phương pháp giải phương trình lượng giác

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN


=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk
tgu tgv
2
uvk'

(
)

k,k ' Z∈

uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π
⎧
=⇔
⎨
=+ π
⎩


Đặc biệt :
si

n u 0 u k=⇔=π
π
=
⇔=+πco

s u 0 u k
2
(
sin u 1 u k2 k Z
2
π
=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
=
⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cosu 1 u k2
=
−⇔ =π+ π

Chú ý :
sin u 0 cos u 1≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠±


Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[
]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
(
)
cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) : ⇔
()
(
)
32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0
−
−−+−=

⇔
32
4cos x 8cos x 0
−
=
⇔
(
)
2
4cos x cosx 2 0
−
=

⇔
(
)
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤

⇔
()
xkk

2
π
=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔
k14
22
ππ
−≤π≤ −
⇔
1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà k nên Z∈
{
}
k
. Do đó :
0,1,2,3∈

357
x ,,,
2222
π
πππ
⎧
⎫
∈
⎨
⎬
⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( )
(
)
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−


Ta có (*) ⇔
()
(
)
(
)
−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1−

⇔
()( )

2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
−
+−
⎡⎤
⎣⎦
=
)

⇔
()(
2cosx 1 sinx cosx 0
−
+=

⇔
1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔ cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()

ππ
=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k
34
Z


Bài 30 : Giải phương trình
+
++=cos x cos2x cos 3x cos4x 0 (*)

Ta có (*)
⇔
()
(
)
cos x cos4x cos 2x cos 3x 0+++=

⇔
5x 3x 5x x
2cos .cos 2cos .cos 0
22 22
+=

⇔
5x 3x x
2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟

⎝⎠

⇔
5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔
5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔
()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,
55 2
kZ

Bài 31: Giải phương trình
(
)
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*) ⇔
()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++

⇔
()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+
⇔
2cos4x cos2x 2cos 6x cos 2x−=
⇔
(
)
2cos2x cos6x cos 4x 0+=

⇔
4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔

cos 2x 0 cos5x 0 cos x 0
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈

2x k 5x k x k , k
22 2

⇔
ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+πk
kk
xx x
42 105 2

∈

,k

Bài 32 : Cho phương trình
()
π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟
⎝⎠
22

x7
sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *
42 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa:
−
<x1 3

Ta có : (*)⇔
()
17
sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2
−
−=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−
⇔
−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos4x 2sin x
22 2

⇔

1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++=

⇔
⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔
()
1
cos 4x 2 sin x 0
2
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin

26
=−⎡
⎢
π
⎛
⎢
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎞
⇔
π
⎡
=
−+ π
⎢
⎢
π
⎢
=
+π
⎢
⎣
xk
6
7
x2
6

2
h

Ta có :
−
<x1 3
⇔ ⇔
3x13−< − <
2x4
−
<<
Vậy :
2k2
6
π
−<− + π<4

⇔
22k 4
66
ππ
−< π<+
⇔
11 21
k
12 12
−<<+
ππ

Do k nên k = 0. Vậy Z∈

x
6
π
=
−

π
−< + π<
7
2h2
6
4

⇔
π
π
−− < π< − ⇔− − < < −
π
π
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒
h = 0
⇒
π
=

7
x
6
.Tóm lại
−
ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :
−
π
=− ⇔ = − + π ∈

k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π
π
kk
21
2(1) k 4 (1) k
66

4

⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với
−
ππ
==
7
xhayx
66


Bài 33 : Giải phương trình
(
)
33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)⇔
()
(
)
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =
⇔
33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4sin x cos x sin 4x−+− =
⇔
()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=

⇔
3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

⇔
3
3
sin 4x sin 4x
4
=

⇔
3
3sin 4x 4sin 4x 0
−
=

⇔ sin12x = 0
⇔ ⇔
12x k=π
()
k
xk
12
Z
π
=∈

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :
(
)
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)⇔
()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔
cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= +
⇔
2cos7xcosx 2cos11xcosx=
⇔
(
)
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔
cos x 0 cos7x cos11x=∨ =
⇔
π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2

2

⇔
πππ
=+π∨=− ∨= ∈

kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++

⇔
2sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos2x+= +
⇔
()
(
)
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1

⇔
()( )
2cos x 1 sin 2x cos2x 0
+
−=

⇔
12

cos x cos sin 2x cos 2x
23
π
=− = ∨ =

⇔
2
xk2tg2x1
34
tg
π
π
=± + π∨ = =

⇔
()
π
ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z


Bài 36: Giải phương trình
(
)
++ =+
23

cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x *

Ta có : (*)⇔
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x++ = + −
⇔
()
cos10x cos 8x 1 cos x 2cos x.cos 9x++=+
⇔
2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos 9x+= +
⇔
cos x 1=
⇔
(
)
xk2kZ=π∈


Bài 37 : Giải phương trình
(
)
33 2
4 sin x 3 cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− =

Ta có : (*) ⇔
()

(
)
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0
2
−
−−=

⇔
()
(
)
⎡⎤
−− − − =
⎣⎦
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
2
=
=

⇔
()
()
2
4sin x 3 sinx cosx 0−−
⇔
()( )
2 1 cos2x 3 sin x cos x 0−− −
⎡⎤

⎣⎦
⇔
12
cos 2x cos
23
sin x cos x
π
⎡
=− =
⎢
⎢
=
⎣

⇔
2
2x k2
3
tgx 1
π
⎡
=± + π
⎢
⎢
=
⎣
⇔
xk
3
xk

4
π
⎡
=
±+π
⎢
⎢
π
⎢
=
+π
⎢
⎣

(
)
kZ∈


Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005)
Giải phương trình :
(
)
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0 *+++ + =

Ta có : (*) ⇔
2
sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0++ + =
⇔
(

)
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + =

⇔
()(
sin x cos x 1 2cos x 0++
)
=
⇔
sin x cos x
12
cos 2x cos
23
=−
⎡
⎢
π
⎢
=− =
⎣

⇔
tgx 1
2
xk
3
=−
⎡
⎢
π

⎢
=± + π
⎣
2

⇔
xk
4
2
xk2
3
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
=± + π
⎢
⎣
()
kZ∈


Bài 39 : Giải phương trình
()( )
(
)
2

2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+=

Ta có : (*) ⇔
()
(
)
(
)
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0++−+−−=

⇔
()( )
(
)
(
)
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0
+
+−++ − =

⇔
()
(
)
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0
+
+−+−
⎡⎤
⎣⎦

=
=

⇔
()()
3cos4x 1 2sinx 1 0−+
⇔
1
cos 4x 1 sin x sin
26
π
⎛⎞
=∨ =− = −
⎜⎟
⎝⎠

⇔
ππ
=π∨=−+π∨= +
7
4x k2 x k2 x k2
66
π

⇔
()
ππ π
= ∨=−+π∨= +π ∈
k7
xxk2xk2,k

26 6
Z


Bài 40: Giải phương trình
()
(
)
+= +
66 88
sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*)
⇔
6868
sin x 2sin x cos x 2 cos x 0−+−=

⇔
()
(
)
6262
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0−− −=

⇔
−=
66
sin x cos 2x cos x.cos 2x 0
⇔
()

66
cos 2x sin x cos x 0−=
⇔
66
cos 2x 0 sin x cos x=∨ =
⇔
6
cos2x 0 tg x 1
=
∨=

⇔
()
2x 2k 1 tgx 1
2
π
=+∨=±

⇔
()
x2k1 x k
44
ππ
=+∨=±+π

⇔
k
x
42
ππ

=+
,k
∈



Bài 41 : Giải phương trình
()
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x *
16
=

Ta thấy
xk
=
π
không là nghiệm của (*) vì lúc đó
cos x 1,cos2x cos 4x cos 8x 1=± = = =

(*) thành :
1
1
16
±=
vô nghiệm
Nhân 2 vế của (*) cho
16sin x 0
≠
ta được

(*)⇔ và
()
16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx=
sin x 0≠
⇔ và
()
8sin 2x cos 2x cos 4x.cos8x sin x=
sin x 0
≠

⇔ và
si
()
4sin4xcos4x cos8x sinx=
n x 0
≠

⇔ và
2sin8xcos8x sinx= sin x 0
≠

⇔
sin16x sin x
=
và
sin x 0
≠

⇔
()

πππ
=∨=+ ∈
k2 k
xx ,k
15 17 17
Z

Do : không là nghiệm nên
=πxh
≠
k 15m
và
()
+≠ ∈2k 1 17n n, m Z

Bài 42: Giải phương trình
()
3
8cos x cos 3x *
3
π
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
tx xt
33
ππ

=+⇔=−

Thì
()
(
)
cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=−

Vậy (*) thành
=−
3
8cos t cos3t
⇔
33
8cos t 4cos t 3cost=− +
⇔
3
12 cos t 3cos t 0
−
=

⇔
()
2
3cost 4cos t 1 0−=
⇔
()
3 cos t 2 1 cos 2t 1 0+−
⎡⎤
⎣⎦

=
⇔
()
cos t 2 cos 2t 1 0+=
⇔
12
cos t 0 cos 2t cos
23
π
=∨ =−=

⇔
()
ππ
=+∨=±+
2
t2k1 2t k2
23
π

⇔
ππ
=+π∨=±+πtkt
23
k

Mà
xt
3
π

=−

Vậy (*)⇔
()
ππ
=+ π∨=π∨= +π ∈
2
xk2xkx k,vớik
63
Z

Ghi chú :
Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay
chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta sẽ
dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay
không.
+ Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa
Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng
một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có
trùng với ngọn cung của điều kiện.
Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình.

Bài 43 : Giải phương trình
(
)
2
tg x tgx.tg3x 2 *−=

Điều kiện
3

cos x 0
cos 3x 4 cos x 3cos x 0
≠
⎧
⎨
=−≠
⎩
ππ
⇔≠⇔≠+
h
cos3x 0 x
63

Lúc đó ta có (*) ⇔
()
tgx tgx tg3x 2
−
=

⇔
sin x sin x sin 3x
2
cos x cos x cos 3x
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()

2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−=
⇔
(
)
2
sin x sin 2x 2cos x.cos 3x−=

⇔
22
2sin xcosx 2cos xcos3x−=
⇔ (do
cos
2
sin x cos x cos 3x−= x 0
≠
)
⇔
()()
11
1cos2x cos4xcos2x
22
−− = +

⇔
cos 4x 1 4x k2
=
−⇔ =π+ π

⇔

()
k
xk
42
ππ
=+ ∈Z

so với điều kiện
Cách 1 : Khi
k
x
42
π
=+
π
thì
()
33k 2
cos 3x cos 0 nhận
42 2
ππ
⎛⎞
=+=±≠
⎜⎟
⎝⎠

Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy
không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó :
(*)
⇔

k
x
42
π
π
=+

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian
Cách 3 :
Nếu
π
ππ
=+ =+
33k
3x h
422
π
h6k

Thì
+=+36k 24h
⇔
14

=−
⇔
=−
1
2h 3k
2

(vô lý vì
∈
k, h Z
)

Bài 44: Giải phương trình
()
222
11
tg x cot g x cot g 2x *
3
++ =

Điều kiện
cos x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
≠
⎧
⎪
≠⇔ ≠
⎨
⎪
≠
⎩
Do đó :
(*)
⇔
222
11 1

11 1
cos x sin x sin 2x 3
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
−+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
11

⇔
22 22
11 1
cos x sin x 4 sin x cos x 3
++ =
20

⇔
22
22
4sin x 4cos x 1 20
4sin xcos x 3
++
=

⇔
2
52
sin 2x 3
=
0

⇔
2
3
sin 2x
4
=
(nhận do sin2x
0
≠
)
⇔
()
13
1cos4x
24
−=

⇔
12
cos 4x cos
23
π
=− =

⇔
2
4x k2
3
π
=± + π

⇔
()
k
xk
62
ππ
=± + ∈Z

Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh :
2
tgx cot gx
sin 2x
+=

Vậy (*)⇔
()
2
2
11
tgx cot gx 2 1
sin x 3
⎛⎞
+−+−=
⎜⎟
⎝⎠
1

⇔
2

52
sin 2x 3
=
0


Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003)
Giải phương trình
()
222
xx
sin tg x cos 0 *
24 2
π
⎛⎞
−−=
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
lúc đó :
(*)
⇔
[]
2
2
1sinx1
1cosx 1cosx 0
22cosx2

⎡π⎤
⎛⎞
−
−−+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
=

⇔
()
()
()
2
2
1sinx1cosx
1cosx 0
1sinx
−−
−
+=
−

⇔
()
2
1cosx
1cosx 0
1sinx

−
−+ =
+

⇔
()
1cosx
1cosx 1 0
1sinx
−
⎡⎤
+−
⎢⎥
+
⎣⎦
=
=

⇔
()( )
1 cos x cos x sin x 0+−−
⇔
()
cosx 1 nhậndocosx 0
tgx 1
=− ≠
⎡
⎢
=−
⎣

⇔

=π+ π
⎡
⎢
π
⎢
=− + π
⎣
xk2
xk
4


Bài 46 :
Giải phương trình
()
(
)
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+=

Điều kiện : ⇔
sin x 0
cos 2x 0
≠
⎧
⎨
≠
⎩

2
sin x 0
2cos x 1 0
≠
⎧
⎨
−
≠
⎩
⇔
cos x 1
2
cos x
2
≠±
⎧
⎪
⎨
≠±
⎪
⎩

Ta có :
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +

cos2x cos x sin 2x sin x
sin x cos 2x

+
=

cos x
sin x cos 2x
=

Lúc đó : (*)
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
2
cos x
2sinxcosx 4cos x
sin x cos 2x

⇔
2
2
2cos x
4cos x
cos 2x
=

(
)
Do sin x 0
≠

⇔
cos x 0
1
2
cos2x
=
⎡
⎢
⎢
=
⎣
⇔
()
⎡
⎛⎞
=
≠≠±
⎢
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
π
⎢
== ≠
⎣
2
cosx 0 Nhậndocosx và 1
2

1
cos 2x cos , nhận do sin x 0
23

⇔
π
⎡
=+π
⎢
⎢
π
⎢
=± + π
⎢
⎣
xk
2
xk
6

()

∈kZ

Bài 47 :
Giải phương trình:
()
22
cot g x tg x
16 1 cos 4x

cos 2x
−
=+

Ta có :
22
22
22
cos x sin x
cot g x tg x
sin x cos x
−= −


44
22 2
cos x sin x 4 cos2x
sin x cos x sin 2x
−
==

Điều kiện : ⇔
si
sin 2x 0
cos 2x 0
≠
⎧
⎨
≠
⎩

n 4x 0
≠

Lúc đó (*)
()
2
4
16 1 cos4x
sin 2x
⇔=+


()
()()
()
()
()
⇔= +
⇔= + −
⇔= − =
⇔
=≠
⇔− =
ππ
⇔=⇔=+∈

2
22
2
141cos4xsin2x

1 2 1 cos 4x 1 cos 4x
121cos4x 2sin4x
1
sin 4x nhận do sin 4x 0
2
11
1cos8x
22
k
cos 8x 0 x , k
16 8


Bài 48
: Giải phương trình:
()
44
7
sin x cos x cot g x cot g x *
836
ππ
⎛⎞⎛⎞
+= + −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Điều kiện
sin x 0 sin x 0
33
2

sin 2x 0
3
sin x 0 cos x 0
63
⎧⎧
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
+≠ +≠
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
π
⎪⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
⎪⎪
−≠ + ≠
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
≠


13
sin 2x cos2x 0

22
tg2x 3
⇔− + ≠
⇔≠

Ta có:
()
2
44 22 22 2
1
sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x 1 sin 2x
2
+= + − =−

Và: cot g x .cot g x cot g x .tg x 1
36 33
ππ ππ
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
+−=++
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
=

Lúc đó: (*)
2
17
1sin2x
28
⇔− =

()
11
1cos4x
48
⇔− − =−


⇔=
ππ
⇔=±+π⇔=±+
1
cos 4x
2
k
4x k2 x
31
π
22

(nhận do
3
tg2x 3
3
=± ≠ )

Bài 49: Giải phương trình
()
1
2tgx cot g2x 2sin 2x *

sin 2x
+=+


Điều kiện:
cos 2x 0
sin 2x 0 cos 2x 1
sin 2x 0
≠
⎧
⇔
≠⇔ ≠±
⎨
≠
⎩

Lúc đó: (*)
2sinx cos2x 1
2sin2x
cos x sin 2x sin 2x
⇔+= +


()
()
()
()
()
()
⇔+= +

⇔+− = +
⇔−=
⎡⎤
⇔−+=
⎣⎦
⎡
=≠⇒
⎢
⇔
π
⎢
≠
=
−= ≠±
⎢
⎣
π
⇔=±+π∈
π
⇔=±+π∈
22
2222
22
2
4 sin x cos 2x 2 sin 2x 1
4sin x 1 2sin x 8sin xcos x 1
2sin x 1 4cos x 0
2sin x 1 2 1 cos2x 0
sin x 0 loại do sin 2x 0 sin x 0
12

cos2x cos nhận docos2x 1
23
2
2x k2 k Z
3
xk,k
3


Bài 51: Giải phương trình:
()
()
3sinx tgx
21 cosx 0*
tgx sin x
+
−+ =
−
()

Điều kiện : ⇔
tgx sin x 0−≠
sin x
sin x 0
cos x
−
≠

⇔
()

sin x 1 cos x
0
cos x
−
≠
⇔
sin x 0
cos x 0 sin 2x 0
cos x 1
≠
⎧
⎪
≠
⇔≠
⎨
⎪
≠
⎩

Lúc đó (*)⇔
()
()
()
3sinx tgx.cotgx
21 cosx 0
tgx sin x .cot gx
+
−
+=
−

⇔
()
()
()
3cosx 1
21 cosx 0
1cosx
+
−+ =
−

⇔
()
−= ≠ +≠
−
3
2 0 do sin x 0 nên cos x 1 0
1cosx

⇔
12cosx 0+=
⇔
1
cos x
2
=−
(nhận so với điều kiện)
⇔
π

=± + π ∈
2
xk2,k
3

Bài 52 : Giải phương trình
()()
()
()()
22
22
1cosx 1cosx
1
tg x sin x 1 sin x tg x *
41 sinx 2
−++
−=++
−

Điều kiện :
cos x 0
sin x 1
≠
⎧
⎨
≠
⎩
⇔

cos x 0

≠

Lúc đó (*)⇔
()
()
()
2
32
22
21 cos x
sin x 1 sin x
1sinx
41sinx 1sinx 2 1sinx
+
−=++
−− −

⇔
()
()
(
)
(
)
23 2
1 cos x 1 sin x 2sin x 1 sin x 1 sin x 2sin x++−=+−+
2

⇔
()

()
(
)
(
)
222
1sinx1cosx 1sinxcosx2sinx1sinx++=+ + +

⇔
22
1sinx 0
1 cos x cos x 2sin x
+=
⎡
⎢
+=+
⎣
2
⇔ ⇔ cos2x = 0
=− ≠
⎡
⎢
=−
⎣
sin x 1 ( loại do cos x 0 )
11cos2x
⇔

2x k
2

π
=+π

⇔
xk
42
π
=+
π
(nhận do cosx
≠
0)

Bài 53 : Giải phương trình
(
)
cos 3x.tg5x sin7x *=

Điều kiện
cos5x 0≠
Lúc đó : (*) ⇔
sin 5x
cos3x. sin7x
cos 5x
=

sin 5x.cos 3x sin7x.cos5x=
⇔
[][]
11

sin 8x sin 2x sin12x sin 2x
22
+= +
⇔
sin 8x sin12x
=
⇔

12x 8x k2 12x 8x k2=+π∨ =π−+

π
⇔
ππ
=∨=+
kk
xx
⇔
π
10

So lại với điều kiện
220
k5k
x thì cos5x cos cos
22
ππ
===
k
2
π

(loại nếu k lẻ)
ππ ππ
⎛⎞
=+ = + ≠
⎜⎟
⎝⎠
20 10
kk
xthìcos5xcos 0nhận
4 2

π
π
=π∨ = +
k
xh x
20 10
Do đó : (*)⇔ , với k, h
∈


Bài 54 : Giải phương trình
()
44
sin x cos x 1
tgx cot g2x *
sin 2x 2
+
=+

()
Điều kiện :
Ta có :

sin 2x 0≠


(
)
2
44 22 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + −

2
2
1
1sin2
2
=−

x
sin x cos 2x
tgx cot g2x
cos x sin 2x
+=+

sin 2x sin x cos x cos 2x
cos x sin 2x
+
=

()
cos 2x x
1
cos x sin 2x sin 2x
−
==

()
−
⇔=
⇔− =
⇔= ≠
⇔=
π
⇔=+π ∈
ππ
⇔= + ∈


2
2
2
2
1
1sin2x
1
2
Do đó : (*)
sin 2x 2 sin 2x

11
1sin2x
22
sin 2x 1 nhận do sin 2x 0
cos 2x 0
2x k , k
2
k
x,k
42


Bài 55 : Giải phương trình
()
2
tg x x
2 2 2
.cot g 2x.cot g3x tg x cot g 2 cot g3x *=− +

cosx 0sin2x 0sin3x 0≠∧ ≠∧ ≠
Điều kiện :
sin2x 0 sin3x 0⇔≠∧

≠
()
⇔−=−
⎡− + ⎤ − +
⎛⎞⎛⎞
⇔−=
⎜⎟⎜⎟

⎢⎥
+− +−
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
22 2 2
Lúc đó (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x
cot g3x 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x

−
()
(
)
(
)
(
)
()()()()
[]
()
[]
()
⎡
⎤
⇔−+−+−
⎣
⎦
=− − −+ +
⇔−=−+

⇔− =−
⇔= ≠
⇔=∨=
π
⇔=+π∨ =
cot g3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos 2x 1 cos4x
1 cos 2x 1 cos4x 1 cos 4x 1 cos2x
cot g3x 2cos 4x 2cos 2x 2 cos 4x cos2x
cos 3x
4 sin 3x sin x 4 cos 3x cos x
sin 3x
cos 3x sin x cos3x cos x do sin 3x 0
cos 3x 0 sin x cos x
3x k tgx 1
2
()
ππ π
⇔=+ ∨xx
63
=+π ∈
k
lk,lZ
4

điều kiện:
sin
So với
≠
2x.sin 3x 0

* Khi
π
π
=+
k
x
63
thì
ππ π
⎛⎞⎛⎞
+
+π≠
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2k
sin .sin k 0
33 2

+
⎛⎞
⇔π≠
⎟
⎠
12k
sin 0

Luôn đúng
⎜
⎝
3

(
)
∀+≠kthỏa2k 1 3mm Z

∈
* Khi
π
=+πxl
thì
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
+
π+π=±
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
32
sin 2l sin 3l 0
242

4
≠
luôn đúng
Do đó: (*)
ππ
⎡
=+ ∈∧ ≠ − ∈
⎢
⇔
⎢
π

⎢
=+π∈
⎢
⎣


k
x,kZ2k3m1(m
63
xl,l
4

)
Cách khác:
()
⇔−=−
−
−
⇔= =
−−
+−
⇔=
−+
⇔= ⇔=∨=
22 2 2
22
22
22 22
(*) cotg3xtgxcotg2x 1 tgx cotg2x
tg 2x.tg x 1

tg x cot g 2x
cot g3x
tg x cot g 2x 1 tg x tg 2x
(1 tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx )
cot g3x
(tg2x tgx) ( tg2x tgx)
cot g3x cot gx.cotg3x cos 3x 0 sin x cos x


BÀI TẬP





,3
3
1. Tỡm caực nghieọm treõn cuỷa phửụng trỡnh:



+ =+

57
sin 2x 3cos x 1 2sin x
22

. Tỡm caực nghieọm x treõn



2

2

0,
cuỷa phửụng trỡnh
4x cos 6x sin 10, 5 10x
3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
x cos x 2 sin x s x+= +

sin
()
= +
22
a/
sin co
()
33 55
b/
sin x sin 2x sin 3x
3
cos x cos2x cos3x
++
=
++

c/
2
1cosx
tg x
1sinx
+
=


d/
tg2x tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x=

e/
2
4
cos x cos x
3
=

f/
11
22sinx
4sinxcosx


+= +

2
i/
2tgx cot g2x 3
sin 2x
+=+

h/
2
3tg3x cot g2x 2tgx
sin 4x
+=+

k/ =
22 2
sin x sin 2x sin 3x 2++
l/
si 2n x
2cosx 0
inx
+
1s
=
+

m/
()
2
25 4x 3sin 2 x 8sin x 0+

=

n/
sin x.cot g5x
1
cos 9x
=

o/
2
3tg6x 2tg2x cot g4x
sin 8x
=

p/
()
2
2sin3x 1 4sin x 1=

q/
2
1cosx
tg
+
x
1sinx
=


r/
3
c x 3

3
2
os cos 3x sin x sin x
4
+=

s/
44
xx5
sin cos
338

+
=



t/ =
33 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 +
u/
44
xx
sin cos 1 2sin x
22
+=

v/
s 3in x sin 2x.sin x
44

π
π
⎛⎞ ⎛⎞
−= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠

⎝⎠
w/
()
2
4
4
2 sin x sin 3x
tg x 1
cos x
−
+=

2
x
y/
tgx cos x cos+−x sin x 1 tg tgx
2
⎛⎞
= +
⎠

.
⎜⎟

⎝
4 Cho phương trình:
()
(
)(
2
)
2s x m 3 4cos x 1++=−

a/ Giải phương trình khi m = 1
2sinx 1 2cos2x in−
[
]
0,
π
b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên
m0m 1m3
=
∨<−∨
( ĐS:
>
)

5. Cho phương trình:
(
)
5
4cos xs
52
inx 4sin x.cosx sin 4x m 1−=+

Biết rằng
x
=
π
là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường
hợp đó.

Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn