bài tập tích phân và ứng dụng

Chủ đề 8: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A- BÀI TẬP MẪU:
1. Tính tích phân
( )
2
0
1 sin2xdxI x
π
= +
∫
.
Đặt
x
1
1
sin 2xdx
os2x
2
du d
u x
dv
v c
=

= +


⇒
 
=
=




I =
( )
/2
2 2
0 0
0
1 1 1
1 os2x os2xdx 1 sin 2x 1
2 2 4 4 4
x c c
π π
π
π π
− + + = + + = +
∫
.
2. Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx
π
π
× +

∫
Giải
Ta có: I =
2
2
6
1
sin sin
2
π
π
× +
∫
x x dx
=
2
2
6
3
sin cos
2
x x dx
π
π
−
− ×
∫
.
Đặt
3

cos cos
2
x t
= ×

Đổi cận: Khi
2
x cos
6 2 4
t t
π π
= ⇒ = ⇒ =
; khi
x cos 0
2 2
t t
π π
= ⇒ = ⇒ =
.
Do vậy:
2
2
4
3
sin
2
I tdt
π
π
= ×

∫
=
( )
3
2
16
π
+
.
3. Tính tích phân
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x
=
−
∫
Giải:
Đặt
2 2 2
2
1 1 2 2
dx tdt
t x t x tdt xdx
x x

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
2 2
1 1
dx tdt tdt
x t t
⇒ = − =
− −
+ Đổi cận:
1 3
2 2
3 1
2 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =

1 3
3
2 2
2
1
2 2
1
2
3
2
2
1 1 1 7 4 3
ln ln

1 1 2 1 2 3
|
dt dt t
A
t t t
 
+ +
= = = =
 ÷
 ÷
− − −
 
∫ ∫
4. Tính tích phân A =
2
ln .ln ex
e
e
dx
x x
∫
Giaûi:

2 2
(ln )
ln (1 ln ) ln (1 ln )
e e
e e
dx d x
A

x x x x x
= =
+ +
∫ ∫
=
2
1 1
(ln )
ln 1 ln
e
e
d x
x x
 
−
 ÷
+
 
∫
=
2 2
ln(ln ) ln(1 ln )
e e
x x
e e
− +
= 2ln2 – ln3
5. Tính tích phân
∫
+

+
=
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I
.
Giaûi:
§Æt
3
2
132
3
13
tdt
dx
x
dx
dtxt =⇒
+
=⇒+=
.
Khi
1=x
th× t = 2, vµ khi x = 5 th× t = 4.

Suy ra
∫
−
+








−
=
4
2
2
2
2
3
2
.
.
3
1
1
3
1
tdt
t

t
t
I

∫∫
−
+−=
4
2
2
4
2
2
1
2)1(
9
2
t
dt
dtt


.
5
9
ln
27
100
2
4

1
1
ln
2
4
3
1
9
2
3
+=
+
−
+






−=
t
t
tt
6. Tính tích phân: I =
2
4
0
( sin 2 )cos2x x xdx
π

+
∫
.
Giaûi
I =
4 4 4
2 2
1 2
0 0 0
( sin 2 ) 2 2 sin 2 2x x cos xdx xcos xdx xcos xdx I I
π π π
+ = + = +
∫ ∫ ∫
TÝnh I 1
®Æt
4
1
0
1
sin 2 sin 2
4
1
2
2 2
sin 2
0
2
du dx
u x
x

I x xdx
v cos xdx
v x
π
π
=

=

 
⇒ ⇒ = −
 
=
=




∫
∫

1 1
2
4
8 4 8 4
0
cos x
π
π π
= + = −

TÝnh I 2
VËy I=
1 1 1
8 4 6 8 12
π π
− + = −
7. Tính
( )
4
2 3x
4
dx
I
cos x 1 e
π
−
π
−
=
+
∫
Giaûi:
( )
( )
2
1 1 1
2
4 2 2
2 2

0 0 0
3
1
2
2 2
2
1
0
2
2
d x
xdx 1 1 dt
I
x x 1 2 2 t t 1
x x 1
1 dt 1 du
2 2
1 3 3
t u
2 2 2
= = =
+ + + +
+ +
= =
   
 
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
 

   
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Đặt
2
3 3 dy
u tan y, y ; du
2 2 2 2 cos y
π π
 
= ∈ − ⇒ = ×
 ÷
 
( )
3 3
2 2
6 6
1 3
u y ;u y
2 6 2 3
3
dy
1 1
2
I dy
3
2
3 6 3
cos y 1 tan y
4

π π
π π
π π
= ⇒ = = ⇒ =
π
⇒ = = =
× × +
∫ ∫
8. Tính tích phân
∫
+
=
2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I

Giaûi:
Ta c ó
∫
+
=
2ln3
0
2

33
3
)2(
xx
x
ee
dxe
I
=
Đặt u=
3
x
e
⇒
dxedu
x
3
3 =
;
22ln3;10 =⇒==⇒= uxux
4
2 3
2
0
1 1 1
4
sin 2 (sin 2 ) sin 2
2 6 6
0
I xd x x

π
π
= = =
∫

Ta c:

+
=
2
1
2
)2(
3
uu
du
I
=3
du
u
uu





+

+

2
1
2
)2(2
1
)2(4
1
4
1
=3
2
1
)2(2
1
2ln
4
1
ln
4
1

+
++
u
uu
8
1
)
2
3
ln(
4
3
=

Vy I
8
1
)
2
3
ln(
4
3
=
9.Tính tích phân:


=

2
1
2
2
4
dx
x
x
I
.
Giaỷi:
Đặt
tx sin2=
thì
tdtdx cos2=
, khi
1=x
thì
6

=t
, khi
2=x
thì
2

=t
, vậy:

==

=
2
1
2
6
2
2
2
2
sin
cos4


dt
t
t
dx
x
x
I

==

2
6
2
6
2
6
2
)(cot1
sin
1






ttddt
t
3
3


10.Tớnh tớch phõn:
3
2
2
1
log
1 3ln
e

x
I dx
x x
=
+

.
Giaỷi:
3
3
2
2
3
2 2 2
1 1 1
ln
log 1 ln . ln
ln 2
.
ln 2
1 3ln 1 3ln 1 3ln
e e e
x
x x xdx
I dx dx
x
x x x x x

ữ

= = =
+ + +


t
2 2 2
1 1
1 3ln ln ( 1) ln .
3 3
dx
x t x t x tdt
x
+ = = =
.
Suy ra
( )
( )
2
2 2
3
2
2
3 3
2
1 1 1
1
1
log 1 1 1
3
. 1

ln 2 3 9ln 2
1 3ln
e
t
x
I dx tdt t dt
t
x x

= = =
+

2
3
3 3
1
1 1 4
9ln 2 3 27ln 2
t t

= =
ữ

B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN:
11. Tớnh tớch phõn
8
3
ln
1
x

I dx
x
=
+

12. Tớnh tớch phõn:
ln3
2
ln2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
+


13. Tớnh tớch phõn

+
+
=
5
1
2
13
1
dx

xx
x
I
.
14. Tớnh tớch phõn:
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x
=
+

.
15. a) Tính tích phân
4
0
tan
cos
x
I dx
x
π
=
∫

16. Tính : I =
cos
0
( ).sin
x
e x xdx
π
+
∫

18. Tính tích phân
∫
+
=
2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I
19. Tính tích phân :I=
2
1
ln
. 1 ln
x
dx

x x+
∫
20.Tính tích phân:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx
x x
π
−
=
+
∫