Tài liệu De thi hoc sinh gioi toan THPT 2010

Câu I. (6,0 điểm)
Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
+ 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
3. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt
đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N
vuông góc với nhau.
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phơng trình:
3 1
8sin
cos sin
x
x x
+ =
.
2. Giải bất phơng trình:
2
3 2 3 2 5 2 1x x x x+ + +
.
Câu III. (4,0 điểm)
1. Tìm m để phơng trình
4
2 2
1 1x x x x m+ + =
có nghiệm.
2. Cho x > y > 0. Chứng minh rằng:

ln ln 2x y
x y x y

>
+
.
Câu IV. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đờng thẳng d có phơng trình
tham số
3
1
x t
y t
=


=

.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A và tạo với đờng thẳng d một góc 45
o
.
Câu V. (4,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lợt là trung
điểm của các cạnh SB, BC, CD.
1. Chứng minh AM vuông góc với BP.
2. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.

-----------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Sở gd&đt thanh hoá
Trờng thpt nh xuân
đề thi chọn học sinh giỏi trờng
năm học 2010-2011
Thời gian l m b i: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án đề thi HSG Khối 12 Môn Toán
Năm học 2010-2011
Chú ý: - Đáp án gồm 4 trang.
-Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.
Câu ý Nội dung Điểm
I 1
(2 đ)
Khảo sát hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4
- Tập xác định: R.
0, 25
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y = 3x
2
- 6x = 0
=


=

x 0
x 2
.
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; 0) và (2; +); hàm số
nghịch biến trên khoảng (0; 2).
0,25
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 4) và đạt cực tiểu tại
điểm (2; 0).
0,25
+ Giới hạn:
+
= +
x
lim y
;

=
x
lim y
0,25
+ Bảng biến thiên:
x - 0 1 2 +
y + 0 - - 0 +
4 +
y 2
- 0
0,25
- Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0), (2; 0), cắt trục Oy tại (0; 4);
nhận điểm uốn (1; 2) làm tâm đối xứng.
0, 5
I 2
(2 đ)
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ
độ.
Gọi M(x; y) và N(-x; - y), với

x 0
là hai điểm phân biệt đối xứng
với nhau qua O.
0, 5
Ta có M và N cùng thuộc (C) khi và chỉ khi
x
3
- 3x
2
+ 4 = - [(-x)
3
- 3(-x)
2
+ 4]
0,5

6x
2
= 8

=

2 3
x
3
.
0,5
= =
2 3 8 3
x y
3 9
= =
2 3 8 3
x y
3 9
Vậy hai điểm cần tìm là

ữ

2 3 8 3
;
3 9
và


ữ

2 3 8 3
;
3 9
.
0,5

I 3
(2 đ)
d có phơng trình y = m(x - 3) + 4.
Phơng trình hoành độ giao điểm của d và (C) là
x
3
- 3x
2
+ 4 = m(x - 3) + 4
0,5
4
y
x
2
O
-1
2
1
3
t
f(t)
1
2
+
+
S
D
C
B
A

M
N
P
H
K
-----------------------------------------HÕt--------------------------------------------