Chuyên đề tích phân và ứng dụng tài liệu lý thuyết và bài tập 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.75 MB, 214 trang )
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
cbook.vn
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
2
LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng
dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường
phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông.
Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những
vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học
tương đương.
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối
với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương
pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.
Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng
dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này.
Các tác giả
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5
CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 10
I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. 10
I.2 TÍCH PHÂN. 13
VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 14
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ 17
Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) 18
Một số trường hợp thường gặp 18
Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) 24
Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến 33
VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 36
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 36
VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ 49
VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49
VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG 50
PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ 50
VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ 52
VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 73
VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 92
VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT 111
VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX 116
VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 117
VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 120
VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 123
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 126
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
4
CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 126
BÀI TẬP VẬN DỤNG. 127
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 129
BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 132
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 134
KẾT LUẬN 214
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
5
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng
giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số…
A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1. Cung đối nhau
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
2. Cung bù nhau
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
3. Cung phụ nhau
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
4. Cung hơn kém
2
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
5. Cung hơn kém
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
6
II. Công thức lượng giác
1. Các hệ thức cơ bản
22
sin cos 1
tan .cot 1
sin
tan
cos
cos
cot
sin
2
2
1
1 tan
cos
2
2
1
1 cot
sin
2. Công thức cộng
cos cos cos sin sina b a b a b
cos cos cos sin sina b a b a b
sin sin cos cos sina b a b a b
sin sin cos cos sina b a b a b
tan tan
tan
1 tan tan
ab
ab
ab
tan tan
tan
1 tan tan
ab
ab
ab
3. Công thức nhân đôi
2 2 2 2 4 4
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin
sin2 2sin cos
2
2tan
tan2
1 tan
4. Công thức nhân ba
33
3sin sin3
sin3 3sin 4sin sin
4
33
3cos cos3
cos3 4cos 3cos cos
4
5. Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
2
1 cos2
cos
2
2
1 cos2
tan
1 cos2
6. Công thức tính
sin ,cos ,tan
theo
tan
2
t
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
7
2
2
sin
1
t
t
2
2
cos
1
t
t
2
2
tan
1
t
t
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos cos
2
a b a b a b
1
sin sin cos cos
2
a b a b a b
1
sin cos sin sin
2
a b a b a b
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
22
a b a b
ab
cos cos 2sin sin
22
a b a b
ab
sin sin 2sin cos
22
a b a b
ab
sin sin 2cos sin
22
a b a b
ab
sin
tan tan
cos cos
ab
ab
ab
sin
tan tan
cos cos
ab
ab
ab
9. Các công thức thường dùng khác
sin cos 2sin 2cos
44
sin cos 2sin 2cos
44
B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
8
Cho
y
là hàm số theo
u
và
u
là hàm số theo
x
thì ta có:
' ' '
.
x u x
y y u
2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây
u u x
;
v v x
)
' ' 'u v u v
' ' 'u v u v
. ' '. . 'u v u v u v
'
2
''u u v uv
vv
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây
u u x
)
'0c
(
c
là hằng số)
'
1x
'
1
.xx
'
2
11
,0x
xx
'
1
,
2
x
x
0x
'
. . 'k u k u
'
1
. . 'u u u
'
2
1'
,0
u
u
uu
'
'
,0
2
u
uu
u
4. Đạo hàm của hàm lượng giác
sin ' cosxx
cos ' sinxx
2
1
tan '
cos
x
x
2
1
cot '
sin
x
x
sin ' '.cosu u u
cos ' '.sinu u u
2
'
tan '
cos
u
u
u
2
'
cot '
sin
u
u
u
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít
' .ln
xx
a a a
'
xx
ee
' . '.ln
uu
a a u a
' '.
uu
e u e
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
9
'
1
log
.ln
a
x
xa
1
ln 'x
x
'
'
log
.ln
a
u
u
ua
'
ln '
u
u
u
C. VI PHÂN
Nhớ lại:
'y f x dy d f x f x dx
Vậy có:
•
.d ax b a dx
•
2
11
d dx
xx
•
2
dx
dx
x
•
sin cosd x xdx
•
cos sind x xdx
•
2
1
tan
cos
d x dx
x
•
2
1
cot
sin
d x dx
x
•
xx
d e e dx
•
ln
dx
dx
x
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
10
CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.
I.1 NGUYÊN HÀM.
1). Định nghĩa :
Hàm số
Fx
gọi là nguyên hàm của hàm số
fx
trên
,ab
nếu
,,F x f x x a b
.
Ghi nhớ : Nếu
Fx
là nguyên hàm của
fx
thì mọi hàm số có dạng
F x C
(
C
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
fx
và chỉ những hàm số có dạng
F x C
mới
là nguyên hàm của
fx
. Ta gọi
F x C
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của
hàm số
fx
và ký hiệu là
f x dx
.
Như vậy:
f x dx F x C
2). Tính chất:
a.TC1:
0;kf x dx k f x dx k
b.TC2:
f x g x dx f x dx g x dx
c.TC3: Nếu
f x dx F x C
thì
f u du F u C
.
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
a,b a 0
:
dx x C
1
ln
dx
ax b C
ax b a
1
1
1
,
x
x dx C
xx
e dx e C
sin cosxdx x C
1
ax ax
e dx e C
a
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
11
cos sinxdx x C
1
sin cosaxdx ax C
a
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
1
cos sinaxdx ax C
a
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
0ln ,
dx
x C x
x
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
4) Bảng nguyên hàm mở rộng.
1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a
1
cos ax b dx sin ax b
a
c
1dx
ln ax b c
ax b a
c
1
sin ax b dx cos ax b c
a
1
ax b ax b
e dx e c
a
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
1
ax b ax b
m dx m c
alnm
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
22
1dx x
arctg c
aa
ax
2
1dx
cotg ax b c
a
sin ax b
22
1
2
dx a x
ln c
a a x
ax
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
22
22
dx
ln x x a c
xa
22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
22
dx x
arcsin c
a
ax
22
xx
arccos dx xarccos a x c
aa
22
1dx x
arccos c
aa
x x a
22
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
aa
22
22
1dx a x a
ln c
ax
x x a
22
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
aa
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
12
2 2 2
22
22
x a x a x
a x dx arcsin c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
22
ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbxdx c
ab
22
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
ab
Ghi nhớ:
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích
(thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một
tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1: Chứng minh:
22
dx 1 x a
ln c
2a x a
xa
;
22
dx 1 a x
ln c
2a a x
ax
Chứng minh:
22
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x a
xa
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
22
22
dx
ln x x a
xa
c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
22
22
22
1 x a
ln x x a c
x x a
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
22
dx 1
uc
a
ax
(với
x
tgu
a
)
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
13
Đặt
x
tgu
a
,
u,
22
22
22
d atgu
dx 1 1
du u c
aa
ax
a 1 tg u
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
22
dx
uc
ax
(với
x
sin u
a
, a > 0)
Đặt
x
sin u
a
,u
,
22
22
22
dx d asinu
du u c
ax
a 1 sin u
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
22
dx 1 x
arctg c
aa
ax
và
22
dx x
arcsin c
a
ax
(a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ
nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x.
Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.
I.2 TÍCH PHÂN.
1). Định nghĩa:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
2). Tính chất:
a. TC1:
ba
ab
f x dx f x dx
b. TC2:
0()
bb
aa
kf x dx k f x dx k
c. TC3:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
d. TC4:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
e. TC5: Nếu
0,;f x x a b
thì
0
b
a
f x dx
f. TC6: Nếu
,;f x g x x a b
thì
bb
aa
f x dx g x dx
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
14
g. TC7: Nếu
,;m f x M x a b
thì
b
a
m b a f x dx M b a
Ghi nhớ:
Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng
bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét
dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những
đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng
định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:
•
89
1
9
I x dx x C
•
5 5 1 4
5
11
5 1 4
dx
I = x dx x C x C
x
•
2
2 4 3 2 5 4 3
14
2 4 4
53
I x x dx x x x dx x x x C
•
11
ln
2 2 2
dx dx
I x C
xx
•
2 2 2
1
2
2
x x x
I e dx e d x e C
•
4 4 4
11
4
44
x x x C
I e dx e d x e
•
11
cos2 cos2 2 sin2
22
I xdx xd x x C
•
11
sin2 sin2 2 cos2
22
I xdx xd x x C
•
2 2 2
2
11
.
22
x x x
I xe dx e d x e C
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
15
•
cos
sin
tan ln cos
cos cos
dx
x
I xdx dx x C
xx
•
sin
cos
cot ln sin
sin sin
dx
x
I x dx x C
xx
•
cos2
sin2 1 1
tan2 ln cos2
cos2 2 cos2 2
dx
x
I xdx dx x C
xx
•
sin2
cos2 1 1
cot2 ln sin2
sin2 2 sin2 2
dx
x
I xdx dx x C
xx
•
2 2 3
1
sin .cos sin sin sin
3
I x x dx xd x x C
•
2 2 3
1
cos .sin cos cos cos
3
I x xdx xd x x C
•
4 4 5
1
sin .cos cos cos cos
5
I x x dx xd x x C
•
4 4 5
1
cos .sin sin sin sin
5
I x xd x xd x x C
•
22
1 3sin cos 1 3sin sinI x xdx x d x
23
sin 3sin sin sind x xdx x x C
•
3 2 2
cos cos .cos 1 sin .cosI xdx x xdx x xdx
23
1
1 sin sin sin sin
3
x d x x x C
•
3 2 2 3
1
sin sin .sin 1 cos cos cos cos
3
I xdx x xdx x d x x x C
•
2
1 cos2 1 1 1 1
sin cos2 sin2
2 2 2 2 4
x
I xdx d x dx xdx x x C
•
2
1 cos2 1 1 1 1
cos cos2 sin2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
•
2
1 cos4 1 1 1
sin 2 cos4 sin4
2 2 2 2 8
xx
I xdx dx dx xdx x C
•
2
1 cos4 1 1 1
cos 2 cos4 sin4
2 2 2 2 8
xx
I xdx dx dx xdx x C
•
22
2
222
sin 1 cos
tan tan
cos cos cos
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
xxx
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
16
•
22
2
2 2 2
cos 1 sin
cot cot
sin sin sin
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
x x x
2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý:
2
2
tan 1 tan
cos
dx
d x x dx
x
•
3 3 2
1
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x x dx
2
sin
tan tan 1 tan tan tan
cos
x
x x dx xdx xd x dx
x
2
1
tan ln cos
2
x x C
•
4 4 2 2 2 2 2
2
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x dx xdx
23
1
tan tan tan tan tan
3
xd x x x C x x x C
•
5 5 3 3
3
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx
3 4 2
11
tan tan tan tan tan tan tan ln cos
42
xd x xd x xdx x x x C
•
6 6 4 4 2 2
4
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
4 2 2 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx
4 2 2
tan tan tan tan tanxd x xd x xdx
53
11
tan tan tan
53
x x x x C
•
7 7 5 5 3 3
5
tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x x x dx
5 2 3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tanx dx x dx x dx xdx
53
tan tan tan tan tan tan tanxd x xd x xd x xdx
6 4 2
1 1 1
tan tan tan ln cos
6 4 2
x x x x C
3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
17
•
1
22
2
21
11
. 2 1
4 4 1 2 2
2 1 2 1
dx
dx dx
I x C
xx
xx
•
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
xx
I dx x x C
x x x x
•
1
ln 1
11
x
x
x
xx
de
e dx
I e C
ee
•
ln
xx
xx
xx
x x x x
d e e
ee
I dx e e C
e e e e
•
22
2
ln 2
22
44
2
x
x x x
x
xx
xx
x
de
e dx e dx e dx
I e C
ee
ee
e
•
cos2 cos cos3
cos cos2 cos3
sin sin2 sin3 sin2 sin sin3
x x x
x x x
I dx dx
x x x x x x
cos2 2cos2 cos
sin2 2sin2 cos
x x x
dx
x x x
cos2 1 2cos
sin2 1 2cos
xx
dx
xx
sin2
cos2 1 1
ln sin2
sin2 2 sin2 2
dx
x
dx x C
xx
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ
* Lý thuyết và phương pháp giải.
1). Công thức tổng quát:
.
b
a
f x x dx f t dt
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có
dạng tích của
fx
(hàm số theo biến là
x
) với đạo hàm của hàm
x
. Áp dụng
công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). Trường hợp 1:
sin .cosf x xdx
.
Đặt
sintx
hoặc
sint p x q
,pq
hoặc
sin
n
t p x q
nếu như biểu thức
sinp x q
nằm trong
n
.
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
18
b). Trường hợp 2:
cos .sinf x xdx
.
Đặt
costx
hoặc
cost p x q
,pq
hoặc
cos
n
t p x q
nếu như biểu thức
cosp x q
nằm trong
n
.
c). Trường hợp 3:
1
ln .f x dx
x
.
Đặt
lntx
hoặc
lnt p x q
,pq
hoặc
ln
n
t p x q
nếu như biểu thức
lnp x q
nằm trong dấu
n
.
d). Trường hợp 4:
2
1
.
cos
f tgx dx
x
.
Đặt
t tgx
hoặc
t ptgx q
,pq
hoặc
n
t ptgx q
nếu như biểu thức
ptgx q
nằm trong dấu
n
.
e). Trường hợp 5:
2
1
.
sin
f cotgx dx
x
.
Đặt
t cotgx
hoặc
t pcotgx q
,pq
hoặc
n
t pcotgx q
nếu như biểu thức
pcotgx q
nằm trong
n
.
Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t)
Một số trường hợp thường gặp
Dấu hiệu
Cách chọn
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
19
22
xa
tax
tax
cos
sin
22
ax
t
a
x
t
a
x
cos
sin
22
xa
gtax
tgtax
cot
xa
xa
tax cos
xa
xa
tax cos
222
xba
t
b
a
x sin
n
xba )(
1
222
, n=1, 2, …
tgt
b
a
x
Bài 1: Tính tính phân( với a>0) I=
2
0
22
a
xa
dx
Lời giải:
Đặt t= asint, t
2
;
2
,
dx= acostdt
Với x = 0 thì t=0
Với x=
2
a
thì t=
6
Do đó: I =
6
0
6
sin
cos
6
0
6
0
222
dt
taa
tdta
Bài 2: Tính tích phân(với a >0) I=
a
xa
dx
0
22
Lời giải:
đặt x = tgt , t
2
;
2
,
dx = a(tg
2
t + 1)dt.
Với x = 0 thì t=0
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
20
Với x= a thì t =
4
Do đó:
I =
aaa
dt
ttgaa
dtttga
4
)0
4
(
1)1(
4
0
4
0
222
2
Bài 3: Tính tích phân:
dx
x
x
I
1
2
2
2
2
1
Lời giải: Đặt x = sint,
dx = costdt
Khi x =
2
2
thì t =
4
Khi x = 1 thì t =
2
Do đó:
I =
2
4
2
2
4
2
2
2
4
2
2
)1
sin
1
(
sin
sin1
sin
cos
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
=-(cotgt+t)
2
4
=1-
4
Bài 4: Tính tích phânI =
1
0
2
2
4
dx
x
x
Lời giải:
Đặt x = 2cost,
dx = -2sintdt
Khi x = 0 thì t =
2
Khi x = 1 thì t =
3
Do đó:
I =
2
3
3
2sin
2
1
2)cos21(2
sin2
sin2.cos4
3
2
3
2
3
2
2
ttdtt
t
tdtt
Bài 5: Tính tích phân:I =
2
0
22
4 dxxx
Lời giải:
Đặt x = 2sint,
dx = 2cosdt
Khi x = 0 thì t = 0
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
21
Khi x = 2 thì t =
2
tx
22
sin4
Do đó: I =
2
0
2
0
2
2
0
22
)4cos1(22sin4cossin16
dtttdttdtt
=2
)0
2
(24sin
4
1
2
0
tt
Bài 6: Tính tích phân: I =
2
2
0
2
3
1 x
dxx
Lời giải:
Đặt x = sint,
dx = cosdt
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x =
2
2
thì t =
4
Do đó:
I =
4
0
4
0
4
0
22
4
0
3
3
)(cos)cos1(sin.sin
sin
cos
cos.sin
tdttdtt
dttdt
t
tt
= (-cost +
3
1
cos
3
t)
4
0
=
12
25
3
2
( có thể giải bằng cách đặt t =
2
1 x
)
Bài 7: Tính tích phân I =
2
2
0
2
2
1 x
dxx
Lời giải:
Đặt x = sint,
dx = cosdt
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x =
2
2
thì t =
4
Do đó: I =
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
4
1
8
2sin
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
sin
cos
cos.sin
ttdtttdt
t
tdtt
Bài 8: Tính tích phân I =
2
3
2
2
1xx
dx
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
22
Lời giải:
Đặt x =
tcos
1
,
dx =
t
tdt
2
cos
sin
Khi x =
3
2
thì t =
6
Khi x =
2
thì t =
4
Do đó: I =
4
6
4
6
4
6
4
6
2
2
2
12
cos
sin
cos
1
cos
sin
1
cos
1
cos
1
cos
sin
tdtdt
t
t
t
t
t
dt
t
t
t
t
Bài 9: Tính tích phân I =
1
0
22
34 dxxx
Lời giải:
Đặt x =
tsin
3
2
dx =
tdtcos
3
2
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 1 thì t =
3
Do đó:
I =
3
0
3
0
3
0
222
)4cos1(
33
2
2sin
33
4
cos
3
2
.sin44sin
3
4
dtttdttdttt
=
)
8
3
3
(
33
2
4sin
4
1
33
2
3
0
tt
Bài 10: Tính tích phân I =
2
2
0
1
1
dx
x
x
Lời giải:
Đặt x=cost,
dx = -sintdt
Khi x=0 thì t =
2
Khi x =
2
2
thì t =
4
Do đó:
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
23
I =
2
4
4
2
2
4
2
4
2
2
2
cos
2
sin2.
2
sin
2
cos
sin.
2
sin
2
cos
sin.
2
sin2
2
cos2
sin.
cos1
cos1
dt
tt
t
t
tdt
t
t
tdt
t
t
tdt
t
t
=
2
4
2
4
2
4
2
2
2
1
4
)sin()cos1(
2
cos2
ttdttdt
t
Bài 11: Tính tích phân: I =
3
1
2
1 xx
dx
Lời giải:
Đặt x = tgt,
dx =
t
dt
2
cos
Khi x=1 thì t =
4
Khi x =
3
thì t =
3
t
x
cos
1
1
2
Do đó:
I =
)
8
ln()
6
ln()
2
(ln
sin
cos
.
.
cos
3
4
3
4
2
3
4
tgtg
t
tg
t
dt
t
dt
tgt
t
Bài 12: Tính tích phân. I =
1
0
22
)31( x
dx
Lời giải:
Đặt x =
tgt
3
1
,
dx =
dtttg
t
dt
)1(
3
1
cos
3
1
2
2
Khi x=0 thì t = 0
Khi x = 1 thì t =
3
1+3x
2
=1+tg
2
t
Do đó:
I =
3
0
3
0
3
0
2
3
0
2
2sin
2
1
32
1
)2cos1(
32
1
cos
3
1
1
3
1
ttdttdtt
ttg
dt
=
)
4
3
3
(
32
1
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
24
Bài 13: Tính tích phân I =
2
3
2
3
2
2
29
dx
x
x
Lời giải:
Đặt x=
tgt
2
3
,
dx =
t
dt
2
cos
2
3
Khi x=
2
3
thì t =
6
; Khi x =
2
3
thì t =
4
t
ttgx
cos
1
.31329
22
Do đó:
I =
4
6
4
6
4
6
4
6
22223
2
2
sin).sin1(
sin
2
sin.cos
2
.cos
2
2
9
cos
1
.3.
cos
1
2
3
tt
td
tt
dt
ttgt
dt
dt
ttg
t
t
Lại đặt: v = sint thì I =
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
2
1
22
1
1
1
ln
2
1
2)
1
11
(2
)1(
2
vv
v
dv
vvvv
dv
=
)36ln(2222
Bài 14: Tính tích phân I =
dxx
1
2
1
2
1
(Đại học Y Hà Nội 1998)
Lời giải:
Đặt x = sint,
dx=costdt.
Khi x =
2
1
thì t =
6
Khi x = 1 thì t=
2
.
`
ttx cossin11
22
Do đó: I =
8
3
3
2sin
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
cos
2
6
2
6
2
6
2
ttdtttdt
Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x)
Một số trường hợp thường gặp:
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
25
Dấu hiệu
Có thể chọn
Hàm có mẫu số
t
là mẫu số
Hàm số có dạng f(x,
n
xv )(
)
n
xvt )(
hoặc t = v(x)
Bài 1: Tính tính phân.I =
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
Lời giải:
Đặt t =
3
13 x
t
3
= 3x + 1
x =
3
1
3
t
dx = t
2
dt
Do đó: I =
2
1
2
1
4
2
3
)
3
1
3
2
(
)1
3
1
(
duuu
u
duu
u
15
46
15
31
1
5
1
.
3
1
2
.
3
2
2
1
5
2
1
2
u
u
Bài 2: Tính tính phân I =
7
0
3
2
3
1
dx
x
x
Lời giải:
Đặt t =
3
2
1 x
,
t
3
= 1+x
2
3t
2
dt = 2xdx
xdx =
dtt
2
2
3
Khi x = 0 thì t = 1
Khi x =
7
thì t = 2
Do đó:
I =
2
1
2
1
4
23
)(
2
3)1(
2
3
dttt
t
dttt
=
20
141
)
25
(
2
3
2
1
25
tt
Bài 3: Tính tính phân I =
2
2
0
2
3
1 x
dxx
Lời giải:
Đặt t =
2
1 x
t
2
= 1- x
2
2tdt = -2xdx
-xdx = tdt
Khi x = 0 thì t = 1
Khi x =
2
2
thì t =
2
2
