cac bai toan ve tinh hoc

14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 1
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Chương 3:
CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
I. Bài toán về đòn và vật lật
2. Bài toán cân bằng hệ vật rắn
3. Bài toán tĩnh định và siêu tĩnh
4. Bài toán Ma sát
5. Bài toán Trọng tâm.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 2
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
I.Bài toán về đòn và vật lật
Vật lật là vật rắn có khả năng bị lật đổ quanh 1 trục 0
dưới tác dụng của các lực hoạt động.
Dựa vào xu hướng lật của vật ta chia lực hoạt động ra:
- Lực lật (Lực làm vật lật hay xu hướng đổ quanh 0).
- Lực giữ (Lực giữ vật tồn tại ở trạng thái cân bằng).
Điều kiện cân bằng của vật lật là:
Tổng mô men các lực giữ lớn hơn
hay bằng tổng mô men các lực lật đối
với cùng điểm lật (hay trục lật) M
g

≥
M
l
P
ur
Q
ur
N

uur
O
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 3
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài tập ví dụ:
Một cần trục đường sắt mà khoảng
cách giữa 2 ray là 1,5 m. trọng lượng
của xe cần trục là 30kN và đặt tại A.
Trọng lượng của tời đặt trên xe là 10kN
và đặt tại điểm C. Đối trọng đặt ở E và
nặng là 20kN. Hình vẽ
Hãy xác định tải trọng nâng lớn nhất Q để cần trục không bị
lật. Cho biết cần FG nặng 5kN và trọng tâm là H.
Bài Giải:
Nếu vật nâng Q lớn quá, cần trục sẽ lật quanh điểm D khi đó
cần trục làm việc như 1 cái đòn mà trục quay là ray D.
Khảo sát cần trục ở vị trí cân bằng giới hạn.
K
D
A
E
F
H
G
Q
E
P
uur
A
P

uur
C
P
uur
H
P
uuur
Q
ur
1m 1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 4
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Vị trí cần trục sắp sửa lật quanh
ray D dưới tác dụng của lực Q
đạt giá trị tới hạn Q
max
, lúc này
bánh xe K không còn tiếp xúc
với đường ray nữa và phản lực
ở K = 0. Do đó theo điều kiện
cân bằng vật lật M
giữ

≥
M
lật

ta có:
20.1,75 + 10.0,85 + 30.0,75
≥
Q.1,25 + 5.0,75
Với P
E
= 20 kN; P
A
= 30 kN , P
C
= 10 kN; P
H
= 5 kN
Ta tìm được Q
≤
49,8 kN
Giá trị Q
max
= 49,8 kN
K
D
A
E
F
H
G
Q
E
P
uur

A
P
uur
C
P
uur
H
P
uuur
Q
ur
1m 1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 5
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
II. Bài toán cân bằng hệ vật:
Trong thực tế phần lớn các bài toán là nghiên cứu sự cân
bằng của nhiệu vật liên kết cơ học với nhau
Nếu hệ vật cân bằng thì từng vật riêng lẻ cũng cân bằng, do
đó 1 bài toán hệ vật là tập hợp 1 số bài toán 1 vật riêng lẻ.
Có 2 phương pháp giải:
a. Phương pháp hóa rắn:
-
Coi toàn bộ hệ như 1 vật rắn.
-
Thành lập hệ phương trình hình chiếu và mô men.
(trong các phương trình không có nội lực)

Chú ý: Nếu số phương trình chưa đủ để xác định ẩn số ta phải
tách hệ vật thành các vật riêng lẻ sau đó xét cân bằng các
vật này để lập thêm những phương trình cần thiết.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 6
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
-
Nếu hệ có n vật ta lập được 3n phương trình độc lập,
đủ xác định 3n ẩn số.
-
Nếu số ẩn số trong bài toán lớn hơn số phương trình
cân bằng tĩnh ta có bài toán siêu tĩnh.
a. Phương pháp tách vật:
-
Tách vật thành các hệ vật riêng lẻ.
-
Thành lập các phương trình cân bằng cho các vật này.
(thay việc giải bài toán hệ vật thành việc giải 1 số bài toán
vật đơn)
Chú ý: khi xét vật riêng lẻ thì nội lực do các vật khác đặt
lên vật này thành ngoại lực.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 7
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài tập ví dụ :
Dầm AB dài 6m nặng là P
1
= 8 kN
tựa tại D lên dầm CD dài 5m và
nặng P
2
= 6 kN. Hệ 2 dầm được

giữ cân bằng nhờ các bản lề A, C
và sợi dây EF. Hình vẽ,
cho DE = 1m, Q = 3 kN,
α
= 30
0
.
Hãy xác định các phản lực tại A,C và D
Bài giải:
Ta dùng phương pháp hóa rắn, coi 2 dầm như 1 vật rắn cân
bằng dưới tác dụng của các lực sau:
A
D
B
C
2
P
uur
1
P
uur
Q
ur
F
E
30
0
30
0
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 8

Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
-
Các ngoại lực:
trọng lượng , các phản lực
, của bản lề A: của
bản lề C; phản lực của dây EF.
- Các nội lực: phản lực của thanh
CD tác dụng lên AB và phản lực
của AB tác dụng xuống CD, trong đó
Thành lập phương trình cân bằng cho cả hệ vật:
∑
X
k
= 0
⇒
X
A
– T + X
C +
Q.cos30
0
= 0;
∑
Y
k
= 0
⇒
Y
A
– P

1
– P
2
+ Y
C
- Q.sin30
0
= 0;
∑
m
A
(F
k
) = 0
⇒
– P
1
. – Q.AB.sin30
0
- T.DE.cos30
0
–
- P
2
sin30
0
+ X
C
.CD.cos30
0

= 0
A
D
B
C
1
P
uur
2
P
uur
Q
ur
F
E
30
0
30
0
1 2
,P P và Q
uur uur ur
A A
X và Y
uuur uur
C C
X và Y
uuur uur
T
ur

D
R
uuur
/
D
R
uuur
/
D D
R = - R
uuur
uuur
C
X
uuur
C
Y
uur
A
Y
uur
A
X
uuur
D
R
uuur
/
D
R

uuur
T
ur
y
x
2
AB
2
CD
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 9
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
3 phương trình trên chứa 5 ẩn số là:
X
A
, Y
A
, X
C
, Y
C
và T.
Tách vật xét cân bằng thanh AB
các lực tác dụng lên dầm AB gồm:
của dầm CD. Thành lập các phương
trình cân bằng:
∑
X
k
= 0
⇒

X
A
+ Q.cos30
0
= 0;
∑
Y
k
= 0
⇒
Y
A
– P
1
+ R
D
- Q.sin30
0
= 0;
∑
m
A
(F
k
) = 0
⇒
– P
1

.

– Q.AB.sin30
0
+
+ R
D
.CD.sin30
0
= 0
Giải hệ phương trình trên:
Ta được: X
A
= - Q cos30
0
= - 2,59 Kn
2
AB
D
B
C
1
P
uur
2
P
uur
Q
ur
E
30
0

30
0
C
X
uuur
C
Y
uur
A
Y
uur
A
X
uuur
D
R
uuur
/
D
R
uuur
T
ur
A
1
, , ,
A A D
X Y P Qvà R
uuur uur uur ur uuur
D

0
1
0
. . .sin 30
2
13, 2
.sin 30
D
AB
P Q AB
R kN
CD
+
= =
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 10
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Y
A
= P
1
– R
D
+ Q.sin 30
0
= - 3,7 kN
Y
C
= P
1
+ P

2
+ Q.sin 30
0
– Y
A
= 11,8 kN
T = X
C
= 11,69 kN.
Chú ý:
Nếu ngoài 6 phương trình cân bằng đã có, ta lại xét dầm
CD và viết 3 phương trình cân bằng nữa, thì hệ 3 phương
trình này chỉ là hệ quả của các phương trình đã cho.
Nếu ta giải bài toán trên bằng phương pháp tách vật
nghĩa là giải 2 vật riêng lẻ thì ta cũng có 6 hệ phương trinh
cân bằng lực ta tìm được 6 ẩn số.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 11
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
4. Bài toán Ma sát:
Định nghĩa ma sát trượt:
Lực ma sát là lực cản trở chuyển
động xuất hiện giữa 2 bề mặt
tiếp xúc của 2 vật, khi 2 vật có xu
hướng chuyển động tương đối.
Hình nón ma sát và hiện tượng tự hãm:
Hình nón ma sát:
+ phản lực liên kết
+ Phản lực toàn phần
+ Góc ma sát
n

P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
N
uur
R
ur
ϕ
v
r
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 12
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Định luật Culon về ma sát trượt khô:
-
Lực ma sát tỷ lệ với áp lực.
-
Hệ số tỷ lệ f gọi là hệ số ma sát.
-
Hệ số ma sát f phụ thuộc vào: vật liệu, trạng thái bề
mặt, thời gian tiếp xúc.
-
Hệ số ma sát không phụ thuộc vào: diện tích bề mặt
tiếp xúc,

vận tốc dịch chuyển tương đối, áp lực trên bề mặt
tiếp xúc.
-
Hệ số ma sát tĩnh lớn hơn hệ số ma sát động.
.
ms
F f N=
uuur uur
n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 13
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Hiện tượng tự hãm:
Tác dụng lực lên vật, phương
của hợp với n góc
α
xét các
trường hợp sau:
+ Phương của cắt hình nón ma sát

ta có: (
α
<
ϕ
)
⇒
(tg
α
< tg
ϕ
)

⇒

⇒
Q.sinα < Q.cosα.f
⇒
Trượt xuống dưới, phân tích ra 2 thành phần
+ Q.cos
α
gây nén vật, (lực nén x hệ số ma sát = lực ma sát).
+ Q.sin α tác dụng kéo vật.

⇒
lực kéo < lực ma sát
⇒
vật không di chuyển được dù Q
lớn đến đâu. Vậy ta có hiện tượng TỰ HÃM.
Q
ur

n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
Q
ur
Q
ur
Q
ur
α
Q
ur
α
Q.cos
α
Q.sin
α
Q
ur
Q

ur
sin
cos
f
α
α
<
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 14
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
+ Trường hợp tiếp xúc và nằm ngoài
mặt nón ma sát: (
α

≥

ϕ
)

⇒
ta có: (tg
α

≥
tg
ϕ
)

⇒

⇒

Q.sinα ≥ Q.cosα.f
Trượt xuống dưới, phân tích ra 2
thành phần
+ Q.cos
α
gây nén vật, (lực nén x hệ số ma sát = lực ma sát).
+ Q.sin α tác dụng kéo vật.

⇒
lực kéo
≥
lực ma sát
⇒
vật bắt đầu di chuyển được và di
chuyển có gia tốc.
n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
Q
ur

α
Q
ur
α
Q.cos
α
Q.sin
α
Q
ur
sin
cos
f
α
α
≥
Q
ur
Q
ur
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 15
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Ma sát lăn:
Ma sát lăn xuất hiện khi vật A
muốn lăn trên vật B. Hình vẽ
Trường hợp này phản lực từ
mặt tựa B lên vật A có 3 thành
phần: - Phản lực pháp tuyến
- Lực ma sát trượt
- ngẫu lực ma sát lăn

Ngẫu lực này hướng ngược chiều vật muốn lăn.
Trị số M
l
= k.N k: hệ số ma sát lăn.
Điều kiện cân bằng: - F
ms
≤
f.N - M
l

≤
k.N
N
uur
l
M
uuur
ms
F
uuur
N
uur
ms
F
uuur
0
k
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 16
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Các bài toán:

Bài 1. Thang AB = 2a nặng là P có đầu
A tựa lên tường thẳng đứng nhẵn, còn
đầu B tựa lên nền ngang nhám. Cho
biết hệ số ma trượt giữa thang và nền
là f.
Xác định góc
α
để thang được cân bằng.
Bài giải:
Xét thang ở vị trí cân bằng với góc nghiêng
α
.
Các lực tác dụng lên thang gồm:
Trọng lượng , phản lực phản lực và lực ma sát
A
0
B
α
P
ur
A
N
uuur
B
N
uuur
ms
F
uuur
P

ur
A
N
uuur
B
N
uuur
ms
F
uuur
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 17
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Thành lập phương trình cân bằng:
∑
X
k
= 0
⇒
N
A
– F
ms
= 0
∑
Y
k
= 0
⇒
- P + N
B

= 0
∑
m
0
(F
k
) = 0 ⇒ - AB.sin
α
N
A
- cos
α
.P +
+ AB.cos
α
.N
B
= 0
Phương trình điều kiện không trượt:
F
ms

≤
f.N
B
Từ 4 phương trình trên ta tìm được:
tg
α

≥

2
AB
1
2 f
A
0
B
α
P
ur
A
N
uuur
B
N
uuur
ms
F
uuur
y
x
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 18
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài 2. Hãy xác định lực để con lăn
hình trụ đường kính 60 cm nặng 3000N
Lăn đều theo mặt phẳng nằm ngang,
Biết hệ số ma sát lăn k = 0,5 cm và lực
làm với phương ngang 1 góc
α

= 60
0
Bài giải:
Các lực tác dụng lên con lăn gồm:
- Trọng lượng con lăn lực hoạt động lực ma sát trượt
Phản lực pháp tuyến và ngẫu lực ma sát lăn
- Muốn con lăn lăn đều thì M
l
= k.N và hệ lực phải cân bằng.
∑
Y
k
= 0
⇒
N = Q – P.sin
α
∑
m
C
(F
k
) = 0
⇒
P.cos
α
.R = N.k
P
ur
P
ur

N
uur
l
M
uuur
ms
F
uuur
P
ur
Q
ur
α
Q
ur
P
ur
ms
F
uuur
N
uur
l
M
uuur
.
57, 2
cos sin
Q k
P N

R k
α α
= =
+
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 19
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài toán Trọng tâm.
1. Tâm của hệ lực song song:
a. Định nghĩa:
Điểm C mà hợp lực của hệ lực song song đi qua khi các lực
này quay cùng 1 góc và theo cùng 1 chiều quanh các điểm
đặt của chúng gọi là Tâm của hệ lực song song
b. Công thức xác định tâm của hệ lực song song:
Trong đó:
P =
∑
P
k
; x
C
, y
C
, z
C
- tọa độ của tâm C
x
k
, y
k
, z

k
- tọa độ điểm đặt của lực P
k
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x P y P z P
x y z
P P P
= = =
∑ ∑ ∑
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 20
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
2. Trọng tâm của vật rắn:
a. Định nghĩa:
Trọng tâm của vật rắn là điểm đặt hợp lực P (trọng lượng
) tác dụng lên vật.
b. Phương pháp tìm trọng tâm của vật rắn:
+ Dựa vào tính đối xứng:
Nếu vật có 1 điểm, 1 trục hay 1 mặt đối xứng thì trọng
tâm của vật nằm tại điểm, trên trục hay mặt ấy.
+ Phương pháp phân tích vật (phân chia):
Nếu vật có thể phân chia thành 1 số hữu hạn phần nhỏ
mà trọng tâm các phần nhỏ xác định được thì trọng tâm của
vật được xác định theo công thức sau:
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 21
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Trong đó:
P =

∑
P
k
– trọng lượng toàn vật.
P
k
- trọng lượng của phần nhỏ
x
k
, y
k
, z
k
- tọa độ trọng tâm của phần nhỏ.
Nếu vật đồng chất là bản mỏng thì:
Trong đó:
S =
∑

∆
S
k
– diện tích của toàn bản.

∆
S
k
- diện tích của phần tử nhỏ
x
k

, y
k
, z
k
- tọa độ trọng tâm của phần nhỏ.
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x P y P z P
x y z
P P P
= = =
∑ ∑ ∑
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x S y S z S
x y z
S S S
∆ ∆ ∆
= = =
∑ ∑ ∑
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 22
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Nếu vật là đường đồng chất:
Trong đó:
L =
∑

∆
l
k
- độ dài toàn cung.

∆
l
k
- độ dài cung nhỏ
x
k
, y
k
, z
k
- tọa độ trọng tâm của cung nhỏ.
Các bài toán:
Bài toán 1: Xác định trọng tâm của 1 đĩa
tròn bán kính R và có khoét 1 lỗ tròn bán
kính r. Cho C
1
C
2
= a. hình vẽ
Bài giải:
Trọng tâm của đĩa nằm trên trục đối xứng C
1
x
. . .

; ;
k k k k k k
C C C
x l y l z l
x y z
L L L
∆ ∆ ∆
= = =
∑ ∑ ∑
C
1
C
2
x
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 23
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Ta coi đĩa gồm 2 phần:
- phần đĩa đầy chưa bị khoét với
diện tích (+) và phần diện tích bị khoét
với diện tích (-)
Từ biểu thức tính trọng tâm ta có:
Bài 2:
Tìm tọa độ trọng tâm của 1 bán cầu
đồng chất bán kính R. Hình vẽ
Bài giải:
Trọng tâm nằm trên trục đối xứng oz
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2

. . . .0 . .
. .
C
S x S x R r a ar
x
S S R r R r
π π
π π
+ −
= = = −
+ − −
C
1
C
2
x
z
0
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 24
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

Chia bán cầu thành những bản mỏng
song song với đáy có độ dày dz.
dV là thể tích một bản mỏng ta có:
dV =
π
.r
2.
dz =
π

(R
2
– z
2
)dz
Do đó:
Và
Vậy
( )
.
V
C
z dV
z
V
=
∫
4
2 2
( ) 0
.
. ( )
4
R
V
R
z dV z R r dz
π
π
= − =

∫ ∫
3
2
.
3
V R
π
=
4
3
. / 4 3
2. . / 3 8
C
R
z R
R
π
π
= =
z
0
R
dz
r
z
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 25
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài toán 3:
Xác định trọng tâm của một bản
đồng chất. Hình vẽ. Kích thước

tính bằng cm.
Bài giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ
Chia hình thành 3 hình nhỏ
có trọng tâm đã biết:
y
x
2
2
2
2
6
8
y
H.3
H.2
H.1