ly thuyet hinh lang tru dung moi 2022 bai tap toan 8

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. Lý thuyết
1. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình có các mặt bên đều là những hình chữ nhật.
Hình bên cho ta hình ảnh của hình lăng trụ đứng ABCD. A1B1C1D1 , và ở đó:
1. Các điểm A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 được gọi là các
đỉnh.
2. Các đoạn AA1 , BB1 , CC1 , DD1 song song với nhau và
bằng nhau, chúng được gọi là các mặt bên.
3. Các mặt ABB1 A , BCC1B1 , CDD1C1 , ADD1 A1 là những
hình chữ nhật, chúng được gọi là các mặt bên.
4. Hai mặt ABCD , A1B1C1D1 là hai đáy.
5. Hình lăng trụ này có đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ tứ giác.
Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ đứng:
- Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau hay khơng?
- Các cạnh bên có vng góc với hai mặt phẳng đáy hay khơng?
- Các mặt bên có vng góc với hai mặt phẳng đáy hay khơng?
 Giải
Ta lần lượt có:
- Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau, bởi chúng đều chứa hai cặp đường
thẳng cắt nhau và song song với nhau.
- Các cạnh bên có vng góc với hai mặt phẳng đáy, bởi mỗi cạnh bên đều vng góc với hai
cạnh đáy cắt nhau.
- Các mặt bên có vng góc với hai mặt phẳng đáy, bởi chúng chứa cạnh bên vng góc với
đáy.
 Nhận xét: Như vậy:
 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
2. THÍ DỤ
Với hình vẽ trong phần 1, ta nhận thấy:
- Hai mặt đáy ABCD và A1B1C1D1 là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song

song.


- Độ dài mỗi cạnh bên được gọi là chiều cao, thí dụ chiều cao AA1 .
B. Các dạng bài tập
VÍ DỤ 1: ABC. A1B1C1 là một lăng trụ đứng tam giác.
a) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
b) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vng góc với nhau.
c) Sử dụng kí hiệu “//”, “  ”, và “ ” điền vào các ô trong bảng sau:
AA1

BB1

CC1

AB

BC

AC

A1 B1

B1C1

A1C1

 ABC 
 A1B1C1 
 ABB1 A1 

 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.

 Giải
a) Ta chỉ có  ABC  / /  A1B1C1  .
b) Ta có:
  AA1B1B  ,  BB1C1C  ,  AA1C1C  cùng vng góc với  ABC  .
  AA1B1B  ,  BB1C1C  ,  AA1C1C  cùng vng góc với  A1B1C1  .
c) Ta có:
AA1

BB1

CC1

AB

BC

AC

A1 B1

B1C1

A1C1

 ABC 













//

//

//

 A1B1C1 







//

//

//







 ABB1 A1 





//





VÍ DỤ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thang cân  AB / /CD 
có AC vng góc với BD.
a) Đường thẳng BD và A1C có cắt nhau khơng? Vì sao?
b) Đường thẳng AD song song với những mặt phẳng nào?
c) Đường thẳng AC vng góc với những mặt phẳng nào?
d) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.


e) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vng góc với nhau.
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.
 Giải
a) Đường thẳng BD và A1C không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt

thì 4 điểm B, C, D, A1 cùng thuộc một mặt phẳng

nhau

 A1   BCD   A1   ABCD  , mâu thuẫn

b) Ta có:
AD / / A1D1   A1B1C1D1   AD / /  A1B1C1D1  .
AD / / A1D1   A1D1B   AD / /  A1D1B 
AD / / A1D1   A1D1C   AD / /  A1D1C 

Vậy, có 3 mặt phẳng  A1B1C1D1  ,  A1D1B  ,  A1D1C  song song với AD.
c) Ta có:
 AC  BD
 AC   BB1 D1 D  .

 AC  BB1

Vậy có duy nhất mặt phẳng  BB1D1D  vng góc với AC .
d) Ta có các cặp mặt phẳng song song với nhau là:

 ABCD  / /  A1B1C1D1  và  ABB1 A1  / /  CDD1C1  .
e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vng góc với hai đáy
 ABCD  và  A1B1C1D1  là:

 AA1B1B  ,  BB1C1C  ,  CC1D1D  .
 AA1D1D  ,  AA1C1C  ,  BDD1B1  .
Mặt khác:
 Vì AC   BB1D1D  nên các mặt phẳng chứa AC đều vng góc với mặt phẳng  BB1D1D  , do
đó ta có:

 ACC1 A1    BB1D1D  ,  ACB1    BB1D1D  ,  ACD1    BB1D1D  .
 Vì BD   ACC1 A1  nên các mặt phẳng chứa BD đều vng góc với mặt phẳng  ACC1 A1  , do
đó ta có:

 BDD1B1    ACC1 A1 
 BDA1    ACC1 A1 
 BDC1    ACC1 A1 


 Vì AC
1 1   BB1 D1 D  nên các mặt phẳng chứa A1C1 đều vng góc với mặt phẳng  BB1 D1 D  ,
do đó ta có thêm:

 AC
1 1 B    BB1 D1 D  ,  AC
1 1 D    BB1 D1 D  .
 Vì B1D1   ACC1 A1  nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng  ACC1 A1  , do
đó ta có thêm:

 B1D1 A   ACC1 A1  ,  B1D1C    ACC1 A1  .