Bài giảng Cac phuong phap giai phuong trinh luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.71 KB, 21 trang )
ChươngII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯƠNG GIÁC TỔNG QUÁT
I. Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Dạng 1: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng 1 hoặc dạng 2
Ví dụ 1. Giải phương trình: cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x =
4
2
( 1 )
( 1 )
⇔
cos3x(3cosx + cos3x) + sin3x(3sinx – sin3x) =
2
⇔
3(cos3xcosx + sin3xsinx) + cos
2
3x – sin
2
3x =
2
⇔
3cos2x + 4cos
3
2x – 3cos2x =
2
⇔
cos
3
2x =
22
1
⇔
cos2x =
2
1
⇔
π
π
2
4
2 kx
+±=
⇔
π
π
kx
+±=
8
( k
Z
∈
)
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin4x -
3
cos12x = 1 + 4sin
3
4x ( 2)
( 2 )
⇔
3sin4x – 4sin
3
4x -
3
cos12x = 1
⇔
sin12x -
3
cos12x = 1
⇔
2
1
sin12x -
2
3
cos12x =
2
1
⇔
cos
3
π
sin12x - sin
3
π
cos12x =
2
1
⇔
sin
−
3
12
π
x
= sin
6
π
⇔
+=−
+=−
π
ππ
π
ππ
2
6
5
3
12
2
63
12
kx
kx
( k
∈
Z )
Ví dụ3. Giải phương trình:
x
xx
sin8
cos
2
sin
1
=+
( 3 )
Điều kiện:
≠
≠
0cos
0sin
x
x
⇔
sin2x
≠
0 ( a )
( 3 )
⇒
cosx +
3
sinx = 8sinxsinxcosx
⇔
cosx +
3
sinx = 4sinxsin2x
⇔
cosx +
3
sinx = 2(cosx – cos3x)
⇔
cosx -
3
sinx = 2cos3x
⇔
2
1
cosx -
2
3
sinx = cos3x
⇔
+−−=
++=
π
π
π
π
2
3
3
2
3
3
kxx
kxx
⇔
+−=
+=
212
6
ππ
π
π
kx
kx
( k
∈
Z ), thỏa điều kiện ( a )
Lưu ý: Với bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta có thẻ kiểm tra điều kiện bằng
một trong ba cách sau:
+ Thay các giá trị x vừa tìm được vào điều kiện để kiểm tra thỏa hay không.
+ Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng
giác. Ta sẽ bỏ ngọn cung tiềm được khi nó trùng với ngọn cung điều kiện.
+ So với các điều kiện trong quá trình giải.
Ví dụ4. Giải phương trình:
xx
x
xx
sincos3
sin21
3cos3sin
+=
+
+
( 4 )
Điều kiện: sin2x
2
1
−≠
Ta có: sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin
3
x + 4cos
3
x – 3 cosx
= 3(sinx – cosx) – 4(sin
3
x – cos
3
x)
=3(sinx – cosx) – 4(sinx – cosx)(1 + sinxcosx)
= (sinx – cosx)(-1 - 2sin2x)
Do vậy: ( 3 )
⇒
cosx – sinx = 3cosx + sinx
⇔
sinx = - cosx
⇔
tanx = -1
⇔
x =
π
π
k
+−
4
( k
∈
Z ) , thỏa điều kiện.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
1
13cos
8cot3sin
=
x
xx
( 5 )
Điều kiện:
≠
≠
013cos
08sin x
( 5 )
⇒
sin3xcos8x = sin8xcos13x
⇔
sin11x – sin5x = sin21x – sin5x
⇔
sin21x = sin11x
⇔
+−=
+=
π
π
21121
21121
kxx
kxx
⇔
+=
=
1632
5
ππ
π
kx
kx
( k
∈
Z )
Kiểm tra điều kiện của nghiệm:
+ Với x = k
5
π
, ta có:
Sin8x = sin
5
8
π
k
0
≠
⇔
k không chia hết cho 5
⇔
k = 5m ( m
∈
Z )
Cos13x = cos
5
13
π
k
≠
0 khi k
≠
5m ( m
∈
Z )
+ Với x =
1632
ππ
k
+
, ta có:
Sin8x = sin
+
24
ππ
k
0
≠
Zk
∈∀
Cos13x = cos
+
16
13
32
13
ππ
k
0
≠
Zk
∈∀
Vậy nghiệm của ( 5 ) là:
+=
≠=
1632
)5(
5
ππ
π
kx
mkkx
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: sin5x – cos3x =
3
(sin3x – cos5x)
Bài2:
2
sin4x – sin3x = cos3x
Bài3: cos
3
xsinx + sin
3
xcosx =
4
3
Bài4:
xxx 2cos
2
1
cossin
44
=+
Bài5: sin
3
x(1 + cotx) + cos
3
x(1 + tanx) =
2
2
Bài6:
)3sin2(cos33
2
5
sin
2
2cos xxxx
+=
++
+
ππ
Bài7: 2tanx + cotx =
x2sin
2
12
+−
Bài8: tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x
Bài9:
1
9cos
sin5cot
=
x
xx
Bài10:
1
3sin
5tan7cos
=
x
xx
Dạng2: Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 đối với hàm lượng giác.
Ví dụ1. Giải phương trình: 5cosx = cos2x + 3 ( 1 )
( 1 )
⇔
5cosx = 2cos
2
x – 1 + 3
⇔
2cos
2
x – 5cosx + 2 = 0
⇔
=
=
2
1
cos
)(2cos
x
loaix
⇔
π
π
2
3
kx
+±=
( k
∈
Z )
Ví dụ2. Giải phương trình: cos
2
4x = cos
2
x ( 2 )
( 2 )
⇔
2cos
2
2x – 1 =
2
1
(1 + sos2x)
⇔
4cos
2
2x – cos2x – 3 = 0
⇔
−=
=
4
3
2cos
12cos
x
x
⇔
+
−±=
=
π
π
kx
kx
4
3
arccos
2
1
( k
∈
Z )
Ví dụ. Giải phương trình:
2
2cos2cot
4sin2cot32cos
=
−
++
xx
xxx
( 3 )
Điều kiện:
≠−
≠
02cos2cot
02sin
xx
x
⇔
≠
−
≠
01
2sin
1
2cos
02sin
x
x
x
⇔
≠
≠
02cos
02sin
x
x
⇔
sin4x
≠
0
Với điều kiện trên ta có:
(3)
⇔
cos2x +3cot2x + sin4x = 2(cot2x – cos2x)
⇔
3cos2x + cot2x + sin4x = 0
⇔
cos2x(3 +
x2sin
1
+ 2sin2x ) = 0
⇔
2sin
2
2x + 3sin2x + 1 = 0
⇔
−=
−=
2
1
2sin
12sin
x
x
⇔
+=
+−=
+−=
π
π
π
π
π
π
kx
kx
kx
12
7
12
2
( k
∈
Z )
Giao với điều kiện ta được nghiệm của ( 3 ) là:
+=
+−=
π
π
π
π
kx
kx
12
7
12
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2x(cotx + tan2x) = 4sin
2
x ( 4 )
Điều kiện:
≠
≠
02cos
0sin
x
x
( 4 )
⇒
sin2x(cos2x cosx + sin2xsinx) = 4cos
2
xsinxcos2x
⇔
sin2xcosx = 4cos
2
xsinxcos2x
⇔
sinxcos
2
x(1 – cos2x) = 0
⇔
=
=
2
1
2cos
0cos
x
x
⇔
+±=
+=
π
π
π
π
kx
kx
3
2
2
( k
∈
Z ), thỏa điều kiện.
Ví dụ5. Giải phương trình:
3tan2
cotsin
tansin1
22
22
=+
+
+
x
xx
xx
( 5 )
Điều kiện:
≠
≠
ox
x
cos
0sin
⇔
02sin
≠
x
Với điều kiện trên ta có:
( 5 )
⇔
3tan2
cotsin
tansincottan
22
2222
=+
+
+
x
xx
xxxx
⇔
3tan2
cotsin
)sin(cottan
22
222
=+
+
+
x
xx
xxx
⇔
tan
2
x + 2tanx – 3 = 0
⇔
−=
=
3tan
1tan
x
x
⇔
+−=
+=
π
π
π
kx
kx
3arctan
4
( k
∈
Z ), thỏa điều kiện.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1:
023sin)31(22cos2
=−+−+
xx
Bài2:
2tan
3
32
cos
1
2
=+
x
x
Bài3: 3sin
4
x + 3cos
4
x – 9sin2x + 5sin
2
2x = 0
Bài4:
3tan
cos
1
tan1
cos
1
tan1
2
−=
++
−+
x
x
x
x
x
Bài5: (2sinx – 1)(cos2x + 3sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
Bài6: tanx – cotx + 3cot
2
2x = 5
Bài7:
8
2sin
6
cot3tan4
cotsin
sintan1
2
+=++
+
+
x
xx
xx
xx
Bài8: 16(sin
8
x + cos
8
x) = 17cos
2
2x
Bài9:
x
x
x
x
22
2
cos
2tan3
2cos
tan4
=
Dạng3: Biến đổi đưa về phương trình bậc 3 theo hàm lượng giác
Ví dụ 1. Giải phương trình:
x
x
2
cos
3
4
cos
=
( 1 )
( 1 )
⇔
)2cos1(
2
1
1
3
2
cos2
2
x
x
+=−
⇔
=−
3
2
3cos3
3
2
cos4
2
xx
⇔
3
2
cos3
3
2
cos43
3
2
cos4
22
xxx
−=−
⇔
01
3
2
cos3
3
2
cos4
2
=
−
−
xx
⇔
01
3
2
cos1
3
4
cos2
=
−
−
xx
⇔
=
=
1
3
2
cos
2
1
3
4
cos
x
x
⇔
=
+±=
π
ππ
kx
kx
3
2
3
4
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cosxcos2xcos3x = 7cos2x + 4 ( 2 )
( 2 )
⇔
cos2x(cos4x + cos2x) – 7cos2x – 4 = 0
⇔
cos2x(2cos
2
2x + cos2x – 1) – 7 cos2x – 4 = 0
⇔
2cos
2
2x + cos
2
2x – 8 cos2x – 4 = 0
⇔
(2cos2x + 1)(cos
2
2x – 4) = 0
⇔
cos2x = -
2
1
⇔
π
π
kx
+±=
4
( k
∈
Z )
Ví dụ4. Giải phương trình: cos
4
x – cos2x + 2sin
6
x = 0 ( 3 )
( 3 )
⇔
0
2
2cos1
22cos
2
2cos1
32
=
−
+−
+
x
x
x
⇔
(1 + cos2x)
2
– 4cos2x + (1 – cos2x)
3
= 0
⇔
cos
3
2x – 4cos
2
2x + 5cos2x – 2 = 0
⇔
(cos2x – 1)(cos
2
2x – 3cos2x + 2) = 0
⇔
=
=
22cos
12cos
x
x
⇔
cos2x = 1
⇔
π
kx
=
( k
∈
Z )
Ví dụ 5. Giải phương trình:
5
4
cos3
5
3
cos21
2
xx
=+
( 4 )
( 4 )
⇔
−=+
1
5
2
cos23
5
6
cos2
2
xx
⇔
03
5
2
cos6
5
2
cos3
5
2
cos42
23
=+−−+
xxx
⇔
05
5
2
cos3
5
2
cos6
5
2
cos4
23
=+−−
xxx
⇔
05
5
2
cos2
5
2
cos41
5
2
cos
2
=
−−
−
xxx
⇔
+
=
−
=
=
4
211
5
2
cos
4
211
5
2
cos
1
5
2
cos
x
x
x
⇔
−
=
=
4
211
5
2
cos
1
5
2
cos
x
x
⇔
+
−
±=
=
π
π
5
4
211
arccos
2
5
5
kx
kx
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: 2cos3x + 2cosx + 1 = 0
Bài2: 9sin3x + 12cos2x – 27sinx – 8 = 0
Bài3: 2sinxcos2xsin3x + 3cos2x = 2
Bài4: cos4x = cos
2
3x + sin
2
x
Bài5:
2
3
cos
4
1
2
5
cos
4
1
42
cos2
2
cos
2
1
1sin
2
sin
2
xxxx
x
x
−+
−+=+
π
Bài6:
4cot3
cotcos
cotcos1
2
33
33
=+
+
+
x
xx
xx
Bài7: cos9x – 5cos6x +6 = 0
Bài8: cos4x = cos
2
3x
Bài9:
xx sin2
4
sin
3
=
−
π
Bài10:
xx
x
xx
22
66
cottan
2sin
cossin
8
+=
+
Dạng4: Biến đổi đưa về phương trinh bậc 4 đối với hàm lượng giác.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 3sin
2
x + 10cos
4
x = 4 ( 1 )
( 1 )
⇔
3(1 – cos
2
x) + 10cos
4
x = 4
⇔
10cos
4
x - 3cos
2
x – 1 = 0
⇔
−=
=
5
1
cos
2
1
cos
2
2
x
x
⇔
2
1
cos
2
=
x
⇔
02cos
=
x
⇔
24
ππ
kx
+=
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: 8cos
4
x + 8(1 – cosx)
4
= 1 ( 2 )
Đặt t = cox -
2
1
≤≤−
2
1
2
3
t
. Khi đó ta có:
( 2 )
⇔
8
1
2
1
2
1
44
=
−+
+
tt
Ta nhận thấy: (a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
(a – b)
4
= a
4
- 4a
3
b + 6a
2
b
2
- 4ab
3
+ b
4
⇒
(a + b)
4
+ (a – b)
4
= 2a
4
+ 12a
2
b
2
+ 2b
4
Do đó ( 2 )
⇔
2t
4
+ 3t
2
= 0
⇔
t = 0
⇔
2
1
cos
=
x
⇔
π
π
2
3
kx
+±=
( k
∈
Z )
Ví dụ 3. Giải phương trình: 8(sin
8
x + cos
8
x) = cos
2
4x ( 3 )
Ta có: sin
8
x + cos
8
x = ( sin
4
x + cos
4
x)
2
– 2sin
4
xcos
4
x = (1 -
2
1
sin
2
2x)
2
-
8
1
sin
4
2x
= 1 – sin
2
2x +
8
1
sin
4
2x
Do đó ( 3 )
⇔
8(1 – sin
2
2x +
8
1
sin
4
2x) = (1 – 2sin
2
2x)
2
⇔
3sin
4
2x + 4sin
2
2x – 7 = 0
⇔
sin
2
2x = 1 v sin
2
2x =
3
7
−
(loại)
⇔
cos2x = 0
⇔
24
ππ
kx
+=
( k
∈
Z )
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin5x = 5sinx ( 4 )
( 4 )
⇔
sin5x – sinx = 4sinx
⇔
2cos3xsin2x = 4sinx
⇔
2(4cos
3
x – 3cosx)2sinxcosx = 4sinx
⇔
sinx(4cos
4
x – 3cos
2
x - 1) = 0
⇔
sinx(4cos
2
x + 1)(cos
2
x – 1) =0
⇔
cos
2
x = 1 v sinx = 0
⇔
π
kx
=
( k
∈
Z )
Ví dụ 5. Giải phương trình: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
2
4x +
4
1
( 5 )
( 5 )
⇔
cos
3
x(4cos
3
x – 3cosx) – sin
3
x(3sinx – sin
3
x) = cos
2
4x +
4
1
⇔
4(sin
6
x + cos
6
x) – 3(sin
4
x + cos
4
x) = cos
2
4x +
4
1
⇔
4(1 -
4
3
sin
2
2x) – 3(1 -
2
1
sin
2
x) = cos
2
4x +
4
1
⇔
1 -
2
3
sin
2
2x = (1 – 2sin
2
2x)
2
+
4
1
⇔
16sin
4
2x – 10sin
2
2x + 1 = 0
⇔
=
=
8
1
sin
2
1
sin
2
2
x
x
⇔
=
=
4
3
4cos
04cos
x
x
⇔
+±=
+=
24
3
arccos
4
1
48
π
ππ
kx
kx
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: 3cos2x + 40sin
4
x = 4
Bài2: 8sin
4
x + 8(1 – sinx)
4
= 1
Bài3: Sin
8
x + cos
8
x =
138
97
Bài4:
4
5
4
cos
4
sincos
444
=
−+
++
ππ
xxx
Bài5:
01
sin3sin
cos3cos
4tan
4
=−
−
−
+
xx
xx
Bài6: 16(sin
10
x + cos
10
x) = 58cos
2
4x
Bài7: 3cos4x – 8cosxcos3x = 1
Bài8: 2sin4x – 7cos4x = 5 + sin2x
Bài9: sin
8
x + 15cos
8
x = 16(sin
10
x + cos
10
x)
Bài10:
1
sin2sin
sin3sin
2
tancos
cotcos1
44
44
=
+
−
+
+
xx
xx
xx
xx
Dạng5: Biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp.
Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx + sinx – 4cos
3
x = 0 ( 1 )
Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của ( 1 )
Do vậy ta chia hai vế của ( 1 ) cho cos
3
x ta được:
1 + tan
2
x + tanx(1 + tan
2
x) – 4 = 0
⇔
tan
3
x + tan
2
x + tanx – 3 = 0
⇔
( tanx – 1)(tan
2
x + 2tanx + 3) = 0
⇔
tanx = 1
⇔
π
π
kx
+=
4
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: 4sin
3
x + 3cos
3
x = 3sinx + sin
2
xcosx ( 2 )
Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 2 )
Do vậy chia hai vế của ( 2 ) cho sin
3
x ta được:
4 + 3cot
3
x = 3(1 + cot
2
x) + cotx
⇔
3cot
3
x – 3cot
2
x – cotx + 1 = 0
⇔
(cotx – 1)(3cot
2
x – 1) = 0
⇔
±=
=
3
1
cot
1cot
x
x
⇔
+±=
+=
π
π
π
π
kx
kx
3
4
( k
∈
Z )
Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos
3
x – 3sin2xsinx = 4sinx – 2sin3x ( 3 )
( 3 )
⇔
2cos
3
x – 6sin
2
xcosx = 4sinx – 2(3sinx – 4sin
3
x)
⇔
2cos
3
x – 6sin
2
xcosx + 2sinx – 8sin
3
x = 0 ( 3
’
)
Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 3
’
)
Do vậy chia 2 vế của ( 3
’
) cho sin
3
x ta được:
cot
3
x + cot
2
x – 3cot
2
x – 3 = 0
⇔
(cotx + 1)(cot
2
x – 3) = 0
⇔
±=
−=
3cot
1cot
x
x
⇔
+±=
+−=
π
π
π
π
kx
kx
6
4
( k
∈
Z )
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình sau:
Bài1: 3sinx – cosx = 4cos
3
x
Bài2:
xx sin2
4
sin
3
=
−
π
Bài3:
x
xx
xx
2cos2
cos4sin5
cos3sin6
3
=−
Bài4:
x
x
x
2
cot
2sin
32
cot321
+=+
Bài5:
x
xx
2sin
2
tan33tan2
2
+=+
Bài6: 1 + 5sin2x = 6tanx
Bài7: 3cos2x + 5sin2x = 4cotx + 1
Bài8:
xx 3cos
3
sin8
3
=
+
π
Bài9:
1
)tan1)(tan1(cos2
sin3
=
+−
xxx
x
Bài10:
x
xx
xx
2sin21
3cos3sin
)cos(sin
3
2
33
+
+
=+
II. Phương pháp 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Dạng1: Ghép hàm – biến đổi về phương trình tích
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0 ( 1 )
(1 )
⇔
(sinx + sin3x) + sin2x = 0
⇔
2sin2xcosx + sin2x = 0
⇔
sin2x(2cosx + 1) = 0
⇔
−=
=
2
1
cos
02sin
x
x
⇔
+±=
=
π
π
π
2
3
2
2
kx
kx
( k
∈
Z )
Ví dụ 2. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x ( 2 )
