phương pháp giải phương trình lượng giác 3

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c

(1)

Cá c h giả i
Đặt t = sin x + cos x với điều kiện t ≤ 2
π⎞
π⎞
⎛
⎛
Thì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
Ta coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x nên (1) thành
b 2
t −1 = c
2
⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0
Giả i (2) tìm được t, rồ i so vớ i điề u kiệ n t ≤ 2
at +

(

)

π⎞

⎛
2 sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm đượ c x
4⎠
⎝
Bà i 106 : Giả i phương trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *)

giả i phương trình

(

)

(*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0

⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0
⎡sin x = −1
(1 )
⇔⎢
⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 )
⎣
π
• (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z )
2
π⎞
⎛
•Xét ( 2 ) : đặt t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
điều kiện t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 − 1

Vaä y (2) thaø n h t −
=0
2
⇔ t 2 − 2t − 1 = 0

⎡t = 1 − 2
⇔⎢
⎢ t = 1 + 2 ( loại )
⎣
π⎞
⎛
Do đó ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2
4⎠
⎝


2
π⎞
⎛
⇔ cos ⎜ x − ⎟ =
− 1 = cos ϕ với 0 < ϕ < 2π
4⎠
2
⎝
π
2
= ±ϕ + h2π, h ∈ , với cos ϕ =
−1
4
2

π
2
⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , với cos ϕ =
−1
4
2
⇔ x−

3
sin 2x ( *)
2
3
( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x
2
π⎞
⎛
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

Bà i 107 : Giả i phương trình −1 + sin 3 x + cos3 x =

Thì t2 = 1 + 2sin x cos x
⎛
t2 − 1 ⎞ 3 2
Vậ y (*) thà n h : −1 + t ⎜ 1 −
t −1
⎟=
⎜

2 ⎟ 2
⎝
⎠

(

(

)

(

⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1

)

)

⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0

(

)

⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0
⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loại )
π⎞
π
1
⎛

với t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ =
= sin
4⎠
4
2
⎝
π π
π 3π
⇔ x + = = k2π ∨ x + =
+ k2π, k ∈
4 4
4
4
π
⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈
2
π⎞
3−2
⎛
= sin ϕ
vớ i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ =
4⎠
2
⎝

⇔ x+

π
π
3−2

= ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , với
= sin ϕ
4
4
2

⇔ x =ϕ−

π
3π
+ m2π ∨ x =
− ϕ + m2π, m ∈ , với
4
4

Bà i 108 :Giả i phương trình

3−2
2

2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *)

⎧sin x ≠ 0
Điề u kiệ n ⎨
⇔ sin 2x ≠ 0
⎩cos x ≠ 0
sin x cos x
Lú c đó (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) =
+
cos x sin x

= sin ϕ


sin2 x + cos2 x
1
⇔ 2 ( sin x + cos x ) =
=
sin x cos x
sin x cos x
π⎞
⎛
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝

Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x với t ≤ 2 và t 2 ≠ 1

2
t −1
3
⇔ 2t − 2t − 2 = 0
(Hiể n nhiê n t = ±1 khô n g là nghiệ m )
(*) thàn h

(

⇔ t− 2

2t =

)(

2

)

2t 2 + 2t + 2 = 0

⎡t = 2
⇔⎢ 2
⎢ t + 2t + 1 = 0 ( vô nghiệm )
⎣
π⎞
⎛
Vậ y ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2
4⎠
⎝
π⎞
⎛
⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1
4⎠
⎝
π π
⇔ x + = + k2π, k ∈
4 2
π
⇔ x = + k2π, k ∈
4

Bà i 109 : Giả i phương trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *)
Vớ i điề u kiệ n sin 2x ≠ 0 , nhâ n 2 vế phương trình cho sinxcosx ≠ 0 thì :
( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x
⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x
⇔ 3 cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0
⎦
⎣
⎦
⎣

⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0
⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1)
⇔⎢
( 2)
⎢3 cos x − 5 sin x = 0
⎣

( Ghi chuù :

A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D )
π⎞
⎛
Giaû i (1) Đặ t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
Thì t2 = 1 + 2sin x cos x vớ i điề u kiệ n : t ≤ 2 và t ≠ ±1
(1) thaøn h : t −

t2 − 1
= 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0

2

(

)

⎡ t = 1 + 2 loaïi do t ≤ 2
⇔⎢
⎢ t = 1 − 2 ( nhận so với điều kiện )
⎣


π⎞ 1− 2
⎛
Vaä y sin ⎜ x + ⎟ =
= sin α ( 0 < α < 2π )
4⎠
2
⎝
π
π
⎡
⎡
x + = α + k2π
x = α − + k2π
⎢
⎢
4
4
⇔⎢

⇔⎢
π
3π
⎢ x + = π − α + k2π, k ∈
⎢x =
− α + k2π, k ∈
⎢
⎢
⎣
⎣
4
4
3
( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( với 0 < β < π )
5
Bà i 110 : Giả i phương trình
3tg3 x − tgx +

3 (1 + sin x )
cos x
2

⎛π x⎞
= 8 cos2 ⎜ − ⎟ ( *)
⎝4 2⎠

Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1

⎡
⎛π

⎞⎤
Lú c đó : (*) ⇔ tgx 3tg 2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg 2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥
⎝2
⎠⎦
⎣
= 4 (1 + sin x )

(

)

(

)

⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0
⎣
⎦
⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0

⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0
⎡3tg 2 x = 1 (1)
⇔⎢
⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎣

(2)

π
1

3
⇔ tgx = ±
⇔ x = ± + kπ
3
3
6
π⎞
⎛
• Giải ( 2 ) đặt t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2 và t ≠ ±1
•(1) ⇔ tg 2 x =

Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 −1
(2) thaøn h : t +
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0
2
⎡ t = −1 − 2 loại do điều kiện t ≤ 2
⇔⎢
⎢ t = −1 + 2 ( nhaän so với điều kiện )
⎣

(

)

2 −1
π⎞

⎛
Vậ y sin ⎜ x + ⎟ =
= sin ϕ
4⎠
2
⎝
π
π
⎡
⎡
⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ¢
⎢ x = ϕ − 4 + k2 π, k ∈ ¢
⇔⎢
⇔⎢
⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢
⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢
⎢
⎢
⎣
4
⎣
4


Bà i 111 : Giả i phương trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *)

(*) ⇔ 2 ( sin 3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0
⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0
⎡sin x − cos x = 0 (1)
⇔⎢

⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 )

ã (1) tgx = 1
x=


+ k, k Â
4



t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n : t ≤ 2
•xét ( 2 ) đặt

t 2 = 1 + sin 2x
Vậy ( 2 ) thành t + ( t 2 − 1) + 1 = 0

⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1

π⎞
⎛
Khi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0
4⎠
⎝
π
π
⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢

4
2
3π
⇔x=
+ kπ, k ∈ ¢
4
π⎞
1
3π
⎛
Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = −
= cos
4⎠
4
2
⎝
π
3π
⇔ x− =±
+ k2 π, k ∈ ¢
4
4
π
⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢
2

Bà i 112 : Giả i phương trình

sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *)

Ta coù : (*)
⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin 3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0
⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0
⎡sin x − cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 )
⎣
Ta coù : (1) ⇔ tgx = 1
π
⇔ x = + kπ, k ∈ ¢
4


π⎞
⎛
Xé t (2) : đặ t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 −1
+2 = 0
(2) thaø n h 2t +
2
⇔ t 2 + 4t + 3 = 0
⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loại )
π⎞
1
3π

⎛
khi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = −
= cos
4⎠
4
2
⎝
π 3π
⎡
+ k2 π, k ∈ ¢
x− =
⎢
4 4
⇔⎢
⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢
⎢
4
4
⎣
⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢
⇔⎢
⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢
⎣
2

(

)

Bà i 113 : Giả i phương trình tg 2 x 1 − sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *)

Điề u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
sin 2 x
Lú c đó (*) ⇔
(1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0
2
cos x
2
⇔ (1 − cos x )(1 − sin 3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin 2 x ) = 0
⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0

hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0

⎡ cos x = 1 ( nhaän do điều kiện )
⎢
⇔ ⎢sin x = 1 ( loại do điều kiện )
⎢ 2
2
2
2
⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0
⎣
⎡ cos x = 1
⇔⎢ 2
2
⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0
⎡ cos x = 1
⇔⎢
⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1

⇔⎢
⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎡ x = k2 π, k ∈ ¢
⎢
π
⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢
4
⎢
⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎣


xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0
đặ t
π⎞
⎛
t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ 2 và t ≠ ±1
4⎠
⎝
2
⇒ t = 1 + 2 sin x cos x
t2 − 1
Ta đượ c phương trình t +
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0
2
⎡ t = −1 − 2 ( loaïi )
⇔⎢
⎢ t = − 1 + 2 ( nhận so với đk )
⎣
π⎞

2 −1
⎛
= cos ϕ
Vậ y cos ⎜ x − ⎟ =
4⎠
2
⎝
π
π
⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢
4
4

(

)

Bà i 114 : Cho phương trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *)
⎡ π⎤
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạ n ⎢ 0, ⎥
⎣ 2⎦
π⎞
⎛
Đặ t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , điề u kiệ n t ≤ 2
4⎠
⎝
2
Thì t = 1 + sin 2 x
Vậ y (*) thà n h : m ( t + 1) = t 2
π

π
π 3π
thì ≤ x + ≤
2
4
4 4
2
π⎞
⎛
≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1
Do ñoù
2
4⎠
⎝
⇔1≤ t ≤ 2
ta coù m ( t + 1) = t 2

Neá u 0 ≤ x ≤

t2
(do t = -1 khô n g là nghiệ m củ a phương trình)
t +1
t2
Xé t y =
trên ⎡1, 2 ⎤
⎣
⎦
t +1
t 2 + 2t
Thì y ' =

> 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤
2
⎣
⎦
( t + 1)
⇔m=

Vậ y y tă n g trê n ⎡1, 2 ⎤
⎣
⎦
⎡ π⎤
Vậ y (*) có nghiệ m treâ n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y
⎣ 2⎦
1
⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1
2

(

)

( 2)


Bà i 115 : Cho phương trình cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x ( *)

a/ Giả i phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để (*) có nghiệ m
Ta có : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x
π⎞

⎛
Đặ t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

(

)

Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
⎛ t2 − 1 ⎞
⎛ t2 − 1 ⎞
= m⎜
Vậ y (*) thà n h t ⎜ 1 −
⎟
⎟
2 ⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1)
a/ Khi m = 2 ta có phương trình
t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1)

(

)

⇔ t 3 + 2t 2 − 3t − 2 = 0

(

)(

)

⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0
⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaïi )
π⎞
π
π
⎛
Vậ y • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢
4⎠
4
4
⎝

π ⎞ 1− 2
⎛
• cos ⎜ x − ⎟ =
= cos α
4⎠
2
⎝
π
π
⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢
4
4

2
2
b/ Xé t phương trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **)
Do t = ±1 khô n g là nghiệ m củ a (**) neâ n
3t − t 3
* *) ⇔ m = 2
(
t −1
3t − t 3
Xeù t y = 2
( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1}
⎣
⎦
t −1
−t 4 − 3
< 0∀t = ±1
Ta coù y ' =
2
t 2 − 1)
(
suy ra y giảm trên ( −1,1 ) và
lim y = + ∞ , lim− y = − ∞

x → − 1+

x→ 1

Do đó trên ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù
⎣
⎦

3
3t − t
với ∀m ∈ R
(d) y = m cắt (C) y = 2
t −1
Vậ y (*) có nghiệ m ∀m ∈ R


Bà i 116 : Cho phương trình

1⎛
1
1 ⎞
m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx +
+
= 0 ( *)
2⎝
sin x cos x ⎟
⎠
1
a/ Giả i phương trình khi m =
2
⎛ π⎞
b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
Với đ iều kiện sin 2x ≠ 0 ta coù
1 ⎛ sin x cos x
1
1 ⎞
(*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜

+
+
+
=0
2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟
⎠
⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0

⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0
⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0
2

⎡sin x + cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 )
⎣
π⎞
⎛
Xé t (2) đặ t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
2
Thì t = 1 + sin 2 x
Do sin 2x ≠ 0 nên t ≤ 2 và t = ±1

⎡t = 0
Vậ y (*) thà n h : ⎢
2
⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0
⎣

⎡ t = 0 ( nhận so điều kieän )
⇔⎢
( do t ≠ −1)
⎢ m ( t − 1) + 1 = 0
⎣
1
a/ Khi m = thì ta đượ c :
2
⎡t = 0
⎢
⎢ t = − 1 ( loại do điều kiện )
⎣
Vậ y sinx + cosx = 0
⇔ tgx = −1
π
⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢
4
π
π
π π
b/ Ta có : 0 < x < ⇔ − < x − <
2
4
4 4
Lú c đó
2
π⎞
⎛
< cos ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 1 < t ≤ 2
2

4⎠
⎝
Do t = 0 ∉ 1, 2 ⎤
⎦

(


Nê n ta xé t phươn g trình : m ( t − 1) + 1 = 0 ( **)

(**) ⇔ mt = m − 1
1
(do m = 0 thì (**) vô nghiệ m )
m
1
Do đó : yê u cầ u bà i toán ⇔ 1 < 1 − ≤ 2
m
⎧ 1
⎧m < 0
⎪− m > 0
⎪
⎪
⇔⎨
⇔⎨
1
⎪1 − 2 ≤ 1
⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1
⎩
⎪
m

⎩

⇔ t = 1−

⇔ m ≤ − 2 −1
Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m
3

a/ Giả i phương trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tính theo m giá trị lớ n nhấ t và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2

Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R
⎣
⎦

(

π⎞
⎛
Đặ t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ 2
4⎠
⎝
2
Thì t = 1 + sin 2 x

Và cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = −t 4 + 2t 2
2

Vậ y f ( x ) thành g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m

a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0

(

)

⇔ t = 0∨ t =1
vậy khi m = -3 thì f( x) = 0
π⎞
1
π⎞
⎛
⎛
⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ =
4⎠
4⎠
2
⎝
⎝
π
π
π
π
⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢
4
2
4
4
3π

π
⇔x=
+ kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢
2
4
3
2
b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1)
⎧g ' ( t ) = 0
1
⎪
Vaä y ⎨
⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t =
2
⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤
⎦
⎩ ⎣
⎛ 1 ⎞ 47
Ta coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) ,
g⎜ ⎟ =
+m
⎝ 2 ⎠ 16
g

( 2) = 4

2 − 3 + m,

g

( 2) = m −3−4

2

)


Vaä y : Maxf ( x ) =

Max g ( t ) = m + 3

t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤
⎣
⎦

x∈ ¡

Minf ( x ) =
x∈ R

Min g ( t ) = m − 3 − 4 2

t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤
⎣
⎦
2

Do đó : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R
⎣
⎦

⎧Max f ( x ) ≤ 6
⎪
⇔⎨ R
⎪Min f ( x ) ≥ − 6
⎩ R
⎧m + 3 ≤ 6
⎪
⇔⎨
⎪m − 3 − 4 2 ≥ −6
⎩
⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3

(

)

2

Cá c h khá c : Ta có g ( t ) = −t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + 3 + m
⎣
⎦

Đặ t u = t 2 − t

⎡ 1
⎤
Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D
⎣
⎦
⎣ 4

⎦
2
Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m

Max f ( x ) =
R

Min f ( x ) =
R

Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3
u∈D

t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤
⎣
⎦

Min

⎡
⎤
t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦

g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2
u∈D

Chú ý 1 : Phương trình giả đố i xứ n g
a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0

đặ t t = sinx – cosx

π⎞
π⎞
⎛
⎛
thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
2
vớ i điề u kiệ n t ≤ 2 thì t = 1 − 2 sin x cos x
Bà i 118 : Giả i phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *)

Điề u kiệ n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1
cos x
Lú c đó (*) ⇔ 2 sin x +
= 4 sin x cos x + 1
sin x
⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x

(

)

⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0
⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0
⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0
⎡2 sin x − 1 = 0
⇔⎢
⎢sin x − cos x − sin 2x = 0

⎣

(1 )
( 2)


• Ta có (1) ⇔ sin x =
⇔x=

1
( nhận do sin x ≠ 0)
2

π
5π
+ k2π ∨ x =
+ k2π, k ∈
6
6

• Xét ( 2 ) Đặt t = sin x − cos x =

π⎞
⎛
2 sin ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝

Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2 và t ≠ ± 1
Thì t2 = 1 − sin 2x

Vậ y (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0

(

)

⇔ t2 + t − 1 = 0
−1 + 5
−1 − 5
⇔t=
∨t=
( loại )
2
2
π ⎞ −1 + 5
⎛
Do đó : 2 sin ⎜ x − ⎟ =
nhaän do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1
4⎠
2
⎝
π⎞
5 −1
⎛
⇔ sin ⎜ x − ⎟ =
= sin ϕ
4⎠
2 2
⎝
π

⎡
⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈
⇔⎢
⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈
⎢
4
⎣
π
⎡
⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈
⇔⎢
⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈
⎢
4
⎣

(

)

Bà i 119 : Giả i phương trình
cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )( *)

(

)

Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )
⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ 2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0
⎣

⎦

⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0
π⎞
⎛
Đặ t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

(*) thaøn h : t ( t + 4 ) − 5 = 0
⇔ t 2 + 4t − 5 = 0
⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loại )
π⎞
1
π
⎛
Vậ y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ =
= sin
4⎠
4
2
⎝


π π
π 3π
= + k2π ∨ x − =
+ k2π, k ∈
4 4

4
4
π
⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈
2
⇔ x−

Bà i 120 : Giả i phương trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *)

Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x
⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x
⎡sin x + cos x = 0
⇔⎢
⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0
⎣
Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1
⇔x=−

(1 )
( 2)

π
+ kπ, k ∈
4

π⎞
⎛
Xé t (2) đặ t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝

Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

Thì t2 = 1 − 2sin x cos x
1 − t2
(2) thaøn h t −
+ 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0
2
⇔ t = −1
π⎞
1
⎛
⎛ π⎞
vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = −
= sin ⎜ − ⎟
4⎠
2
⎝
⎝ 4⎠
π
π
⎡
x − = − + k2π, k ∈
⎡ x = k2π, k ∈
⎢
4
4
⇔⎢
⇔⎢
⎢ x = 3π + k2π, k ∈
π 5π

⎢x − =
+ k2π, k ∈
⎣
2
⎢
⎣
4
4
Bà i 121 : Cho phương trình cos3 x − sin 3 x = m

(1 )

a/ Giả i phương trình (1) khi m = 1 bằ n g cá c h đặ t ẩ n phụ t = cos x − sin x
⎡ π π⎤
b/ Tìm m sao cho (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦
Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m
π⎞
⎛
Đặ t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
Vớ i điề u kiệ n t ≤ 2

Thì t2 = 1 − 2sin x cos x
⎛
1 − t2 ⎞
Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ 1 +
⎟=m
⎜

2 ⎟
⎝
⎠

(

)

⇔ t 3 − t 2 = 2m

( 2)


a/ Khi m = 1 thì (2) thà nh t3 − 3t + 2 = 0
⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0

(

)

⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loại )
π⎞
2
π
π
⎛
Vậ y cos ⎜ x + ⎟ =
⇔ x + = ± + k2π, k ∈
4⎠
2

4
4
⎝
π
⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈
2
π π
π π⎤
⎡
b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤
4 2
⎣ 4 4⎦
π⎞
⎛
neâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1
4⎠
⎝
π⎞
⎛
⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2
4⎠
⎝
nhậ n xé t rằ n g vớ i mỗi t tìm đượ c trê n ⎡0, 2 ⎤
⎣
⎦
⎡ π π⎤
ta tìm duy nhấ t mộ t x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦
3
xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, 2 ⎤

⎣
⎦
2
⇒ f ' ( t ) = −3t + 3

⎡ π π⎤
vậ y (1) có đú n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦

⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t 3 + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ tạ i 2 điể m phâ n biệ t
⎣
⎦
⇔ 2 ≤ 2m < 2
2
⇔
≤ m<1
2
Bà i 122 : Cho phương trình
2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = m ( sin x + cos x )( *)

a/ Giả i phương trình khi m = 2
⎡ π⎤
b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất mộ t nghiệ m trê n ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦

Ta coù : ( * ) ⇔ 2 ( cos2 x − sin 2 x ) + sin x cos x ( sin x + cos x ) = m ( sin x + cos x )

⇔ cos x + sin x = 0

(1 ) hay 2 ( cos x − sin x ) + sin x cos x = m ( 2 )

π⎞
⎛
Đặ t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝
2
Thì t = 1 − 2 sin x cos x
Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x

(điề u kiệ n t ≤ 2 )

π
+ kπ, k ∈
4
1 − t2
Ta coù : (2) thaø nh 2t +
=m
2
⇔ −t 2 + 4t + 1 = 2m ( * *)
⇔ tgx = −1 ⇔ x = −

a/ Khi m = 2 thì (**) thà n h t 2 − 4t + 3 = 0
⇔ t = 1 ∨ t = 3 ( loaïi )
π⎞
2
π
π
⎛

⇔ x + = ± + k2π, k ∈
vaä y cos ⎜ x + ⎟ =
4⎠
2
4
4
⎝
π
⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈
2
Do đó :
π
π
( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈
4
2
π ⎡ π 3π ⎤
⎡ π⎤
b/ Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥
4 ⎣4 4 ⎦
⎣ 2⎦
2
π⎞
2
⎛
vaä y −
≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤
2
4⎠
2

⎝
⇒ −1 ≤ t ≤ 1
π
⎡ π⎤
Do nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈
4
⎣ 2⎦
Neâ n yeâ u cầ u bà i toá n ⇔ ( * *) có nghiệ m trê n [ −1,1]

Xé t y = −t 2 + 4t + 1 thì y ' = −2t + 4 > 0 ∀t ∈ [ −1,1]

⇒ y tăng trên [ −1,1]
Do đó : yê u cầ u bà i toán
⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = 4
⇔ −2 ≤ m ≤ 2
* Chú ý 2 : Phương trình lượ n g giá c daï n g
a ( tgx ± cot gx ) + b ( tg 2 x + cot g 2 x ) = 0

ta đặt t = tgx ± cot gx thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x ± 2
2
khi t = tgx + cot gx =
thì t ≥ 2 ( do sin 2x ≤ 1)
sin 2x
Bà i 123 : Giả i phương trình
3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 ( *)


Đặ t t = tgx + cot gx =
Vớ i điề u kiệ n t ≥ 2

2
sin 2x

Thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2

(*) thaøn h : 3 ( t 2 − 2 ) + 4t + 2 = 0
⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0
2
⎡
⎢ t = 3 ( loaïi do điều kiện )
⇔
⎢
⎣ t = −2

Ta có : t = −2 ⇔

2
= −2 ⇔ sin 2x = −1
2 sin x

π
+ k2π, k ∈
2
π
⇔ x = − + kπ, k ∈
4
Bà i 124 : Giả i phương trình
tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x + cotg 3 x = 6 ( *)
⇔ 2x = −

Ta coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg 2 x + cot g 2 x ) + ( tg 3 x + cot g 3 x ) = 6

(

2

)

⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − 2 + ( tgx + cot gx ) tg 2 x + cot g 2 x − 1 = 6
2
2
⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = 8
⎣
⎦
2
Đặ t t = tgx + cot gx =
( điều kiện t ≥ 2)
sin 2x
Vậ y (*) thà n h : t + t 2 + t ( t 2 − 3) = 8

⇔ t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0
⎡t = 2
⇔ ( t − 2 ) t 2 + 3t + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2
⎣ t + 3t + 4 = 0 ( vô nghiệm )
⇔t=2
2
Vậ y
= 2 ⇔ sin 2x = 1
sin 2x
π

⇔ 2x = + k2π, k ∈
2
π
⇔ x = + kπ, k ∈
4

(

)

Bà i 125 : Giả i phương trình
2
+ 2tg 2 x + 5tgx + 5 cot gx + 4 = 0 ( *)
2
sin x
Caù c h 1 : (*) ⇔ 2 1 + cot g 2 x + 2tg 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 4 = 0

(

)


(

)

⇔ 2 tg 2 x + cot g 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0
2
⇔ 2 ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0
⎣

⎦
2
Đặ t t = tgx + cot gx =
, với t ≥ 2
sin 2x
Ta đượ c phương trình : 2t 2 + 5t + 2 = 0
1
⇔ t = −2 ∨ t = − ( loại )
2
2
Vậ y ( *) ⇔
= −2 ⇔ sin 2x = −1
sin 2x
π
⇔ 2x = − + k2π, k ∈
2
π
⇔ x = − + kπ, k ∈
4
Cá c h 2 : Đặ t u = tgx (vớ i điề u kiệ n u ≠ 0 )

Vậ y (*) thà n h : 2 +

2
5
+ 2u 2 + 5u + + 4 = 0
2
u
u

⇔ 2 + 2u 4 + 5u 3 + 5u + 6u 2 = 0

(

)

⇔ ( u + 1) 2u 3 + 3u 2 + 3u + 2 = 0
⇔ ( u + 1)

2

( 2u

2

)

+u+2 =0

⎡u = −1 ( nhaän )
⇔⎢ 2
⎢2u + u + 2 = 0 ( vô nghiệm )
⎣

Vaä y (*) ⇔ tgx = -1
π
⇔ x = − + kπ, k ∈
4
Bà i 126 : Cho phương trình
1

+ cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 2 = 0
2
cos x
5
a/ Giả i phương trình khi m =
2
b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m
Ta có : (1) ⇔ tg 2 x + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 3 = 0
2
( điều kiện t ≥ 2)
sin 2x
⇒ t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2

Đặ t t = tgx + cot gx =

Vậ y (1) thà n h : t 2 + mt + 1 = 0
a/ Khi m =

( 2)

5
ta đượ c phương trình 2t 2 + 5t + 2 = 0
2

(1 )


⇔ t = −2 ∨ t = −

1

( loaïi )
2

2
= −2 ⇔ sin 2x = −1
sin 2x
π
⇔ 2x = − + k2π, k ∈
2
π
⇔ x = − + kπ, k ∈
4
b/ Cá c h 1 :
Ta có : (2) ⇔ mt = −1 − t 2
1
⇔ m = − − t (do t = 0 khô n g là nghiệ m củ a (2))
t
1
Xé t y = − − t với t ≥ 2
t
1
1 − t2
Thì y ' = 2 − 1 =
t
t2
Ta coù : y ' = 0 ⇔ t = ±1

Do đó

Do đó (1) có nghiệm ⇔ (d) cắt ( C ) trên ( −∞, −2] U [ 2, +∞ )

5
5
∨m≥
2
2
5
⇔ m ≥
2
Cá c h 2 : Yê u cầ u bà i toá n
⇔ f ( t ) = t 2 + mt + 1 = 0 có nghiệ m t thỏ a t ≥ 2
⇔m≤−

Nhậ n xé t rằ n g do P = 1 nê n nế u f(t) có hai nghiệm t1 , t 2 ( với t1 ≤ t2 ) và có
⎧ t1 ≤ 1 ⎧ t1 ≥ 1
⎪
⎪
nghiệm thì ta có ⎨
∨⎨
⎪ t2 ≥ 1 ⎪ t2 ≤ 1
⎩
⎩
Do đó :
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < 2 ∨ −2 < t1 < 2 ≤ t 2

⎧
⎧
⎪1f ( −2) ≤ 0 ⎪1f ( 2 ) ≤ 0
⇔⎨
∨⎨
⇔

⎪1f ( 2 ) > 0
⎪1f ( −2 ) > 0
⎩
⎩
5
5
⇔m≥ ∨m≤−
2
2

⎧−2m + 5 ≤ 0 ⎧−2m + 5 > 0
∨⎨
⎨
⎩2m + 5 > 0
⎩2m + 5 ≤ 0


1.

BÀI TẬP

Giả i cá c phương trình :
a/ 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x
b/ cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0
c/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )
d/ cot gx − tgx = sin x + cos x
e/ sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x
f/ 1 + tgx = sin x + cos x
π⎞
⎛

g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1
4⎠
⎝
k/ sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0

sin x + cos x
=1
sin 2x + 1
1 − cos 2x 1 − cos3 x
m/
=
1 + cos 2x 1 − sin3 x
n/ 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x )

l/

o/ 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0
p/ sin 2 x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x
r/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )

2.

s/ cos2 x + sin 3 x + cos x = 0
t/ 4 sin3 x − 1 = 3sin x − 3 cos 3x
Cho phương trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1)
a/ Chứ n g minh nế u m > 2 thì (1) vô nghiệ m
b/ Giả i phương trình khi m = 2

3.

Cho phương trình sin 2x + 4 ( cos x − sin x ) = m

4.

a/ Giaû i phương trình khi m = 4
b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m
Cho phương trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0
a/ Giả i phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m

5.

( ÑS : m

≥ 1)

3
+ 3tg 2 x = m ( tgx + cot gx ) = 1
2
sin x
Tìm m để phương trình có nghiệ m
( ĐS : m ≥ 4 )

Cho phương trình

Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn