Sáng kiên kinh nghiệm Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua chứng minh hai đường thẳng song song

SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

PHẦN I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
I. MỞ ĐẦU
Trong q trình giảng dạy bộ mơn Tốn, tơi thấy phần kiến thức về chứng minh hai
đường thẳng song song là rất cơ bản trong chương trình Hình học lớp 7. Rất nhiều học sinh
khó khăn khi học phần này, đặc biệt là những bài tốn phức tạp u cầu cần phân tích kĩ đầu
bài, vận dụng kiến thức cũ và biến đổi linh hoạt để tìm ra cách giải cho bài tốn. Như vậy, học
sinh cần được trang bị các kiến thức về phương pháp làm bài phần này để các em khơng cảm
thấy lúng túng, ngại những bài tốn phức tạp.
Hình học về bản chất là sự thống nhất trí tưởng tượng sinh động và logic chặt chẽ, vì
vậy dạy học hình học phải kết hợp logic và trực quan.
Trong trường học phổ thơng, hình học 7 là sự tiếp nối và phát triển các kiến thức mở
đầu của hình học 6 và nó là kiến thức cơ bản để học tốt phân mơn hình học 8 và 9. Với u cầu
về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận logic hợp lí, khả năng sử dụng ngơn ngữ
chính xác thơng qua các bài tập chứng minh hai đường thẳng song song. Việc làm quen và tiếp
cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa
biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.
Nếu vấn đề này không được khắc phục ở lớp 7 thì học sinh khó khăn trong việc tiếp thu
kiến thức ở các lớp trên. Do vậy từ việc giúp học sinh tìm ra cách chứng minh bài tốn đến
việc giúp các em hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải.
Từ đó hình thành cho các em tự tin hơn trong học phân mơn hình và rồi dần dần sẽ yêu thích
và chủ động học một cách tích cực hơn.
Với những lí do trên đây, trong đề tài này tơi đưa ra một số dạng bài tập để “ phát huy
tính tích cực của học sinh lớp 7 thơng qua chứng minh hai đường thẳng song song”. Giúp
người học rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo trong suốt
quá trình học tập để đạt được kết quả tốt. Từ đó các đối tượng học sinh có thể phát huy tối đa
tính tích cực trong q trình học tốn.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi của đề tài
Chương I, Chương II, Chương III mơn hình học lớp 7.

2. Đối tượng:
Học sinh lớp 7 Trung học cơ sở.
3. Mục đích:
a) Kiến thức:
Học sinh hiểu, nắm được dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, từ đó biết cách
chứng minh hai đường thẳng song song nhờ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song,
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 1


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

quan hệ giữa tính vng góc với tính song song và tránh được một số sai lầm khi giải các dạng
toán này.
Một số cách chứng minh:
- Hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba
- Hai đường thẳng đó cùng vng góc với đường thẳng thứ ba
- Hai đường thẳng đó cùng tạo với một cát tuyến hai góc ở vị trí so le trong (so le
ngồi); đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau.
b) Kĩ năng:
Học sinh có kĩ năng chứng minh thành thạo hai đường thẳng song song và kĩ năng trình
bày bài giải một cách khoa học.

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 2


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

PHẦN II: GIẢI PHÁP
I. LÀM THẾ NÀO ĐỂ PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH?
Để phát huy được tính tích cực của hs trước hết Giáo viên phải làm cho học sinh hiểu,
nắm vững các kiến thức đang học. Tôi giải thích các cụm từ so le trong, đồng vị, trong cùng
phía, ngồi cùng phía, ….. sử dụng mơ hình thực tế giúp hs nhận hiết các góc ở các vị trí so le
trong, đồng vị, trong cùng phía từ đó hình thành dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
(Hình ảnh minh họa được ghi lại ở phần phụ lục).
* CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có
một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc
trong cùng phía bù nhau) thì a và b song song với nhau.
Kí hiệu đường thẳng a song song với đường thẳng b là: a // b
c
A

a

4

1

2
3

B

b

1 2
4 3

2. Quan hệ giữa tính vng góc với tính song song
Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với
một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
a

b

c

3.

Ba đường thẳng song song
Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
a

b

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 3
c


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

II. KIẾN THỨC BỔ SUNG

Ngoài những kiến thức cần nhớ ở trên thì học sinh cũng cần được giới thiệu về góc so
le ngồi và ngồi cùng phía và ứng dụng của nó vào giải tốn, đồng thời học sinh phải nắm
vững các kiến thức có liên quan: tính chất tia phân giác của một góc. Các kĩ năng có vẽ hình
(Vẽ góc cho biết số đo, vẽ hai đường thẳng song song, vng góc, phân giác).
III. VÍ DỤ MINH HỌA VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. VÍ DỤ 1 – TIẾT ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Khi dạy “ Tiết 14, 15- Ôn tập chương 1 – Hình học 7” ( phần chứng minh hai đường thẳng
song song)
Nhắc lại kiến thức cũ: Tôi yêu cầu học sinh nêu các phương pháp chứng minh hai đường
thẳng song song. Sau đó hệ thống lại bằng sơ đồ tư duy

Một số dạng bài tập và phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song. Mỗi dạng bài tập
đều có phương pháp chung. Được sắp xếp theo một hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với mọi
đối tượng học sinh, giúp phát huy tính tích cực của học sinh.
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 4


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

1.1. CHỨNG MINH SỰ SONG SONG VỚI HÌNH VẼ CHO TRƯỚC
Bài 1: Cho hình vẽ, biết = 900, = 900. Vì sao a // b ?

a
D

b
E

Giáo viên : Nhìn vào hình vẽ cho ta biết điều gì ?
Học sinh:
Giáo viên: Từ đó ta kết luận gì về hai đường thẳng a và b?
Học sinh: a//b
Học sinh lên bảng trình bày.
Giải:
Ta có: = 900 ⇒ a⊥ ED
= 900⇒ b⊥ ED
a // b
Giáo viên: Ta có thể chứng minh a// b theo cách khác khơng?
Học sinh: Ta có thể chứng minh a// b theo cách khác bằng cách sử dụng các cặp góc ở vị trí so
le trong, đồng vị, trong cùng phía, học sinh u cầu kí hiệu số vào các góc.

a

b

11
D
41

21

3

11 21
E

41 31

Giáo viên: Cho học sinh thảo luận và trình bày trên bảng nhóm, lấy 4 nhóm nhanh nhất. Học
sinh có thể chứng minh a//b theo các cách sau:
Cách 1:
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 5


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Ta có

Eˆ1 = Dˆ1

Eˆ1 , Dˆ1

ở vị trí đồng vị
=> a // b
Cách 2
Ta có

Eˆ1 = Dˆ 3

Eˆ1 , Dˆ 3

ở vị trí so le trong
=> a // b
Cách 3
Ta có

Dˆ 4 + Eˆ1 = 1800

Eˆ1 , Dˆ 4

ở vị trí trong cùng phía
=> a // b
(hình ảnh được chụp lại ở phụ lục)
Giáo viên sửa bài, chỉ ra các sai lầm học sinh có thể mắc phải: ví dụ lỗi giải thích ngược
a//b=> = (hai góc ở vị trí đồng vị)
Sau đó giáo viên chốt lại cách làm.
Bài 2: Trong hình dưới đây có = 600, = . Chứng tỏ: a // b
c
a
60°

b

2

A
1

1
B

Giáo viên: Dựa vào hình vẽ, để a// b ta cần điều kiện gì?
Học sinh: = (hai góc ở vị trí so le trong) hoặc + = 1800 ( hai góc ở vị trí trong cùng phía).
Giải: Chứng tỏ: a // b
Ta có: + = 1800 (2 góc kề bù) mà = (gt)
Nên + = 1800

Hay
= 1800
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 6


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Suy ra
= 1200
Ta có + = 600 + 1200 = 1800 mà và ở vị trí trong cùng phía nên a // b
*Có thể chọn cách khác: = suy ra = ; tính tương tự ta được = 600
Ta có = = 600 mà và ở vị trí so le trong nên a // b
Giáo viên: Ngồi những cách trên cịn có thể chứng minh a//b theo cách nào nữa khơng? Cho
học sinh thảo luận nhóm đơi.
Học sinh: u cầu đánh thêm kí hiệu số vào các góc tại đỉnh A hoặc đỉnh B. Ta chứng minh =
= 600 mà hai góc ở vị trí đồng vị => a // b.
c

4A

a
60°

b

2

4

1

3

2

1
B3

Giáo viên: Chốt lại cách làm nhanh nhất
Mở rộng dành cho học sinh khá giỏi
Bài 3: Trên hình bên ta có = + . Hai đường thẳng Ax và Cy có song song với nhau hay
khơng? Vì sao?
x

A

B

C

y

Giáo viên:

Ax và Cy có song song với nhau hay khơng?
Làm thế nào để chứng minh Ax//Cy?
Học sinh: Vẽ tia Bm nằm trong và Bm // Ax. Chứng minh Bm // Cy từ đó suy ra Ax // Cy
//Bm

x

A

m

B

y
Giải:
Ta có: Bm // Ax => = ( hai góc so le trong) (1)

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

C

Trang 7


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Tia Bm nằm giữa 2 tia BA và BC
nên = +
⇒ = +
Mặt khác = + (gt)
suy ra = mà và là 2 góc ở vị trí so le trong nên Cy // Bm (2)
Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy.
Giáo viên: Có thể vẽ tia Bm theo cách khác vẫn chứng minh được Ax // Cy không?
Học sinh: Ta vẽ Bm // Cy.
Giáo viên để học sinh về nhà tự làm theo trường hợp Bm // Cy

Giáo viên đưa ra bài toán sau đây lật ngược vấn đề giúp phát triển tư duy cho học
sinh.
Bài 4: Cho = α, điểm A nằm trên tia Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo để Am // Ox.
Giáo viên: Qua A vẽ tia Am, để Am // Ox thì có những trường hợp nào xảy ra với tia Am?
Học sinh: Có 2 trường hợp: Tia Am thuộc miền trong hoặc tia Am thuộc miền ngoài
Giáo viên: Khi tia Am thuộc miền trong thì và ở vị trí gì? Từ đó ta tính được . u cầu học
sinh lên bảng thực hiện.
Học sinh:
x
m

O
A

y

*Trường hợp 1: Tia Am thuộc miền trong
Khi đó và là 2 góc trong cùng phía.
Để Am // Ox thì phải có + = 1800 suy ra = 1800 - α
x

O
A

y

m

Giáo viên: Khi tia Am thuộc miền ngoài thì và ở vị trí gì? Từ đó ta tính được . Yêu cầu học
sinh lên bảng thực hiện.

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 8


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

*Trường hợp 2: Tia Am thuộc miền ngồi
Khi đó và là 2 góc so le trong.
Để Am // Ox thì = = α
1.2. CHỨNG MINH SỰ SONG SONG THÔNG QUA VIỆC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẼ
HÌNH.
Bài 5: Cho = 600, điểm A thuộc tia Ox, trên nửa mặt phẳng bờ Ox có chứa tia Oy vẽ tia Am //
Oy
a) Tính .
b) Vẽ tia Az và Ot lần lượt là tia phân giác của và . Chứng tỏ Az // Ot
Giáo viên: Yêu cầu học sinh đọc đề
Yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ góc cho biết số đo và lên bảng thực hiện.
Yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ hai đường thẳng song song (sử dụng êke,
thước đo góc, thước hai lề), học sinh thực hiện trên bảng.

Giáo viên:

Nêu cách tính .
Học sinh dễ dàng tính được thơng qua các bài tập đã làm ở trên.

Giải:
a) Tính
= = 600 (đồng vị, Am // Oy)
Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ tia phân giác của một góc và lên bảng thực

hiện.
Nhìn vào hình vẽ cho biết Az // Ot theo dấu hiệu nào?
Az // Ot
⇑
= mà và ở vị trí đồng vị
⇑
= = 300; = = 300
⇑
Ot là tia phân giác của (gt); Az là tia phân giác của (gt)
Giáo viên: Yêu cầu hs lên bảng thực hiện
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 9


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Giải:
Ta có: Ot là tia phân giác của nên = = 300
Az là tia phân giác của nên = = 300
Do đó: = = 300 mà và ở vị trí đồng vị
Nên Az // Ot
Thông qua bài tập này giáo viên rèn lại cho học sinh các thao tác vẽ góc cho biết số đo,
vẽ hai đường thẳng song song , vẽ tia phân giác của một góc.
Khai thác bài tốn: Nếu vẽ tia Am nằm ở miền ngoài của và Am // Oy thì khi ấy
muốn tính phải tìm được ; và ở vị trí so le trong và Am // Oy nên = 600.
Lúc này, ở câu b) Vẽ tia Az và Ot lần lượt là tia phân giác của và . Chứng tỏ Az ⊥ Ot.
Bài toán nâng lên một bậc. Học sinh phải vẽ thêm đường phụ An là tia phân giác của . Ta đi
chứng minh An // Ot; Az ⊥ An. Từ đó Az ⊥ Ot.
y

t

A
O

x

n
m

z

Như vậy qua khai thác bài toán giáo viên đã tạo tình huống giúp học sinh phát huy
năng lực, tăng tính tích cực, chủ động giải quyết vấn đề bằng cách đề xuât vẽ thêm tia phân
giác An của góc OAm nhằm làm xuất hiện 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau rồi dùng dấu
hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song kết hợp với quan hệ giữa tính vng góc với tính song
song để dẫn đến điều cần chứng minh.
1.3 HÌNH ẢNH SONG SONG TRONG THỰC TẾ
Bài 6 ( Áp dụng thực tế ) Các đường thẳng nằm ngang trong mỗi hình sau có song song với
nhau khơng ?

Hình 1
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Hình 2

Hình 3
Trang 10

SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Học sinh trả lời và giáo viên yêu cầu giải thích.
Giáo viên: Những đường phụ đánh lừa thị giác của chúng ta. Để có câu trả lời chính xác hãy
dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song để kiểm tra.
Hình 1 :
Giáo viên: Làm thế nào để biết hai đường thẳng trong hình song song với nhau ?
Học sinh:
Vẽ thêm đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ nhất, kiểm tra xem đường thẳng đó có
vng góc với đường cịn lại khơng.
Hoặc vẽ đường thẳng bất kì cắt hai đường thẳng đã cho. Kiểm tra cặp góc ở vị trí so le trong
hay đổng vị có bằng nhau khơng.
Hình 2 :
Giáo viên: u cầu học sinh kiểm tra một cặp đường thẳng. Các cặp còn lại tương tự.
Cần vẽ thêm hình để kiểm tra, hay chỉ cần dựa vào hình ảnh có sẵn ?.
Học sinh: Dựa vào ơ vng màu đen. Một cạnh ơ vng góc với cả hai đường thẳng nên
chúng song song với nhau.
Hình 3
Giáo viên: Tương tự kiểm tra điều kiện nào để biết hai đường thẳng song song ?
Học sinh: Kiểm tra cặp góc đồng vị hoặc so le trong.
Giáo viên chốt bài : Hình trực quan phải kết hợp với chứng minh mới cho ta một khẳng định
đúng . Vì vậy để chứng minh một bài tốn chính xác, khoa học ta phải rèn luyện tốt kĩ năng vẽ
hình và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học.
Các kĩ năng sẽ tự hình thành trong q trình luyện tập và giải tốn thường xun.
Bài 7: Hai vạch màu vàng trong hình có song song với nhau không? Làm thế nào để kiểm tra?
Theo luật giao thông đường bộ hai vạch vàng này có ý nghĩa gì ?

Học sinh: trả lời tương tự bài 6
Đây là vạch kẻ phân chia làn đường theo hai chiều xe chạy trên quốc lộ, là những đoạn được

chạy với tốc độ tối đa lớn hơn 60 km/h. Với những đường trong thành phố, vạch tương tự
nhưng có màu trắng. Vạch liền song song tức xe ở cả hai chiều đều không được đè vạch, vượt,
lấn làn.
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 11


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Giáo viên: yêu cầu học sinh mở rộng thêm một số hình ảnh song song trong thực tế và ứng
dụng của nó.
2. VÍ DỤ 2 – LỒNG GHÉP MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH SONG SONG
TRONG CÁC TIẾT LUYỆN TẬP, ÔN TẬP TRONG CHƯƠNG II
Để học sinh vẽ được hình chính xác, có tính tổng qt và dễ hình dung tơi thường rèn cho học
sinh kĩ năng vẽ phác hình trên giấy nháp trước, giúp học sinh vẽ hình nhanh hơn, nắm được các
yếu tồ đề bài cho, định hướng được cách giải bài toán. Khi bài toán mở rộng thêm các yếu tố cụ
thể (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, …) khơng khớp với hình vẽ ban đầu thì học sinh cũng dễ dàng
chỉnh lại hình, từ đó vẽ chính xác vào bài làm.
2.1. CHỨNG MINH SỰ SONG SONG NHỜ CÁC GÓC TƯƠNG ỨNG BẰNG NHAU
CỦA HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU MÀ CHÚNG Ở VỊ TRÍ SO LE TRONG
Bài 8: Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA. Chứng minh rằng: AC // BE
A

B

C

M

E

Phân tích: Bài tập này khơng q khó, học sinh vẽ hình đúng và kí hiệu đầy đủ vào hình vẽ sẽ
định hướng được cách giải.
Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình .
Để AC // BE cần điều kiện gì?
Học sinh: cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau =
Giáo viên: Hãy chứng minh =
Giải:
Chứng minh: AC // BE
Xét ∆AMC và ∆EMB có:
AM = EM (gt)
= (đối đỉnh)
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 12


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

MC = MB (gt)
Nên ∆AMC = ∆EMB (c.g.c)
Suy ra = (góc tương ứng)
Vì và ở vị trí so le trong mà = (cmt) nên AC // BE
Nghiên cứu lời giải:
Ngoài cách suy ra = (góc tương ứng) ta cịn cách suy ra khác là = (góc tương ứng)
Mà và ở vị trí so le trong
Suy ra AC // BE.
2.2. TÍNH CHẤT BẮC CẦU

Bài 9: Cho khác góc bẹt. Lấy điểm A trên tia phân giác cuả , M là trung điểm của OA. Đường
trung trực của đoạn OA cắt tia Oy ở B. Chứng minh: AB // Ox
x

O

M

A

B

y

Giáo viên : yêu cầu học sinh nhắc lại cách vẽ tia phân giác của một góc, đường trung trực của
đoạn thẳng
Học sinh: tự vẽ hình
Giáo viên : Dựa vào hình vẽ để AB // Ox cần điều kiện gì ?
Học sinh : 2 góc ở vị trí so le trong =
Giáo viên: tia phân giác của cho ta điều gì ?
Học sinh : =
Giáo viên : Viết các ý trả lời trên bảng và yêu cầu học sinh liên kết các ý để được bài chứng
minh hồn chỉnh.
Học sinh : trình bày trên bảng
Chứng minh: AB // Ox
Vì điểm A trên tia phân giác cuả nên =
Hay = (1)
*Xét ∆AMB và ∆OMB là hai tam giác vng tại M có:
AM = OM (gt)
là cạnh chung

Nên ∆AMB = ∆OMB (c.g.c)
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 13


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Suy ra = (góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra = mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB // Ox
3. VÍ DỤ 3 – LỒNG GHÉP MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH SONG SONG
TRONG CÁC TIẾT LUYỆN TẬP, ÔN TẬP TRONG CHƯƠNG III
3.1. ỨNG DỤNG GÓC Ở ĐÁY CỦA HAI TAM GIÁC CÂN CĨ CHUNG ĐỈNH Ở VỊ
TRÍ ĐỒNG VỊ
Bài 10: Cho ∆ABC cân ở A có 2 đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh: MN // BC.
A

N

M

B

C

Giáo viên: yêu cầu học sinh phân tích các dữ kiện của đề bài lập sơ đồ suy luận ngược.
Học sinh:
*Phân tích, tìm cách giải:
MN // BC
⇑

= mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
⇑
= ; = ; =
⇑
∆AMN cân ở A ; ∆ABC cân ở A (gt)
⇑
AM = AN
⇑
; và AB = AC (gt)
⇑
M là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC
⇑
∆ABC cân ở A có 2 đường trung tuyến BM và CN (gt)
Giải:
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 14


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Chứng minh: MN // BC
Ta có : ∆ABC cân ở A có 2 đường trung tuyến BM và CN
nên ; và AB = AC
Suy ra AM = AN
Suy ra ∆AMN cân ở A
Suy ra = (1)
∆ABC cân ở A
Suy ra = (2)
Từ (1) và (2) suy ra = mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC

Trong bài tập này học sinh yêu cầu học sinh nắm được các tính chất về đường trung tuyến, tam
giác cân. Phối hợp các tính chất để lập luận được MN // BC.
3.2. QUAN HỆ GIỮA TÍNH VNG GĨC VỚI TÍNH SONG SONG NHỜ BƯỚC
TRUNG GIAN LÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM
GIÁC
Bài 11: Cho tam giác ABC vng ở A, có đường cao AH. AD là đường phân giác của ∆ABH;
CE là đường phân giác của ∆ACH. Chứng minh: DE // AB
A

E

B

D

H

C

Yêu cầu: Học sinh vẽ hình đúng, rõ ràng. Nắm vững tính chất các loại đường trong tam giác,
tam giác cân.
Giáo viên: Trong tam giác này có những loại đường nào.
Học sinh: đường cao, đường phân giác.
Giáo viên: yêu cầu học sinh lại các tính chất về đường cao, đường phân giác của tam giác.
Để DE // AB ta cần chứng minh điều kiện gì ? (DE ⊥ AC ; AB ⊥ AC)
Làm thế nào để chứng minh DE ⊥ AC ?
Học sinh: chứng minh DE là đường cao của tam giác ADC.
Giáo viên: Viết các ý suy luận của học sinh theo sơ đồ suy luận ngược. Sau đó để học sinh tự
trình bày trên bảng.
*Phân tích, tìm cách giải:

DE // AB
⇑
DE ⊥ AC ; AB ⊥ AC
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 15


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

⇑
E là trực tâm của ∆ADC ; ∆ABC vuông ở A (gt)
⇑
CE là đường cao của ∆ADC
⇑
∆ADC cân ở C mà CE là đường phân giác
⇑
=
⇑
= 900 – ; = 900 – ; =
⇑
∆ABC vuông ở A (gt) ; ∆AHD vuông ở H ; AD là đường phân giác của ∆ABH (gt)
⇑
AH ⊥ BC
⇑
AH là đường cao của ∆ABC (gt)
Giải:
Chứng minh: DE // AB
Vì AD là đường phân giác của ∆ABH nên = (1)
Ta có: + = 900 (do ∆ABC vng ở A)

Suy ra = 900 – (2)
Do AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC
Suy ra ∆AHD vuông ở H
Suy ra + = 900
Suy ra = 900 –
Hay = 900 – (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra =
Suy ra ∆ADC cân ở C mà CE là đường phân giác nên CE cũng là đường cao của ∆ADC
∆ADC có 2 đường cao AH và CE cắt nhau ở E nên E là trực tâm
Suy ra DE ⊥ AC
Mà AB ⊥ AC (do ∆ABC vuông ở A)
Suy ra DE // AB
Bài toán phát huy năng lực vận dụng nhiều kiến thức để chứng minh hai đường thẳng song
song. Học sinh củng cố được nhiều tính chất về các loại đường trong tam giác, tam giác cân
thông qua bài tập này.
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 16


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

3.3. PHỐI HỢP CÁC KIẾN THỨC VỀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG,
GÓC Ở ĐÁY CỦA TAM GIÁC CÂN VÀ HAI TAM GIÁC VUÔNG BẰNG NHAU ĐỂ
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Bài 12: Trên đường thẳng xy lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự ấy sao cho AB = BC = CD.
Trên đường trung trực của đoạn BC lấy M bất kì. Từ B và C kẻ BH ⊥ AM tại H, CK ⊥ DM tại
K. Chứng minh: HK // xy.
Yêu cầu : Học sinh vẽ hình đúng rõ ràng, kí hiệu đầy đủ vào hình vẽ.
Suy luận dựa theo các điều kiện của bài toán đã cho.

Viết sơ đồ suy luận và trình bày chứng minh.

M

K

H

x

A

B

C

D

y

Bài toán tương tự như bài 10, học sinh sẽ định hướng được cách làm, giáo viên đặt ra hệ
thống câu hỏi tương ứng để học sinh khai thác hết các điều kiện bài tốn đưa ra. Từ đó dẫn đến
điều kiện để suy ra HK // xy

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 17


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

*Phân tích, tìm cách giải:
HK // xy
⇑
HK // AD
⇑
= mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
⇑
= ;= ; =
⇑
∆MAD cân ở M ; ∆MHK cân ở M
⇑
⇑
AH = DK
⇑
∆AHB = ∆DKC
⇑
∆AHB (=900) và ∆DKC(=900) ; AB = CD (gt); =
⇑
∆MAD cân ở M
⇑
MA = MD
⇑
M thuộc đường trung trực của AD
⇑
AB = BC = CD và M thuộc đường trung trực của BC(gt)
Giải:
Chứng minh: HK // xy
Do 4 điểm A, B, C, D thuộc xy mà AB = BC = CD và M thuộc đường trung trực của
BC nên M thuộc đường trung trực của AD.

Suy ra MA = MD
Suy ra ∆MAD cân ở M
Suy ra = (1)
*Xét ∆AHB vng tại H và ∆DKC vng tại K có:
AB = CD (gt)
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 18


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

= (do ∆MAD cân ở M)
Nên ∆AHB = ∆DKC (cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra AH = DK (cạnh tương ứng)
⇒∆MHK cân ở M ⇒= (2)
Từ (1) và (2) suy ra = mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên HK // AD ⇒ HK // xy
Bài 13: Cho ∆ABC vuông ở A, có đường cao AH. Gọi HM và HN lần lượt là đường cao của
∆AHC và ∆AHB. Lấy I thuộc tia đối của tia NH sao cho NI = NH; K thuộc tia đối của tia MH
sao cho MK = MH. Chứng minh: BI // CK
K

A
I
M
N

C

B

H

*Phân tích, tìm cách giải:
BI // CK
⇑
I, A, K thẳng hàng ; BI ⊥ AI ; CK ⊥ AK
⇑
= 180 ; = 900 ; = 900
⇑
+ + + = 1800 ; = ; =
⇑
0

= ; = ; ∆ABI = ∆ABH ; ∆ACK = ∆ACH
⇑
= ; =
⇑
∆ANI = ∆ANH ; ∆AMK = ∆AMH
⇑
∆ANI (=90 ) và ∆ANH(=90 ) ; AN là cạnh chung ; NI = NH (gt)
0

0

∆AMK (=900) và ∆AMH(=900) ; AM là cạnh chung ; MK = MH (gt)
Giải:
Chứng minh: BI // CK
Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 19

SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Xét ∆ANI (=900) và ∆ANH (=900) có:
AN là cạnh chung
NI = NH (gt)
Nên ∆ANI = ∆ANH (c.g.c)
Suy ra = (góc tương ứng)
Suy ra =
Xét ∆ABI và ∆ABH có:
AB là cạnh chung
= (cmt)
AI = AH (do ∆ANI = ∆ANH)
Nên ∆ABI = ∆ABH (c.g.c)
Suy ra = (góc tương ứng)
Mà = 900 (do AH là đường cao của ∆ABC)
Suy ra = 900
Suy ra BI ⊥ AI (1)
*Chứng minh tương tự ta được CK ⊥ AK (2)
*Ta đã chứng minh được = và =
Mà + = 900 (do ∆ABC vuông ở A)
Nên + + + = 1800
⇒ = 1800
Suy ra 3 điểm I, A, K thẳng hàng (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BI // CK
Nghiên cứu lời giải:
Đề toán trên nếu giữ nguyên giữ kiện bài toán và chỉ bỏ đi yếu tố góc vng trong
∆ABC thì khơng thể chứng minh BI // CK được hoặc nếu học sinh bỏ qua việc chứng minh 3
điểm I, A, K thẳng hàng thì cũng chưa kết luận được BI // CK, đây chính là sai lầm mà học

sinh thường mắc phải trong chứng minh.

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 20


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

PHẦN III: KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ
I. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
1. Những kết quả quan trọng nhất của toàn bộ đề tài:
Trong mỗi tiết lên lớp, đứng trước mỗi bài tốn người thầy cần tn thủ q trình ba
bước:
- Tìm tịi lời giải bài tốn;
- Trình bày lời giải;
- Nghiên cứu sâu lời giải.
Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có kĩ năng trình bày và có phương pháp tư
duy đúng đắn thì người thầy cần phải mẫu mực trong hai bước đầu. Để phát huy tính sáng tạo,
phát triển tư duy của học sinh nhất là những học sinh khá giỏi thì người thầy đặc biệt coi trọng
bước thứ ba. Vì theo như Pơlya: "Một người thầy giáo giỏi phải hiểu và làm cho học sinh hiểu
rằng khơng có một bài tốn nào là hồn tồn kết thúc. Bao giờ cũng cịn một cái gì đó để suy
nghĩ. Có đầy đủ kiên nhẫn và chịu khó suy nghĩ sâu sắc, ta có thể hồn thiện cách giải và
trong mọi trường hợp bao giờ cũng hiểu được cách giải sâu sắc hơn".
Hơn nữa tư duy tốn học thể hiện nhiều ở q trình tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời
giải thông qua các hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái qt hố, đặc biệt hố, tương tự,… Cũng
theo như Pơlya khẳng định: "Đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự là nguồn gốc vĩ đại của
phát minh."
Cái đơn giản là chỉ cần xuất phát từ những bài tốn có ngay trong SGK, như vậy tính
hiệu quả là rất cao. Các em sẽ thấy SGK là một tài liệu cung cấp kiến thức cơ bản, là tài liệu

mà mình có thể nghiên cứu, tự mở rộng kiến thức,…
2. Quá trình áp dụng của bản thân:
Tùy từng đối tượng học sinh Giỏi, Khá, Trung bình mà chọn nội dung bài cho phù hợp
với nội dung của chuyên đề.
Cái quan trọng hơn là hình thành cho học sinh tư duy toán học, tư duy nghiên cứu khoa
học, tính độc lập sáng tạo, những phẩm chất này rất cần thiết và sẽ theo các em trong cả cuộc
đời. Chính vì thế, bản thân tơi thấy rõ rằng, khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, chất
lượng học sinh được cải thiện theo chiều hướng rất khả quan. Tỉ lệ học sinh yếu, kém giảm
đáng kể, tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệt. Cái quan trọng nhất là học sinh bước đầu ham
mê giải toán dạng này và được làm quen tư duy, hoạt động tích cực hơn trong giờ học tốn.
Khơng những thế, khi đã nắm vững kiến thức dạng này thì các em học rất tốt ở chương trình
tốn hình lớp 8, 9.

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 21


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

3. Vấn đề còn hạn chế:
Đây là mảng kiến thức hẹp nhưng lại xun suốt trong chương trình phân mơn hình học
tồn cấp và tùy theo mỗi khối học lại có thêm các cách chứng minh khác về hai đường thẳng
song song. Nên với khoảng thời gian hạn hẹp và kinh nghiệm chưa nhiều Tơi chỉ đưa ra một số
dạng tốn. Nếu có điều kiện tốt hơn về thời gian Tơi sẽ cố gắng nghiên cứu sâu, kĩ hơn.
II.KẾT LUẬN
Trong quá trình giảng dạy, Tơi thấy nếu giáo viên có sự đầu tư nghiên cứu bài càng kĩ
thì hiệu quả đạt được càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong những yếu tố tạo nên sự
thành công của bài dạy.
Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhưng trong quá

trình thực hiện khơng tránh khỏi sai sót, nhầm lẫn hay chưa khoa học. Tôi rất mong nhận được
những lời động viên, ý kiến đóng góp q báu từ các Thầy Cơ giáo và ban giám khảo để
chuyên đề này được hoàn thiện hơn nữa về nội dung và cả hình thức. Tơi xin chân thành cảm
ơn !
Hàm Thắng, ngày 12 tháng 10 năm 2018
Người viết

Lương Thị Kim Huy

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 22


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 23


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa lớp 7 - Nhà xuất bản giáo dục năm 2014
2. Phương pháp giảng dạy mơn tốn - NXB GD năm 1998
3. Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 7- Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam (Vũ Hữu Bình- Tơn
Thân- Đỗ Quang Thiều).
4. Sách bài tập, sách giáo viên, sách nâng cao toán 7- Nhà xuất bản giáo dục năm 2014.
5. Thực hành giải toán – NXB GD ( Vũ Dương Thụy ).

6. Hướng dẫn tự học tích cực trong một số mơn học cho học sinh THCS- Nhà xuất bản
Hà Nội- 2012 ( TS. Trần Đình Châu - TS. Phùng Khắc Bình).
7. Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 - Nhà xuất bản ĐHQG TP. Hồ Chí Minh (Đặng
Đức Trọng – Nguyễn Đức Tấn)
8. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7-Nhà xuất bản giáo dục ( Bùi Văn Tuyên)
9. Cách tìm lời giải các bài tốn trung học cơ sở- Tập III - Nhà xuất bản đại học quốc
gia Hà Nội.( Lê Hải Châu- Nguyễn Xuân Quỳ)

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 24


SKKN: Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 thông qua “chứng minh hai đường thẳng song song”

MỤC LỤC

Người thực hiện: Lương Thị Kim Huy

Trang 25