Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
-------------------

Chủ biên: ThS. Nguyễn Thị Mai Anh
Th.S Ngơ Thị Hài

GIÁO TRÌNH
TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU)
(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

Quảng Ninh – 2019
1


BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC
Đây là học phần chuyên sâu học thay thế làm đồ án môn học. Học phần bao gồm 3 nội
dung cơ bản:
+ Bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh
+ Bình sai gián tiếp
+ Bình sai lưới tự do
Khi xây dựng lưới trắc địa, ngoài các trị đo cần thiết bao giờ người ta cũng đo
thừa một số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết quả đo và nâng cao độ chính
xác các yếu tố của mạng lưới sau bình sai. Lưới tam giác là mạng lưới có kết cấu hình
học chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa. Giữa các trị đo cần thiết và các trị đo thừa, các số
liệu gốc luôn tồn tại các quan hệ toán học ràng buộc lẫn nhau. Biểu diễn các quan hệ
ràng buộc đó dưới dạng các cơng thức tốn học ta được các phương trình điều kiện.
Trong các kết quả đo luôn tồn tại các sai số đo vì vậy chúng khơng thỏa mãn
các điều kiện hình học của mạng lưới và xuất hiện các sai số khép. Viêc bình sai mạng
lưới nhằm mục đích loại trừ các sai số khép, tìm ra trị số đáng tin cậy nhất của các trị
đo và các yếu tố cần xác định trong mạng lưới tam giác

Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh
2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên
hệ
2.1.1 Cơ sở lý thuyết
Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai là L1’, L2’, …, Ln’, trong
đó số tương ứng là P1, P2, …, Pn. Giữa các đại lượng đo ta lập được r phương trình
tốn học gọi là các phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu của chúng là:
Fj (L1’,L2’, …, Ln’) = 0
(j=1, 2,…, n)
(2.1)
Trong phương trình (2.1) thì Li’ chưa biết. Bài tốn bình sai cần tìm n các số
hiệu chỉnh vi của các giá trị đo Li sao cho: L’i = Li + vi
(2.2)
Thay (2.2) vào (2.1) t có phương trình:
Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = 0
Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi các phương trình trên
về dạng tuyến tính bỏ qua các số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệu
chỉnh như sau:
a1v1 + a2 v2 + ... + an vn + wa = 0
b v + b v + ... + b v + w = 0
11 2 2
n n
b

...
r1v1 + r2 v2 + ... + rn vn + wr = 0

(2.3)

Trong đó các hệ số là đạo hàm riêng phần của các hàm Fj theo các đại lượng đo
Li .
ai =

F1
;
Li

bi =

F
F2
, …, ri = r
Li
Li
2


Các số hạng tự do wj chính là sai số khép phương trình điều kiện, giá trị của nó
được xác định bằng cách thay các trị đo vào phương trình (2.1).

w j = Fj (L1, L2 ,..., L n )
Hệ phương trình (2.3) có r phương trình, n ẩn số, vì n > r nên khơng giải trực
tiếp được mà phải ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất [pw] = min để giải
theo phương pháp cực trị có điều kiện của Lagrange. Để giải hệ (2.3) ta phải lập hệ
phương trình chuẩn số liên hệ dạng:

[qaa]K a + [qab]K b + ... + [qar]K r + w a = 0

[qab]K a + [qbb]K b + ... + [qbr]K r + w b = 0


...
[qar]K a + [qab]K r + ... + [qrr]K r + w r = 0
1
Trong đó : q i = ; pi là trọng số trị đo thứ i
Pi

(3.3)

Hệ (3.3) là hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số.
Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta được các số liên hệ Ka, Kb, …, Kr. Các số hiệu chỉnh của
trị đo được tính theo cơng thức:

Vi = q i (a i K a + bi K b + ... + ri K r )
Để đánh giá độ chính xác kết quả do sau bình sai, ta tính sai số trung phương
trọng số đơn vị theo công thức:

=

[qvv]
r

Để đánh giá độ chính xác các yếu tố đặc trưng của mạng lưới ta viết chúng dưới
dạng hàm số của các trị đo sau bình sai, thường gọi là hàm trong số:

F = f(L1 ', L 2 ',..., L n ')
Biến đổi về dạng tuyến tính ta có:

F = f 0 + f1v1 + f 2 v2 + ... + f n vn
Trong quá trình lập và giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ ta kết hợp tính

được nghịch đảo trọng số của hàm F:

1
[qaf]2 [qbf.1]2
[qrf.(r -1)]2
= [qff.r] = [qff] - ... PF
[qaa] [qbb.1]
[qrr(r -1)]
Sai số trung phương của hàm các giá trị đo sau bình sai sẽ tính theo cơng thức:
MF=  .

1
PF

Nếu dùng ngơn ngữ thuật tốn ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số trong phương
trình điều kiện số hiệu chỉnh là B, vectơ số hiệu chỉnh là V và vectơ số hạng tự do
phương trình điều kiện là W, vectơ số liên hệ là K ta có:

3


;

;

;

Từ các cơng thức cơ bản ta có thể viết phương trình số hiệu chỉnh dưới dạng ma
trận như sau:
BV+W = 0

Phương trình chuẩn số liên hệ:
B. P-1. BT. K + W = 0
Đặt
N= B. P-1. BT, ta có:
NK + W = 0
Vậy
K = -N-1. W
Lúc đó
V= P-1. BT.K
2.1.2. Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh
1. Số lượng phương trình điều kiện
Một yêu cầu rất chặt chẽ của phương pháp bình sai điều kiện là phải xác định
đúng số lượng phương trình điều kiện trong lưới tam giác và phải lựa chọn để thành
lập các phương trình điều kiện hồn tồn độc lập nhau. Nếu khơng thực hiện đúng các
u cầu trên thì việc bình sai khơng đạt hiệu quả, sau bình sai vẫn nhận được tập hợp
nghiệm duy nhất nhưng có thể đó không phải là kết quả đáng tin cậy nhất.
Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện trong lưới là tính số
lượng trị đo thừa trong mạng lưới . Để tính trị đo thừa, ta sẽ tính tổng trị đo và tổng số
trị đo cần thiết. Tổng trị đo thừa cũng chính là tổng số phương trình điều kiện trong
lưới được tính bằng cơng thức:
r=n-t
Trong đó: n là số trị đo, t là trị đo cần thiết và r là số trị đo thừa
Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự do hay phụ thuộc mà ta sẽ tính được số lượng các
phương trình điều kiện.
- Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ hoặc thiếu để xác định vị trí
và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định.
- Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều hơn số lượng gốc tối thiểu để xác
định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định.
A

h1

P1

h2
h4

B

h5

D

P2
h6

P3
h3

Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm trong lưới p = 5, số
điểm đã biết k = 2, trị đo cần thiết t = 5 - 3 = 3. Do đó, số lượng phương trình có trong
lưới là:

4


r = 6 - 3 = 3 phương trình
Với lưới mặt bằng ta có tổng số trị đo là n = 20, tổng số điểm trong lưới p = 7,
số điểm đã biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = 6. Do đó, số lượng phương trình có
trong lưới là:

r = 20 - 6 = 14 phương trình (gồm 7 phương trình điều kiện hình, 1 phương
trình điều kiện vịng, 2 phương trình điều kiện cực, 2 phương trình điều kiện góc cố
định, 2 phương trình điều kiện cạnh cố định)
2. Lưới mặt bằng tự do:
+ Lưới mặt bằng đo góc, đo góc - cạnh.
Các lưới tự do mà chúng ta có thể gặp có nhiều dạng đồ hình khác nhau. Ở lưới
mặt bằng tự do ta thường gặp các phương trình điều kiện sau:
a. Phương trình điều kiện hình:
+ Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh
Phương trình điều kiện hình được lập cho các hình đa giác đo góc khép kín, có
thể là hình tam giác, tứ giác trong lưới tam giác đo góc, cũng có thể là hình đa giác
khép kín trong lưới đường chuyền.
Nội dung của phương trình điều kiện hình là : Tổng giá trị bình sai của các góc
trong những hình đa giác khép kín phải đúng bằng trị
B
lý thuyết đã biết của nó. Chẳng hạn tổng ba góc đã
C
bình sai trong hình tam giác phẳng phải đúng bằng
3
2
0
4
180 .
5
’
’
’
Nếu kí hiệu β1 , β2 ,…, βn là các giá trị sau
bình sai của n góc trong hình đa giác khép kín, β1,
12

11 13
1
β2,…, βn là các góc đo, vi là số hiệu chỉnh cho các A
15 14
6
10
góc đo, h là sai số khép hình thì phương trình điều
7 D
kiện hình sẽ được viết:
β1’ + β2’ +…+ βn’ - (n-2).1800 = 0
9 8
Ta có quan hệ: βi’ = βi + vi
E
Từ phương trình trên ta dễ dàng viết được
phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng:
Hình 2-5:Xác định điều kiện
V1 + V2+…+ Vn + h = 0
hình trong đa giác trung tâm
h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800
Cơng thức tính số lượng phương trình điều kiện hình như sau:
rhình = (n1-n’) - q+1
Trong đó:
n1- Tổng số trị đo góc trong tam giác
n’- Tổng số cạnh của lưới
q- Là số điểm trung tâm tại đó ta đo tổng các hướng
Ví dụ 1: Cho lưới mặt bằng đa giác trung tâm như hình vẽ. Biết A, B là hai
điểm gốc, tiến hành đo 15 góc. Ta sẽ tính và viết được phương trình điều kiện hình
như sau:
n1=15
n’=10

q=1
Vậy rhình=(15-10) – 1+1 =5 phương trình

5


Phương trình điều kiện hình:
1’+2’+3’-1800 =0
4’+5’+6’-1800 =0
7’+8’+9’-1800 =0
10’+11’+12’-1800 =0
13’+14’+15’-1800 =0
Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:
V1+V2+V3+1= 0 ; 1=1+2+3-1800
V4+V5+V6+2= 0 ; 2=4+5+6-1800
V7+V8+V9+3= 0 ; 3=7+8+9-1800
V10+V11+V12+4= 0 ; 4=10+11+12-1800
V13+V14+V15+5= 0 ; 5=13+14+15-1800
Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa như
hình vẽ, có 8 góc đo. Ta sẽ tính được số lượng
phương trình điều kiện hình là:
n1=8
n’=6
q=0
rhình = (n1-n’) - q+1
Vậy rhình = 8 - 6 - 0 +1 =3 phương trình
Phương trình điều kiện hình:
1’+ 2’+3’+4’-1800 =0
3’+4’+5’+6’-1800 =0
5’+ 6’+7’+8’-1800 =0

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:
V1+V2+V3+ V4 +1= 0 ; 1=1+2+3+4-1800
V3+ V4+V5+V6 +2= 0 ; 2=3+4+5+6-1800
V5+ V6 +V7+V8 +3= 0 ; 3=5+6+7+8-1800
b. Phương trình điều kiện vịng:
Ý nghĩa của phương trình điều kiện vịng là tổng trị bình sai của các góc tại
trung tâm của các hình đa giác trung tâm phải đúng
B
bằng 3600.
rvòng= q với q là số điểm trung tâm,
C
3
2
Dễ dàng nhận thấy rằng phương trình điều
4
5
kiện vịng chỉ xuất hiện trong đa giác trung tâm có
đo tất cả các góc ở điểm trung tâm.
12
11 O 13
Ví dụ: Cho lưới đa giác trung tâm đo góc ta
1
A
15 14
có rvịng= 1
6
10
Ta sẽ lập được phương trình điều kiện vịng
7 D
dạng:

11’+ 12’+13’+14’+15’-1800 = 0
9 8
Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:
E
V11+ V12 +V13+V14 + V15+ v = 0;
Hình 2-5:Xác định điều kiện
v=11+12+13+14+15-1800
c. Phương trình điều kiện cực:
hình trong đa giác trung tâm
Nội dung của phương trình điều kiện cực:
Xuất phát từ một cạnh nào đó trong lưới tam giác,

6


dùng các góc đã bình sai để tính chuyền sang các cạnh khác, khi quay trở lại cạnh ban
đầu thì trị số tính được phải bằng trị số đã biết.
Phương trình điều kiện cực là phương trình chỉ ràng buộc các góc với nhau, các
cạnh tính chuyền chiều dài ln luôn chung nhau 1 đỉnh gọi là cực. Số lượng phương
trình điều kiện cực được tính như sau:
rcực= n’-2p+3
Trong đó: n’-S ố cạnh của lưới
p - Số điểm của lưới
Ví dụ: Với hình vẽ trên ta có:
n’=10, p=6
Vậy rcực= 10 - 2x6 + 3 = 1 phương trình
Nếu xuất phát từ cạnh OA, dùng trị bình sai của các góc tính chuyền chiều dài
theo một vịng khép kín theo chiều thuận kim đồng hồ trở về cạnh OA ta được phương
trình điều kiện cực như sau:

Điều kiện đặt ra là cạnh OA tính phải đúng bằng cạnh OA ban đầu, nghĩa là
Ta thấy, phương trình các phương trình điều kiện hình, vịng là các phương
trình dạng tuyến tính cịn phương trình điều kiện cực là phương trình phi tuyến tính, ta
phải chuyển chúng về phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như sau:
Gọi các góc 1’, 2’, …., 10’ là các góc sau bình sai, các góc 1, 2, …,10 là các
góc đo, v1, v2, …, v10 là các số hiệu chỉnh tương ứng, ta có thể viết:

Đưa phương trình điều kiện trên về dạng tuyến tính ta phải tính đạo hàm riêng
phần theo các góc ở tử và mẫu số theo cơng thức:
Đạo hàm góc ở tử số:
với i = 1, 3, 5, 7, 9.
Đạo hàm góc ở mẫu số:

với i = 2, 4, 6, 8, 10.

Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là:

Trong đó ρ’’= 206265
Nhìn vào phương trình ta thấy hệ số của các số hiệu chỉnh và sai số khép
là
những giá trị rất nhỏ, để tiện cho tính tốn có thể sử dụng phương trình điều kiện dạng:

7


Trong đó

được tính:

Cách khai triển phương trình điều kiện cực như đã trình bày ở trên khơng phải

sử dụng logarit và phù hợp với kỹ thuật tính tốn trên các máy tính hiện nay. Trước
đây khi tính tốn bình sai người ta thường phải dùng bảng tra logarit, trong trường hợp
này người ta thành lập phương trình số hiệu chỉnh như sau:
Từ phương trình điều kiện ta tiến hành logarit (cơ số 10) hai vế rồi khai triển
tuyến tính ta sẽ được phương trình điều kiện dạng:
Trong đó
là giá trị biến thiên của logarit sin góc βi khi góc thay đổi 1’’,
thường được tính ở đơn vị số lẻ thứ 6 của logarit (để hệ số và sai số khép ωc khơng q
nhỏ).

Trong đó µ là modul chuyển đổi cơ số logarit: µ = lge ≈ 0.4343
Sai số khép ωc lúc này được tính theo logarit sin của các góc
lấy đơn vị theo số lẻ như

Với i(tử) = 1, 3, 5, 7, 9; i(mẫu) =2, 4, 6, 8, 10.
Đối với lưới tứ giác trắc địa như hình vẽ cũng có
một phương trình điều kiện cực. Ta có thể chọn một
trong bốn điỉnh của tứ giác làm cực hoặc có thể chọn
giao của hai đường chéo làm cực. Cụ thể nếu chọn giao
của hai đường chéo làm cực ta có:
Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là:

Nếu ta chọn điểm A làm cực ta được:

Hay

8

và cũng được

Với
Chú ý khi phương trình điều kiện cực có một số góc vừa xuất hiện ở tử số vừa
xuất hiện ở mẫu số, sau khi triển khai thành dạng tuyến tính ta cần tập hợp các hệ số
của chúng lại và lấy các số hiệu chỉnh của các góc
I
II
đó ra làm thừa số chung.
7
6
8
5
Trong hình rẻ quạt (Hình 2-7) cũng có một
phương trình điều kiện cực, trong trường hợp này
cực tại điểm C là đỉnh chung của các đỉnh tam giác . A 9
4 B
10
11
2
Phương trình điều kiện cực sẽ là:
1 3
C
Hình 2-7: Lưới rẻ quạt

Phương trình số hiệu chỉnh là:

Chú ý: Trong chuỗi tam giác khép vòng tồn tại một phương trình điều kiện có ý
nghĩa hình học giống như phương trình điều kiện cực, tức là xuất phát từ bất kỳ một
cạnh nào đó dùng trị bình sai là các góc tính chuyền chiều dài theo một vịng khép kín
rồi trở về cạnh xuất phát, phải nhận được chiều dài đùng bằng chiều dài ban đầu.

Nhưng ở đây không tồn tại một cực cụ thể như trong các hình đa giác trung tâm hoặc
tứ giác trắc địa, hình quạt trường hợp này có thể xem như một phương trình điều kiện
cực đặc biệt.
3. Lưới mặt bằng đo cạnh.
Ta biết rằng trong hình tam giác đo ba cạnh khơng có trị đo thừa. Các góc trong
mạng lưới tam giác đo cạnh sẽ được tính ra từ giá trị chiều dài các cạnh đo. Các góc
tính dùng để tính sai số khép các phương trình điều kiện trong các hình tứ giác trắc địa
hoặc đa giác trung tâm đo cạnh, tính phương vị cạnh,…Để tính góc theo cạnh, ta dựa
vào các cơng thức lượng giác phẳng trong hình tam giác. Có nhiều cơng thức để tính
góc:
1. Tính góc theo định lý cosin:
Giả sử có hình tam giác ABC đo 3 cạnh a, b, c hình 3.11. Ta cần tính ra giá trị
của 3 góc là A, B, C. Các cơng thức tính góc theo định lý cosin như sau:
B
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
(3.21)
2
2
2
a
c = a + b - 2ac.cosA
c
2. Tính góc theo diện tích tam giác
Giá trị sin của các góc được tính qua diện tích tam
C
A
giác như sau:
b

1
1
1
S = bc sin A = ab sin C = ac sin B
2
2
2
S = p( p − a)( p − b)( p − c)

9

Hình 3.11

(3.22)


P=

a+b+c
2

3. Tính góc theo cơng thức tang.

tg

A
( p − b)( p − c)
=
2
p( p − a)

tg

B
( p − a)( p − c)
=
2
p ( p − b)

tg

C
( p − a)( p − b)
=
2
p( p − c)

(3.23)

+ Quan hệ vi phân giữa góc và cạnh
Khi bình sai lưới tam giác đo cạnh theo phương pháp điều kiện, người ta có thể
lập các phương trình điều kiện đó ở dạng góc. Như vậy, cần phải biểu diễn số hiệu
chỉnh của các góc qua số hiệu chỉnh của các cạnh đo trực tiếp. Để có được quan hệ đó
ta phải xuất phát từ cơng thức:
a2 = b2 +c2 - 2bccosA
Vi phân 2 vế:
2ada = 2bdb + 2cdc - 2ccosAdb + 2bcsinAdA-2bcosAdc
ada = (b - ccosA)db + (c - bcosA)dc + bcsinAdA

ada − (b − c cos A )db − (c − b cos A )dc

' '
bc sin A

dA' ' =

(3.24)

Lại có: bcsinA =a.ha

a = c cos B + b cos C
b = a cos C + c cos A
c = a cos B + b cos A

(3.25)

Thay vào ta có:

d A ''=

ada − a cos Cdb − a cos Bdc
' '
ah A

d A ''=

' '
(da − cos Cdb − cos Bdc)
hA

d B ''=

' '
(db − cos Cda − cos Adc )
hB

dC ''=

' '
(dc − cos Cda − cos Bdb)
hC

Chuyển sang quan hệ số hiệu chỉnh ta có:

vA '' =

' '
(v a − cos Cv b − cos Bv c );
hA
10

(3.26)


vB ''=

' '
(v b − cos Cv a − cos Av c ) ;
hB

vc '' =

' '
(v c − cos Bva − cos Av b ).
hc

(3.27)

Như vậy các công thức trên cho phép chúng ta biểu diễn số hiệu chỉnh của góc
qua 3 số hiệu chỉnh chiều dài trong hình tam giác đo cạnh.
+ Phương trình điều kiện trong lưới tam giác đo cạnh.
a. Phương trình điều kiện trong hình đa giác trung tâm.
Giả sử ta có hình đa giác trung tâm đo cạnh tạo bởi 5 tam giác hình 3.12, đo 10
cạnh, 5 cạnh bên từ S1 đến S5 và 5 cạnh hướng tâm r1 đến r5. Trong 1 hình đa giác
trung tâm đo cạnh chỉ có 1 trị đo thừa nên sẽ lập được 1 phương trình điều kiện.
Phương trình điều kiện này có thể viết ở nhiều dạng khác nhau nhưng đơn giản nhất
vẫn là dạng góc. Viết ở dạng góc thì điều kiện cần lập chính là điều kiện trung tâm.
A
C1
B
A
B5

1

r1

C5

A5

E

B1

r5

A2

r2
C
C5 1 C2
C4 C3

B4

C2

r3
B2
A3

r4

C4
A4 B3

C

C3

D

Hình 3.12

Cũng có thể viết phương trình điều kiện ở dạng chiều dài, hoặc dạng diện tích
song các dạng này đều phức tạp hơn.
Viết phương trình điều kiện dưới dạng góc:
C1’ + C2’ + C3’ + C4’ + C5’ - 360 = 0
Từ phương trình điều kiện dạng góc ta chuyển về phương trình số hiệu chỉnh
góc như sau:
vc1 + vc2 + vc3 + vc4 + vc5 + w = 0
(3.28)
w = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 − 360 ; Ci được tính ra từ các cạnh đo.

Vì lưới đo khơng có góc mà chỉ có cạnh , do đó phải thay thế các số hiệu chỉnh
của góc đo qua các số hiệu chỉnh của cạnh đo. sử dụng các cơng thức tính chuyển ta có
được phương trình số hiệu chỉnh của cạnh đo như sau:

v c1 =

 ''
(v S1 − cos A1Vr1 − cos B1Vr 2 )
h1

11


vc2 =

 ''

(v S2 − cos A 2 Vr 2 − cos B 2 Vr 3 )
h2

(3.29)

………………………………………

 ''
v c 5 = (v S5 − cos A 5 Vr 5 − cos B5 Vr1 )
h5
Sau khi thay vào và qua biến đổi ta được phương trình điều kiện hình trong
hình đa giác trung tâm đo cạnh như sau:

b. Phương trình điều kiện trong hình tứ giác trắc địa:
S2

B
2
1
3

C
S6

S5

S1

1
2

3
S3

1
A

3

31
2
C

2
S4
Hình 3.13

Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh như hình vẽ 3.13 . Trong tứ giác đó có
đo 6 cạnh từ S1 đến S6. Trong tứ giác trắc địa đo cạnh cũng chỉ có một trị đo thừa, do
đó cũng chỉ có một phương trình điều kiện. Phương trình này có thể lập ở dạng chiều
dài hay diện tích song đơn giản nhất vẫn là dạng góc.
Nếu chọn các góc tại đỉnh A để lập phương trình điều kiện thì phương trình sẽ
có dạng như sau:

A1' + A '2 − A3' = 0
Từ phương trình điều kiện ta viết được phương trình số hiệu chỉnh như sau:
VA1 + VA2 + VA3 + w = 0
(3.30)
Chuyển từ phương trình số hiệu chỉnh của góc sang số hiệu chỉnh cạnh ta được

VA1 =

' '
(VS2 − cos B3 VS1 − cos C1VS6 )
h A1

VA 2 =

' '
(VS3 − cos C 2 VS6 − cos D 3 VS4 )
h A2
12

(3.31)


VA 3 =

' '
(VS5 − cos B1VS1 − cos D 2 VS4 )
h A3

Trong đó hA1 , hA2 , hA3 hạ từ trên đỉnh A xuống cạnh S2, S3, S6.
Nhóm lại và biến đổi ta sẽ có dạng:

a1VS1 + a2VS2 + a3VS3 + a4VS4 + a5VS5 + a6VS6 + w = 0

(3.32)

Khi sử dụng mối quan hệ để thay số hiệu chỉnh của góc qua số hiệu chỉnh của
cạnh cần lưu ý nếu cạnh tam giác là cạnh gốc (coi là khơng có sai số) thì số hiệu chỉnh

cho cạnh đó bằng 0 và nó sẽ khơng có mặt trong phương trình điều kiện.
4. Lưới mặt bằng phụ thuộc:
Trong lưới phụ thuộc, ngồi các phương trình điều kiện của lưới tự do chúng ta
cịn gặp các dạng phương trình điều kiện phụ thuộc sau
a. Phương trình điều kiện góc phương vị (góc định hướng):
Trong hệ tọa độ vng góc phẳng, góc phương vị chính là góc định hướng, nó
có quan hệ với tọa độ các điểm đầu mút như sau:

Trong mạng lưới tam giác hay đa giác khi có thừa phương vị khởi tính (phương
vị gốc) sẽ xuất hiện các phương trình điều kiện phương vị. Phương vị gốc ở đây được
quan niệm là các phương vị Laplace trong lưới tam giác hạng I, II Nhà nước hoặc là
phương vị cố định được tính từ toạ độ các điểm cấp cao hơn.
Ý nghĩa của phương trình điều kiện góc phương vị: Xuất phát từ phương vị đã
biết đ của cạnh đầu dùng các góc đã bình sai tính chuyền phương vị về cạnh cuối phải
nhận được giá trị phương vị đúng bằng giá trị đã biết c của cạnh đó.
Ta thấy rằng phương trình điều kiện phương vị khơng chỉ ràng buộc các góc với
nhau mà cịn liên quan đến số liệu gốc là các phương vị đã biết trước.
Ví dụ: Có lưới tam giác như hình. Biết phương vị đ và phương vị c, đo tất cả
các góc Ai, Bi, Ci,
C

B

B2

C1 A 2

A

A1

B1

C3

C2 A
3

A4

B4

C4
B3 A5

C5

B5

D

Ta có phương trình điều kiện góc phương vị như sau:
αAB - C’1 + C’2 - C’3 + C’4 - C’5 ± 1800 = αCD
Thay trị đo vào phương trình trên ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:
- VC1 + VC2 - VC3 +VC4 - VC5 +ωα = 0
trong đó ωα = - C1 + C2 - C3 + C4 - C5 + αAB - αCD ± 1800
Trong phương trình điều kiện phương vị, dấu của các số hiệu chỉnh được xác
định theo ngun tắc tính chuyền phương vị, nếu góc nằm bên trái đường tính chuyền
sẽ mang dấu dương, bên phải mang dấu âm.

13


Trong lưới đường chuyền đa giác, khi có thừa phương vị gốc cũng sẽ xuất hiện
phương trình điều kiện phương vị. Dạng phương trình của chúng cũng viết tương tự
như trong chuỗi tam giác đo góc.
Ví dụ có đường chuyền phù hợp như hình , hai đầu tuyến có hai phương vị đã
biết là: αAB và αCD.
A

2

D

1

n

3

B

C

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh của tuyến đường chuyền này như sau:
Vβ1 + Vβ2 + Vβ3 +….+ Vβn + ωα = 0
Trong đó Vβi là số hiệu chỉnh cho các góc ngoặt trái của đường chuyền, sai số
khép phương vị ωα được tính:

Số lượng phương trình điều kiện góc phương vị được tính như sau:

rα=Nα-1
Trong đó: Nα là tổng số phương vị đã biết gồm phương vị gốc (tính từ toạ độ
điểm gốc) và phương vị đo (phương vị Laplace).
Vậy phương trình điều kiện phương vị chỉ xuất hiện trong mạng lưới phụ thuộc
trong đó có từ 2 phương vị khởi tính trở lên.
Chú ý: Đối với trường hợp hai phương vị đã
A
biết ở liền kề tạo thành 1 góc cố định (đã biết) thì
4
phương trình điều kiện phương vị trong trường hợp
này cịn gọi là phương trình điều kiện góc cố định.
5
Ví dụ: Cho đồ hình lưới đo góc như hình, số
P
6
lượng phương trình điều kiện là:
1
rα=Nα-1 = 2 - 1 = 1 phương trình
B
2
Phương trình điều kiện góc cố định sẽ là:
3
7
1’+2’+3’=0
8 Q
Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:
V1+V2+V3+ α =0
9
α = 1+2+3 C
Đối với mạng lưới đo toàn cạnh phương

trình điều kiện góc phương vị sẽ được viết như sau:
Giả sử ta có chuỗi tam giác đo cạnh như hình vẽ 3.14
B
S3

C1

C2
A

S1

S7

C3
S4

S2

C

II

S8

S6
C4

S5

III

I
Hình 3.14

14

C5

S9

D


Từ hình vẽ ta lập được 1 phương trình điều kiện góc phương vị như sau:
 o − C1 + C2 − C3 + ...  Cn + 180 −  c = 0
Từ phương trình điều kiện ta viết được phương trình số hiệu chỉnh cạnh:
−VC1 + VC2 − VC3 + ...  VCn + w = 0
(3.33)
Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh để thay số hiệu chỉnh của góc qua số
hiệu chỉnh của cạnh ta sẽ được phương trình điều kiện góc phương vị của lưới đo cạnh.
b Phương trình điều kiện chiều dài
Phương trình điều kiện chiều dài sẽ xuất hiện trong các mạng lưới tam giác đo
góc có thừa chiều dài khởi tính (có từ 2 chiều dài khởi tính trở lên). Chiều dài khởi
tính là chiều dài được đo trực tiếp với độ chính xác cao để có thể bỏ qua sai số của
chúng khi bình sai lưới (đo bằng thước dây inva hoặc máy đo dài điện tử). Chiều dài
khởi tính cũng có thể là chiều dài được tính ra từ toạ độ của các điểm cấp cao hơn.
Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện chiều dài là: Xuất phát từ một
chiều dài cạnh cố định dùng các góc sau bình sai tính chuyền chiều dài về một cạnh cố
định khác phải nhận được giá trị đúng bằng giá trị đã biết của cạnh đó.

Xét một chuỗi tam giác như hình vẽ , trong đó cạnh đầu AB và cạnh cuối chuỗi
CD là các cạnh đã biết chiều dài.
Nếu ký hiệu các góc sau bình sai trong các tam giác trong chuỗi là Ai’ , Bi’, Ci’,
ta sẽ viết được phương trình điều kiện chiều dài cạnh như sau:

Trong phương trình trên các chiều dài cạnh AB và CD là các chiều dài được coi
là khơng có sai số. Sau khi thay trị bình sai của các góc bằng trị đo cộng số hiệu chỉnh
và khai triển Taylor ta sẽ có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như
sau:

Trong đó

là sai số khép của phương trình được tính:

Nếu từ phương trình điều kiện ta logarit cơ số 10 hai vế rồi khai triển tuyến tính
ta sẽ nhận được phương trình điều kiện dạng:

Trong đó sai số khép hình được tính:

Khi tính tốn các hệ số
,
và sai số khép phải cùng lấy số lẻ thứ 6 của
logarit làm đơn vị.
Số lượng phương trình điều kiện chiều dài dược tính theo cơng thức:
rs = Ns-1
Trong đó:

15

Ns – là tổng số cạnh đã biết chiều dài gồm chiều dài cố định và chiều dài đo
Đối với trường hợp mạng lưới tam giác như hình
A
thì phương trình điều kiện chiều dài cịn được gọi là
4
phương trình điều kiện cạnh cố định. Lúc đó phương
trình điều kiện sẽ có dạng:

Sin 4 ' Sin 6 '.Sin 8'
AB.
− BC = 0
Sin 5' Sin 7 ' Sin 9 '

5

B

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:

1

6

P

2
3

7
Chú ý:

8 Q
+ Trong mạng lưới tam giác đo góc có N cạnh cố
định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc như hình
9
thì bao giờ cũng có (N-1) phương trình góc cố định và
C
(N-1) phương trình điều kiện cạnh cố định. Với hình có
3 cạnh cố định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc
thì số lượng phương trình điều kiện góc cố định và cạnh cố định trong mạng lưới là:
rα= Nα-1 = 3 - 1 = 2 phương trình
rs = Ns-1 = 3 - 1 = 2 phương trình
Vậy lưới có 2 phương trình điều kiện góc cố định và 2 phương trình điều kiện
cạnh cố định
Nếu trong mạng lưới có N cạnh cố định khép kín thì sẽ có (N-1) phương trình
góc cố định và (N-3) phương trình điều kiện cạnh cố định.
Ví dụ cho mạng lưới như hình có 5 cạnh cố định khép kín, khi đó số lượng
phương trình điều kiện góc cố định và cạnh cố định sẽ là:
rα= Nα-1 = 5 - 1 = 4 phương trình
rs = Ns-3 = 5 - 3 = 2 phương trình
Vậy lưới có 4 phương trình điều kiện góc cố định và 2 phương trình điều kiện
cạnh cố định

B

2

A
1
21

4 7

3 5
20
18
19
17
14

6
9
16 12
15

E

8 C
10

11
13

D
c. Phương trình điều kiện toạ độ
Cơng thức tính số lượng phương trình điều kiện tọa độ như sau:
rxy = 2(Nxy-1)
Trong đó: Nxy - số nhóm điểm gốc trong lưới
+ Đối với mạng lưới tam giác đo góc:
Khi phát triển các mạng lưới tam giác cấp thấp dựa vào các điểm tam giác cấp
cao nếu có thừa số lượng điểm cấp cao sẽ xuất hiện phương trình điều kiện toạ độ.

16


Nếu các điểm cấp cao trong lưới ở liền kề thì tuy có thừa điểm cấp cao song sẽ
khơng có phương trình điều kiện toạ độ. Trong trường hợp này ta gọi chúng là một
nhóm điểm gốc. Như vậy phương trình điều kiện toạ độ chỉ xuất hiện khi trong mạng
lưới có từ 2 điểm gốc trở lên và một trong các nhóm đó phải có từ 2 điểm gốc trở lên
hoặc có xác định chiều dài và phương vị khởi tính của một cạnh trong lưới.
Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện toạ độ: Xuất phát từ toạ độ đã biết
của điểm khởi tính, dùng các góc, cạnh đã bình sai tính chuyền toạ độ về 1 điểm đã
biết khác (thuộc nhóm khác) thì phải nhận được giá trị toạ độ đúng bằng toạ độ đã biết
của điểm đó.
Xét chuỗi tam giác hình, biết tọa độ các điểm A, B, C tạo thành 2 nhóm điểm
khởi tính.
B
B2

A2

A

A1

B1

A3

A4

B4

B3

A5

B5

C

Vì toạ độ của các điểm A, B, C đã biết; nếu xuất phát từ toạ độ X, Y của điểm
B tính chuyền toạ độ về C thì phải nhận được giá trị toạ độ đã biết của điểm C, vậy sẽ
lập được phương trình điều kiện hồnh độ và tung độ như sau:
Phương trình điều kiện:
5

X B +  X i − X C = 0
i =1
5

YB +  Yi − YC = 0
i =1

Số gia toạ độ X, Y trên được tính chuyền theo đường nét đứt nối giữa điểm
B và C, các cạnh trên đường đó gọi là cạnh tính chuyền toạ độ, giá trị chiều dài và
phương vị của các cạnh được tính:

SinA 1' SinA '2 ...SinA i'
S i = AB
SinB 1' SinB '2 ...SinB i'

 i =  AB − C1' + C'2 ...  Ci'  1800
Trong đó Ai’, Bi’, Ci’ là các giá trị sau bình sai của các góc trong tam giác, các
góc Ai’, Bi’ được gọi là góc tính chuyền chiều dài, Ci’gọi là góc tính chuyền phương
vị. Các góc Ai, Bi, Ci là các góc đo, các số hiệu chỉnh tương ứng là VAi, VBi, VCi.
Từ phương trình điều kiện ta có thể viết:

Gọi Si và αi là giá trị gần đúng của chiều dài và phương vị cạnh thứ i, ta có thể
viết:

17


Số hiệu chỉnh Vαi và VSi khá nhỏ, có thể triển khai

thành dạng mới:

Các số hiệu chỉnh Vαi và VSi không phải là số hiệu chỉnh của trị đo trực tiếp vì
thế phải biến đổi để tìm ra quan hệ của chúng với số hiệu chỉnh của các góc đo trong
lưới tam giác.
Từ các phương trình ta tiến hành triển khai tuyến tính đối với Vαi và VSi ta được:

Trong đó
góc đo ta có:

,

là sai số khép tọa độ, theo các gia số tọa độ tính từ giá trị các

Từ các phương trình trên ta sẽ biểu diễn Vαi và VSi qua số hiệu chỉnh của các góc

VAi, VBi, VCi như sau:

Trong đó góc Ci nằm bên trái đường tính chuyền thì hệ số
mang dấu dương,
nếu góc Ci nằm bên phải đường tính chuyền thì hệ số
mang dấu âm (tn theo cơng
thức tính chuyền phương vị)
Sau khi thay Vαi và VSi vào phương trình và qua biến đổi ta sẽ nhận được hai
phương trình điệu kiện số hiệu chỉnh tọa độ dạng:

Trong đó:

X iC = X C − X i
YiC = YC − Yi

Để viết phương trình điều kiện toạ độ ta cần phải thực hiện các bước sau:

18


1. Vạch đường tính chuyền toạ độ nối giữa 2 điểm đã biết toạ độ. Đường tính
chuyền cần vạch sao cho trong mỗi tam giác góc Ci chỉ làm nhiệm vụ tính chuyền
phương vị, khơng tham gia tính chuyền dài, cịn các góc Ai, Bi chỉ tham gia tính
chuyền chiều dài mà khơng tham gia tính chuyền phương vị
2. Tính toạ độ gần đúng của các điểm trên đường tính chuyền để phục vụ cho
tính các hệ số, việc tính này được kết hợp khi tính sai số khép x, y.
3. Viết phương trình điều kiện toạ độ dạng tuyến tính, khi viết cần phân biệt các
góc tính chuyền chiều dài Ai, Bi và các góc tính chuyền phương vị. Cần lưu ý xét dấu
hệ số của góc tính chuyền phương vị Ci cũng như xét dấu của hệ số góc tính chuyền
chiều dài Ai, Bi.

Ví dụ có mạng lưới như hình vẽ, A, B, C, D là 4 điểm đã biết tọa độ.
Ta tính được số lượng phương trình điều kiện tọa độ trong mạng lưới là:

rxy = 2(Nxy-1) với Nxy = 2
Vậy rxy = 2(2 - 1)= 2 phương trình
Phương trình điều kiện toạ độ là:

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh đối với x là:
X BD



+

( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) −

''

X IIID



''

YBD

( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) −



''

.V14 +

YIIID

 ''

X IID



''

( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) +



''

( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) +

YIIID



''

.V14 +

.V13 +

YIID

X IIID



''

( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) −

X IID

 ''

.V13 +

. (V10 + V20 ) +  y = 0

 ''
+ Đối với mạng lưới đo cạnh và lưới đo góc - cạnh:
Lưới góc cạnh bao gồm cả lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa
giác. Tuy kết cấu lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác có khác
+

''

( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) +

X BD

 ''

. (V10 + V20 ) +  x = 0

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh đối với x là:
YBD

YIID

19


nhau song phương trình điều kiện tọa độ của chúng lại tương tự nhau. Chúng ta xét
một đường chuyền phù hợp có dạng như hình vẽ:
A

β2

βn +1
C

S1
β1

S2

B

β3

βn

Sn
D

Trong đường chuyền có các điểm khởi tính đã biết tọa độ là A, B, C và D. Đường
chuyền có n cạnh đo là S1, S2,… Sn và n+1 góc đo là β1, β2, βn+1.
Nếu kí hiệu giá trị bình sai của các cạnh là S’1, S’2,… S’n và của các góc là β’1,
β’2, β’n+1 ta sẽ lập được hai phương trình điều kiện tọa độ là:

trong đó các góc đo là các góc ngoặt trái nên giá trị phương vị được tính:
(2.1)
Từ các phương trình điều kiện trên ta khai triển tuyến tính về dạng trung gian ta
được:

(2.2)

Trong đó

,

là sai số khép tọa độ được tính theo cơng thức:

Từ quan hệ (2.1) ta rút ra:

Thay biểu thức trên vào (2.2) và qua biến đổi sẽ nhận được phương trình điều kiện
dạng:

(2.4)

20


Trong đó Xi, Yi là tọa độ của các điểm trên đường chuyền mà tại đó đo góc
Trong những lưới đường chuyền tạo thành những vịng khép kín chúng ta sẽ lập
được các phương trình điều kiện tọa độ khép vịng, các phương trình này được viết:

(2.4)

Tương tự cách biến đổi như trên ta sẽ viết được phương trình điều kiện số hiệu
chỉnh tọa độ vịng.
Các phương trình điều kiện tọa độ dạng là viết cho đường chuyền đa giác, góc
βi ln ở bên trái đường chuyền. Trong thực tế, các góc βi có thể đo ở bên phải đường
chuyền nên khi lập phương trình điều kiện tọa độ cho mạng lưới đo góc cạnh cần chú
ý đến dấu của góc tính chuyền phương vị. Nếu góc chuyền phương vị nằm bên trái
đường chuyền thì hệ số mang dấu dương, bên phải thì hệ số mang dấu âm. Do vậy,
dạng tổng qt của phương trình là:

(2.4)

Đối với lưới đo tồn cạnh, để viết phương trình điều kiện tọa độ ta cũng phải
dựa vào một chuỗi tam giác nối giữa các điểm gốc với nhau. Cách viết phương trình
điều kiện tọa độ trong lưới đo cạnh tương tự như trong lưới đo góc cạnh chỉ khác là
lưới chỉ đo tồn cạnh nên phải chuyển số hiệu chỉnh từ góc sang cạnh.
Ví dụ với lưới tam giác đo cạnh như hình, ta viết được phương trình điều kiện
tọa độ như sau:
A
I

S3
C1

C3
S4

S2

S5

C2
S6

B

S1

IV

II

S10

S8

S11

S7

S9

IV

21


Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:

Áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh trong lưới tam giác đo cạnh để thay thế
các số hiệu chỉnh của góc về số hiệu chỉnh của cạnh ta sẽ được phương trình số hiệu
chỉnh dạng:
a1. VS1 + a2. VS2 + a3. VS3 + a4. VS4 + a5. VS5 + a6. VS6 +
=0
b1. VS1 + b2. VS2 + b3. VS3 + b4. VS4 + b5. VS5 + b6. VS6 +

=0

Chú ý: Trong mạng lưới tam giác khi có từ hai nhóm điểm khởi tính trở lên sẽ
có phương trình điều kiện tọa độ. Trong lưới đường chuyền ta khơng sử dụng khái
niệm nhóm điểm khởi tính. Ví dụ lưới đường chuyền đa giác trong hình có 1 phương
trình điều kiện phương vị và 2 phương trình điều kiện tọa độ mặc dù 3 điểm khởi tính
A, B, C ở trong một nhóm.
B

A

β1
S1

β3

β5

β2
S2

S3

β4

C

β7
β6

S4

S6

S5

Ví dụ: Cho lưới mặt bằng đo góc như hình vẽ. Trong đó B, I, C là điểm gốc,
cạnh gốc CD, phương vị gốc CD. Các điểm A, II, III, D là điểm cần xác định.
αCD

22

D


Hãy tính số lượng phương trình điều kiện và viết các phương trình điều kiện số

hiệu chỉnh cho mạng lưới trên.
+ Số lượng phương trình điều kiện:
- Tổng trị đo trong lưới là n = 22
- Trị đo cần thiết t = 2(7 – 3) = 8
Vậy r = n – t =14
rhình = (n1-n’) - q+1 = 20 - 13-1+1 =7 phương trình
rvịng= q =1 phương trình
rcực= n’-2p+3= 13- 2x7+3=2 phương trình
rα=Nα-1= 2-1=1 phương trình
rs = Ns-1=2-1=1 phương trình
rxy = 2(Nxy-1)=2(2-1)=2 phương trình
Vậy lưới trên có: 7 phương trình điều kiện hình; 1 phương trình điều kiện vịng; 2
phương trình điều kiện cực, 1 phương trình điều kiện góc phương vị; 2 phương trình
điều kiện tọa độ, 1 phương trình điều kiện cạnh.
1.Phương trình điều kiện hình
v1+v2+v3+v7 + w1 = 0
v4+v5+v6+ w2 = 0
v17+v18+v8 + w3 = 0
v13+v11+v12 +w4 = 0
v9+v19+v20 + w5 = 0
v10+v14+v15+v16 + w6 = 0
v7+v3+v15+v14 +w7 = 0
2. Phương trình điều kiện vịng
+ v3+v6+v8+v9+v13+v15 + w8 = 0
3. Phương trình điều kiện cực
+  1V1 +  15V15 +  10V10 +  7V7 −  2V2 −  3V3 −  14V14 −  16V16 + 9 = 0
+

 1V1 +  4V4 +  17V17 +  19V19 +  11V11 +  10+14V10 +  10+14V14 −  2+ 7 (V2 + V7 )
−  5V5 −  18V18 −  20V20 −  12V12 −  16V16 + 10 = 0

4. Phương trình điều kiện góc phương vị
v10-v7+v6 - v17 +w13 = 0
5. Phương trình điều kiện cạnh cố định
6. Phương trình điều kiện tọa độ

23


+

xBC

+

y AC

+

YBC

−

X AC

( cotg (16 + 11) . (V



16



V7 +

xIIC



( cotg 4.V4 − cotg 5.V5 ) −

( cotg (16 + 11) . (V



16



V7 +

YIIC



+ V11 ) − cotg 2.V2 ) −
yIIC



+ V11 ) − cotg 2.V2 ) +

( cotg 4.V4 − cotg 5.V5 ) +

yBC



x AC



( cotg14.V

− cotg ( 3 + 15 ) .(V3 + V15 )

14

v6 + 13 = 0

X BC

X IIC



V10 +



V10 +

YAC



( cotg14.V

14

− cotg ( 3 + 15 ) .(V3 + V15 )

V6 + 14 = 0

2.1.2 Thành lập phương trình chuẩn số liên hệ
2.3.1. Thành lập hệ phương trình chuẩn
Khi tính tốn bình sai đã viết được hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh thì
bước tiếp theo là ta lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ.
Giả sử hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh có dạng:
a1v1 + a2 v2 + ... + an vn + wa = 0
b v + b v + ... + b v + w = 0
11 2 2
n n
b

...
r1v1 + r2 v2 + ... + rn vn + wr = 0

Tất cả các hệ số của phương trình điều kiện và phương trình chuẩn được tính
trong bảng 2.3.1. Dựa vào bảng 2.3.1 ta lập được hệ phương trình chuẩn số liên hệ như

sau:

STT

ai

bi

ci

si

fi

s’i

1

a1

b1

c1

s1

f1

s’1

a2

b2

c2

s2

f2

s’2

…

…

…

…

…

…

an

bn

cn

sn

fn

s’n

[a]
ωa
ka

[b]
ωb
kb

[c]
ωc
kc

[s]
[ω]

[f]

[s’]

2
…..
n

…

24


bảng 2.3.1
Các bước tính tốn, kiểm tra như sau:
ai + bi + ci = si
si + fi = s’i
a1 + a2 +….+ an = [a]
b1 + b2 +….+ bn= [b]
c1 + c2 +….+ cn = [c]
 ba   bb   bc   bs 
 p + p + p = p 
       

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình số hiệu chỉnh như sau:
v1 + v2 − v4 + 0.5 = 0

v2 + v3 − v5 = 0
v + v + v − v − 1 = 0
1 2 3 6

Hãy thành lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ.
Bảng hệ số phương trình số hiệu chỉnh:
STT
ai
bi
ci
1
1

0
1
2
1
1
1
3
0
1
1
4
-1
0
0
5
0
-1
0
6
0
0
-1
Tổng
1
1
2
0.5
0
-1
k1

k2
k3
3
1
2

25

si
2
3
2
-1
-1
-1
4
-0.5
6