(SKKN HAY NHẤT) giúp học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƢỜNG THPT SỐ 2 MƢỜNG KHƢƠNG

GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ GIÁ TRỊ
LƢỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC BẰNG
CÁC MẸO NHỚ ĐƠN GIẢN

Họ tên tác giả : Nguyễn Mạnh Đức
Chức vụ : Giáo viên
Tổ chun mơn: Tốn - lí

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC
Nội dung

Stt

Trang

1

Tên đề tài, tác giả, Tóm tắt

2

2

Giới thiệu

2

3

Hiện trạng, Giải pháp thay thế, Vấn đề nghiên cứu

3

4

Giả thuyết nghiên cứu

4

5

Phƣơng pháp, Khách thể nghiên cứu, Thiết kế nghiên cứu

4

6

Quy trình nghiên cứu, Đo lƣờng và thu thập dữ liệu

5

7

Phân tích dữ liệu và kết quả, Trình bày kết quả, Phân tích dữ

6

liệu
8

Bàn luận

7

9

Kết luận và khuyến nghị

7

10 Tài liệu tham khảo, minh chứng

8-10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1. Tên đề tài : GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ CÔNG
THỨC LƢỢNG GIÁC

2. Họ tên tác giả, tổ chuyên môn, chức vụ
- Họ tên : Nguyễn Mạnh Đức
- Chức vụ : Giáo viên
- Tổ chun mơn: Tốn - lí

3. Tóm tắt
Thực tế việc học, ghi nhớ phần giá trị lƣợng giác, cơng thức lƣợng giác
mơn tốn ở lớp 10, tại trƣờng THPT số 2 Mƣờng Khƣơng là khó đối với học
sinh yếu trong nhiều năm nay .Điều này đã ảnh hƣởng lớn đến kết quả học tập
của học sinh trong học kỳ 2, và kết quả học tập phần lƣợng giác của học sinh
các lớp học tiếp theo
Để khắc phục tình trạng trên, tơi nghiên cứu chọn giải pháp: Giúp đỡ học
sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, công thức lƣợng giác. Cung cấp cho
học sinh một số cách ghi nhớ công thức lƣợng giác bằng các mẹo nhớ thông
qua các câu từ đơn giản. Nghiên cứu đƣợc tiến hành trên hai nhóm tƣơng đƣơng
của lớp 10A1, 10A2 THPT số 2 Mƣờng Khƣơng (Tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2, là
nhóm thực nghiệm, các tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1 là nhóm đối chứng). Thực
nghiệm đƣợc thực hiện giải pháp thay thế từ tuần thứ 30 đến hết tuần 35, năm
học 2013 - 2014.
Qua nghiên cứu và thu thập số liệu, kết quả độ chênh lệch điểm trung
bình T-test cho kết quả p=0,0133 < 0,05 cho thấy tác động đã có ảnh hƣởng rõ
rệt đến việc làm tăng số lƣợng học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác,
công thức lƣợng giác

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


4. GIỚI THIỆU
4.1. Hiện trạng:
- Việc học và ghi nhớ phần giá trị lƣợng giác, công thức lƣợng giác lớp
10 tại trƣờng THPT số 2 Mƣờng Khƣơng Qua kết quả của học sinh qua các năm
học cho thấy đa số học sinh của trƣờng cịn gặp khó khăn , đặc biệt là đối tƣợng
học lực yếu.
- Nhiều học sinh tiếp thu kiến thức mới về giá trị lƣợng giác, công thức
lƣợng giác còn chậm, chƣa vận dụng đƣợc kiến thức mới vào việc giải bài tập

có liên quan.
- Các Thầy cơ giáo chƣa thật tâm huyết, chƣa tự tìm tịi, nghiên cứu, học
hỏi trên sách, báo, trên mạng Internet, các đồng nghiệp trên khắp cả nƣớc về
việc hƣớng dẫn giúp học sinh ghi nhớ các giá trị lƣợng giác, công thức lƣợng
giác
- Phần lớn học sinh còn sợ, chƣa ham thích học tập phần giá trị lƣợng
giác, cơng thức lƣợng giác
- Đa số các học sinh có học lực yếu thì lƣời học bài ở nhà, đặc biệt là học
cơng thức toán học
4.2. Giải pháp thay thế:
- Qua hiện trạng trên, tôi quyết định chọn đề tài “Giúp học sinh yếu lớp
10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản
” nhằm tìm ra giải pháp giảm số lƣợng và tỉ lệ học sinh yếu, kém và chán học
phần giá trị lƣợng giác, công thức lƣợng giác
- Giáo viên biên soạn tài liệu, tìm tịi tham khảo trên sách, báo, các đồng
nghiệp cùng chun mơn, và trên mạng Internet .Qua đó tổng hợp lại hƣớng dẫn
học sinh và đề ra những bài tập vừa sức với trình độ giúp các em rèn luyện và

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


củng cố lại kiến thức, và giúp các em theo kịp chƣơng trình kiến thức mới đang
đƣợc học.
4.3. Vấn đề nghiên cứu:
Học sinh lớp 10 đặc biệt là đối tƣợng học sinh yếu thấy khó học và ghi
nhớ giá trị lƣợng giác, công thức lƣợng giác
Việc giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, công thức
lƣợng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
giá trị lƣợng giác , cơng thức lƣợng giác có hiệu quả hay khơng ?
4.4. Giả thuyết nghiên cứu:

Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, công thức
lƣợng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
cơng thức lƣợng giác có làm tăng kết quả học tập công thức lƣợng giác của học
sinh .
5. PHƢƠNG PHÁP:
5.1. Khách thể nghiên cứu:
*Giáo viên: Nguyễn Mạnh Đức – giáo viên toán dạy lớp 10A1,10A2
trƣờng THPT số 2 Mƣờng Khƣơng trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu.
*Học sinh: 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 1, 2 của lớp 10A2 (Nhóm
thực nghiệm) và 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 2, 3 của lớp 10A1 (Nhóm đối
chứng).
5.2. Thiết kế:
Tơi dùng Thiết kế kiểm tra trƣớc và sau tác động với các nhóm đƣợc
phân chia ngẫu nhiên của lớp 10A1, 10A2, trƣờng THPT số 2 Mƣờng Khƣơng
Tôi căn cứ vào kết quả học tập học kỳ 1 mơn Tốn của lớp 10A1, 10A2
và chọn ra các nhóm ngẫu nhiên là các học sinh yếu kém thuộc các tổ 1, tổ 2
của lớp 10A2 (nhóm thực nghiệm) và các học sinh yếu kém thuộc các tổ 2, tổ 3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


của lớp 10A1 (nhóm đối chứng) là ngang nhau. Tơi thực hiện tác động bằng
cách trang bị cho học sinh một số kỹ thuật, mẹo nhớ công thức lƣợng giác giúp
học sinh nhớ kiến thức ngay tại lớp học. Qua tác động giải pháp thay thế 5 tuần,
tôi tiến hành kiểm tra sau tác động đối với các học sinh yếu của nhóm thực
nghiệm. Sau đó, tơi dùng phép kiểm chứng T-test để phân tích dữ liệu.
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tƣơng đƣơng
Đối chứng

Thực nghiệm

1.625

1.688

TBC
p=

0.92

p = 0,92 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng là khơng có ý nghĩa, hai nhóm đƣợc coi là tƣơng
đƣơng.
Bảng thiết kế nghiên cứu:
Nhóm Kiểm tra trước tác động Tác động

Kiểm tra sau tác động

N1

O1

X

O3

N2

O2

---

O4

N1: Nhóm thực nghiệm (học sinh yếu tổ 1, 2 của lớp 10A2)
N2: Nhóm đối chứng (học sinh yếu, kém tổ 2, 3 của lớp 10A1)
5.3. Quy trình nghiên cứu:
Tơi biên soạn lại kiến thức đã học và hƣớng dẫn cách nhớ các công thức
lƣợng giác qua các buổi học phụ đạo của nhóm nghiên cứu để nắm tình hình
học tập của các em, sau đó rút kinh nghiệm và hƣớng dẫn, giải thích tỉ mỉ hơn
nữa về một số cách ghi nhớ công thức lƣợng giác
Tôi đã tham khảo trên sách, báo, mạng Internet, và học hỏi các đồng
nghiệp cùng chuyên môn . Sau đó tổng hợp lại hƣớng dẫn học sinh qua các buổi
học phụ đạo

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Tiến hành dạy thực nghiệm: Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm theo
thời khoá biểu, lịch báo giảng, kế hoạch năm học và kế hoạch khắc phục học
sinh yếu kém của bộ môn.
5.4. Đo lƣờng:
Sau khi tiến hành kiểm tra sau tác động kết quả học tập của nhóm thực
nghiệm. Đề kiểm tra, đánh giá kết quả học tập công thức lƣợng giác của học
sinh đƣợc tổ chức kiểm tra khách quan với tác động thực nghiệm của tôi.
Sau khi kiểm tra tôi tiến hành chấm bài và thống kê kết quả sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.
6. Phân tích dữ liệu và kết quả:
6.1. Trình bài kết quả:
Bảng so sánh điểm trung bình sau khi tác động:

Đối chứng

Thực nghiệm

Điểm trung bình

4,5

6,0

Độ lệch chuẩn

0,8

1,22

Giá trị p của T-test
Chênh lệch giá trị
trung bình chuẩn SMD

0,0133
1.1

6.2. Phân tích dữ liệu:
- Kết quả kiểm tra sau tác động cho thấy điểm trung bình của nhóm thực
nghiệm là 6,0 cao hơn nhiều so với điểm trung bình kiểm tra trƣớc tác động là
1,625. Điều này chứng tỏ rằng khả năng nhớ công thức lƣợng giác của học sinh
yếu tăng lên đáng kể

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

- Độ chênh lệch chuẩn của kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm
là 0,8 < 1 điều này cho thấy mức độ chênh lệch có ý nghĩa.
- Độ chênh lệch điểm trung bình T-test cho kết quả p=0,0133< 0,05 cho
thấy sự chênh lệch điểm khảo sát trung bình giữa trƣớc và sau tác động là có ý
nghĩa, tức là sự chênh lệch điểm trung bình khảo sát trƣớc và sau tác động là
không xảy ra ngẫu nhiên mà là do tác động của giải pháp thay thế đã mang lại
hiệu quả.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =

6.0  4.5
 1.1
1.35

so sánh với

bảng tiêu chí Cohen cho thấy mức độ ảnh hƣởng của giải pháp giúp học sinh
yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, cơng thức lƣợng giác của nhóm thực
nghiệm là có
6.3. Bàn luận:
+ Ƣu điểm:
- Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC= 6.0,
kết quả bài kiểm tra tƣơng ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4.5. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm là 1,1; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai nhóm đối chứng
và thực nghiệm đã có sự khác biệt, nhóm đƣợc tác động có điểm TBC cao hơn
nhóm đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 1,1.
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hƣởng của tác động là có.
Phép kiểm chứng T-test điểm trung bình sau tác động của hai nhóm là

p=0,0133< 0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai
nhóm khơng phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, công thức
lƣợng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
công thức lƣợng giác cần đƣợc tiếp tục thực hiện đồng đều hơn, mở rộng hơn
+ Hạn chế:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chƣa đánh giá đƣợc một cách hồn
tồn chính xác sự tiến bộ của học sinh, có thể dẫn đến sự tiến bộ rồi sau đó lại
thụt lùi nhƣ tình trạng ban đầu nếu nhƣ khơng kiểm sốt đƣợc thời gian ơn tập
và rèn luyện của học sinh. Hơn nữa giáo viên cần phải có thêm nhiều thời gian
tìm tịi, học tập, tổng hợp hơn nữa các cách làm hay, hiệu quả
7. Kết luận và khuyến nghị:
7.1. Kết luận :
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lƣợng giác, công thức
lƣợng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
công thức lƣợng giác đã làm cho kết quả học tập công thức lƣợng giác đƣợc
nâng lên, số lƣợng học sinh yếu kém đƣợc giảm đáng kể. Học sinh tự tin hơn
trong học tập, thêm u thích học phần cơng thức lƣợng giác hơn.
7.2. Khuyến nghị:
7.2.1. Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn
ra giải pháp hữu hiệu nhằm khắc phục học sinh yếu kém của từng môn học.
Động viên, giúp đỡ và khen thƣởng những giáo viên có thành tích trong việc
nâng cao chất lƣợng dạy và học ở nhà trƣờng.
7.2.2. Đối với giáo viên: Phải không ngừng đầu tƣ nghiên cứu tìm ra giải pháp
nâng cao chất lƣợng giáo dục. Phải không ngừng học tập nâng cao trình độ
chun mơn nghiệp vụ của bản thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp và

bản thân, biết cách áp dụng hợp lí với lớp mình giảng dạy.
Với kết quả của đề tài nghiên cứu, tôi rất mong muốn đƣợc sự quan tâm,
giúp đỡ của các cấp lãnh đạo giáo dục. Những ý kiến đóng góp quý báu, chân
thành của q đồng nghiệp giúp cho tơi hồn chỉnh đề tài nghiên cứu này.
8. Tài liệu tham khảo
- Mạng Internet, giaoandientu.com.vn

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


- Tài liệu tập huấn nghiên cứu khoa học sƣ phạm ứng dụng tại Bắc Hà –
Lào Cai năm 2012
- Sách giáo khoa lớp 10– Nhà xuất bản giáo dục – Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu tự chọn bám sát toán 10 theo chƣơng trình chuẩn– Nhà xuất bản
giáo dục – Bộ GD&ĐT.
- Các phƣơng pháp giải toán lƣợng giác – Trần Phƣơng – Nhà xuất bản
ĐHSP Hà nội
9. Phụ lục
9.1. Minh chứng – phụ lục cho đề tài nghiên cứu
BẢNG TỔNG HỢP KẾT QUẢ KHẢO SÁT TRƢỚC VÀ SAU TÁC ĐỘNG

Nhóm thực nghiệm (tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2)

Họ và tên học sinh

Stt

KT trƣớc tác động

KT sau tác động

1.5

5

0

7

3

5.5

1

6

4

7

2.5

6.5

1

6

0

5

1 Lý Thị Chứ
2 Lù Văn Chung
3 Vƣơng Minh Hiếu
4 Vàng Văn Khánh
5 Hồng Minh
6 Lý Thị Sen
7 Lục Văn Thơng
8 Cƣ Toản
Nhóm đối chứng (tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1)

Stt

Họ và tên học sinh

1 Lừu Hồng Chiến
2 Vàng Văn Đức

KT trƣớc tác động

KT sau tác động

2.5

4

1

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


3 Vƣơng Thị Hòa
4 Vàng Ngọc Quý
5 Trần Quốc Khánh
6 Hồng Lìn
7 Nơng Thị Hạnh
8 Mùng Đức Điệp

1.5

5

2

5.5

3

4

0

3

2

5

1.5

6.5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


TÀI LIỆU GIÁO VIÊN SƢU TẦM, TỔNG HỢP VÀ HƢỚNG DẪN HỌC
SINH HỌC TẬP
1. BẢNG GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
1.1 Bảng giá trị lƣợng giác của các góc: 0o; 30o; 45o; 60o; 90o

0o

30o

45o

60o

90o

Tỉ số LG

sin

0

1

cos

1

0

tan

0

1

॥

cot

॥

1

0

Trong quá trình giải tốn lƣợng giác thì các giá trị trên thƣờng đƣợc sử dụng để
tính tốn, thu gọn, biến đổi……Thế nhƣng khi áp dụng thì đại đa số các em đều
lúng túng vì khơng nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thƣờng
dẫn đến một đáp số sai. Mặt khác nếu để các em học thuộc lịng một cách máy móc
thì rất cực nhọc.
Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hƣớng dẫn các em cách xây dựng lại

bảng giá trị lƣợng giác trên (trong trƣờng hợp bị quên) nhƣ sau:
1.2 Cách xây dựng
Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin
90o) tuân theo qui luật sau:

=

;

;

(với

= 0o; 30o; 45o; 60o;

;

Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dƣới dạng phân số thì tử số tăng dần từ
đến

, cịn mẫu số khơng đổi là 2.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Để xác định dãy các giá trị của cos

(với

= 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo

lại dãy các giá trị của sin .
Sau khi xác định xong các giá trị sin , cos
cot dựa vào cơng thức: tan

thì dễ dàng xác định tan

; cot

và

.

 Chú ý: Nếu cos

thì tan khơng xác định

Nếu sin

thì cot khơng xác định.

Nhƣ vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng đƣợc bảng giá trị
lƣợng giác nhƣ sau:
0o

Tỉ số LG

sin

0(=

30o

45o

60o

(=

90o
1(=

cos

1

0

tan

0

1

॥

cot

॥

1

0

Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc

45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o =

nên tan45o = cot45o = 1. Đây là các giá trị tƣơng đối dễ nhớ.
Cịn với

o

o

các giá trị sin

và cos . Nhƣng khơng sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần

thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa

câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ đƣợc giải quyết.
“ sin ba cos sáu nửa phần ”
“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30o và cos600 bằng , cịn cos300 sin60o bằng

.

2. CÁC CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.1 Hệ thức giữa các giá trị lƣợng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau

và

cos(

) = cos

sins(

) = - sin

tan(

) = - tan

cot(

) = - cot

Cung bù nhau
sins(

) = sin

cos(

) = - cos

tan(

) = - tan

cot(

) = - cot

Cung phụ nhau
sin(

)

và (

)

và (

) = cos

cos

= sin

tan(

) = cot

cot(

) = tan

cung hơn kém nhau 
sins( +  ) = - sin
cos( +  ) = - cos
tan( +  ) = tan
cot( +  ) = cot
 Nhận xét: trong nhóm các cơng thức đối chỉ có cos(
nhóm cơng thức bù chỉ có sins(
thì tan(



) = sin , nhóm cơng thức hơn kém 

+  ) = tan , cịn trong nhóm cơng thức phụ thì các giá trị sin,

cos của các cung
và (

) = cos , trong

và (

) chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung

) chéo nhau.

Do đó để ghi nhớ nhóm các cơng thức trên ta cần nhớ câu:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
b. Công thức cộng
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc
biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh
dễ học, dễ nhớ chẳng hạn nhƣ:
“ cos cùng loài khác dấu
sin cùng dấu khác lồi ”
Hoặc “ sin thì sin cos cos sin
cos thì cos cos sin sin dấu trừ”
Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu đƣợc nhƣ thế nào là cùng lồi, khác
lồi? Các tích: cosa cosb; sina sinb đƣợc gọi là cùng lồi, cịn các tích: sina
cosb; cosa sinb đƣợc gọi là khác lồi. Cịn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu
một cách nơm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lƣợng giác của một tổng thì
bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngƣợc lại.


Chú ý: Cần lƣu ý cho học sinh nắm đƣợc mức độ ƣu tiên về “thứ tự “ của

các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái.



Ví dụ: Khi triển khai cơng thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái

là cos(a+b) nên tích cosa cosb đƣợc viết trƣớc rồi mới đến tích sina sinb
Cịn trong cơng thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác lồi) mà vế
trái là sin(a+b) nên tích sina cosb đƣợc ƣu tiên.
4. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2cos

cos

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sin

cos

sin - sin = 2cos

sin

chúng ta hƣớng dẫn học sinh mã hóa nhƣ sau:
“ cos cộng cos bằng hai cos, cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin
sin cộng sin bằng hai sin, cos
sin trừ sin bằng hai cos, sin ”

 Chú ý: Bên vế phải ln tích hai hệ thức lƣợng giác của góc
và

mà hệ thức của góc

Đối với cơng thức: tan + tan =

đƣợc viết trƣớc.
đƣợc ghi nhớ qua câu sau:

“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”
Ở đây ta liên tƣởng

và

nhƣ là đơi bạn thân chơi với nhau và có cách xƣng hơ

là ta và mình.
b. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]
sina sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]
sina cosb = [sin(a - b) + sin(a + b)]
Tƣơng tự nhƣ cơng thức biến đổi tổng thành tích ta có đoạn mã cho nhóm các
cơng thức trên nhƣ sau:
“ cos nhân cos bằng một phần hai cos cộng cos
sin nhân sin bằng một phần hai cos trừ cos
sin nhân cos bằng một phần hai sin cộng sin”
 Chú ý: Vế phải trong nhóm cơng thức này thì hệ thức lƣợng giác của góc

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

(a-b) đƣợc viết trƣớc.
I.

ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để đƣợc biểu thức
đúng
A) sin300cos600 =
B)

2
2

sin450 =

1)

1

2)

– cos(1350)

3)

tanx

4)

cos(1350)

5)

1
4

0

C) – cos(-135 ) =
D) tan(x +  ) =
E)

1

cos 2 30

3
2

6)
7)

3
4

 Hƣớng dẫn: dựa vào bảng giá trị lƣợng giác của các góc đặc biệt ta có
A - 5; B - 1; C - 2; D - 3; E - 7
Ví dụ 2: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông

A)  cos (    ) = cos 

E)  tan(    ) = tan(    )



F)  cos (    ) = cos(    )

2

G)  cos (    ) = cos (    )

B)  cos (   ) = sin 


C)  sin (   ) = cos 

H)  - cos (    ) = cos 

D)  - tan(   ) = tan 

I)

2

 sin (    ) = sin 

J)  - sin (    ) = sin 
K)  tan(    ) = tan(    )
L)  cot(    ) = -cot(    )

M)  sin (    ) = sin(    )
N)  sin (    ) = sin(    )

LUAN VAN CHAT LUONG download : add




Hƣớng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”

câu

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Chọn

S

Đ

S

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Đ

Đ

Đ

S

Đ

S

Ví dụ 3: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lƣợng giác của các cung  và  

3
2

 Hƣớng dẫn:
cos(  

3
3

) = cos(-(   )) = cos(     ) ( CT đối)
2
2
2



= - cos(   )

(CT hơn kém  )

= - sin 

(CT phụ)

2

sin(  

3
3

) = sin(-(   )) = -sin(     ) ( CT đối)
2
2
2



= sin(   )

(CT hơn kém  )

= cos 

(CT phụ)

2

3
)
3
2 =  sin  = - tan 
tan(   ) =
3
cos 
2
cos( 
)
2
sin( 

3
)
cos 
3
2
cot(   ) =
=
= - cot 
3

sin

2
 sin( 
)
2
cos( 

Ví dụ 4: Hãy tính các giá trị lƣợng giác của góc 750
Hƣớng dẫn:
cos750 = cos( 450 + 300)
= cos450cos300 - sin450sin300 (CT cộng _cos cùng loài khác dấu)
=

2 3 1
2
(
 )
( 3  1)
2 2 2
4

sin750 = sin( 450 + 300)
= sin450cos300 + cos450sin300 (CT cộng _sin cùng dấu khác loài)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


=

2 3 1
2
(
 )
( 3  1)
2 2 2
4

tan750 =

3 1
3 1

 2 3;

cot750 =

3 1
3 1

 2 3

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
cos  sin(    ) + cos  sin(    ) + cos  sin(    ) = 0, với mọi  ,  , 
 Hƣớng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
cos  sin(    ) =

1
[sin(     )  sin(     )]
2

cos  sin(    ) =

1
[sin(     )  sin(      )]
2

cos  sin(    ) =

1
[sin(     )  sin(     )]
2

Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.




4

4

Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức sau: cos2(   ) - cos2(   )
Hƣớng dẫn:












4

4

4

4

4

4

cos2(   ) - cos2(   ) = [cos(   ) + cos(   )][cos(   ) cos(   )]

4


4

= 2cos cos  .(-2 sin sin  ) = -2 sin  cos  = -sin 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add