bài tập vật lí đại cương có lời giải- đáp án

BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG
Bài 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm là :
x = Acosω t
y = Bsinω t
z = 0
Trong A, B, ω là các hằng số.Hãy tìm phương trình quĩ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm.
HD : quĩ đạo là một ellip có các bán trục là A và B nằm trong mặt phẳng xOy :
z = 0
= - Aω sinω t + Bω cosω t
= - Aω
2
cosω t - Bω
2
sinω t = -ω
2
: gia tốc hướng vào tâm ellip và tỉ lệ với bán
kính .
Bài 2. Từ độ cao h = 25m một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo

=
15m/s. Hãy xác định :
a) Quĩ đạo của vật
b) Thời gian chuyển động của vật từ khi ném cho tới khi chạm đất.
c) Gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của vật khi chạm đất.
d) Bán kính cong của quĩ đạo khi vật chạm đất.
HD : quĩ đạo parapol
a) y =
b) t = = 2,26s
c) a=g=9,8m/s
2
; at= =8,112m/s

2
; an= = 5,6m/s
2
d) R = =122,7m )
Bài 3. Một quả bóng được ném với vận tốc ban đầu vo theo một góc nghiêng φ so với bề mặt của
một mặt phẳng nghiêng. Mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng ngang một góc θ .
a) Hãy xác định khoảng cách dọc theo mặt phẳng nghiêng từ điểm ném cho tới khi quả bóng
chạm mặt phẳng nghiêng theo vo, g, φ, θ.
b) Với góc φ nào khi ném thì khoảng cách trên đạt giá trị cực đại.
( ĐS : a) ( )[tan(θ +φ ) - tanθ ]
b) )
Bài 4. Một cầu thủ bóng rổ bị phạm lỗi khi cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn và được hưởng
hai quả ném phạt. Theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao
của rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Trong lần ném phạt thứ nhất cầu thủ ném quả bóng theo một góc
35
o
so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo=4,88m/s
2
. Khi bắt đầu rời khỏi tay cầu thủ
1
thì quả bóng ở độ cao 1,83m so với mặt sân. Lần ném này quả bóng không lọt vào rổ. Giả sử bỏ
qua sức cản của không khí.
a) Hỏi độ cao cực đại mà quả bóng đạt được.
b) Độ xa quả bóng đạt được theo phương nằm ngang khi rơi chạm đất.
c) Trong lần ném phạt thứ hai độ cao ban đầu và góc nghiêng của quả bóng khi ném cũng vẫn
giữ nguyên như trong lần ném đầu tiên tức là 1,83m và 35
o
. Lần này quả bóng đi vào tâm rổ. Hỏi
vận tốc ban đầu của quả bóng lần này là bao nhiêu?
d) Độ cao cực đại của quả bóng đạt được trong lần ném thứ hai.

(ĐS : a) 2,32m; b) 3,84m; c) 8,65m/s; d) 3,09m. )
Bài 5. Một chất điểm chuyển động trên quĩ đạo tròn bán kính bằng 50m. quãng đường đi được
trên quĩ đạo được cho bởi công thức : s = -0,5t
2
+10t+10 (m)
Tìm gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của chất
điểm lúc t = 5(s).
(ĐS : at

= -1m/s
2
; an

= 0,5m/s
2
; a = 1,12m/s
2
)
Bài 6. Một vật A được đặt trên một mặt bàn nằm ngang. Dùng một sợi
dây, một đầu buộc vào A cho vòng qua ròng rọc và đầu kia của sợi dây
buộc vào vật B sao cho vật B rơi không ma sát thẳng đứng từ trên xuống.
Cho biết mA= 2kg, hệ số ma sát giữa A và mặt bàn là k=0,25; gia tốc
chuyển động của hệ là a= 4,9m/s
2
. Hãy xác định :
a) Khối lượng mB.
b) Lực căng của dây.
( ĐS : a/ mB= 3kg; b/ T=14,7N)
Bài 7. Một vật trượt từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng
nằm ngang một góc α . Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k,

vận tốc ban đầu của vật bằng 0. Vật trượt hết mặt phẳng nghiêng sau thời
gian t. Tính chiều dài l của mặt phẳng nghiêng.
(ĐS : l =1/2.g(sinα -kcosα )t
2
)
Bài 8. Cho hai vật A và B được mắc như hình dưới. Vật A được đặt nằm trên
mặt phẳng nghiêng có hệ số ma sát k=0,2. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và
dây. Cho biết mA=1kg, lực căng của sợi dây T=9,91N; g = 9,8m/s
2
; α = 30
o
.
Hãy tính gia tốc của hệ.
2
( ĐS : a=3,24m/s
2
)


Bài 9. Cho hai vật m
1
và m
2
như được mắc ở hình bên với
m
1
=m
2
=1kg. Bỏ qua ma sát, khối lượng của các ròng rọc và dây.
Xác định gia tốc của các vật m

1
, m
2
và lực căng của sợi dây.
Cho g = 9,8m/s
2
.
( ĐS : a
1
= = g = 3,92m/s
2
; a
2
= g =1,96m/s
2
T= m
2
g ≅ 5,9N )
Bài 10. Trên một toa tàu khối lượng M có hai vật m
1
và m
2
được mắc như ở hình dưới. Cho biết
hệ số ma sát giữa vật m
1
và mui tàu là k. Bỏ qua khối lượng của dây và ròng rọc cũng như ma sát
giữa chúng. Tác dụng một lực đẩy theo phương nằm ngang làm cho toa tàu chuyển động trên
đường ray. Bỏ qua lực ma sát lăn giữa toa tàu và đường ray. Hỏi lực đẩy phải có độ lớn bằng
bao nhiêu để cho khi toa tàu chạy mà hai vật m
1

và m
2
vẫn đứng yên so với toa tàu?
Bài giải :
Để giúp các bạn có thể hiểu rõ việc áp dụng các định luật động lực học Niu-tơn trong các hệ qui
chiếu khác nhau cũng như vai trò của lực quán tính chúng ta sẽ giải bài toán này trong hai hệ qui
chiếu khác nhau :
- Hệ qui chiếu đứng yên (chẳng hạn như sân ga)
- Hệ qui chiếu chuyển động (toa tàu)
1- Giải bài toán trong hệ qui chiếu đứng yên :(sân ga)
Đây là một hệ qui chiếu quán tính (gần đúng), ta nhìn thấy vật
m
1
chuyển động với gia tốc (là gia tốc của con tàu) còn vật m
2
đứng yên không chuyển động theo phương thẳng đứng (trong
thực tế m
2
chuyển động theo phương nằm ngang vớigia tốc
nhưng ta không quan tâm đến chuyển động này của m
2
mà chỉ
quan tâm chuyển động của m
2
theo phương thẳng đứng!). Ta qui
ước chọn chiều dương của trục tọa độ nằm ngang hướng từ trái
qua phải.
*Xét vật m
1
:

Có hai lực tác dụng lên m
1
: lực căng của sợi dây hướng từ trái qua phải, lực Fms

= km
1
g hướng
từ phải qua trái. Hiệu của hai lực này gây ra chuyển động có gia tốc của vật m
1
nên theo định
luật II Niu-tơn ta có: T-km
1
g = m
1
a (1)
*Xét vật m
2
:
Theo phương thẳng đứng vật m
2
chịu tác dụng của hai lực : lực căng của sợi dây hướng thẳng
đứng lên trên và trọng lượng của nó
2
hướng thẳng đứng xuống dưới. Vì theo đầu bài thì m
2

đứng yên theo phương này nên theo định luật II Niu-tơn ta có:
T-P
2
= 0 hay T= P

2
= m
2
g.
Thay giá trị T= m
2
g vào (1), ta tìm được
a =
3
Lực đẩy tác dụng lên hệ gồm toa tàu và hai vật m
1
, m
2
và gây cho hệ gia tốc nên :
= (m
1
+m
2
+M)
Từ đó, độ lớn của lực đẩy là :
F = (m
1
+m
2
+M) (2)
2- Giải bài toán trong hệ qui chiếu chuyển động : (toa tàu)
Vì toa tàu chuyển động thẳng với gia tốc là nên đây là một hệ qui chiếu không quán tính. Trong
hệ qui chiếu này về hình thức ta cũng có thể áp dụng định luật II Niu-tơn nhưng khi đó trong các
lực tác dụng lên vật ta phải kể thêm cả lực quán tính.
*Xét vật m

1
:
Trong hệ qui chiếu này vật m
1
đứng yên. Các lực tác dụng lên vật m
1
gồm :
- Lực căng của sợi dây hướng sang phải.
- Lực ma sát Fms=km
1
g hướng sang trái.
- Lực quán tính
qt
= -m
1
hướng sang trái.
Vì vật đứng yên nên tổng của các lực này phải bằng 0, tức là ;
T-km
1
g-m
1
a = 0
Từ đó a = (3)
*Xét vật m
2
:
Trong hệ qui chiếu này m
2
đứng yên. Theo phương nằm ngang m
2

chịu tác dụng của lực quán tính
–m
2
hướng từ phải qua trái làm cho m
2
ép sát vào thành toa. Phản lực của thành toa sẽ triệt tiêu
lực quán tính này nên theo phương ngang m
2
đứng yên. Theo phương thẳng đứng m
2
chịu hai
lực : lực căng hướng lên trên và trọng lượng
2
= m
2
hướng xuống dưới. Hai lực này triệt tiêu
nhau nên :
T= P
2
= m
2
g
Thay giá trị này của T vào (3) ta tìm được :
a =
*Xét hệ gồm toa tàu khối lượng M và các vật m
1
, m
2
. Lực tác dụng lên hệ gồm :
- Lực đẩy tác dụng lên toa tàu.

- Lực quán tính -(m
1
+m
2
+M)a tác dụng lên tất cả các vật của hệ.
Vì trong hệ qui chiếu này các vật của hệ đều đứng yên nên theo định II Niu-tơn ta phải có :
-(m
1
+m
2
+M)a+F = 0.
Hay từ đó :
F = (m
1
+m
2
+M)a = (m
1
+m
2
+M) (4)
So sánh (4) và (2) ta thấy chúng ta thu được cùng một kết quả khi giải bài toán này trong
hai hệ qui chiếu khác nhau.
Bài 11. Trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một
góc α có hai vật có khối lượng m
1
và m
2
(m
2

>m
1
) được nối với nhau bằng
một sợi dây không co dãn. Hệ số ma sát giữa m
1
và m
2
với mặt phẳng
nghiêng là k
1
và k
2
(k
1
< k
2
). Hãy xác định :
4
a) góc α tối thiểu của mặt phẳng ngiêng để cho hệ hai vật có thể bắt đầu chuyển động xuống
phía duới.
b) gia tốc a của hai vật và sức căng T của sợi dây nối khi hệ chuyển động trên mặt phẳng
nghiêng có α = 45
o
.
Áp dụng với m
1
=2kg; m
2
= 8kg; k
1

= 0,2; k
2
= 0,4; g =10m/s
2
.
(ĐS: a) tanα
gh
= ≈ 0,36 ⇒ α ≈ 19
o
8
b) a = gsinα -gcosα ( ) = 4,525m/s
2
)
Bài 12. Một hệ gồm hai vật có khối lượng mA và mB

được nối với nhau bằng
một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc như ở hình bên. Mặt phẳng
nghiêng có góc nghiêng là α . Hệ số ma sát giữa mA và mặt phẳng nghiêng là
k .
a) Hãy tìm điều kiện để cho mA chuyển động xuống phía dưới.
b) Tìm điều kiện cho mA chuyển động lên phía trên.
c) Tìm điều kiện để cho hệ đứng yên.
(ĐS : a) < sinα -kcosα ;
b) > sinα +kcosα ;
c) sinα -kcosα < < sinα +kcosα )
Bài 13. Trên mặt đất một người đứng lên một cái cân thì chỉ số của cân là 50 (50kg).
a) Khi ở trong thang máy đang đi lên với gia tốc a=1m/s
2
cái cân đó chỉ bao nhiêu?
b) Khi thang máy đi xuống với gia tốc bằng bao nhiêu thì chỉ số của cái cân là 0 (tình trạng

không trọng lực)
(ĐS: a) 54; b) a= g = 9,8m/s
2
)
Bài 14. Một vật có khối lượng m được kéo trên một mặt phẳng nghiêng có
góc nghiêng là α , với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối. Hệ số ma sát
giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k. Hãy xác định góc β hợp bởi sợi dây và
mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất. Tính giá trị lực căng dây lúc
đó.
(ĐS: β = arctgk; Tmin= (sinα +kcosα ) )
Bài 15. Một vật khối lượng m
1
chuyển động tới va chạm với vật thứ hai đứng yên có khối lượng
m
2
=1kg. Biết rằng sau va chạm vật thứ nhất đã truyền cho vật thứ hai một lượng x=36% động
năng ban đầu của mình. Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Hãy tính m
1
.
(ĐS: m
1
= 9kg hay m
1
= 1/9 kg)
Bài 16.Một con lắc đơn có trọng lượng P được kéo ra khỏi phương thẳng
đứng một góc α =90
o
sau đó con lắc được thả rơi. Hãy tính sức căng T của
dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng.
(ĐS: T= 3P )

5
Bài 17. Từ đỉnh của một bán cầu bán kính là R người ta buông tay cho một vật trượt xuống phía
dưới theo bề mặt của bán cầu. Hỏi ở độ cao nào so với so với mặt đất vật bắt đầu rời khỏi bề mặt
của bán cầu
Bài giải
Xét một vị trí bất kỳ của vật khi nó còn tiếp xúc với mặt bán cầu
như ở hình trên. Khi đó vật chịu tác dụng của hai lực :
- Phản lực của mặt bán cầu. Lực này hướng theo
phương nối tâm O của bán cầu với vật và có chiều
hướng từ trong ra ngoài bán cầu.
- Trọng lượng mg của vật hướng theo phương thẳng đứng từ trên xuống dưới. Lực này có thể
phân tích thành hai lực thành phần:
+ Thành phần pháp tuyến mgcosα .
+ Thành phần tiếp tuyến mgsinα là thành phần lực trực tiếp làm cho vật chuyển động
trượt xuống dưới theo bề mặt bán cầu. Trong đó α là góc lực pháp tuyến làm với phương thẳng
đứng.
Do theo phương pháp tuyến của quĩ đạo hai lực mgcosα và ngược chiều nhau nên khi tổng
hợp lại ta có lực (mgcosα -N). Chính lực này đóng vai trò là lực hướng tâm làm cho vật chuyển
động theo quĩ đạo tròn. Do vậy, ta có :
mgcosα -N = m
với v là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm mà ta đang xét.
Từ đó :
N= mgcosα - m = m(gcosα - ) (1)
Từ (1) ta có nhận xét sau : khi vật càng trượt xuống phía dưới thì góc α càng tăng làm cho thành
phần gcosα càng giảm trong khi thành phần càng tăng do v càng lớn (v càng lớn do đó thành
phần mgsinα càng tăng) đến một lúc nào đó thì gcosα = và khi đó N= 0. Lúc này vật bắt đầu
rời khỏi mặt cầu (vì rằng khi rời khỏi bán cầu vật không còn tiếp xúc với mặt bán cầu nên nó
không còn chịu tác dụng của phản lực N, tức là N = 0)
Khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu, ta có :

mgcosα = m ⇒ gcosα = ⇒ cosα = (2)
Muốn tính được góc α khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ta phải tính được vận tốc tức thời v của
vật khi đó. Muốn vậy, ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng vì vật chuyển động trong
trường trọng lực là một trường thế. Gọi h là khoảng cách tính theo phương thẳng đứng từ đỉnh
của bán cầu đến vị trí mà vật bắt đầu rời khỏi bán cầu. Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có :
1/2. mv
2
= mgh ⇒ v
2
= 2gh
Thay giá trị này vào (2) ta tìm được :
cosα = (3)
Mặt khác, từ hình vẽ ta tính được :
6
cosα = (4)
Từ (3) và (4) ta có :
= ⇒ 2h = R-h ⇒ h = R/3
Cuối cùng, vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ở độ cao :
H = R – h = R – R/3 = 2R/3
Bài 18. Một khúc gỗ có khối lượng 1,5 kg tiếp xúc với một lò xo bị
nén đặt ở chân một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng 30
o
(điểm A).
Khi lò xo được thả lỏng cho bung ra nó đẩy khúc gỗ chuyển động
dọc mặt phẳng nghiêng . Ở điểm B cách A 6m dọc theo mặt phẳng nghiêng thì khúc gỗ có vận
tốc 7m/s và không liên kết với lò xo nữa. Cho biết hệ số ma sát động giữa khúc gỗ và mặt phẳng
nghiêng là
k = 0,5. Bỏ qua khối lượng của lò xo. Hãy tính thế năng biến dạng dự trữ
trong lò xo lúc ban đầu. Cho g = 9,8m/s
2

.
(ĐS: U =119J )
Bài 19. Một hệ gồm hai vật có khối lượng m
1
= 12kg và m
2
= 4kg được nối
với nhau bằng một sợi dây và được vắt qua một ròng rọc như hình bên. Ban
đầu vật m
2
nằm ở sàn nhà còn m
1
nằm ở độ cao 2m. buông tay cho m
1
rơi
xuống dưới. Hãy xác định vận tốc của m
1
khi nó chạm nền nhà. Bỏ qua ma
sát và khối lượng của dây và ròng rọc.
(ĐS: 4,4m/s )

Bài 20. Một thang máy có khối lượng 1 tấn, đi lên nhanh dần đều với vận
tốc ban đầu bằng không và gia tốc là 2 m/s2. Tính:
a) Công của thang máy thực hiện được trong 5 giây đầu tiên.
b) Công suất trung bình và công suất cực đại sau 10 giây đầu tiên.
(ĐS: a) 50kW=J b) CS t.bình=Công toàn bộ/thời gian=20kW; CSmax=F.vmax=40kW)
Bài 21. Một động cơ có công suất là 3 mã lực (HP) (1HP=736W). Hiệu suất của máy là 75%.
Ðộng cơ dùng để nâng một vật lên cao với vận tốc không đổi là 3m/phút. Tính khối lượng tối đa
của vật được nâng.
(ĐS: 3380kg)

Bài 22.Vận động viên chạy xe đạp trên đường vòng xiếc là một đường tròn tâm O và bán kính R.
Tìm vận tốc tối thiểu v0 để người đó đi qua điểm cao nhất của đường tròn mà không bị rơi
xuống.

Bài giải:
O
R
v
0
mg
F
L
v
7
Tại điểm cao nhất, gắn hệ quy chiếu với xe (hqc là phi quán tính), ta có các lực tác dụng: trọng
lực mg và lực ly tâm FL.
Để xe không rơi: FL = m.v
2
/R >= mg (1).
với v có thể tính được từ định luật bảo toàn cơ năng:
m.v0
2
/2 = m.v
2
/2 +2mgR. Suy ra: v
2
=v0
2
- 4gR. Thế vào (1), ta có: v0
2

>= 5gR.
Bài 23. Một quả cầu có khối lượng là 1 kg treo vào đầu một sợi dây buộc cố định vào trần nhà.
Ðưa quả cầu lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 60
0
rồi buông ra không vận tốc đầu. Tính vận
tốc của quả cầu khi nó ở vị trí tạo với vị trí cân bằng một góc 30
0
. Tính lực căng của dây cũng tại
vị trí đó. Cho biết chiều dài của dây là 1m.
(ĐS: 2,7m/s; 16N)
Bài 24. Tính khối tâm của vật hình tròn có khoét một hình tròn nhỏ phía trong có bán kính bằng
nửa hình tròn lớn và của hình vuông cạnh là đường kính hình tròn lớn và cũng khoét một hình
tròn nhỏ phía trong (theo hình vẽ).
Bài 25.Một viên đạn khối lượng m=10g bay với vận tốc 600 m/s. Sau khi xuyên thủng một bức
tường,
vận tốc chỉ còn 200 m/s. Tìm độ biến thiên xung lượng và độ biến thiên động lượng của viên
đạn.
Tính lực cản trung bình mà bức tường tác dụng vào viên đạn cho biết thời gian mà viên đạn
xuyên qua
tường là 1/1000 s.
Bài 26.Sau va chạm đàn hồi của hai quả cầu có khối lượng bằng nhau, cả hai có cùng vận tốc sau
là
10 m/s. Cho biết trước va chạm quả cầu thứ hai đứng yên. Tính góc tạo bởi phương chuyển động
của
quả cầu thứ hai so với phương chuyển động của quả cầu thứ nhất trước khi va chạm. Tính vận tốc
của
quả cầu thứ nhất trước va chạm.
Bài 27. Một người đứng giữa ghế Giukốpski cầm trong tay hai quả tạ, mỗi quả khối lượng
m=10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,2m. Giả sử ban đầu ghế quay với vận tốc w 1
= 4,1vòng/s. Hỏi vận tốc góc của ghế thay đổi như thế nào nếu người đó dang tay ra để khoảng

cách từ mỗi quả tạ đến trục là 0,75m. Cho biết mômen quán tính cùa người và ghế (không kể quả
tạ) đối với trục quay là IO = 2,5kgm2.
(ĐS : w 2 = 0,984 » 1vòng/s.)
Bài 28. Một ròng rọc bán kính R, khối lượng M. Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một
đầu treo một vật nặng khối lượng m. Hãy tính :
a/ Gia tốc rơi của vật nặng.
b/ Sức căng T của sợi dây.
c/ Vận tốc của vật nặng khi nó rơi được một đoạn s.
(ĐS : a/ a = 2mg/(2m+M) ;
b/ T = mMg/(2m+M) ;
8
c/ v = )
Bài 29. Một hệ gồm hai vật m
1
và m
2
được mắc như ở hình bên.
Khối lượng của ròng rọc là M và bán kính R. Hệ số ma sát giữa m
1
và mặt bàn là k. Hãy xác định gia tốc chuyển động của hệ và các lực
căng T
1
, T
2
của các đoạn dây. Cho m
1
=1kg; m
2
=2kg; M = 2kg; k =
0,1; g =10m/s

2
.
( ĐS :
a = = 4,75m/s
2
T
1
= m
1
(kg+a) = 5,75N
T
2
= m
2
(g-a) = 10,5N )
Bài 30. Cho hai ròng rọc giống hệt nhau có khối lượng m và bán kính R. Hai vật
m
1
và m
2
được mắc như hình vẽ. Sợi dây nối không co dãn và bỏ qua khối lượng
của dây.
a/ Giả sử ban đầu các vật đứng yên. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật
m
1
, m
2
.
b/ Tìm điểu kiện để cho m
1

rơi từ trên xuống và kéo m
2
lên.
c/ Tìm các sức căng T
1
, T
2
, T
3
của các đoạn dây.
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ Ox có chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống dưới như
hình trên. Gọi tọa độ của ròng rọc thứ nhất là xo. Ta có nhận xét là xo không đổi
trong quá trình hệ chuyển động. Gọi tọa độ của ròng rọc thứ hai là x
2
. Ta cũng có nhận xét là
chuyển động của m
2
giống hệt như chuyển động của ròng rọc thứ hai vì chúng được nối với nhau
bằng một đoạn dây không co dãn. Gọi tọa độ m
1
là x
1
.
Ta lần lượt viết phương trình chuyển động của các vật trong hệ.
* Xét vật m
1
:
Vật m
1

chịu tác dụng của hai lực ngược chiều nhau : m
1
hướng xuống dưới (m
1
g > 0), lực căng
1
của sợi dây hướng lên trên (T
1
< 0).
Vậy theo định luật II phương trình chuyển động của m
1
là :
m
1
g – T
1
= m
1
a
1
(1)
* Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ nhất :
Ròng rọc chịu tác dụng của hai mômen lực : T
1
R và T
2
R ngược chiều nhau, do đó phương trình
chuyển động của ròng rọc thứ nhất là :
(T
1

-T
2
)R = Iβ
1
= I(a
1
/R) = mR
2
(a
1
/R) = ma
1
R
hay : T
1
-T
2
= ma
1
(2)
* Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ hai (lưu ý ròng rọc 2 bao giờ cũng quay ngược
chiều với ròng rọc 1)
Tương tự ròng rọc 1, ta có phương trình chuyển động :
(T
3
-T
2
)R = Iβ
2
= I(a

2
/R) = mR
2
(a
2
/R) = ma
2
R
9
Hay : T
3
-T
2
= ma
2
(3)
* Lưu ý là ròng rọc thứ hai vừa tham gia cả chuyển động quay và cả chuyển động tịnh tiến. Vì vật
m
2
nối với ròng rọc thứ hai bằng một sợi dây không co dãn nên ta có thể coi ròng rọc thứ hai và
vật m
2
như là một vật với khối lượng là (m+m
2
) cùng tham gia chuyển động tịnh tiến.
Lực tác dụng lên (m+m
2
) gồm (m+m
2
)g hướng xuống dưới và (T

2
+T
3
) hướng lên trên. Vậy
phương trình chuyển động là :
(m+m
2
)g - (T
2
+T
3
) = (m+m
2
) a
2
(4)
* Đến đây ta tìm được bốn phương trình (1),(2),(3) và (4) nhưng ta lại có tới năm ẩn số : a
1
, a
2
, T
1
,
T
2
, T
3
do đó để có thể giải được bài toán ta cần phải tìm thêm một phương trình nữa.
Ta có nhận xét là hai ròng rọc không chuyển động hoàn toàn độc lập đối với nhau vì chúng
được vắt qua bởi cùng một sợi dây có độ dài không đổi.

Biểu thức xác định chiều dài l của sợi dây là :
x
2
+ (x
2
– xo) + (x
1
– xo) + π R + π R = l
hay 2x
2
+ x
1
– 2xo +2π R = l
lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian và để ý rằng xo, R, l là hằng số, ta đi đến phương trình :
2 =0 hay 2a
2
+ a
1
= 0
hay a
1
= -2a
2
(5)
* Cuối cùng ta giải hệ gồm năm phương trình (1),(2),(3),(4) và (5) như sau :
(1)+(2)⇒ m
1
g – T
2
= (m

1
+ m)a
1
= (m+2m
1
)a
1
hay - T
2
= (m+2m
1
)a
1
– m
1
g
thay a
1
= -2a
2
từ (5) vào phương trình trên, ta có :
- T
2
= -(m+2m
1
) a
2
– m
1
g (*)

(3) + (4) ⇒ (m+m
2
)g – 2T
2
= (3m+2m
2
)a
2
(**)
Thay –2T
2
từ (*) vào (**), ta có :
(m+m
2
)g – 2(m+2m
1
)a
2
– 2m
1
g = (3m+2m
2
)a
2
hay (m+m
2
-2m
1
)g = (3m+2m
2

)a
2
+2(m+2m
1
)a
2
= (3m+2m
2
+4m+8m
1
)a
2
= (7m+2m
2
+8m
1
)a
2
Từ đó ta tính được :
a
2
=
Từ (5) a
1
= -2a
2
nên :
a
1
=-2a

2
=
⇒ Muốn cho m
1
chuyển động xuống phía dưới, tức là a
1
>0, thì cần thõa mãn điều kiện :
8m
1
> 4(m+m
2
) hay 2m
1
>(m+m
2
)
10
(1) ⇒ T
1
= m
1
(g-a
1
) = m
1
[g- ]
= m
1
[
=

T
1
=
(*)⇒ T
2
= (m+2m
1
)a
2
+m
1
g = (m+2m
1
) + m
1
g
T
2
=
(3)⇒ T
3
= T
2
+ ma
2
=
T
3
=
Bài 31.Một khối trục đặc có khối lượng là M và có bán kính R có thể quay

không ma sát chung quanh trục của nó theo phương nằm ngang. Người ta
treo hai vật có khối lượng bằng nhau và bằng m nhờ hai sợi dây nhẹ quấn
quanh khối trụ và thả cho chúng rơi không vận tốc ban đầu. Hãy xác định :
a/ Gia tốc của các vật.
b/ Lực căng của mỗi sợi dây.
c/ Vận tốc góc của khối trụ khi hai vật rơi được một đoạn h.
(ĐS : a/ a = 4mg/(M+4m) ; b/ T = Mmg/(M+4m) ; c/ ω =
)
Bài 32. Cho một hệ như hình vẽ. Ròng rọc là một ròng rọc kép
đồng tâm có bán kính lần lượt là R và R/2. Cho biết mômen quán
tính của ròng rọc là I. Tìm điều kiện để cho m
1
chuyển động đi
xuống. Với điều kiện đó hãy tính gia tốc góc của ròng rọc và lực
căng trên các đoanï dây.
(ĐS : m
1
>2m
2
β = g ;
T
1
= m
1
g[1- ] ;
T
2
= m
2
g[1+ ])

11
Bài 33.Một thanh mảnh khối lượng m có chiều dài là L có thể quay không ma sát
quanh trục O nằm ngang đi qua đầu thanh. Trên trục O còn treo một sợi dây chiều dài l
không co dãn. Đầu kia của sợi dây có vật nặng khối lượng m. Bỏ qua khối lượng của
dây treo.
Kéo quả cầu sao cho dây lệch một góc nào đó so với thanh (dây vẫn phải căng)
rồi thả tay. Hỏi chiều dài l của dây treo quả cầu phải bằng bao nhiêu để sau khi
va chạm với thanh thì quả cầu dừng lại. Coi va chạm giữa quả cầu với thanh là
hoàn toàn đàn hồi.
(ĐS : l= )
Bài 34. Ở độ cao h trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một góc α , người
ta thả cho một hình xuyến, có khối lượng M có các bán kính ngoài và trong lần lượt là R
1
và R
2
,
lăn không trượt với vận tốc ban đầu bằng không. Cho hệ số ma sát lăn của hình xuyến với mặt
phẳng nghiêng và mặt phẳng ngang là µ . Hãy tính vận tốc của hình xuyến khi nó lăn đến mặt
phẳng nằm ngang và quãng đường BC mà nó tiếp tục lăn trên mặt phẳng nằm ngang cho đến khi
dừng lại.
(ĐS : v=2 ; )
Bài 35. Một thanh đồng chất có chiều dài l đang ở vị trí thẳng đứng thì bị đổ xuống.
Hãy xác định :
a/ Vận tốc dài của đỉnh thanh khi nó chạm đất.
b/ Vị trí của điểm M trên thanh sao cho khi M chạm đất thì vận tốc của nó đúng
bằng vận tốc chạm đất của một vật rơi tự do từ vị trí M.
Bài giải
a/ Khi thanh đổ xuống có thể xem thanh quay quanh điểm O với vận tốc góc ω .
Khi thanh ở vị trí thẳng đứng thì thanh có thế năng (thay thanh bằng chất điểm nằm
tại khối tâm G cách O một đoạn l/2)

U = mgl
Khi chạm đất thì thế năng của thanh biến hoàn toàn thành động năng quay của thanh :
K
quay
= Iω
2
= ( ml
2
) ω
2
= ml
2
ω
2
= mgl
Từ đó :
ω =
Vận tốc dài của đỉnh thanh được tính theo công thức v =ω l :
v = ω l =
b/ Ta biết rằng vật rơi tự do ở độ cao h khi chạm đất thì có vận tốc là v= . Aùp dụng công
thức này với điểm M có độ cao xM ;
v
M
=
Theo đầu bài :
12
= x
M
ω = x
M

Từ đó tìm được :
x
M
= l
Bài 36. Từ đỉnh một bán cầu bán kính R người ta buông tay cho một viên bi lăn không trượt trên
bề mặt bán cầu. Hỏi viên bi rời khỏi mặt cầu ở độ cao nào so với mặt đất. Bỏ qua ảnh hưởng của
ma sát.
( ĐS : h = )
Bài 37: Từ mặt đất một vật có khối lượng m (kg), được bắn với vận tốc ban đầu V
0
(m/s) , hợp với
phương nằm ngang một góc
α
. Hãy xác định:
a. Thời gian chuyển động của vật.

g
v
t
gt
tvy
dd
α
α
sin2
2
.sin0
0
2
0

=⇒−==
b. Tầm xa mà vật có thể đạt được.

g
v
tvx
dd
αα
α
cos.sin2
.cos
2
0
0
==
c. Độ cao cực đại mà vật có thể đạt được.

g
V
y
g
V
tva
tg
tVy
H
H
H
2
sin.sin

2
.
.sin
2
2
0
max
0
2
0max
αα
α
=⇒=
−=
d. Véctơ vận tốc tại thời điểm chạm đất.

0
2
0
2
00
2
0
2
0
2
0
22
)sin2sin()cos(
)sin()cos(

vvvvv
gtvvvvvvvv
ddydxddydxd
==−+=
−+=+=⇒+=
ααα
αα

e. Véctơ vận tốc tại thời điểm t bất kỳ kể từ lúc ném.

2
0
2
0
22
)sin()cos(
AAyAxAAyAxA
gtvvvvvvvv −+=+=⇒+=
αα

f. Giả sử góc
α
có thể thay đổi được . Hăy xác định góc
α
để vật có thể đạt được tầm xa cực
đại và tính giá trị cực đại đó.

0
2
0

2
0
0max
4512sin
2sincos.sin2
.cos =⇒=⇒===
αα
ααα
α
g
v
g
v
tvx
dd
g. Phương trình quỹ đạo của vật.

xtgx
v
g
v
xg
v
xv
tg
tvy
v
x
ttvx

cos.2cos
2cos
.sin
2
.
.sin
cos
.cos
2
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
0
α
αα
α
α
α
α
α
+−=−=−=

=→=
h. Tại thời điểm t
A
(s) kể từ lúc bắt đầu ném hăy xác định gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp
tuyến, bán kính cong quỹ đạo.
13

2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
)sin()cos(
cos
cos
)sin()cos(
.sin
sin.
A
A
xA
n
A
A
A

yA
t
tgvv
v
g
v
v
gga
tgvv
tgv
g
v
v
gga
−+
===
−+
−
===
αα
α
ϕ
αα
α
ϕ
π
ω
ν
2
1

==
T

( )
[ ]
α
αα
cos
)sin(cos
0
2/3
2
0
2
0
22
vg
tgvv
a
v
R
R
v
a
A
n
n
−+
==→=
i. Mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với điểm ném tại thời điểm vật đạt độ cao cực đại.

mg
g
V
M
mgxPrPrMPrM
H
.
sin.cos.
.cos
2
sin
2
0
αα
θθ
π
=
==






+=⇒∧=



j. Mômen động lượng của vật đối với điểm ném tại vị trí vật đạt độ cao cực đại.

α
α
ϕ
cos
2
sin
sin
0
2
2
0
max
Vm
g
V
VmymVrLVmrL
HxHH
=
==⇒∧=



k. Mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với điểm ném tại thời
điểm t kể từ lúc ném.
mgtV
mgxPr
PrM
PrM
A

A
cos.
.cos
2
sin
0
α
θ
θ
π
=
==






+=⇒
∧=



l. Mô men động lượng đối với điểm ném tại thời điểm t (s )kể từ lúc ném.
2
.cos0
cos cos.
2
00
000

0000
A
A
t
t
t
t
A
t
t
L
L
t
mgVLL
dttmgVdttmgVLLdtMdLM
dt
dL
AAAA
α
αα
=⇒=
==−⇒=⇒=
∫∫∫∫
Bài 38 : Một vật rơi tự do đi được 10m cuối cùng của quãng đường trong khoảng thời gian t
1
=
0,25s
Cho g = 9,8m/s
2
. Tính:

a. Vận tốc của vật khi chạm đất.
b. Độ cao từ đó vật bắt đầu rơi.
c. Nếu từ độ cao này người ta ném thẳng đứng một vật khác thì phải ném với vận tốc bằng bao
nhiêu và phải theo hướng nào để vật rơi xuống tới mặt đất chậm hơn (và nhanh hơn ) vật rơi tự do
một khoảng t
2
= 1s.
14
y
r

x
ϕ
ϕ
0
0
V

max
y
α
H
V

H
P

y
r


x
θ
θ
0
0
V

A
P

y
r

x
θ
θ
0
0
V

H
a. Tại điểm chạm đất
)1(
22
.
22
0
dd
dd
tgtg

tVhy =+==
Tại B :
)2(
2
2
B
B
tg
Shy =−=

)3(25,025,0
1
−=→==−
dBBd
ttsttt
Từ (1) và (2) ta có :
)4(
22
2
2
S
gt
gt
B
d
+=
Thay (3) vào (4) ta có :
( )
sttstggt
dddd

2066,4206125,09,4225,0
22
=→+=→+−=
smgtV
dd
/225,412066,4.8,9 ===⇒
b.
m
tg
h
d
71,86
2
.
2
==
c.
=⇒−=+==
=⇒+=+==
022
2
2
2022
011
2
1
1011
)1(
2
.

)1(
2
.
Vtt
gt
tVhy
Vtt
gt
tVhy
dd
d
dd
dd
d
dd
Bài 39 : Một vô lăng sau khi quay được một phút thì thu được vận tốc 700 vòng/phút. Tính gia
tốc góc của vô lăng và số vòng mà vô lăng quay được trong một phút ấy nếu chuyển động của vô
lăng là nhanh dần đều.
Vận tốc góc của vô lăng đạt ω = 700ṿng/phút = 700.2π/60 (rad/s), sau thời gian t = 1phút =
60s.
Mà ω = β. t ⇒ Gia tốc góc:
( )
2
/22,1
3600
1400
60
60/1400
srad
t

====
ππω
β
.
Góc quay được sau thời gian t= 1 phút là:
( )
radt
22
60.22,1.
2
1
.
2
1
==
βθ
Do vậy số vòng quay được trong 1 phút là:
vòng
4
.
2
n
2
π
β
π
θ
t
==
.

Bài 40 . Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó
với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s
2
. Hỏi sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành
bánh?)
Bài giải:
a. Sau giây thứ nhất, vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh là:
( )
( )
smRv
sradt
/
/
==
==
ω
βω
b. Gia tốc tiếp tuyến có giá trị không đổi và gia tốc pháp tuyến :
( )
( )
222
n
2
t
sm986010143Ra
sm314010143Ra
/,,.,.

/,,.,.
===
===
ω
β
- Gia tốc toàn phần bằng:
15
α
Hình vẽ
a
t
a
n
a
( )
2
2
n
2
t
sm031aaa /,=+=
.
c. Góc giữa gia tốc toàn phần a và bán kính là α thỏa mãn:
031
3140
a
a
t
,
,

sin ==
α
⇒ α = 17
0
46’.
Bài 41 . Chu kỳ quay của một bánh xe có bán kính 50cm là 0,1 giây. Tìm:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm vành bánh;
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm nằm giữa một bán kính.
Bài giải:
a. Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh:

( )
( )
srad
R
v
sm
T
R
v
/8,62
5,0
4,31
/4,31
1,0
5,0.22
===
===
ω
ππ

b. Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm) của một điểm nằm giữa một bán kính:

( )
2222
n
sm9862508622Rra //,.,/. ====
ωω
.
Bài 42 : Cho ba quả cầu nhỏ khối lượng bằng nhau m = 0,1 kg được nối bởi các sợi dây không
dăn, khối lượng không đáng kể có cùng chiều dài l = 0,5m, dây quay đều trong mặt phẳng nằm
ngang xung quanh trục quay đi qua 0 với vận tốc góc ω =100 rad/s . Tính sức căng của từng đoạn
dây.( bán kính của quả cầu không đáng kể )

Viết phương tŕnh chuyển động cho từng vật
333
2222
1111
amTP
amTTP
amTTP






=+
=
′
++

=
′
++
Chiếu lên phương chuyển động ( Hướng tâm)
2
33
2
222
2
111
.3.
.2.
.
ω
ω
ω
lmmaT
lmmaTT
mlmaTT
n
n
n
==
==
′
−
==
′
−
Theo điều kiện đầu bài :

2312
; TTTT
′
=
′
=
Thay vào trên :

2
3
222
2
222
1
.3.
5.3 2.
6.5
ω
ωωω
ωωω
lmT
mllmlmT
mllmmlT
=
=+=
=+=

Bài 43 : Một ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ban đầu V
0
= 54 km/h , trên đoạn đường

có dạng cung tròn bán kính R = 800m. Khi đi được đoạn đường S = 800 m thì vận tốc của nó là
V= 18 km/h.
a. Tính thời gian chuyển động của ôtô khi đi hết đoạn đường đó.
b. Trị số và phương gia tốc toàn phần của ôtô tại thời điểm đầu và thời điểm cuối của quãng
đường
c. Gia tốc góc, vận tốc góc của ôtô tại thời điểm t = 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động vào
đoạn đường đó.
16
1
P

2
P

3
P

2
T

2
T
′

3
T

1
T


1
T
′

0
α
3
m
1
m
2
m
Bài 44 : Cho một chất điểm chuyển động tròn tâm 0 bán kính R ngược chiều (cùng chiều ) kim
đồng hồ . Hãy biểu diễn các véctơ: Vận tốc, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn
phần, vận tốc góc, gia tốc góc,véctơ động lượng, véctơ mô men động lượng của chất điểm tại một
thời điểm t , khi chất điểm chuyển động chậm dần và nhanh dần.
Bài 45 : Một quạt máy quay đều với vận tốc góc
ω
= 900 vòng/phút. Sau khi ngắt mạch quạt
quay chậm dần đều được N = 75 vòng thì dừng hẳn. Tìm :
a. Thời gian từ lúc ngắt mạch đến khi dừng hẳn
b. Trị số gia tốc toàn phần tại một điểm nằm cách trục quay một khoảng r = 10cm tại thời
điểm t
1
= 5s kể từ lúc ngắt mạch.
Bài 46 : Một vật ném ngang đập vào bức tường thẳng đứng cách điểm ném S = 6,75 m. Điểm cao
của điểm va chạm thấp hơn so với điểm ném một đoạn h = 1m,
cho g = 9,8m/s
2
. Tính :

a. Vận tốc ban đầu của vật
b. Bán kính cong quỹ đạo tại thời điểm t =0,3s kể từ lúc ném
c. Trị số và phương của vận tốc tại điểm va chạm.
d. Mômen ngoại lực đối với điểm ném tại thời điểm vật vừa chạm tường.
e. Mômen động lượng đối với điểm ném tại thời điểm vật chạm tường.
Bài 47 : Cho một hệ cơ học như hình vẽ : Cho m
1
= 1 kg , m
2
= 3 kg . Ròng rọc là
một

đĩa tròn có khối lượng m
3
=2 kg, góc α = 30
0
, hệ số ma sát giữa vật m
1
và mặt
phẳng nghiêng k = 0,1 . Cho dây không dãn khối lượng không đáng kể . Hãy tính gia
tốc chuyển động của hệ và sức căng của dây.
Bài 48 . Cho một hệ cơ học như hình vẽ .Hình trụ đặc có khối lượng m
1
= 300 g
m
2
= 400 g. Nối với nhau bởi sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể , xem
dây không trượt trên ròng rọc. Lấy g = 10 m/s
2
.Hãy xác định gia tốc của hệ và sức

căng của dây .
Bài 49 . Cho ròng rọc là một đĩa tròn có khối lượng m
1
= 100 g, quay xung quanh một
trục nằm ngang đi qua tâm O. Trên ròng rọc có cuốn một sợi dây không dãn, khối lượng
không đáng kể , đầu kia của dây treo một vật nặng có khối lượng m
2
= 50 g . Để vật nặng
tự do chuyển động .Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của dây . Lấy g = 10 m/s
2
Giải:
Viết phương tŕnh chuyển động cho từng vật:
β




IM
amTP
T
=
=+
2222
Chiếu lên phương chuyển động:
22
212
2
1
2222
am

T
r
arm
IrT
amTP
=→==
=−
β
Thay vào trên ta có :
NT
sm
mm
gm
aaa
m
mgm
25,0
2
5.1,0
)/(5
2
2
)
2
(
2
12
2
22
1

22
==⇒
=
+
==⇒+=
Bài 50. Trên một trụ rỗng khối lượng m = 1kg, người ta cuộn một sợi dây không giăn có khối
lượng và đường kính nhỏ không đáng kể. Đầu tự do của dây được gắn trên một giá cố định.
Để trụ rơi dưới tác dụng của trọng lượng. tính gia tốc của trụ và sức căng của dây treo.
Trụ chuyển động tịnh tiến vừa chuyển động quay. Gọi T là sức căng dây. Viết các phương
tŕnh chuyển động cho vật ta có:
17
•
1
m
2
m
P

1
T

2
T

•
1
m
2
m
•

1
m
2
m
m

(**)
.
(*)
2
2
maT
R
amR
mRITRI
maTmgamTP
T
=→===→=Μ
=−→=+
βββ




Từ (*) và (**) ta có:
( )
( )








===
===→=
⇒
N
mg
T
sm
g
amamg
9,4
2
8,9.1
2
/9,4
2
8,9
2
2
2
Bài 51 . Một đĩa tròn, trụ rỗng, quả cầu đặc, có khối lượng m , bán kính R, quay quanh trục đi
qua tâm với vận tốc góc
0
ω
vòng/phút. Tác dụng lên vật một lực hãm tiếp tuyến với vành đĩa ( trụ,
quả cầu) và vuông góc với trục quay. Sau t phút thì vật dừng lại. Tìm giá trị của mômen lực hãm
đối với trục quay .

Áp dụng định lý về mômen động lượng :
)(
60.
2 0
000
Nm
t
I
t
I
t
I
MM
t
L
πωωω
−=−=
∆
−
=⇒=
∆
∆
- Mômen quán tính của đĩa:
2
2
mR
I =
- Mômen quán tính của trụ rỗng:
2
mRI =

- Mômen quán tính của quả cầu đặc:
2
5
2
mRI =
Bài 52 . Một đĩa tròn có khối lượng m = 3kg , bán kính R = 0,6m , quay quanh trục đi qua tâm
đĩa với vận tốc góc
600
0
=
ω
vòng/phút. Tác dụng lên đĩa một lực hãm tiếp tuyến với vành đĩa và
vuông góc với trục quay. Sau 2 phút thì đĩa dừng lại, tìm độ lớn của lực hãm tiếp tuyến.
N
t
Rm
F
t
mR
t
I
MM
t
L
R
M
FFRM
hhh
h
hhh

60.120.2
14,3.2.600.6,0.3
.2

.2
.0
.
00
2
0
=
∆
=⇒
∆
−=
∆
−
=⇒=
∆
∆
=→=
ωωω
Bài 53 . Từ độ cao h = 0,7 m trên mặt phẳng nghiêng, người ta cho một quả cầu
đặc, một đĩa tròn, một trụ đặc, một vành tròn, một trụ rỗng, có cùng bán kính, lăn
không trượt trên mặt phẳng nghiêng đó Biết
α
= 30
0
,60
0

, 45
0
,

lấy g = 9,8 m/s
2
.
Hãy xác định :
a. Vận tốc dài của các vật ở cuối mặt phẳng nghiêng. gia tốc khối tâm của các
vật.
b. Thời gian chuyển động của vật khi đi hết mặt phẳng nghiêng đó.
(coi vận tốc ban đầu của các vật đều bằng không).
c. Tìm giá trị của lực ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng.
d. Nếu góc nghiêng thay đổi, hệ số ma sát không đổi thì góc nghiêng phải bằng bao nhiêu để
các hình lăn không trượt.
e. Tìm giá của hệ số ma sát sao cho sự lăn không xẩy ra.
BÀI GIẢI
a. * Vận tốc dài ở cuối mặt phẳng nghiêng : Vật lăn không trượt thì lực ma sát là lực ma sát nghỉ,
công của lực ma sát bằng 0,
constWAdSN
N
=→=→⊥ 0

áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:
18
•
α
h
P


T


( )
ImR
Rmgh
V
R
VImV
mgh
ImV
mgRRhmg
+
=⇒+=⇒++=+
2
2
2
2222
.2
.2
.
222
ω
- Đĩa tròn, trụ đặc:
3
.4
2
1
1
2

2
2
22
gh
mR
mghR
V
mR
I =






+
=⇒=
- Quả cầu đặc:
7
.10
5
2
1
2
5
2
2
2
2
gh

mR
mghR
VmRI =






+
=⇒=
- Vành tròn, trụ rỗng:
gh
mR
mghR
VmRI ==⇒=
2
2
2
.2
2
* Gia tốc khối tâm của các vật :
h
V
S
V
a
h
SVSaVV
.2

sin.
2
;
sin
,0;2
22
0
2
0
2
α
α
==⇒===−
- Đĩa tròn, trụ đặc:
3
sin2
2.3
sin.4
3
.4
αα
g
h
gh
a
gh
V ==⇒=
- Quả cầu đặc:
α
α

sin
7
5
2.7
sin.10
7
.10
g
h
gh
a
gh
V ==⇒=
- Vành tròn, trụ rỗng:
2
sin.
2
sin.
αα
g
h
gh
aghV ==⇒=
b. Thời gian chuyển động của vật :
a
V
tVatatVV =⇒==+= )0(;
00
- Đĩa tròn, trụ đặc:
α

α
2
sin.
3
3
sin2
;
3
.4
g
h
t
g
a
gh
V
=⇒==

- Quả cầu đặc:
α
α
2
sin.5
.14
sin
7
5
;
7
.10

g
h
tga
gh
V =⇒==
- Vành tròn, trụ rỗng:
α
α
2
sin.
.4
2
sin.
;
g
h
t
g
aghV =⇒==
c. Lực ma sát giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng
ImR
mgI
R
ImR
mg
R
I
F
R
I

m
mg
a
R
I
maP
R
aI
F
R
a
IIFR
maFP
ms
msms
ms
+
=








+
=⇒







+
=→






+=⇒
=→==
=−
2
2
2
2
2
2
2
sin sin.sin.
.sin.
.

sin.
ααα
α
β

α
-Quả cầu đồng chất:
α
sin.
7
2
5
2
2
mgFmRI
ms
=→=
- Đĩa tròn, trụ đặc :
α
sin.
3
1
2
2
mgF
mR
I
ms
=→=
- Vành tròn, trụ rỗng:
2
sin.
2
α
mg

FmRI
ms
=→=
19
d. Vật lăn không trượt:
NkFFF
tms
.=≤=
mstrîmsnghØ
- Quả cầu đồng chất:
=→≤→≤=
αααα
ktgmgkmgF
ms
2
7
cos sin.
7
2

- Đĩa tròn, trụ đặc :
ktgmgkmgF
ms
3cos sin.
3
1
≤→≤=
ααα
bất đẳng thức cho ta xác định giới hạn trên của góc nghiêng
00

3
ααα
≤→= ktg
Vật lăn không trượt
- Vành tròn, trụ rỗng:
→≤→≤= ktgmgkmgF
ms
2cos sin.
2
1
ααα
e. Giá trị của hệ số ma sát sao cho sự lăn không xẩy ra:
Điều kiện để vật không lăn:
NkFFF
tms
.=≥=
mstrîmsnghØ
Bài 54. Có hai hình trụ, một bằng nhôm (đặc), một bằng chì (rỗng) cùng được thả từ đỉnh một
mặt phẳng nghiêng. Chúng có cùng bán kính R = 6cm và cùng khối lượng m = 0,5kg. Mặt các
hình trụ được quét sơn giống nhau. Hỏi:
a) Vận tốc tịnh tiến của các hình trụ ở cuối mặt phẳng nghiêng có khác nhau không?
b) Mômen quán tính của mỗi hình trụ;
Bài 55 : Một bao cát có khối lượng M, được treo bởi sợi dây không dãn chiều dài l, khối
lượng không đáng kể. Một viên đạn có khối lượng m bay theo phương ngang (h.vẽ). Hỏi tại
vị trí thấp của bao cát thì vận tốc bé nhất của viên đạn phải bằng bao nhiêu để khi viên đạn
cắm vào bao cát, thì cả bao cát và viên đạn chuyển động quay tròn trong mặt phẳng thẳng
đứng quanh điểm treo.
Bài giải:
áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang:
m

VmM
v
m
VMm
vVmMmv
AA
A
min
min
).().(
).(
+
=→
+
=→+=
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (
theslùclµPASdT
T



;0=→⊥
)
BA
WW =
Chọn gốc thế năng tại A bằng 0
(*)
2
)(
2)(

2
)(
min
2
2
min B
A
VmM
lgmM
VmM
+
++=
+
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật tại B:

l
VmM
amMTP
B
n
2
)(
)(
+
=+=+
Muốn V
Bmin
thì tại B sức căng T= 0
gl
mM

lgmM
V
B
=
+
+
=→
)(
.)(
2

Thay vào (*)
gl
m
mM
vglV
A
5
)(
5
minmin
+
=⇒=
Bài 56 : Cho một hệ cơ học như hình vẽ m
1
= 400g , m
2
= 200g , ròng rọc là một đĩa
tròn có khối lượng

m
3
= 100g . Giữ m
2
chạm đất thì m
1
cách mặt đất

một khoảng
h
1
= 2m. Cho dây không dãn , khối lượng không đáng kể .
a. Hãy xác định gia tốc chuyển động của hệ và sức căng của các đoạn dây.
b. Tính độ cao cực đại mà m
2
có thể đạt được.
20
1
m
1
h
2
m
3
m
M
M
m
M
A

M
m
B
A
V

P

T

Bài 57 : Một vật nhỏ trượt không ma sát từ đỉnh một mặt cầu có bán kính R = 1,2m. Mặt cầu đặt
trên mặt đất, lấy g = 9,8m/s
2
. Xác định :
a. Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất.
b. Vận tốc của vật khi chạm đất.
BÀI GIẢI:
a. Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất.
Giả sử tại B vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
Độ giảm thế năng của vật bằng độ tăng động năng của vật nên ta có

(*)
22
22
g
V
h
mV
hmg

BB
=∆→=∆
Tính V
B
: Viết phương trình động lực học cho vật tại B, chiếu lên phương hướng tâm ta có
R
mV
maNP
B
n
2
cos. ==−
α
Tại B vật rời khỏi mặt cầu nên mặt cầu không còn tác dụng lên vật
(N=0)
(**))()(
2
2
hRgV
R
mV
R
hR
mg
B
B
∆−=→=
∆−
Thay (**) vào (*) ta có:
322

R
h
Rh
h =∆→=
∆
+∆
Vị trí vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất:
RhR
3
5
2 =∆−
b. Vận tốc của vật khi chạm đất:
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: Chọn gốc thế năng tại mặt đất bằng 0
gRV
V
gR
mVmV
Rmg
đ
đđB
4
22.3
2
3
5
223
5
222
=→=







+→=+
Bài 58 . Một đĩa tṛòn đồng chất khối lượng m
1
=100kg, bán kính R = 1,5m, quay không ma sát
quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm với vận tốc góc 10 vòng/phút. Một người có khối lượng
m
2
= 50kg đứng ở mép đĩa và đi dần vào tâm đĩa dọc theo phương bán kính. Xác định:
a. Vận tốc góc của đĩa khi người đứng ở tâm đĩa.
b. Công mà người đã thực hiện khi người đi từ mép đĩa vào tâm đĩa .(Coi người là một chất
điểm)
Bài giải:
a. Vận tốc góc của đĩa khi người vào tâm đĩa:
áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng cho hệ người – đĩa:
2
2
1
222
1
2
2
2
1
111
2

.
2
ωω
ωω
Rm
IL
Rm
Rm
IL
==








+==
mà :
221121
ωω
IILL ===
1
1
21
1
2
1
2

2
2
1
1
2
1
2
m
m2m
Rm50
RmRm50
I
I
ωωωω
+
=
+
==⇒
.,
.,
2210
100
602100
2
=
+
=⇒ .
.
ω
(vòng/phút)

b. Công mà người thực hiện khi người đi từ mép đĩa vào tâm đĩa
21
R
•
h
∆
B
A
m
R
0
m
R
•
h
∆
B
A
m
m
R
0
m
( )
)2(
4
22
.2
2222
2

12
2
11
2
21
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
11
2
22
12
ωωω
ωωωω
mmm
R
A
A
RmRmRmII
WWW
ddd

−−=⇒
=
+
−=−=−=∆
Bài 59 : Một thanh đồng chất thiết diện mảnh, chiều dài l (m), quay xung quanh trục nằm ngang
đi qua một đầu của thanh. Lúc đầu thanh ở vị trí nằm ngang , thả thanh chuyển động tự do. Tìm
gia tốc góc và vận tốc góc của thanh khi thanh đi qua vị trí hợp với phương thẳng đứng một
góc α và khi thanh đi qua vị trí cân bằng. Lấy g = 9,8m/s
2
* Tìm gia tốc góc của thanh:
Mômen quán tính đối với trục quay C đi qua đầu thanh:
3412
222
mlmlml
I
c
=+=
Phương tŕnh chuyển động quay:
)/(
.2
sin 3
3
sin.
2
.
2
2
srad
l
g

ml
P
l
IPrM
c
α
β
βαβ
=⇒
=⇒=∧=




* Tìm vận tốc góc của thanh:
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, chọn gốc thế năng tại D (W
tD
=0 )
Cơ năng bảo toàn : (W
A
= W
B
)
)/(
cos3
2
cos.
2
cos
1

6
.
2
.
32
cos.
2
22
222
srad
l
g
mgl
mglmgl
ml
mll
lmgImghmgl
c
α
ω
ααω
ωαω
=⇒
=







−−=⇒
+






−=+=
Bài 60 : Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy như hình vẽ. Thang máy
chuyển động đi lên với gia tốc a
0
= 2m/s
2
. Cho :
m
1
= 2kg, m
2
= 1kg, m
3
= 1,5kg, m
4
= 5kg . Dây không dãn khối lượng không
đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc . Tính :
a. Gia tốc chuyển động của các vật đối với mặt đất.
b. Sức căng của các đoạn dây.
c. áp lực của m
2
lên m

1
.
Bài 61 : Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy (hình vẽ). Thang máy chuyển động đi lên
(hoặc đi xuống) với gia tốc a
0
(m/s
2
) Cho : m
1
(kg) > m
2
(kg), Dây không dãn khối lượng không
đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc, lấy g =10m/s
2
.
a. Tính gia tốc chuyển động của các vật đối với thang máy.
b. Tính sức căng của sợi dây.
* Thang máy chuyển động đi lên:
- Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
Viết phương trình chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=

+=
chiếu lên phương chuyển động của từng vật
22
l
α
l
h
P

α
c 0
l
h
P

α
c 0
D
A
B
1
m
2
m
0
a

1
T


2
T

2
P

1
P

0
a

m
2
m
4
m
1
m
3
( )
( )
0222
0111
aamPT
aamTP
+
′
=−
−

′
=−
Theo điều kiện của đầu bài :
TTT ==
21
Thay vào và cộng hai vế ta có : +
0222
0111
amamPT
amamTP
+
′
=−
−
′
=−

0212121
)()( ammammPP −−
′
+=−
)/(
)).((
2
21
021
sm
mm
agmm
a

+
+−
=
′
⇒

)()(
01
NaagmT +
′
−=
* Thang máy chuyển động đi xuống:
Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
Viết phương trình chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=
+=
chiếu lên phương chuyển động của từng vật
( )
( )
0222
0111

aamPT
aamTP
−
′
=−
+
′
=−
Theo điều kiện của đầu bài :
TTT ==
21
Thay vào và cộng hai vế ta có : +
0222
0111
amamPT
amamTP
−
′
=−
+
′
=−

0212121
)()( ammammPP −+
′
+=−
)/(
)).((
2

21
021
sm
mm
agmm
a
+
−−
=
′
⇒

)()(
01
NaagmT −
′
−=
Bài 62 . Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy (hình vẽ). Thang máy chuyển động đi lên
(hoặc đi xuống) với gia tốc a
0
(m/s
2
). Cho : m
1
(kg)< m
2
(kg). Dây không dãn khối lượng không
đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc, lấy g =10m/s
2
.

a. .Tính gia tốc chuyển động của các vật đối với thang máy
b. Tính sức căng của sợi dây.
* Thang máy chuyển động đi lên:
- Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
Viết phương trình chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=
+=
chiếu lên phương chuyển động của từng vật
( )
( )
0222
0111
aamTP
aamPT
−
′
=−
+
′
=−
Theo điều kiện của đầu bài :

TTT ==
21
Thay vào và cộng hai vế ta có : +
0222
0111
amamTP
amamPT
−
′
=−
+
′
=−

0122112
)()( ammammPP −−
′
+=−
)/(
)).((
2
21
012
sm
mm
agmm
a
+
+−
=

′
⇒

)()(
01
NgaamT ++
′
=
* Thang máy chuyển động đi xuống:
Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a
’
23
1
m
2
m
0
a

1
T

2
T

2
P

1
P


1
m
2
m
0
a

1
T

2
T

2
P

1
P

Viết phương tŕnh chuyển động cho từng vật:
2222
1111
TPam
TPam




+=

+=
chiếu lên phương chuyển động của từng vật
( )
( )
0222
0111
aamTP
aamPT
+
′
=−
−
′
=−
Theo điều kiện của đầu bài :
TTT ==
21
Thay vào và cộng hai vế ta có : +
0222
0111
amamTP
amamPT
+
′
=−
−
′
=−

0122112

)()( ammammPP −+
′
+=−
)/(
)).((
2
21
012
sm
mm
agmm
a
+
−−
=
′
⇒

)()(
01
NgaamT +−
′
=
Bài 63 . Một vật có khối lượng m(kg)chuyển động trên sàn thang máy dưới tác
dụng của lực F (N) theo phương ngang. Hệ số ma sát giữa vật và sàn là
k . Thang máy chuyển động lên trên ( hoặc chuyển động xuống dưới) với gia tốc
)/(
2
0
sma

. Lấy g =9,8m/s
2

a. Tính gia tốc của vật đối với sàn thang máy ( Cho lực F)
b. Tính lực F tác dụng lên vật ( Khi cho gia tốc)
* Thang máy chuyển động đi lên:
a. Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:
( )
( )
m
FPKF
a
mamgKFPKFamFF
amFFFNP
qt
qtmSmS
qtms
+−
=
′
⇒
+=+=
′
=−⇒
′
=++++
)(;
0



* Thang máy chuyển động đi xuống:
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:

( )
m
FPKF
m
FF
a
mamgkFPKFamFF
amFFFNP
qt
mS
qtmSmS
qtms
)(
)(;
0
−−
=
−
=
′
⇒
−=−=
′
=−⇒
′

=++++



Bài 64 . Một vật có khối lượng m(kg) chuyển động trên sàn thang máy với gia tốc a
’

(m/s
2
) đối với sàn, dưới tác dụng của lực F (N) theo phương ngang. Hệ số ma sát
giữa vật và sàn là k . Thang máy chuyển động lên trên ( hoặc chuyển động xuống
dưới) với gia tốc
)/(
2
0
sma
. Tính lực F tác dụng lên vật. Lấy g =9,8m/s
2

* Thang máy chuyển động đi lên:
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:
( )
)(
0
mamgKamFPKamFamFF
amFFFNP
qtmS
qtms
++

′
=++
′
=→
′
=−⇒
′
=++++


* Thang máy chuyển động đi xuống:
Viết phương tŕnh chuyển động cho vật trong hệ quy chiếu không quán
tính:
24
F

0
a

F

0
a

P

qt
F

N


a
′

mS
F

F

0
a

P

qt
F

N

a
′

mS
F

1
m
2
m
0

a

1
T

2
T

2
P

1
P

F

0
a

F

0
a

P

qt
F

N


a
′

mS
F


( )
)(;
0
mamgkamFPKamFamFF
amFFFNP
qtmS
qtms
−+
′
=−+
′
=
′
=−⇒
′
=++++


Bài 65 . Một thanh đồng chất có chiều dài l = 5m đang ở vị trí thẳng đứng
thì bị đổ xuống. g=10m/s
2
a a. Xác định vận tốc dài của đỉnh thanh khi nó chạm đất .

b. Xác định độ cao của điểm M trên thanh sao cho khi điểm M chạm đất thì vận
tốc của nó đúng bằng vận tốc chạm đất của vật rơi tự do từ độ cao đó.
Bài giải :
a) Ở vị trí thẳng đứng, cột có thế năng w
t
=
2
mgl
. Khi đổ tới mặt đất thì thế năng này biến
thành động năng quay của cột ở vị trí chạm đất
2
.
2
ω
I
W
d
=
, trong đó I là mômen quán tính của
thanh đối với trục qua đầu mút của thanh: I =
3
2
ml
, ω là vận tốc góc của đỉnh thanh lúc chạm đất.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
smglV
l
VmlImgl
/2,123
2.32

.
2
2
222
==⇒==
ω
b) Gọi x là độ cao của điểm M khi thanh ở vị trí thẳng đứng.
Áp dụng công thức tính vận tốc của vật rơi tự do từ độ cao x, ta có vận tốc của điểm M khi chạm
đất:

M
v
=
gx2
(*).
áp dụng định luật bảo toàn năng lượng

x
l
g
V
x
Vml
mgl
Imgl
M
M
.
3
.3

.
22
2
2
2
2
=⇒=⇒=
ω
(**)
Theo điều kiện của đầu bài ta có biểu thức (*) bằng (**):
gx
l
g
x 2
3
. =
⇒ x =
l
3
2
= 10/3 =3,33m.
Bài 66 . Một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc, một đầu buộc vật có khối lượng m
1
= 300g, đầu
kia có cái vòng khối lượng m
2
= 200g trượt có ma sát trên dây. Gia tốc của vật m
2
đối với dây là
a

/
= 0,5m/s
2
. Bỏ qua khối lượng của dây, xem dây không trượt trên ròng rọc. Hãy xác định
a. Gia tốc của vật m
1
b. Lực ma sát giữa vòng và dây.
Bài giải :
- Phân tích lực như hình vẽ. Chiều chuyển động như hình vẽ
- Phương trình chuyển động của hệ :

)(
12222
1111
aamamFP
amTP
ms




+
′
==+
=+
- Chiếu lên phương chuyển động ta có :
)2()(
)1(
122
1111

aamFP
amTP
ms
−
′
=−
=−
và lực ma sát đóng vai trò kéo căng dây nên:
F
ms
=T
1
Thay vào phương trình trên ta có :
25
•
•
x
1
m
2
m
1
P

2
P

1
T


ms
F

F

0
a

P

qt
F

N

a
′

mS
F
