đề thi học sinh giỏi toán thpt lớp 12 - năm 2004

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 12, 2004
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 12
Năm học 2004
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (5,0 điểm).
Giải bất phương trình .
Câu II (6,0 điểm).
1) Cho phương trình
Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y)
Câu III (6,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng sao cho các
đường thẳng: đôi một chéo nhau và vuông góc nhau.
1) Xét đường thẳng d bất kì đi qua O. Gọi thứ tự là góc giữa d với các
đường thẳng . Chứng minh:
2) Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ trong ba đường thẳng
cùng bằng 2 đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A'B'C'D' thỏa mãn
B' và D thuộc ; A' và C' thuộc ; A và D' thuộc . Tính thể tích khối hộp
ABCD.A'B'C'D'.
Câu IV (3,0 điểm).
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
.