Ứng dụng của khai triển Taylor

Ta bắt đầu với ứng dụng tính giới hạn của khai triển Taylor. Như đã
biết quy tắc L’Hopital là một trong những kỹ thuật quan trọng để tính
giới hạn. Có thể nói một trong các nguồn gốc của quy tắc này xuất phát
từ khai triển Taylor. Việc dùng khai triển Taylor để tính giới hạn bắt
nguồn từ việc tính giới hạn của phân thức

trong đó


Để tính được giới hạn ta cần xác định các hệ số có tính chất sau:
+ là các số lớn nhất thỏa mãn
và
Khi đó ta có thể viết

trong đó ta hiểu là đại lượng vô cùng bé cấp cao hơn khi
nghĩa là

Ta có ba tình huống sau xảy ra
+ nếu thì (ví dụ )
+ nếu thì không có giới hạn (ví dụ )
+ nếu thì (ví dụ ).
Ta cũng mong muốn tính được giới hạn

với là các hàm khá tổng quát dựa trên kỹ thuật trên, kỹ thuật sử
dụng biểu diễn “vô cùng bé” hay cũng chính là khai triển Taylor dạng
Peano!
Vẫn đề ta khai triển Taylor như nào?
Câu trả lời: ta khai triển cả
Vấn đề tiếp khai triển đến bậc bao nhiêu?
Câu trả lời: phụ thuộc vào mẫu số
Phụ thuộc như nào?

Ta cần tìm cấp hội tụ về của
Để tránh chuyện hình thức, ta đi vào tính toán các ví dụ cụ thể.
Tính
Có
Không khó khăn gì ta có khai triển Taylor của

Ta chỉ cần khai triển đến bậc
Ta có nên


Như vậy hay giới hạn cần tìm
Bạn đọc có thể tự tính các giới hạn sau

Gợi ý:
+ tính ta có nên chỉ cần khai triển đến cấp hàm

+ tính ta có nên chỉ cần khai triển đến cấp hàm
(chú ý ).
Khai triển Taylor còn có thể áp dụng vào việc tính gần đúng, tính giới hạn
chuỗi số, v.v. Dưới đây tôi trình bày một ứng dụng trong “Lý thuyết Tổ
hợp”. Ứng dụng này tôi học được từ “Giáo trình Tổ hợp” của thầy Hoàng
Chí Thành.
Khai triển Taylor giúp ta tính được số Catalan Trước hết ta cần biết số
Catalan là gì? Số Catalan là số tự nhiên, là số tất cả các cây nhị phân
đầy (full binary tree) với số lá Cây nhị phân đầy là cây tại các nút
không phải là lá có đúng hai nút con, nút “lá” là nút không có nút con nào.
Chi tiết bạn đọc có thể xem

Với dễ có
Ngoài ra ta có công thức truy hồi

Công thức này có được nhờ lý luận khá đơn giản sau:
một cây đầy có lá gồm
+ một nút gốc (không là con của nút nào),
+ cây con trái, cũng là cây đầy, với lá và cây con phải, cũng là cây đầy, với
lá.
Ta chia tập các cây đầy lá thành các lớp:
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá,
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá, .v.v.
Lớp mỗi cây có cách chọn cây con trái, cây con phải nên số phần tử
của lớp

Từ đó cộng tất cả lại ta có công thức truy hồi.
Xét hàm số có khai triển Taylor

trong đó hệ số là các số Catalan.
Giả sử khai triển Taylor của là

Không khó khăn gì ta có
Từ công thức truy hồi có Do đó

Giải phương trình hàm với lưu ý xác định tại ta có

Để tính ta khai triển Taylor hàm

Có

nên

Như vậy

Bạn đọc có thể tự mình tính số Fibonacci nhờ phương pháp trên. Tôi nói
qua về sự xuất hiện số Fibonacci. Số Fibonacci là số thỏ tại năm thứ ở
đây loài thỏ này được coi là không bị chết và sinh sản theo quy luật sau:
thỏ mới sinh sau một năm chưa đẻ được, từ năm thứ hai trở đi mỗi năm sinh
một con.
Bắt đầu từ năm con đầu tiên được sinh ra nên
Năm thứ nhất con đầu chưa đẻ nên
Năm thứ hai con đầu đẻ một con nên
Năm thứ ba con đầu đẻ, con thứ hai chưa nên
Cứ thế, ta có công thức truy hồi

Ta xét chuỗi lũy thừa

Bằng cách thêm bớt và dùng công thức truy hồi có