SKKN giúp học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 MƯỜNG KHƯƠNG

GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BẰNG
CÁC MẸO NHỚ ĐƠN GIẢN

Họ tên tác giả : Nguyễn Mạnh Đức
Chức vụ : Giáo viên
Tổ chun mơn: Tốn - lí


MỤC LỤC
Stt

Nội dung

Trang

1

Tên đề tài, tác giả, Tóm tắt

2

2

Giới thiệu

2

3

Hiện trạng, Giải pháp thay thế, Vấn đề nghiên cứu

3

4

Giả thuyết nghiên cứu

4

5

Phương pháp, Khách thể nghiên cứu, Thiết kế nghiên cứu

4

6

Quy trình nghiên cứu, Đo lường và thu thập dữ liệu

5

7

Phân tích dữ liệu và kết quả, Trình bày kết quả, Phân tích dữ

6

liệu
8

Bàn luận

7

9

Kết luận và khuyến nghị

7

10 Tài liệu tham khảo, minh chứng

1. Tên đề tài : GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ CÔNG
THỨC LƯỢNG GIÁC

2. Họ tên tác giả, tổ chuyên môn, chức vụ

8-10


- Họ tên : Nguyễn Mạnh Đức
- Chức vụ : Giáo viên
- Tổ chun mơn: Tốn - lí

3. Tóm tắt
Thực tế việc học, ghi nhớ phần giá trị lượng giác, cơng thức lượng giác
mơn tốn ở lớp 10, tại trường THPT số 2 Mường Khương là khó đối với học

sinh yếu trong nhiều năm nay .Điều này đã ảnh hưởng lớn đến kết quả học tập
của học sinh trong học kỳ 2, và kết quả học tập phần lượng giác của học sinh
các lớp học tiếp theo
Để khắc phục tình trạng trên, tôi nghiên cứu chọn giải pháp: Giúp đỡ học
sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác. Cung cấp cho
học sinh một số cách ghi nhớ công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ thông
qua các câu từ đơn giản. Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương
của lớp 10A1, 10A2 THPT số 2 Mường Khương (Tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2, là
nhóm thực nghiệm, các tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1 là nhóm đối chứng). Thực
nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế từ tuần thứ 30 đến hết tuần 35, năm
học 2013 - 2014.
Qua nghiên cứu và thu thập số liệu, kết quả độ chênh lệch điểm trung
bình T-test cho kết quả p=0,0133 < 0,05 cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ
rệt đến việc làm tăng số lượng học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác,
công thức lượng giác

4. GIỚI THIỆU
4.1. Hiện trạng:


- Việc học và ghi nhớ phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác lớp
10 tại trường THPT số 2 Mường Khương Qua kết quả của học sinh qua các năm
học cho thấy đa số học sinh của trường cịn gặp khó khăn , đặc biệt là đối tượng
học lực yếu.
- Nhiều học sinh tiếp thu kiến thức mới về giá trị lượng giác, cơng thức
lượng giác cịn chậm, chưa vận dụng được kiến thức mới vào việc giải bài tập
có liên quan.
- Các Thầy cơ giáo chưa thật tâm huyết, chưa tự tìm tịi, nghiên cứu, học
hỏi trên sách, báo, trên mạng Internet, các đồng nghiệp trên khắp cả nước về
việc hướng dẫn giúp học sinh ghi nhớ các giá trị lượng giác, công thức lượng

giác
- Phần lớn học sinh cịn sợ, chưa ham thích học tập phần giá trị lượng
giác, công thức lượng giác
- Đa số các học sinh có học lực yếu thì lười học bài ở nhà, đặc biệt là học
cơng thức tốn học
4.2. Giải pháp thay thế:
- Qua hiện trạng trên, tôi quyết định chọn đề tài “Giúp học sinh yếu lớp
10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản
” nhằm tìm ra giải pháp giảm số lượng và tỉ lệ học sinh yếu, kém và chán học
phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác
- Giáo viên biên soạn tài liệu, tìm tịi tham khảo trên sách, báo, các đồng
nghiệp cùng chuyên môn, và trên mạng Internet .Qua đó tổng hợp lại hướng dẫn
học sinh và đề ra những bài tập vừa sức với trình độ giúp các em rèn luyện và
củng cố lại kiến thức, và giúp các em theo kịp chương trình kiến thức mới đang
được học.
4.3. Vấn đề nghiên cứu:


Học sinh lớp 10 đặc biệt là đối tượng học sinh yếu thấy khó học và ghi
nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác
Việc giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức
lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
giá trị lượng giác , cơng thức lượng giác có hiệu quả hay khơng ?
4.4. Giả thuyết nghiên cứu:
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức
lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
cơng thức lượng giác có làm tăng kết quả học tập công thức lượng giác của học
sinh .
5. PHƯƠNG PHÁP:
5.1. Khách thể nghiên cứu:

*Giáo viên: Nguyễn Mạnh Đức – giáo viên toán dạy lớp 10A1,10A2
trường THPT số 2 Mường Khương trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu.
*Học sinh: 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 1, 2 của lớp 10A2 (Nhóm
thực nghiệm) và 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 2, 3 của lớp 10A1 (Nhóm đối
chứng).
5.2. Thiết kế:
Tơi dùng Thiết kế kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm được
phân chia ngẫu nhiên của lớp 10A1, 10A2, trường THPT số 2 Mường Khương
Tôi căn cứ vào kết quả học tập học kỳ 1 mơn Tốn của lớp 10A1, 10A2
và chọn ra các nhóm ngẫu nhiên là các học sinh yếu kém thuộc các tổ 1, tổ 2
của lớp 10A2 (nhóm thực nghiệm) và các học sinh yếu kém thuộc các tổ 2, tổ 3
của lớp 10A1 (nhóm đối chứng) là ngang nhau. Tôi thực hiện tác động bằng
cách trang bị cho học sinh một số kỹ thuật, mẹo nhớ công thức lượng giác giúp
học sinh nhớ kiến thức ngay tại lớp học. Qua tác động giải pháp thay thế 5 tuần,


tôi tiến hành kiểm tra sau tác động đối với các học sinh yếu của nhóm thực
nghiệm. Sau đó, tơi dùng phép kiểm chứng T-test để phân tích dữ liệu.
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng
1.625

Thực nghiệm
TBC
1.688
p=
0.92
p = 0,92 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương
đương.

Bảng thiết kế nghiên cứu:
Nhó Kiểm tra trước tác động Tác động

Kiểm tra sau tác động

m
N1

O1

X

O3

N2

O2

---

O4

N1: Nhóm thực nghiệm (học sinh yếu tổ 1, 2 của lớp 10A2)
N2: Nhóm đối chứng (học sinh yếu, kém tổ 2, 3 của lớp 10A1)
5.3. Quy trình nghiên cứu:
Tơi biên soạn lại kiến thức đã học và hướng dẫn cách nhớ các công thức
lượng giác qua các buổi học phụ đạo của nhóm nghiên cứu để nắm tình hình
học tập của các em, sau đó rút kinh nghiệm và hướng dẫn, giải thích tỉ mỉ hơn
nữa về một số cách ghi nhớ công thức lượng giác
Tôi đã tham khảo trên sách, báo, mạng Internet, và học hỏi các đồng

nghiệp cùng chun mơn . Sau đó tổng hợp lại hướng dẫn học sinh qua các buổi
học phụ đạo
Tiến hành dạy thực nghiệm: Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm theo
thời khoá biểu, lịch báo giảng, kế hoạch năm học và kế hoạch khắc phục học
sinh yếu kém của bộ môn.


5.4. Đo lường:
Sau khi tiến hành kiểm tra sau tác động kết quả học tập của nhóm thực
nghiệm. Đề kiểm tra, đánh giá kết quả học tập công thức lượng giác của học
sinh được tổ chức kiểm tra khách quan với tác động thực nghiệm của tôi.
Sau khi kiểm tra tôi tiến hành chấm bài và thống kê kết quả sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.
6. Phân tích dữ liệu và kết quả:
6.1. Trình bài kết quả:
Bảng so sánh điểm trung bình sau khi tác động:
Đối chứng

Thực nghiệm

Điểm trung bình

4,5

6,0

Độ lệch chuẩn

0,8

1,22

Giá trị p của T-test
Chênh lệch giá trị
trung bình chuẩn SMD

0,0133
1.1

6.2. Phân tích dữ liệu:
- Kết quả kiểm tra sau tác động cho thấy điểm trung bình của nhóm thực
nghiệm là 6,0 cao hơn nhiều so với điểm trung bình kiểm tra trước tác động là
1,625. Điều này chứng tỏ rằng khả năng nhớ công thức lượng giác của học sinh
yếu tăng lên đáng kể
- Độ chênh lệch chuẩn của kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm
là 0,8 < 1 điều này cho thấy mức độ chênh lệch có ý nghĩa.
- Độ chênh lệch điểm trung bình T-test cho kết quả p=0,0133< 0,05 cho
thấy sự chênh lệch điểm khảo sát trung bình giữa trước và sau tác động là có ý
nghĩa, tức là sự chênh lệch điểm trung bình khảo sát trước và sau tác động là


không xảy ra ngẫu nhiên mà là do tác động của giải pháp thay thế đã mang lại
hiệu quả.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =

6.0 − 4.5
= 1.1
1.35

so sánh với

bảng tiêu chí Cohen cho thấy mức độ ảnh hưởng của giải pháp giúp học sinh
yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác của nhóm thực
nghiệm là có
6.3. Bàn luận:
+ Ưu điểm:
- Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC= 6.0,
kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4.5. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm là 1,1; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai nhóm đối chứng
và thực nghiệm đã có sự khác biệt, nhóm được tác động có điểm TBC cao hơn
nhóm đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 1,1.
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là có.
Phép kiểm chứng T-test điểm trung bình sau tác động của hai nhóm là
p=0,0133< 0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai
nhóm khơng phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức
lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
công thức lượng giác cần được tiếp tục thực hiện đồng đều hơn, mở rộng hơn
+ Hạn chế:
Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa đánh giá được một cách hồn
tồn chính xác sự tiến bộ của học sinh, có thể dẫn đến sự tiến bộ rồi sau đó lại
thụt lùi như tình trạng ban đầu nếu như khơng kiểm sốt được thời gian ơn tập
và rèn luyện của học sinh. Hơn nữa giáo viên cần phải có thêm nhiều thời gian
tìm tịi, học tập, tổng hợp hơn nữa các cách làm hay, hiệu quả


7. Kết luận và khuyến nghị:
7.1. Kết luận :
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức

lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tịi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ
cơng thức lượng giác đã làm cho kết quả học tập công thức lượng giác được
nâng lên, số lượng học sinh yếu kém được giảm đáng kể. Học sinh tự tin hơn
trong học tập, thêm u thích học phần cơng thức lượng giác hơn.
7.2. Khuyến nghị:
7.2.1. Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn
ra giải pháp hữu hiệu nhằm khắc phục học sinh yếu kém của từng môn học.
Động viên, giúp đỡ và khen thưởng những giáo viên có thành tích trong việc
nâng cao chất lượng dạy và học ở nhà trường.
7.2.2. Đối với giáo viên: Phải khơng ngừng đầu tư nghiên cứu tìm ra giải pháp
nâng cao chất lượng giáo dục. Phải không ngừng học tập nâng cao trình độ
chun mơn nghiệp vụ của bản thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp và
bản thân, biết cách áp dụng hợp lí với lớp mình giảng dạy.
Với kết quả của đề tài nghiên cứu, tôi rất mong muốn được sự quan tâm,
giúp đỡ của các cấp lãnh đạo giáo dục. Những ý kiến đóng góp quý báu, chân
thành của quý đồng nghiệp giúp cho tôi hoàn chỉnh đề tài nghiên cứu này.
8. Tài liệu tham khảo
- Mạng Internet, giaoandientu.com.vn
- Tài liệu tập huấn nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng tại Bắc Hà –
Lào Cai năm 2012
- Sách giáo khoa lớp 10– Nhà xuất bản giáo dục – Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu tự chọn bám sát tốn 10 theo chương trình chuẩn– Nhà xuất bản
giáo dục – Bộ GD&ĐT.


- Các phương pháp giải toán lượng giác – Trần Phương – Nhà xuất bản
ĐHSP Hà nội
9. Phụ lục
9.1. Minh chứng – phụ lục cho đề tài nghiên cứu
BẢNG TỔNG HỢP KẾT QUẢ KHẢO SÁT TRƯỚC VÀ SAU TÁC ĐỘNG

Nhóm thực nghiệm (tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2)

Stt
1
2
3
4
5
6
7
8

Họ và tên học sinh
Lý Thị Chứ
Lù Văn Chung
Vương Minh Hiếu
Vàng Văn Khánh
Hồng Minh
Lý Thị Sen
Lục Văn Thơng
Cư Toản

KT trước tác động
1.5
0
3
1
4
2.5

1
0

KT sau tác động
5
7
5.5
6
7
6.5
6
5

Nhóm đối chứng (tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1)

Stt
1
2
3
4
5
6
7
8

Họ và tên học sinh
Lừu Hồng Chiến
Vàng Văn Đức
Vương Thị Hịa
Vàng Ngọc Q

Trần Quốc Khánh
Hồng Lìn
Nơng Thị Hạnh
Mùng Đức Điệp

KT trước tác động
2.5
1
1.5
2
3
0
2
1.5

KT sau tác động
4
3
5
5.5
4
3
5
6.5


TÀI LIỆU GIÁO VIÊN SƯU TẦM, TỔNG HỢP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC
SINH HỌC TẬP
1. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
1.1 Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0o; 30o; 45o; 60o; 90o

Tỉ số LG

0o

30o

45o

60o

90o

sin

0

1

cos

1

0


tan

0

1

॥

cot

॥

1

0

Trong q trình giải tốn lượng giác thì các giá trị trên thường được sử dụng để
tính tốn, thu gọn, biến đổi……Thế nhưng khi áp dụng thì đại đa số các em đều
lúng túng vì khơng nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thường
dẫn đến một đáp số sai. Mặt khác nếu để các em học thuộc lịng một cách máy móc
thì rất cực nhọc.
Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hướng dẫn các em cách xây dựng lại
bảng giá trị lượng giác trên (trong trường hợp bị quên) như sau:
1.2 Cách xây dựng
Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin

90o) tuân theo qui luật sau:

=

;

;

(với

= 0o; 30o; 45o; 60o;

;

Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ
đến

, cịn mẫu số khơng đổi là 2.

Để xác định dãy các giá trị của cos (với

= 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo lại

dãy các giá trị của sin .
Sau khi xác định xong các giá trị sin , cos

cot dựa vào công thức: tan
 Chú ý: Nếu cos

; cot

thì dễ dàng xác định tan

và

.

thì tan khơng xác định

Nếu sin
thì cot khơng xác định.
Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị
lượng giác như sau:
Tỉ số LG

0o

30o

45o

60o

90o


sin

0(=

(=

1(=

cos

1

tan

0

1

॥

cot

॥

1

0

Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc

0

45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o =

nên tan45o = cot45o = 1. Đây là các giá trị tương đối dễ nhớ.
Còn với

o

o

các giá trị sin

và cos . Nhưng không sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần

thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa

câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ được giải quyết.
“ sin ba cos sáu nửa phần ”
“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30o và cos600 bằng , cịn cos300 sin60o bằng

.

2. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2.1 Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau

và

cos(

) = cos

sins(

) = - sin

tan(

) = - tan

cot(

) = - cot

Cung bù nhau
sins(

và (
) = sin

)


cos(

) = - cos

tan(

) = - tan

cot(

) = - cot

Cung phụ nhau
sin(

và (

)

) = cos

cos

= sin

tan(

) = cot

cot(

) = tan

cung hơn kém nhau π
sins( + π ) = - sin
cos( + π ) = - cos
tan( + π ) = tan
cot( + π ) = cot
 Nhận xét: trong nhóm các cơng thức đối chỉ có cos(
nhóm cơng thức bù chỉ có sins(
thì tan(



) = sin , nhóm cơng thức hơn kém π

+ π ) = tan , còn trong nhóm cơng thức phụ thì các giá trị sin,

cos của các cung

và (

) = cos , trong

và (

) chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung

) chéo nhau.

Do đó để ghi nhớ nhóm các cơng thức trên ta cần nhớ câu:


” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
b. Công thức cộng
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc
biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh
dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:
“ cos cùng loài khác dấu
sin cùng dấu khác lồi ”
Hoặc “ sin thì sin cos cos sin
cos thì cos cos sin sin dấu trừ”
Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng lồi, khác

lồi? Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng lồi, cịn các tích: sina
cosb; cosa sinb được gọi là khác lồi. Cịn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu
một cách nơm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì
bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngược lại.


Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của

các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái.


Ví dụ: Khi triển khai cơng thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái

là cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb
Cịn trong cơng thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác lồi) mà vế
trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên.
4. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2cos

cos


cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sin

cos

sin - sin = 2cos

sin

chúng ta hướng dẫn học sinh mã hóa như sau:
“ cos cộng cos bằng hai cos, cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin
sin cộng sin bằng hai sin, cos
sin trừ sin bằng hai cos, sin ”
 Chú ý: Bên vế phải ln tích hai hệ thức lượng giác của góc

mà hệ thức của góc

và

được viết trước.

Đối với cơng thức: tan + tan =

được ghi nhớ qua câu sau:

“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”
Ở đây ta liên tưởng

và

như là đơi bạn thân chơi với nhau và có cách xưng hơ

là ta và mình.
b. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]

sina sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]

sina cosb = [sin(a - b) + sin(a + b)]


Tương tự như cơng thức biến đổi tổng thành tích ta có đoạn mã cho nhóm các
cơng thức trên như sau:
“ cos nhân cos bằng một phần hai cos cộng cos
sin nhân sin bằng một phần hai cos trừ cos
sin nhân cos bằng một phần hai sin cộng sin”
 Chú ý: Vế phải trong nhóm cơng thức này thì hệ thức lượng giác của góc
(a-b) được viết trước.
I. ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được biểu thức
đúng
A) sin300cos600 =
 Hướng
dẫn: dựa
bảng giá
lượng

B)

2
2

sin450 =

C) – cos(-1350) =
D) tan(x + π ) =

E)

1
=
cos 2 30

giác của

1)
2)
3)
4)

1
– cos(1350)
tanx
cos(1350)

5)

1
4
3
2

6)
7)

góc đặc

3
4

biệt ta có
A - 5; B - 1; C

vào
trị
các

- 2;

D - 3; E - 7
Ví dụ 2: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông
A) cos ( π + α ) = cos α

D)

π
2
π
sin ( − α ) = cos α
2
- tan( − α ) = tan α

J)
K)
L)
M)
N)

- sin ( π + α ) = sin α
tan( π + α ) = tan( π − α )
cot( α − β ) = -cot( β − α )
sin ( α − β ) = sin( β − α )
sin ( π + α ) = sin( π − α )

B) cos ( + α ) = sin α
C)

E)
F)
G)
H)
I)

tan( α + π ) = tan( α − π )
cos ( α − β ) = cos( β − α )
cos ( π − α ) = cos ( π + α )
- cos ( π − α ) = cos α
sin ( π − α ) = sin α



câu
Chọn

Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
A
S

B
Đ

C
S

D
Đ

E
Đ

F
Đ

G
Đ

H
S

I
Đ

J
Đ

K
Đ

L
S

M
Đ

N
S

3π
Ví dụ 3: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung α và α −
2

 Hướng dẫn:

3π
3π
π
) = cos(-( − α )) = cos( π + − α ) ( CT đối)
2
2
2
π
= - cos( − α ) (CT hơn kém π )
2
α
= - sin
(CT phụ)
3π

3π
π
sin( α − ) = sin(-( − α )) = -sin( π + − α ) ( CT đối)
2
2
2
π
= sin( − α )
(CT hơn kém π )
2
= cos α
(CT phụ)
3π
sin(α −
)
− sin α
3π
2
α
−
tan(
)=
=
= - tan α
3π
2
cos
α
cos(α −
)

2
3π
cos(α −
)
cos α
3π
2
α
−
cot(
)=
=
= - cot α
3π
2
−
sin
α
− sin(α −
)
2

cos( α −

Ví dụ 4: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 750
Hướng dẫn:
cos750 = cos( 450 + 300)
= cos450cos300 - sin450sin300 (CT cộng _cos cùng loài khác dấu)
2 3 1
2

=
(
− )=
( 3 − 1)
2 2 2
4
sin750 = sin( 450 + 300)
= sin450cos300 + cos450sin300 (CT cộng _sin cùng dấu khác loài)
2 3 1
2
=
(
+ )=
( 3 + 1)
2 2 2
4
3 −1
3 +1
= 2+ 3;
tan750 =
cot750 =
= 2− 3
3 −1
3 +1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
cos α sin( β − γ ) + cos β sin( γ − α ) + cos γ sin( α − β ) = 0, với mọi α , β , γ
 Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng ta có:
1
cos α sin( β − γ ) = [sin(α + β − γ ) − sin(α − β + γ )]
2

1
cos β sin( γ − α ) = [sin( β + γ − α ) − sin( β − γ + α )]
2
1
cos γ sin( α − β ) = [sin(γ + α − β ) − sin(γ − α + β )]
2
Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.
π
4

π
4

Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức sau: cos2( + α ) - cos2( − α )
Hướng dẫn:
π
4

π
4

π
π
π
π
4
4
4

4
π
π
= 2cos cos α .(-2 sin sin α ) = -2 sin α cos α = -sin α
4
4

cos2( + α ) - cos2( − α ) = [cos( + α ) + cos( − α )][cos( + α ) cos( − α )]