Đề thi HSG Cần thơ 2008 - 2009 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2008-2009
Khóa ngày 03/4/2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n để A = n
2
+ n + 28 là một số chính phương.
2. Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng
abcdabcd
(a ≠ 0) đồng thời chia hết cho
73 và 137.
Câu 2 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B 2008 3 2009 3x x= − + +
.
Câu 3 (3 điểm)
Cho biểu thức
1 1 7 2 1
C : 1
4 1
2 1 2 1 2 1
x x x
x
x x x
   
− −
= − + −

 ÷  ÷
−
− + +
   
.
1. Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C.
2. Tìm giá trị của x sao cho
8
C
3
=
.
3. Tìm giá trị của x sao cho C < 2.
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường thẳng (d
1
): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0).
1. Viết phương trình các đường thẳng (d
2
) đối xứng với (d
1
) qua trục Ox, (d
3
) đối
xứng với (d
1
) qua trục Oy và (d
4
) đối xứng với (d
1

) qua gốc tọa độ O.
2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) và (d
4
) là hình gì? Tại sao? Xác
định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.
Câu 5 (3 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số.
1. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
30
.
Câu 6 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác
A và khác C). Gọi (O
1
), (O
2
) lần lượt là các đường tròn có tâm O
1
, O
2

, qua D và tiếp
xúc với AB tại A, B. Gọi E là giao điểm của (O
1
) và (O
2
) (E khác D).
1. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển trên
cạnh AC.
2. Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau.
3. Cho góc ABC bằng 60°. Xác định tỉ số
CD
CA
để đoạn thẳng O
1
O
2
là ngắn nhất.
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2008-2009
Khóa ngày : 03/4/2007
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN : TOÁN
Câu 1 (3 đ): 1. Tìm số tự nhiên n để A = n
2
+ n + 28 là một số chính phương.
2. Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng

abcdabcd
(a ≠ 0) đồng thời chia
hết cho 73 và 137.
1) A là số chính phương
⇒
n
2
+ n + 28 = k
2
(k
∈
N , n
∈
N)
⇔
4n
2
+ 4n + 112 = 4k
2
⇔
(2k – 2n – 1)( 2k + 2n + 1) = 111 = 1.111 hoặc 3.37 (0,5 đ )
Vì 2k + 2n + 1 > 2k – 2n – 1 nên được :

2 2 1 1
2 2 1 111
k n
k n
− − =



+ + =

hoặc
2 2 1 3
2 2 1 37
k n
k n
− − =


+ + =

(0,5 đ )
⇔

1
55
k n
k n
− =


+ =

hoặc
2
18
k n
k n
− =



+ =

⇔

28
27
k
n
=


=

hoặc
10
8
k
n
=


=

(1 đ )
Vậy n = 27 hoặc n = 8
2)
abcdabcd
= 10000

abcd
+
abcd
= 10001
abcd
= 73.137.
abcd
Vậy
abcdabcd
đồng thời chia hết cho 73 và 137. (1 đ )
Câu 2 (2 đ): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
B 2008 3 2009 3x x= − + +
.
Đk :
2009 2008
3 3
x
−
≤ ≤
* Ta biết
A B A B+ ≥ +
và dấu “=” xãy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Do đó
2008 3 2009 3 4017B x x= − + + ≥
Dấu “=” khi x =
2009
3
−
hoặc x =
2008

3
Vậy minB =
4017
khi x =
2009
3
−
hoặc x =
2008
3
(1đ )
* Theo Bunhia ta có :
( )
( ) ( )
2
1. 2008 3 1. 2009 3 1 1 2008 3 2009 3x x x x− + + ≤ + − + +
⇔
B
2
2.4017 8034≤ =
⇔
0 < B
8034≤
, dấu “=” khi 2008 – 3x = 2009 + 3x
Vậy maxB =
8034
khi x =
1
6
−

(1 đ )
Câu 3 (3 đ) : Cho biểu thức
1 1 7 2 1
C : 1
4 1
2 1 2 1 2 1
x x x
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
−
− + +
   
.
1. Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C.
2. Tìm giá trị của x sao cho
8
C
3
=
.
3. Tìm giá trị của x sao cho C < 2.
1) Đk : x
≥
0 và x
≠
1

4
(0,25 đ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 7 2 1 2 1
:
2 1
2 1 2 1
x x x x x x
C
x
x x
− + − − + + − −
=
+
− +
=
( ) ( )
2 2 1 2 1 7 2 1
.
2
2 1 2 1
x x x x x x
x x
+ − − − + + +
− +
( 0,5 đ )
=
2

2 1
x x
x
+
−
( 0,5 đ )
2) C =
8
3

⇔

2
2 1
x x
x
+
−
=
8
3

⇔
3x –10
x
+ 8 = 0 ( 0,5 đ )
⇔

4
2

16
4
9
3
x
x
x
x

=

=


⇔


=
=




( 0,5 đ )
3) C < 2
⇔
2
2 1
x x
x

+
−
– 2 < 0
⇔

2 2
2 1
x x
x
− +
−
< 0 ( 0,25 đ )
⇔
( )
2
1 1
2 1
x
x
− +
−
< 0
⇒

2 1x −
< 0
⇔
0
≤
x <

1
4
( 0,5 đ )
Câu 4 (3 đ) : Cho đường thẳng (d
1
): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0).
1. Viết phương trình các đường thẳng (d
2
) đối xứng với (d
1
) qua trục Ox, (d
3
)
đối xứng với (d
1
) qua trục Oy và (d
4
) đối xứng với (d
1
) qua gốc tọa độ O.
2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) và (d
4
) là hình gì? Tại sao?
Xác định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.

1) * Ta có y = f(x) và y = – f(x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Ox
Do đó Phương trình của (d
2
) đối xứng (d
1
) : y = –2mx + 2m qua trục Ox là :
y = – (–2mx + 2m)
⇒
(d
2
) : y = 2mx – 2m ( 0,5 đ )
* Ta có y = f(x) và y = f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Oy
Do đó Phương trình của (d
3
) đối xứng (d
1
) : y = –2mx + 2m qua trục Oy là :
y = –2m(–x) + 2m
⇒
(d
3
) : y = 2mx + 2m ( 0,5 đ )
* Ta có y = f(x) và y = –f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua
gốc tọa độ O.
Do đó Phương trình của (d
4
) đối xứng (d
1
) : y = –2mx + 2m qua O là :
y = – [– 2m(–x) + 2m]

⇒
(d
4
) : y = –2mx – 2m ( 0,5 đ )
2) * Do gốc tọa độ O là tâm đối xứng của tứ giác tạo bởi (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
)
và Ox vuông góc với Oy nên tứ giác nói trên là một hình thoi. (0,5 đ )
* Để hình thoi này trở thành hình vuông thì :
(d
1
)
⊥
(d
2
)
⇒
a
1
.a
2
= –1

⇔

–2m.2m = – 1
⇔
m
2
=
1
4

⇔
m =
±
1
2
(1 đ )
Câu 5 (3 đ) : Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số.
1. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
30
.
1) Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt
2
1 2
1 2
' 3 4 0
. 5 0
2( 1) 0
m m

P x x m
S x x m

∆ = + − >

⇔ = = − >


= + = + >

( 0,5 đ )
( 1) ( 4)
5
1
m m
m
m
> ∨ < −


⇔ <


> −

1 5m
⇔ < <
( 1 đ )
2) x
1

và x
2
là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền
30
⇒
x
1
2
+ x
2
2
= 30
⇔
S
2
– 2P – 30 = 0 (0,5 đ )
⇔
2m
2

+ 5m – 18 = 0
⇔
2
9
2
m
m
=




= −

Chỉ có giá trị m = 2 thỏa mãn (1 đ )
Câu 6 (6 đ) :
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A
và khác C). Gọi (O
1
), (O
2
) lần lượt là các đường tròn có tâm O
1
, O
2
, qua D và tiếp xúc
với AB tại A, B. Gọi E là giao điểm của (O
1
) và (O
2
) (E khác D).
1. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển
trên cạnh AC.
2. Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau.
3. Cho góc ABC bằng 60°. Xác định tỉ số
CD
CA
để đoạn thẳng O
1
O
2

là ngắn nhất.
1) Gọi I là giao điểm của ED với AB.
*
∆
IAD đồng dạng
∆
IEA
2
.
IA ID
IA IE ID
IE IA
⇒ = ⇔ =
(1 đ )
*
∆
IBD đồng dạng
∆
IEB
2
.
IB ID
IB IE ID
IE IB
⇒ = ⇔ =
( 0,5 đ )
⇒
IA = IB
⇒
ED đi qua điểm cố định I

là trung điểm của AB. ( 0,5 đ )
2) * Tam giác ICA cân tại I
⇒

ˆ ˆ
(1)CAB ICA=
( 0,5 đ )
* IC = IB
⇒
IC
2
= IE.ID
IC ID
IE IC
⇔ =
⇒

∆
ICD đồng dạng
∆
IEC
⇒
ˆ
ˆ
(2)IEC ICA=
( 1 đ )
(1) & (2)
⇒

ˆ

ˆ
CAB DEC=
( 0,5 đ )
3) O
1
A // O
2
B
⇒
O
1
O
2
ngắn nhất
⇔
O
1
O
2
// AB
⇒
DE
⊥
AB tại trung điểm I của AB
⇒
tam giác EAB cân tại E ( 0,5 đ )
Mặt khác do
ˆ
ˆ
CAB DEC=

(cmt)
⇒
tứ giác IAEC nội tiếp
⇒
ˆ
ˆ
ACE AIE=
= 90
o
⇒
B, C, E thẳng hàng ( 0,5 đ )
Mà
0 0
ˆ ˆ
60 ( ) 60ABC gt ABE= ⇒ =
Nên
∆
EAB đều
⇒
trực tâm D cũng là trọng tâm
⇒

1
3
DC
AC
=
( 1 đ )
( HẾT )
Ghi chú :

- Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.
A B
C
D
O
1
O
2
E
I