu với nó.
Ví dụ: Tất cả các nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu với nhóm
n
Z
. Do đó, mọi tính
chất thuộc về cấu trúc của các nhóm đó được nghiên cứu qua nhóm
n
Z
.
Xét về mặt nhận thức thì tư tưởng cấu trúc cho thấy ta cần xem xét sự vật
hiện tượng qua cái bản chất. Đối với một sự vật hiện tượng lạ thì cần xem xét bản
chất, có thể nó có bản chất quen thuộc, từ đó quy lạ về quen mà xử lí, không vì hình
thức quá phức tạp mà dẫn đến bế tắc. Ngoài ra, khi xem xét sự vật hiện tượng cần
phải đặt nó trong mối liên hệ với các sự vật hiện tượng xung quanh, trong toàn thể.
2. Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học
Trong toán học, nội dung là các tính chất xác định đối tượng toán học, còn
hình thức là phương thức tồn tại của đối tượng (như kí hiệu, mô hình, cách diễn đạt
đối tượng,…). Nội dung và hình thức trong toán học cũng đa dạng và thay đổi tùy
tình huống cụ thể. Sự thống nhất giữa nội dung và hình thức trong toán học được
thể hiện rất rõ bởi lẽ những đối tượng toán học được sử dụng đều mang một ý nghĩa
rõ ràng, thông thường được nhắc đến lần đầu tiên qua các định nghĩa, một khi tuân
theo định nghĩa thì đối tượng được xác định chính xác và tất cả những đối tượng
thỏa mãn định nghĩa đều đúng là cái mà ta đang muốn đề cập đến.
Một nội dung có thể có nhiều hình thức biểu hiện nhưng chúng phải phù hợp

với nhau. Ví dụ:
• Cùng một nội dung là hình học xạ ảnh nhưng có thể được thể hiện ở mô hình
bó hoặc mô hình mặt phẳng chứa đường thẳng vô tận.
• Cùng nội dung là số phức nhưng có nhiều hình thức thể hiện:
(a;b), a bi,+

i
re , r(cos isin ).
ϕ
ϕ ϕ
+

Nhìn một khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ cho ta hiểu sâu sắc
nhiều khía cạnh của nội dung. Ví dụ: đường kính của đường tròn có thể nhìn dưới
các góc độ: dây cung qua tâm, dây cung mà khoảng cách từ tâm đến nó nhỏ nhất,
hai bán kính tạo một góc 180
o
, dây cung có độ dài lớn nhất,…
13
Nội dung quyết định hình thức, đây là điều tất nhiên vì nội dung quyết định
bản chất của đối tượng là cái gì và do đó nó sẽ quyết định hình thức phù hợp thể
hiện được nội dung đó. Ví dụ: Các hệ phương trình tuyến tính được biểu thị trên các
ma trận thì việc biến đổi ma trận phải thể hiện được các biến đổi như khi làm với
các phương trình tuyến tính.
Hình thức độc lập tương đối với nội dung và bị chi phối bởi nội dung nhưng
nó có tác động trở lại nội dung. Một hình thức phù hợp sẽ biểu hiện được nội dung
rất chính xác, rõ ràng. Ngược lại, nội dung cũng có thể bị hình thức che lấp. Một
hình thức cũng có thể chứa nhiều nội dung. Ví dụ:
• Cho p là số nguyên tố, p + 1 là hình thức biểu hiện còn nội dung có thể là số
tự nhiên liền sau hoặc tổng của các ước của p.

• Chứng minh tập hợp các căn phức bậc n của 1 là một nhóm với phép nhân
các số phức thông thường. Trong trường hợp này ta xét tập hợp
{ }
n
S x C | x 1= =Î
có lợi hơn là xét tập hợp
2k 2k
S cos isin | k Z
n n
π π
 
= + ∈
 
 

vì việc tính toán với các phần tử ở tập hợp sau phức tạp hơn và cũng không
cần thiết.
• Cách kí hiệu trong toán học góp phần làm sáng tỏ nội dung mà nó thể hiện.
Chẳng hạn trong tam giác ABC người ta sẽ kí hiệu độ dài các cạnh đối diện
với các góc A, B, C lần lượt là a, b, c chứ không phải là một trật tự khác. Với
cách kí hiệu này thì công thức
2 2 2
b c a
cos A
2bc
+ -
=
cho ta thấy được vai trò
bình đẳng của b, c so với a khi ta xét đến góc A. Trong nhiều bài, sự gợi ý
như vậy là tốt cho việc định hướng giải quyết vấn đề.

Tóm lại, cần chú ý mối tương quan giữa nội dung và hình thức. Trong toán
học cần biểu thị một nội dung ở nhiều hình thức để thấy rõ các khía cạnh khác nhau
của nội dung; cũng cần khai thác khả năng biểu thị nhiều nội dung của một hình
thức để khi gặp bài toán ta sẽ linh động sử dụng được nhiều công cụ khác nhau để
giải quyết. Càng đưa ra nhiều mô hình cho một nội dung toán học thì toán học càng
dễ được áp dụng vào trong thực tiễn.
Nhân nói về nội dung và hình thức trong toán học, chúng ta đề cập đến vấn
đề “chủ quan và khách quan trong nghiên cứu toán học”. Những gì đề bài cho là
khách quan. Những gì chúng ta được tùy chọn là chủ quan. Nếu việc ta chọn là
đúng (trong lí luận toán học) so với đề bài thì cái chủ quan này phù hợp với khách
quan và nó cũng là cái khách quan. Vấn đề là ta chọn cái gì cho có lợi? Tận dụng
điều này trong làm bài tập toán ra sao. Chúng ta cần nhận thức chính xác cái khách
14
quan, ta cần tìm ra những cái chủ quan thuận lợi và hợp với khách quan để giải
quyết bài toán. Ví dụ:
Xét bài toán
Cho hàm số
f : N N→
thỏa mãn
f (xy) f (x) f (y) 1, x, y N= + − ∀ ∈
.
Tính f (14.400), biết
( )
f 30 4=
và phương trình
f (x) 1=
có hữu hạn nghiệm thuộc N.
• Giả thiết “phương trình
f (x) 1=
có hữu hạn nghiệm thuộc N” là điều kiện

khách quan. Nó tương ứng với: “Phương trình
f (x) 1=
có các nghiệm
o
1 2 n
a ,a , ,a
”(1) hoặc “phương trình
f (x) 1=
có vô số nghiệm là điều không
đúng”(2). Việc chọn (1) hay (2) là chủ quan ta lựa chọn. Trong bài này dữ
liện ở dạng (2) sẽ có lợi hơn dữ liệu (1).
• Chẳng hạn ở bài toán này ta chọn
x y 1= =
để thế vào biểu thức
f (xy) f (x) f (y) 1, x, y N= + − ∀ ∈
là một việc làm chủ quan nhưng phù hợp với
khách quan để chúng ta tính được f (1).
Tất nhiên việc lựa chọn dùng ở hình thức nào còn tùy mỗi người. Vấn đề là chúng
ta cần phải biết tận dụng những khách quan có lợi, đưa ra những cái chủ quan phù
hợp với khách quan và có lợi cho việc giải quyết vấn đề.
3. Sự phủ định của phủ định trong toán học
Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình vận
động và phát triển. Sự phủ định trong toán học có ý nghĩa to lớn trong việc mở rộng
các kết quả toán học, nó cho người ta cái nhìn rộng hơn trước rất nhiều. Ví dụ:
• “Thẳng hàng” và “không thẳng hàng” là phủ định lẫn nhau nhưng khi phủ
định khái niệm thẳng hàng thì ta có khái niệm mở rộng của thẳng hàng. Ba
điểm A, B, C thẳng hàng là trường hợp riêng của ba điểm A, B, C không
thẳng hàng ứng với góc ABC là góc bẹt.
• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là trường hợp riêng của bốn điểm A, B, C,
D không đồng phẳng ứng với trường hợp thể tích khối chóp ABCD bằng 0.

• Xét sự tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn, khi phủ định sự tiếp xúc thì
ta có tiếp xúc là trường hợp riêng của không tiếp xúc với khoảng cách từ tâm
đường tròn tới đường thẳng bằng đúng độ dài bán kính.
Sự phủ định cho ta nhiều dữ kiện hơn khi giải quyết bài toán. Đó là tư tưởng
của phép chứng minh phản chứng. Ví dụ: Xét bài toán “Cho X là không gian
Banach vô hạn chiều. Chứng minh X không thể có một cơ sở Hamel gồm một số
15
đếm được các phần tử.” Trong bài này việc giả sử ngược lại “X có một cơ sở Hamel
gồm một số đếm được các phần tử” sẽ cho ta thêm dữ kiện để giải bài toán.
Quy luật phủ định của phủ định cho phép ta nhìn thấy quá trình phát triển
của toán học là một quá trình biện chứng lâu dài. Trong đó các kiến thức toán học
mới không phải tự nhiên mà có, đó là sự kế thừa những mặt tích cực từ các kết quả
cũ và khắc phục những mặt kém của các kết quả đó. Điều này cho ta một tư tưởng
tiến công trong khoa học: các kết quả toán học dù có phức tạp đến đâu thì cũng phát
triển lần lượt từng bước chứ không đột nhiên mà có cả một công trình trong ngày
một ngày hai, nếu nắm bắt được quy luật phát triển của chúng và làm việc khoa học
thì cũng đạt được những kết quả nhất định. Trong vấn đề giúp học sinh phát triển
được tư duy toán học và tăng niềm tin vào khả năng nghiên cứu toán học, giáo sư
Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “nên hiểu rằng “mới” không phải là “mới toanh” hoàn
toàn chẳng dính gì đến cái cũ. Chẳng bao giờ có cái mới như vậy cả. Cái mới bao
giờ cũng ra đời từ cái cũ, kế thừa những mặt tích cực trong cái cũ, đồng thời hơn
cái cũ ở chỗ giải quyết được khó khăn mà cái cũ không giải quyết nổi.” (xem 105,
[4])
4. Bất biến và vạn biến trong toán học
Bất biến và vạn biến thể hiện rất rõ ràng và đa dạng trong toán học. Mỗi định
lí nói lên một quy luật tức là cái gì đó đúng ở khắp mọi nơi (bất biến) và ta dùng
định lí đó ở rất nhiều nơi (vạn biến). Mỗi một công thức là bất biến và nó được
dùng để tính những giá trị cụ thể (vạn biến). Ví dụ: công thức nghiệm của phương
trình bậc hai tổng quát là bất biến và nó dùng để tính nghiệm cho mọi phương trình
bậc hai với hệ số cụ thể (vạn biến).

Trong quá trình giải toán, nhiều khi việc tìm ra các bất biến là mấu chốt cho
giải quyết vấn đề. Ví dụ:
• Có một cây nến dài 10cm được thắp lên. Kí hiệu x là độ dài cây nến còn lại,
hãy tính độ dài phần nến đã cháy y theo x. Ta thấy x, y đều là các đại lượng
bị biến đổi nhưng ta nhận thấy ở đây có một sự bất biến là x + y = 10.
• Cấp số cộng
n
u
: 2, 7, 12, 17, 22, các số hạng của dãy đều biến đổi nhưng
hiệu của 2 số hạng liên tiếp là cố định.
• Tính tổng
1 1 1 1
S
1.2 2.3 3.4 n.(n 1)
= + + + +
+
. Ở đây, các số hạng đều thay đổi
nhưng ta nhận ra được luật cho các số hạng.
Dùng cái vạn biến để tìm ra cái bất biến: khảo sát một số cái vạn biến để dự
đoán cái bất biến là gì rồi dùng lập luận logic để chứng minh cái bất biến. Đây cũng
là một hình thức quy nạp, từ những trường hợp riêng lẻ khái quát nên quy luật
16
chung. Chẳng hạn bài toán: tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
n
1 1 1
(u ) :1, , , ,
4 9 25
và
2
n 1 n 1 n

(v ) : v 3; v 1 v ,n 1.
+
= = + ³
Trong toán học, nhiều kết quả
được tìm kiếm nhờ con đường quy nạp, người ta thấy các tính chất nào đó ở một vài
trường hợp cụ thể sau đó dùng suy luận logic để chứng minh. Do đó, ta nhận thấy
rằng bất biến và vạn biến đều quan trọng.
Vấn đề bất biến và vạn biến cho ta liên hệ đến việc dùng quy luật tất nhiên để
kiểm soát cái ngẫu nhiên. Cặp phạm trù tất nhiên và ngẫu nhiên biểu hiện như thế
nào trong toán học?
Toán học với sự ra đời của tư tưởng “xác suất – thống kê” đã chứng tỏ được
sự tồn tại tất nhiên của cái ngẫu nhiên. Toán học đã chỉ ra được một cách cụ thể khả
năng tồn tại của những cái ngẫu nhiên. Ví dụ: tính ra tỉ lệ người con sinh ra mắc
bệnh di truyền từ người mẹ là bao nhiêu. Trong các thí nghiệm, người ta tính ra khả
năng cho các kết quả như thế nào. Việc tính trước các khả năng cho phép con người
chủ động trong các hoạt động. Toán học với tư tưởng xác suất thống kê cho phép
con người có cái nhìn toàn diện hơn, suy xét các vấn đề ở nhiều khía cạnh khác
nhau chứ không chỉ đợi sự việc xảy ra, do đó hiệu quả công việc cao hơn.
Tất nhiên và ngẫu nhiên trong toán học cũng có thể chuyển hóa cho nhau.
Những kết quả toán học xuất hiện rời rạc ở những trường hợp cụ thể là cái ngẫu
nhiên, nhưng nếu nó được con người phát hiện và chứng minh nó đúng cho hàng
loạt trường hợp thỏa điều kiện nào đó thì nó trở thành cái tất nhiên. Ngược lại, một
kết quả được biết là đúng cho trường hợp nhỏ thì có thể chỉ là cái ngẫu nhiên của
các trường hợp lớn hơn. Nói chung, tất nhiên và ngẫu nhiên trong toán học còn tùy
vào tình huống cụ thể, từng người cụ thể (có những kết quả là tất nhiên với người
này nhưng là ngẫu nhiên với người khác).
Trong nhận thức toán học, cần thấy được vai trò của bất biến và vạn biến, tất
nhiên và ngẫu nhiên để sử dụng chúng có hiệu quả. Dùng cái tất nhiên và bất biến
để xem xét cái ngẫu nhiên và vạn biến nhưng ngược lại cũng từ những cái ngẫu
nhiên, vạn biến mà thấy được cái tất nhiên, bất biến.

Nói tóm lại, mối quan hệ giữa triết học và toán học là mối quan hệ khách
quan, phù hợp với quy luật trong tiến trình nhận thức của con người. Mối quan hệ
này nếu được khai thác tốt thì góp phần to lớn giúp con người phát triển tư duy, tăng
khả năng nhận thức và cải tạo thế giới. Trong đó, chúng ta cần phải khai thác sức
mạnh của công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật. Nói như giáo sư Nguyễn
Cảnh Toàn: “Trong khoa học tư duy thì phải đặc biệt coi trọng phương pháp duy
vật biện chứng vì đó là vũ khí tư duy cực kì lợi hại của các dân tộc nghèo, bị áp bức
để chống lại kẻ xâm lược (trong chiến tranh), để hội nhập và cạnh tranh trên
trường quốc tế (trong xây dựng hòa bình), bởi lẽ chỉ với cách nhìn mọi sự vật như
17
là một “thống nhất mâu thuẫn” mới có thể chuyển hóa: yếu thành mạnh, nghèo
thành giàu, sở đoản thành sở trường.”
TÀI LIỆU
[1] C. Mác, Ph. Ăngghen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 2, NXB Sự thật Hà
Nội, năm 1962.
[2] C. Mác, Ph. Ăngghen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 20, NXB Sự thật Hà
Nội, năm 1994.
[3] Nguyễn Như Hải, Triết học trong khoa học tự nhiên, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4] Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu
(tập 1), ĐHSP Hà Nội, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001.
[5] Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu
(tập 2), ĐHSP Hà Nội, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001.
[6] Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học (tập 1, 2), NXB ĐHQG Hà Nội, năm 1997.
18