Đề thi và đáp án đề thi thử đại học môn toán năm 2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (644.02 KB, 6 trang )
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN; Khối A, A
1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
4 2 2 2
2 1 (1)
y x m x m
(m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
2.
m
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị
, ,A B C
sao cho bốn điểm
O,
, ,A B C
là bốn đỉnh của một hình thoi (với
O
là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
2
4sin
1 cot 2
1 cos4
x
x
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2
2 2
4 1 1 1 2 0
4 4 2 3 4 3
x x y y
x y y x
.
Câu 4 (1,0 điểm). Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình
2 3
2 4 1 4
x m x m x x
có nghiệm.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt
bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với mặt phẳng
SCD
với I là trung điểm của AB. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
.
2 2 2 5
a b c b c a c a b
a b c ab a b c bc a b c ca
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 4 0
d x y
và hai đường
tròn
2 2
1
: 1 1 1;
C x y
2 2
2
: 3 4 4
C x y
. Tìm điểm M trên đường thẳng d để từ M kẻ
được tiếp tuyến MA đến đường tròn
1
C
và tiếp tuyến MB đến đường tròn
2
C
(với A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác AMB cân tại M.
Câu 8a (1,0 điểm). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
Câu 9a (1,0 điểm). Giải phương trình:
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log 4
2 4
x x x
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
1
: 2 3 0
d x y
và đường
thẳng
2
: 2 1 0
d x y
cắt nhau tại
I
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
O
và cắt
1 2
,d d
lần lượt
tại
,A B
sao cho
2IA IB
.
Câu 8b (1,0 điểm). Tính giới hạn:
2
2
0
cos3 cos
lim
x
x
e x x
x
.
Câu 9b (1,0 điểm). Cho khai triển
3 2 3
0 1 2 3
1 2
n
n
n
x x a a x a x a x
. Xác định hệ số
6
a
biết rằng
15
3
1 2
0
2 3
1
2 2 2 2
n
n
aa a
a
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:……………….
24hchiase.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN; Khối A, A
1
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 2,0 điểm
Với
2
m
hàm số có dạng
4 2
2 4 3
y x x
TXĐ:
D
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
0,25
Chiều biến thiên:
3
0
' 8 8 ; ' 0
1
x
y x x y
x
BBT
x
1
0 1
y’
0 + 0
0 +
y
1
3
1
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng
1; 0
và
1;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 1
và
0;1
.
Điểm cực đại
0;3
, cực tiểu
1; 1 , 1; 1
.
0,25
a
Điểm uốn:
2
1
'' 24 8; '' 0
3
y x y x
. Điểm uốn
1 17
;
9
3
U
Đồ thị: Giao với Oy tại
0;3
, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
0,25
TXĐ:
3 2
2
2
0
' 8 2 ; ' 0
(*)
4
x
y x m x y
m
x
0,25
b
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
(*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
m
0,25
24hchiase.com
Tọa độ các điểm cực trị
4 4
2 2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1
2 8 2 8
m m m m
A m B m C m
.
Dễ thấy
A Oy
còn B, C đối xứng nhau qua OA và O khác A khi
1
m
.
Tọa độ trung điểm của BC là
4
2
0; 1
8
m
I m
0,25
Vậy 4 điểm O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi khi I là trung điểm của OA suy ra
4 2
2 4 2
1
1 4 4 0
8 2
m m
m m m
2
m
( thỏa mãn).
0,25
2 1,0 điểm
Đk:
cos4 1
sin 2 0
2
k
x
x k
x
0,25
Pt
cos 2 sin2 sin 2 1 cos 2
x x x x
cos 2 sin2 1 sin 2 1 0
x x x
sin2 1
1
sin 2
4
2
x
x
0,25
+)
sin 2 1
4
x x k
0,25
+)
( )
1
sin 2
4
2
4
x k l
x
x k
Vậy phương trình có nghiệm
4 2
k
x k
.
0,25
3 1,0 điểm
2
2 2
4 1 1 1 2 0 (1)
4 4 2 3 4 3 (2)
x x y y
x y y x
Đk:
1
2
3
4
y
x
0,25
3
3
2
(1) 4 1 1 1 2 0 2 2 1 2 1 2
x x y y x x y y
Xét hàm số
3
( )
f t t t
trên
,
2
'( ) 3 1 0f t t t
0,25
(1) có dạng
2 1 2 2 1 2 0
f x f y x y x
Thay vào phương trình (2) ta được
4 2
16 24 8 3 4 3 0
x x x
2 2
16 2 1
4 1 4 5 0
3 4 1
x
x x
x
0,25
2
16
2 1 2 1 4 5 0
3 4 1
x x x
x
1
2
x
do
3
0
4
x
Với
1
0
2
x y
. Vậy hệ phương trình có nghiệm
1
; 0
2
.
0,25
4 1,0 điểm
Điều kiện
0
x
. Xét x = 0 thay vào phương trình không thỏa mãn.
Với
0
x
viết lại phương trình:
2 2
4 1 4 2 0
x m x x m x
2 2
4 4
1 2 0 1
x x
m m
x x
0,25
24hchiase.com
Đặt
2
4
2
x
t
x
. Từ phương trình (1) ta có:
2
1 2 0 2
t m t m
2
2
1
t t
m g t
t
0,25
Xét hàm số
2
2
1
t t
g t
t
với
2
t
2
4
1( )
' 1 ; ' 0
3
1
t l
g t g t
t
t
BBT
t 2 3
g’(t)
0 +
g(t)
8
7
0,25
Để (1) có nghiệm
0
x
thì (2) có nghiệm
2
t
Từ BBT của g(t) thì cần có
7
m
.
0,25
5 1,0 điểm
F
E
I
K
H
O
D
C
B
A
S
Goi E là trung điểm của CD, suy ra
AB IE
. Lại có
AB SI AB SEI
, do đó
( )
ABCD SIE
. Trong tam giác SEI kẻ đường cao SH
SH ABCD
0,25
3; 2
SI a IE a SE a
(do tam giác SEI vuông tại S)
3
2
a
SH
.
Vậy
3
.
1 2 3
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S
(đvtt)
0,25
Vì
2 2
1
2 2 2
a a
EH SE SH OH EH OI
. Qua O kẻ
/ / ( )
OF BC F BC
, ,
d SO AB d AB SOF
, 2 ,
d I SOF d H SOF
0,25
Kẻ HK vuông góc với SO tại K
HK SOF
3
, 2
2
a
d SO AB HK
.
0,25
6 1,0 điểm
Không mất tổng quát, giả sử:
3
a b c
Đặt
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c b c a c a b
P
a b c ab b c a bc a b c ac
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 2
2 2 2
a b c b c a c a b
P
a b c ab b c a bc a b c ac
0,25
24hchiase.com
2 2 2
2 2 2
6 1 1 1
9
P
a b c b c a a c b
0,25
2 2
2 2
1 1 1 2
1
5 25
3
c
a b c c c
2
1 2 1 0
c c
đúng
0,25
2 2 2
2 2 2
6 1 1 1
9
P
a b c b c a a c b
3 3
5 5
P
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b c
.
0,25
7.a 1,0 điểm
1
C
có tâm
1;1
I
, bán kính
1
1
R
;
2
C
có tâm
3; 4
J
, bán kính
2
2
R
0,25
Do
1 2
5
IJ R R
1 2
,
C C
rời nhau nên A và B phân biệt
0,25
; 4
M t t d
2 2 2 2
1
2 4 9
MA MI R t t
;
2 2 2 2
2
2 6 5
MB MJ R t t
0,25
Tam giác AMB cân tại M
2 2
2
MA MB t
. Vậy
2;6
M
.
0,25
8.a
1,0 điểm
Số cách chọn 2 số tự nhiên chẵn trong các số đã cho (có cả số 0)
2
4
6
C
Số cách chọn 3 số lẻ trong các số đã cho
3
4
4
C
0,5
Số các số có 5 chữ số phân biệt gồm 2 số chẵn và 3 số lẻ được lấy từ tập đã cho (có cả
số 0 đứng đầu)
2 3
4 4
. .5! 2880
C C
Số các số có 5 chữ số phân biệt mà số 0 đứng đầu gồm 2 số chẵn và 3 số lẻ được lấy
từ tập đã cho
1 3
3 4
. .4! 288
C C
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2880 288 2592
số.
0,5
9.a
1,0 điểm
ĐK:
0
1
x
x
2 2
(1) log 3 1 log 4 ( 3) 1 4
x x x x x x
(2)
0,25
- Nếu
1
x
; (2)
( 3)( 1) 4
x x x
1
3
3
x
x
x
0,25
- Nếu
0 1
x
; (2)
( 3)(1 ) 4 3 2 3 3 2 3
x x x x x
0,25
Vậy phương trình có 2 nghiệm
3; 3 2 3
x x
0,25
7.b
1,0 điểm
Ta có
1 2
d d
. Tam giác
IAB
vuông tại I và có
2IA IB
nên
1
cos
5
IAB
hay
d
tạo với
1
d
một góc
với
1
cos
5
0,25
1
d
có véc tơ pháp tuyến
1
(1; 2)
n
, gọi
( ; )n a b
là véc tơ pháp tuyến của
d
1
2 2
1
.
2
1 1 1
cos
5 5 5
5
n n
a b
n n
a b
0,25
2
0
3 4 0
4 3
b
b ab
a b
0,25
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
0
x
và
3 4 0
x y
0,25
24hchiase.com
8.b
1,0 điểm
2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
cos3 .cos 1 1 cos3 .cos 1 cos3 .cos
lim lim lim 1 lim
x x
x x x x
e x x e x x x x
x x x x
0,25
2
0
1 cos3 .cos
lim
x
x x
x
2 2
2 2
0 0
1 cos 4 1 cos 2 sin 2 sin
lim lim
2
x x
x x x x
x x
0,25
2 2 2
2 2 2
0 0 0
sin 2 sin sin 2
lim lim 1 lim
x x x
x x x
x x x
0,25
2
2
0
sin 2
1 4lim 5
4
x
x
x
. Vậy
2
2
0
cos3 .cos
lim 6
x
x
e x x
x
0,25
9.b
1,0 điểm
Cho
3 15
31 2
0
2 3
1 1 1
2 2 2 2 2 2
n
n
n
aa a
x a
15
8 2 5
n
n
0,25
Ta có
5 5
5
3 15 3 15 3
5 5
0 0 0
1 2 1 2 2
k
k i
k k k k i
k
k k i
x x C x x C x C x
5
15 3
5
0 0
. . 2 .
k
i
k i k i
k
k i
C C x
0 5
i k
0,25
15 3 6 3 9
k i k i
Ta có bảng sau
k 3 4 5
i 0 3 6
0,25
3, 0
k i
hoặc
4, 3
k i
Vậy
0 3
3 0 4 3
6 5 3 5 4
. . 2 . . 2 150.
a C C C C
0,25
Hết
24hchiase.com
