Bài tập Đại số tuyến tính có lời giải

TS. NGUY N DUY THU N (Ch biên)
ThS. PHI M NH BAN – TS. NƠNG QU C CHINH

IS

TUY N TÍNH

NHÀ XU T B N

IH CS

PH M


Mã s : 01.01.90/92. H- 2003


M CL C
L I NĨI
U .......................................................................................... 11
CÁC KÍ HI U .......................................................................................... 15
Ch ng I: NH TH C............................................................................ 18
M
U .................................................................................................. 18
§1. PHÉP TH .............................................................................................. 20
1.1. nh ngh a phép th ............................................................................ 20
1.2. Ngh ch th .......................................................................................... 21
1.3. D u c a phép th ................................................................................ 21
§2. KHÁI NI M MA TR N......................................................................... 24
§3. NH NGH A VÀ TÍNH CH T C A NH TH C ............................. 26
3.1. nh ngh a.......................................................................................... 26

3.2. Tính ch t c a nh th c ...................................................................... 27
§4. KHAI TRI N NH TH C.................................................................... 33
4.1. nh th c con - Ph n bù i s ........................................................... 33
4.2. Khai tri n nh th c theo m!t dòng..................................................... 34
4.3. Khai tri n nh th c theo r dịng ......................................................... 38
§5. PH ƠNG PHÁP TÍNH NH TH C .................................................... 42
5.1. Tính nh th c c p 3........................................................................... 42
5.2. Áp d#ng phép khai tri n nh th c theo m!t dòng ho$c m!t c!t.......... 43
5.3.
a nh th c v% d ng tam giác.......................................................... 44
5.4. Áp d#ng các tính ch t c a nh th c ................................................... 47
5.5. Ph ng pháp quy n p và ph ng pháp truy h&i .................................. 49
5.6. Tính nh th c b'ng máy tính b( túi và máy tính i)n t* .................... 51
§6. NG D+NG - H PH ƠNG TRÌNH CRAMER.................................... 55
6.1. nh ngh a.......................................................................................... 55
6.2. Cách gi,i ............................................................................................ 55
6.3. Gi,i h) Cramer b'ng máy tính b( túi và máy tính i)n t*.................... 58
TĨM T-T................................................................................................. 60
BÀI T P................................................................................................... 62
VÀI NÉT L CH S. .................................................................................. 67


Ch ng II: KHƠNG GIAN VECTƠ ......................................................... 69
M
U .................................................................................................. 69
§1. NH NGH A VÀ CÁC TÍNH CH T ƠN GI N................................ 71
1.1. nh ngh a.......................................................................................... 71
1.2. M!t s tính ch t n gi,n ................................................................... 72
1.3. Hi)u c a hai vect .............................................................................. 73
§2. KHƠNG GIAN CON .............................................................................. 74

2.1. nh ngh a.......................................................................................... 74
2.2. Tính ch t $c tr ng............................................................................. 74
2.3. T/ng c a nh0ng không gian con......................................................... 76
2.4. Giao c a nh0ng không gian con.......................................................... 76
2.5. Không gian sinh b1i m!t h) vect ...................................................... 77
§3. S2 3C L P TUY N TÍNH - S2 PH+ THU3C TUY N TÍNH.......... 80
3.1. nh ngh a.......................................................................................... 80
3.2. Các tính ch t....................................................................................... 81
§4. CƠ S C A KHÔNG GIAN VECTƠ .................................................... 85
4.1. nh ngh a.......................................................................................... 85
4.2. S4 t&n t i c a c s1 ............................................................................ 86
§5. S CHI5U C A KHÔNG GIAN VECTƠ.............................................. 89
5.1. nh ngh a.......................................................................................... 89
5.2. S chi%u c a không gian con .............................................................. 89
§6. T A 3 C A M3T VECTƠ................................................................. 92
6.1. nh ngh a.......................................................................................... 92
6.2. Ma tr6n chuy n................................................................................... 93
6.3. Liên h) gi0a các t7a ! c a m!t vect
i v8i hai c s1 khác nhau..... 95
§7. H NG C A H VECTƠ- H NG C A MA TR N............................... 97
7.1. H ng c a h) vect .............................................................................. 97
7.2. H ng c a ma tr6n................................................................................ 98
7.3. Cách tìm h ng c a ma tr6n ............................................................... 103
7.5. Tìm c s1, s chi%u c a không gian sinh b1i m!t h) vect b'ng máy tính
i)n t*..................................................................................................... 107
TĨM T-T............................................................................................... 111


BÀI T P................................................................................................. 113
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 121

Ch ng III: ÁNH X TUY N TÍNH ..................................................... 123
M
U ................................................................................................ 123
§1. NH NGH A ÁNH X TUY N TÍNH - S2 XÁC NH M3T ÁNH X
TUY N TÍNH ............................................................................................ 124
1.1. Các nh ngh a.................................................................................. 124
1.2. S4 xác nh m!t ánh x tuy n tính .................................................... 128
§2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH......................... 129
2.1. nh ngh a và tính ch t..................................................................... 129
2.2. Liên h) gi0a s chi%u c a ,nh, h t nhân và không gian ngu&n........... 133
2.3. S4 9ng c u gi0a hai không gian cùng s chi%u ................................ 135
§3. CÁC PHÉP TỐN TRÊN T P CÁC ÁNH X TUY N TÍNH HOMK(V, W)............................................................................................. 136
3.1. Phép c!ng hai ánh x tuy n tính ....................................................... 136
3.2. Phép nhân m!t ánh x tuy n tính v8i m!t s ..................................... 137
3.3. Không gian vect HomK(V, W) ........................................................ 138
3.4. Tích hai ánh x tuy n tính................................................................. 139
TĨM T-T............................................................................................... 141
BÀI T P................................................................................................. 143
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 147
Ch ng IV: H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH................................. 148
M1 u.................................................................................................... 148
§1. PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH - PH ƠNG PHÁP GAUSS............. 149
1.1. nh ngh a........................................................................................ 149
1.2. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng ph ng pháp Gauss (kh* d n :n
s )........................................................................................................... 150
1.3. Th4c hi)n ph ng pháp Gauss trên máy tính i)n t* ........................ 156
§2. DI5U KI N
H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH CĨ NGHI M 159
2.1. i%u ki)n có nghi)m......................................................................... 159
2.2. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng nh th c ................................ 160

§3. H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T ........................ 165
3.1. nh ngh a........................................................................................ 165
3.2. Không gian nghi)m c a h) thu n nh t .............................................. 166
3.3. Liên h) gi0a nghi)m c a h) ph ng trình tuy n tính và nghi)m c a h)
thu n nh t liên k t ................................................................................... 170
3.4. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng máy tính i)n t* ..................... 171
TÓM T- T.............................................................................................. 174
BÀI T P................................................................................................. 175
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 181
Ch ng V: MA TR N............................................................................ 183
M
U ................................................................................................ 183
§1. MA TR N C A M3T ÁNH X TUY N TÍNH ................................. 184
1.1. nh ngh a........................................................................................ 184
1.2. Liên h) gi0a HomK(V, W) v8i Mat(m.n)(K) ........................................ 186
§2. CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC T P MA TR N ................................. 188
2.1. Phép c!ng......................................................................................... 188
2.2. Phép nhân m!t ma tr6n v8i m!t s .................................................... 189
2.3. Phép tr;............................................................................................ 190
2.4. Không gian vect Mat(m,n)(K) ........................................................... 190
2.5. Tích c a hai ma tr6n ......................................................................... 191
2.6. Th4c hi)n các phép tốn ma tr6n b'ng máy tính b( túi và mây tính i)n
t* ............................................................................................................ 196
§3.
I S MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N......................... 200
3.1. nh th c c a tích hai ma tr6n .......................................................... 200
3.2. Ma tr6n ngh ch ,o........................................................................... 202
3.3. Tìm ma tr6n ngh ch ,o.................................................................... 204

3.4. M!t vài ng d#ng u tiên c a ma tr6n ngh ch ,o ........................... 210
3.5. Ma tr6n c a m!t 9ng c u................................................................. 211
§4. S2 THAY KHI THAY 4.1. S4 thay /i c a ma tr6n c a m!t ánh x tuy n tính khi thay /i c s1212
4.2. Ma tr6n &ng d ng............................................................................ 213


§5. VECTƠ RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG ........................................................ 215
5.1. Vect riêng- Giá tr riêng.................................................................. 215
5.2. Da th c $c tr ng - Cách tìm vect riêng.......................................... 217
5.3. Tìm giá tr riêng và vect riêng b'ng máy tính i)n t*...................... 222
§6. CHÉO HỐ MA TR N ....................................................................... 224
6.1. nh ngh a........................................................................................ 224
6.2. i%u ki)n m!t ma tr6n chéo hoá >c .......................................... 224
6.3. nh lí .............................................................................................. 227
TĨM T-T............................................................................................... 228
BÀI T P................................................................................................. 230
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 240
Ch ng VI: D NG SONG TUY N TÍNH D NG TỒN PH ƠNG ... 241
M
U ................................................................................................ 241
§1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH .................... 242
1.1. nh ngh a, ví d# .............................................................................. 242
§2. D NG TỒN PH ƠNG...................................................................... 249
2.1. nh ngh a........................................................................................ 249
2.2. Ma tr6n c a d ng toàn ph ng.......................................................... 250
2.3. D ng toàn ph ng xác nh .............................................................. 251
§3.
A D NG TỒN PH ƠNG V5 D NG CHÍNH T-C .................... 252

3.1. nh ngh a........................................................................................ 252
3.2. nh lý ............................................................................................. 252
3.3. D a d ng toàn ph ng v% d ng chinh tác b'ng máy tính i)n t*....... 257
3.4. nh lý qn tính.............................................................................. 259
§4. KHƠNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 262
4.1. nh ngh a không gian vect Ơclit ................................................... 262
4.2. C s1 tr4c chu:n .............................................................................. 263
4.3. Không gian con bù tr4c giao............................................................. 268
4.4. Hình chi u c a m!t vect lên không gian con................................... 269
4.5. Phép bi n /i tr4c giao - Ma tr6n tr4c giao ....................................... 270
4.6. Phép bi n /i d i x ng ..................................................................... 271
4.7. ng d#ng ......................................................................................... 272


TĨM T-T............................................................................................... 280
§1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH.......................... 280
1.1. nh ngh a........................................................................................ 280
1.2. Ma tr6n c a d ng song tuy n tính ..................................................... 281
1.3. Liên h) gi0a hai ma tr6n c a cùng m!t d ng song tuy n tính i v8i hai
c s1 khác nhau....................................................................................... 281
§2. D NG TỒN PH ƠNG...................................................................... 282
2.1. D ng toàn ph ng ............................................................................ 282
2.2. Ma tr6n c a d ng toàn ph ng.......................................................... 282
2.3. D ng toàn ph ng xác nh .............................................................. 282
§3.
A D NG TỒN PH ƠNG V5 D NG CHÍNH T-C .................... 283
3.1. nh ngh a........................................................................................ 283
3.2. nh lý. ........................................................................................... 283
3.3. Dùng ph n m%m Maple
a d ng tồn ph ng v% d ng chính t?c 283

3.4. nh lý qn tính.............................................................................. 284
§4. KHƠNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 285
4.1. nh ngh a........................................................................................ 285
4.2. C s1 tr4c chu:n .............................................................................. 285
4.3. Không gian con bù tr4c giao............................................................. 286
4.4. Hình chi u c a m!t vect lên khơng gian con................................... 286
4.5. Phép bi n /i tr4c giao - Ma tr6n tr4c giao ....................................... 286
4.6. Phép bi n /i i x ng ..................................................................... 287
4.7. ng d#ng ......................................................................................... 287
BÀI T P................................................................................................. 288
§1. D NG SONG TUY N TÍNH............................................................... 288
§2. D NG TOÀN PH ƠNG...................................................................... 289
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 293
Ch ng VII: QUY HO CH TUY N ANH............................................. 294
M D U ................................................................................................ 294
§1. BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH ........................................... 295
1.1. M!t vài bài tốn th4c t .................................................................... 295
1.2. Bài tốn quy ho ch tuy n tính........................................................... 297


1.3. Ý ngh a hình h7c và ph ng pháp & th ........................................... 302
§2. PH ƠNG PHÁP ƠN HÌNH VÀ CÁC THU T TỐN C A NĨ ..... 306
2.1. M!t s tính ch t c a bài tốn quy ho ch tuy n tính d ng chính t?c ... 306
2.2. Ph ng pháp n hình...................................................................... 313
2.3. Gi,i các bài tốn quy ho ch tuy n tính b'ng máy tính i)n t* ( Theo l6p
trình tính tốn v8i Mathematica 4.0)........................................................ 335
TĨM T-T............................................................................................... 339
BÀI T P................................................................................................. 340
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 346
L I GI I -H @NG DAN -TR L I ..................................................... 347

TÀI LI U THAM KH O ....................................................................... 385


L I NÓI

U

thBi i c a chúng ta, khoa h7c và k thu6t phát tri n nh vC bão.
Chúng òi h(i ngành giáo d#c ph,i luôn luôn /i m8i k p thBi
áp
ng m7i nhu c u v% tri th c khoa h7c c a thanh thi u niên, giúp h7 có
kh, nDng lao !ng và sáng t o trong cu!c s ng sơi !ng. Hi)n nay
ch ng trình và sách giáo khoa b6c ph/ thông 1 n 8c ta ã b?t u và
ang thay /i phù h>p v8i òi h(i y. Tr Bng Cao 9ng S ph m, cái
nôi ào t o giáo viên THCS, c n ph,i có nh0ng /i m8i t ng ng v%
ch ng trình và sách giáo khoa. Vì m#c ích ó, b! sách giáo khoa m8i
ra Bi, thay th cho b! sách giáo khoa cC.
Cu n sách i s tuy n tính biên so n l n này, n'm trong khuôn kh/
c a cu!c /i m8i y. Nó nh'm làm m!t giáo trình tiêu chu:n chung cho
các tr Bng Cao 9ng S ph m trong c, n 8c theo ch ng trình m8i
(ch ng trình 2002), ịi h(i khơng nh0ng ph,i /i m8i nh0ng n!i dung
ki n th c (n u c n) và c, ph ng pháp gi,ng d y c a gi,ng viên cCng
nh ph ng pháp h7c t6p c a sinh viên. M$t khác, qua m!t thBi gian dài
th4c hi)n ch ng trình và sách giáo khoa cC, n nay ã có th ánh giá
nh0ng u, khuy t i m c a nó, s4 phù h>p c a nó v8i trình ! u vào
c a sinh viên các tr Bng Cao 9ng S ph m. Do ó cu n sách biên so n
l n này cCng th;a h 1ng nh0ng u i m và kh?c ph#c nh0ng thi u sót
c a nh0ng cu n sách cC.
i t >ng s* d#ng cu n sách này là sinh viên và gi,ng viên các
tr Bng Cao 9ng S ph m trong c, n 8c, các giáo viên THCS c n >c

b&i d Eng
t trình ! chu:n hố. Cu n sách cCng có th
>c dùng
cho các tr Bng i h7c và Cao 9ng khác và cho t t c, nh0ng ai mu n t4
h7c môn h7c này.
C s1
l4a ch7n n!i dung c a giáo trình này là yêu c u u ra và
trình ! u vào c a sinh viên Cao 9ng S ph m hi)n nay, &ng thBi
cCng c n tính n vai trị c a môn h7c i v8i các môn khoa h7c khác
nh Gi,i tích, Hình h7c, V6t lý, Hố h7c,v.v.., và t o i%u ki)n cho
ng Bi h7c có th h7c lên cao h n. C# th , giáo trình này ph,i trang b
>c cho ng Bi giáo viên toán t ng lai 1 tr Bng THCS nh0ng ki n th c
c n thi t, y , v0ng vàng v% i s tuy n tính gi,ng d y t t nh0ng
ph n liên quan trong ch ng trình tốn THCS. Tuy nhiên, n!i dung và
ph ng pháp trình bày nh0ng n!i dung y l i ph,i phù h>p v8i trình !
11


nh6n th c và kh, nDng ti p nh6n sinh viên. M$t khác, giáo trình này cCng
ph,i cung c p y
ki n th c giúp ng Bi 7c có th h7c >c nh0ng
mơn khoa h7c khác nh ã nói trên; &ng thBi áp ng mong mu n c a
nh0ng sinh viên có hồi bão nâng cao h n n0a trình ! c a mình. Vì th ,
n!i dung cu n sách ch a 4ng nh0ng i%u r t c b,n mà m7i sinh viên
c n n?m v0ng, nh ng cCng có nh0ng ph n khơng ịi h(i m7i sinh viên
%u ph,i hi u.
Mơn quy ho ch tuy n tính có s* d#ng nhi%u ki n th c i s tuy n
tính. Nhi%u sách i s tuy n tính trên th gi8i x p nó nh m!t ch ng
c a mình d 8i % m#c "B t ph ng trình tuy n tính". Trong ch ng
trình Cao 9ng S ph m m8i c a h) ào t o giáo viên d y hai môn, n!i

dung c a môn Quy ho ch tuy n tính có gi,m b8t. Nó cCng >c x p vào
m!t ch ng trong giáo trình i s tuy n tính này.
Cu n sách này g&m b,y ch

ng:

Ch ng I. Trình bày nh ngh a, các tính ch t c a nh th c và các
ph ng pháp c b,n tính nh th c. ó là m!t ph ng ti)n
nghiên
c u không gian vect và lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính.
Ch ng II và ch ng III. Nghiên c u không gian vect và các ánh x
gi0a các không gian y - ánh x tuy n tính. Nó là c s1 c a i s tuy n
tính. Nó giúp cho vi)c hồn thi)n lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính.
Ch ng IV. H) ph ng trình tuy n tính. ó là m!t trong nh0ng
h 8ng m1 r!ng c a ph ng trình >c h7c 1 tr Bng ph/ thông. V8i
ch ng này, lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính >c coi là hoàn thi)n.
Ch ng V. Nghiên c u ma tr6n và m i liên h) gi0a ma tr6n v8i
khơng gian vect . NhB nó mà các ánh x tuy n tính >c nghiên c u sâu
s?c h n.
Ch ng VI. Nghiên c u d ng song tuy n tính và d ng tồn ph ng,
m!t ph n c a lý thuy t d ng trong
i s tuy n tính nh ng l i có ,nh
h 1ng sâu s?c n Hình h7c, Ph ng trình vi phân và Ph ng trình o
hàm riêng.
Ch

ng VII: Nghiên c u m!t s bài tốn c a Quy ho ch tuy n tính.

Ph n
i s tuy n tính c a cu n sách này >c dùng chung cho c,

hai h) ào t o giáo viên toán (h) ào t o giáo viên d y mơn Tốn cùng
v8i mơn th hai, và h) ào t o giáo viên d y chF m!t mơn Tốn). Yêu
c u i v8i mGi h) có khác nhau.
i v8i h) ào t o giáo viên d y hai
12


mơn, ch ng trình chF u c u sinh viên n?m >c nh0ng i%u r t c
b,n. Ch9ng h n, i v8i ch ng nh th c yêu c u chF là hi u >c nh
ngh a nh th c, n?m v0ng các tính ch t
tính >c các nh th c
thông th Bng, không c n hi u k ch ng minh c a các tính ch t này. Song
i v8i h) ào t o giáo viên chF d y Tốn thì ịi h(i cao h n c, v% n!i
dung và c, v% rèn luy)n và phát tri n t duy tốn h7c. Tuy nhiên nh0ng
ịi h(i này >c th4c hi)n n âu cịn tuH thu!c vào trình ! sinh viên
1 t;ng a ph ng. ó là ph n m%m dIo mà các tr Bng v6n d#ng linh
ho t. Ph n Quy ho ch tuy n tính 1 ây chF dùng cho h) ào t o giáo viên
d y hai mơn.
MGi ch ng %u có ph n m1 u nêu lên nh0ng yêu c u và cách h7c
t6p c a ch ng y. Cu i mGi ch ng có ph n tóm t?t ơi nét chính n!i
dung c a ch ng
b n 7c có d p ơn t6p l i. Ph n bài t6p có m!t s
l >ng có th v >t q u c u chung ơi chút vì các tác gi, cu n sách
mong mu n giúp cho nh0ng b n 7c ham thích mơn h7c này có thêm c
h!i rèn luy)n k nDng. Vì v6y, i v8i s ơng sinh viên thì gi,ng viên
c n chF dJn cho h7 nh0ng bài c# th . Tuy nhiên b n 7c c g?ng gi,i
càng nhi%u bài t6p càng t t. Các ph n in ch0 nh( khơng ịi h(i sinh viên
ph,i 7c. Chúng chF dành cho nh0ng ai thích thú tìm hi u.
h7c >c giáo trình này, ng Bi h7c c n >c b/ sung ki n th c
v% s ph c khi mà ch ng trình Tốn 1 THPT ch a % c6p t8i; h n n0a

cCng c n có khái ni)m v% các c u trúc i s nh nhóm, vành, tr Bng
ti)n diKn t và b?t nh p >c v8i cách trình bày giáo trình; c n c ng c
v0ng vàng ki n th c toán h7c b6c THPT.
Giáo trình này >c h7c vào nDm th nh t sau ph n c u trúc
c a giáo trình Nh6p mơn Tốn h7c Cao c p.

is

Khi gi,ng d y giáo trình này, có th k t h>p nhi%u hình th c nh
thuy t trình c a gi,ng viên, h 8ng dJn sinh viên t4 7c sách, t/ ch c
xêmina, v.v... Ch9ng h n, có th t/ ch c xêmina 1 các m#c: Các ph ng
pháp tính nh th c; Gi,i h) ph ng trình tuy n tính; Các phép tính v%
ma tr6n. M!t i%u mà các tác gi, mu n l u ý thêm i v8i các gi,ng viên
là: vì giáo trình cịn >c s* d#ng
t4 h7c nên có nhi%u chG ph,i $t
v n % dJn d?t ng Bi h7c, có nhi%u ví d#. Do ó khi gi,ng bài 1 l8p, các
gi,ng viên nên l4a ch7n nh0ng i%u c n thi t nh t
có
thBi gian
truy%n t nh0ng ki n th c c b,n, nh0ng ph n còn l i dành cho sinh
viên t4 h7c. CCng nh ã nói trên, i s tuy n tính có nhi%u ng d#ng,
do ó sinh viên c n có k nDng v6n d#ng ki n th c và kL nDng tính tốn.
13


Mu n th vi)c th4c hành c a sinh viên c n >c coi tr7ng. Nên c g?ng
gi,m b8t thBi gian h7c lý thuy t 1 l8p
giành thêm thBi gian cho vi)c
gi,i bài t6p c a sinh viên, và n u có th thu x p >c m!t tF l) gi0a thBi
gian d y lý thuy t và thBi gian làm bài t6p là 1/1 thì càng t t.

i v8i ng Bi h7c, khi h7c giáo trình này ln ln có giây và bút
trong tay
t4 mình mơ t, các khái ni)m d4a theo nh0ng nh ngh a; t4
mình ch ng minh các nh lí sau khi ã tìm hi u k gi, thi t và k t lu6n;
v6n d#ng các khái ni)m, các nh lí
t4 mình trình bày các ví d# cho
trong sách. Cu i mGi ch ng có ph n tóm t?t, b n 7c nên t6n d#ng nó
c ng c và h) th ng l i ki n th c ã h7c >c 1 ch ng y. CCng c n
nói thêm r'ng i s tuy n tính là m!t trong nh0ng ngành khoa h7c c/
nh t nh ng cCng r t hi)n i. Nh0ng i%u >c trình bày 1 ây chF là
nh0ng i%u c b,n nh t, m1 u c a i s tuy n tính trên tr Bng s (mà
ch y u là tr Bng s th4c). Còn nhi%u v n % n!i dung ch a th % c6p
t8i.
Trong cu n sách này ch0 K >c kí hi)u chung cho c, ba tr Bng s ,
tr Bng s h0u tF Q, tr Bng s th4c R và tr Bng s ph c C, mGi khi mu n
nói m!t i%u gì chung cho c, ba tr Bng s y.
Cu i cùng, các tác gi, hi v7ng r'ng cu n sách áp ng >c nh0ng
òi h(i c a ch ng trình, nh0ng mong mu n c a b n 7c. Tuy nhiên,
cu n sách ch a tránh kh(i h t m7i khi m khuy t. Vì th , các tác gi,
mong nh6n >c nhi%u ý ki n c a b n 7c
có th s*a ch0a nh0ng sai
sót làm cho cu n sách ngày càng hoàn thi)n và ngày càng h0u ích h n.
Xin chân thành c,m n!
Các tác gi

14


CÁC KÍ HI U

Xn

T6p h>p {1, 2,..., n} g&m n s t4 nhiên t; 1
n n.
1
2 ... n
M(1) M(2) ... M(n)

M=

Phép th M bi n ph n t* 1 thành M(i).

Sn

T6p h>p các phép th trên t6p Xn

sgn(M)

D u c a phép th M.

n

ai

T/ng a1 + a2 +...+ an.

aj

T/ng các s aj, v8i j thu!c t6p chF s J.

i=1

j∈J
n

∏a

i

Tích a1a2...an.

∏a

j

Tích các th;a s aj, v8i j thu!c t6p chF s J.

i =1

j∈ J

A = (aij)(m,n)

Ma tr6n A có m dịng, n c!t,v8i các thành
ph n aij 1 dòng th i, c!t th j.

A = (aij)n

Ma tr6n vuông c p n.

Matn(K)

T6p h>p các ma tr6n vuông c p n v8i các
thành ph n thu!c tr Bng K.

t

Ma tr6n chuy n v c a ma tr6n A.

A

A

-1

Ma tr6n ngh ch ,o c a ma tr6n A.

|A|

nh th c c a ma tr6n A.

I

Ma tr6n
~

M

ij

nv.

nh th c con bù c a thành ph n aij trong ma
tr6n vuông (aij).
15


Aij

Ph n bù

M ijll .......jir r
~ i1 ...i r

M

j1 ... jr

i s c a thành ph n aij.

nh th c con xác
và các c!t i1,..., jr.

nh b1i các dòng i1,.., ir

nh th c con bù c a

nh th c con M ij .......ji .
l

l

r

r

A ij11.......jir r

Ph n bù

h ng(A)

H ng c a ma tr6n A.

A+B

T/ng c a hai ma tr6n A và B.

AB

Tích c a hai ma tr6n A và B.

N

Vect , là m!t ph n t* c a không gian vect .

-N

Vect

0

Vect không.
= { N 1, N 2,..., N m}

is c a

nh th c con M ij .......ji .
l

H) vect g&m các vect N 1, N 2,... N m.
H ng c a h) vect

(O) ={ O 1 O 2,..., O n}

C s1 (O) c a không gian vect .

dimKV

S chi%u c a K- không gian vect V.

f: V → W

Ánh x tuy n tính t; khơng gian V
gian W.

Imf
f-1(Y)

r

i c a N.

h ng( )

f(X)

r

l

n không

nh c a t6p X qua ánh x tuy n tính f.
nh c a khơng gian V hay ,nh c a ánh x
tuy n tính f.
nh ng >c c a t6p Y.

Kerf hay f-1(0)

H t nhân c a ánh x tuy n tính f.

HomK(V, W)

T6p h>p các ánh x tuy n tính t; V

f+g

T/ng c a hai ánh x tuy n tính f và g.

gf

Tích c a hai ánh x tuy n tính f và g.

N.P

Tích vơ h 8ng c a hai vect .

n W.

16


N⊥ P

N tr4c giao v8i P .

H ⊥ G

Không gian H tr4c giao v8i không gian G.

N

Chu:n c a N .

hchw N

Hình chi u c a N lên khơng gian W.

|z|

Mô un c a s ph c z.

z

S ph c liên h>p c a s ph c z.

“ ”

Ch ng minh i%u ki)n c n.

“⇐”

Ch ng minh i%u ki)n

x*

Ph

X

*

.

ng án t i u.

T6p ph

ng án t i u.

Ai

Vect dòng th i c a ma tr6n A.

Aj

Vect c!t th j c a ma tr6n A.

17


Ch

ng I

NH TH C

M

U

l8p 9, ta gi,i h) ph ng trình b6c nh t hai :n b'ng ph ng pháp
c!ng i s ho$c ph ng pháp th . Nh0ng ph ng pháp này ã giúp ta
dK dàng gi,i các h) ph ng trình v8i h) s b'ng s . Nh ng lên l8p 10,
khi ph,i bi)n lu6n h) ph ng trình:

ta th y hai ph ng pháp trên kém t/ng quát. Song n u dùng khái ni)m
nh th c c p hai thì vi)c trình bày tr1 nên sáng s a, g7n gàng.
Ta sQ th y r'ng khi khái ni)m nh th c c p n, (v8i n là m!t s

ngun d ng tuH ý) >c xây d4ng, thì nó có m!t vai trị r t to l8n. Nó
cịn >c áp d#ng vào h u h t các ch ng trong giáo trình này; $c bi)t,
nó góp ph n a v n % gi,i h) ph ng trình b6c nh t tr1 thành m!t lý
thuy t. Nó cịn >c áp d#ng trong nhi%u b! mơn khoa h7c khác nh
Hình h7c, Gi,i tích, V6t lí, Hố h7c, v.v...
Chính vì th mà ta c n n?m v0ng các tính ch t c a nh th c và các
ph ng pháp tính nh th c, làm nhi%u bài t6p rèn luy)n k nDng tính
nh th c
có th v6n d#ng t t khi h7c t6p và nghiên c u b! môn i
s tuy n tính này cCng nh nh0ng mơn khoa h7c khác.
nh ngh a

nh th c c p n ta c n các khái ni)m phép th và ma

tr6n.
Yêu c u chính c a ch

ng này là:

- Hi u rõ và n?m v0ng các tính ch t c a
- N?m v0ng các ph ng pháp tính
nh0ng nh th c c n thi t.

nh th c.

nh th c

có th tính thành th o
18

H n n0a, trong ch

ng này ta c n dùng m!t vài kí hi)u sau: T/ng

c a n s : a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an, (n ≥ 1 ),

>c vi t g7n là

n

ai ,

i =1

7c là "xích ma ai, i ch y t; 1 n n". T/ng quát h n, n u chF s ch y
kh?p m!t t6p I nào ó thì ta vi t là
a i , và 7c là "xích ma ai, thu!c I".
i∈I

Ví d : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =

7

a i , 7c là “xích ma ai, i

i =1

ch y t; 1

n 7”.

• Tích c a n s : a1a2a3...an. (n ≥ 1),

>c vi t g7n là

n

∏a

i

, và 7c là

i =1

“pi ai, i ch y t; 1
vi t là

∏a

i

n n”. N u chF s t ch y kh?p m!t t6p I nào ó thì ta

và 7c là “pi, ai, i thu!c I”.

i∈I

Ví d : a1a2a3a4a5 =

n

∏a

i

, 7c là “pi ai, i ch y t; 1

n 5”.

i =1

• Cu i cùng trong cu n sách này ta dùng t; “tr Bng K” mGi khi
mu n nói n m!t i%u nào ó chung cho c, tr Bng s h0u tF Q, tr Bng
s th4c R và tr Bng s ph c C.
Ta hãy tìm hi u khái ni)m phép th .

19


§1. PHÉP TH
ây ta chF dùng khái ni)m phép th nh m!t ph ng ti)n nghiên
c u nh th c ch ch a nghiên c u sâu v% nó.
h7c ch ng này b n
7c chF c n hi u và nh8 nh ngh a các d ng phép th và tính ch t v% d u
c a nó, khơng c n nh8 ch ng minh.
1.1.

nh ngh a phép th

a) Gi s t p h p Xn = {1, 2, 3,..., n}, ( n ≥ 1 ). M t song ánh
→ Xn
c g i là m t phép th trên t p Xn.
Nói riêng, song nh

ng nh t

c g i là phép th

: Xn

ng nh t.

b) M t phép th trên t p Xn
c g i là m t chuy n trí hai ph n t
i, j thu c Xn n u (i) = j, (j) = i và (k) = k, v i m i k ∈ Xn, k ≠ i, k ≠ i.
Nó cịn
c kí hi u b i (i, j).
Nói m!t cách n gi,n, m!t chuy n trí chF hốn v hai ph n t* nào ó
c a Xn, còn gi0 nguyên m7i ph n t* khác.
T6p h>p t t c, các phép th trên t6p Xn
Phép th M : Xn → Xn

>c bi u diKn nh sau:

trong ó M(i) là ,nh c a ph n t* i ∈ Xn
m!t c!t v8i i.
Ví d 1. M =

>c kí hi)u b1i Sn.

>c vi t 1 dòng d 8i, trong cùng

1 2 3 4
là phép th trên t6p X4 = {1, 2, 3, 4} xác
3 2 4 1

nh b1i:
M(1) = 3, M(2) = 2, O(3) = 4, M(4) = 1.
R=

1 2 3 4
là m!t chuy n trí hốn v hai s 2 và 4. Nó
1 4 3 2

>c

vi t g7n là R = (2, 4).
Chú ý. nh c a các ph n t* c a t6p Xn qua mGi phép th cho ta m!t
hoán v trên t6p Xn. Ng >c l i, mGi hoán v l i xác nh m!t phép th ,
20


(ch9ng h n, hoán v (3, 4, 1, 2) xác

nh phép th S =

1 2 3 4
trên

3 4 1 2

t6p X4). Vì th s các phép th trên t6p Xn b'ng s các hoán v trên t6p
y; ngh a là b'ng n!. Nh v6y, t6p Sn có n! ph n t*.
Ví d 2. S3 có 3! = 1.2.3 = 6 ph n t*. ó là nh0ng phép th sau:

1.2. Ngh ch th
nh ngh a. Gi s mà m t phép th trên t p Xn. V i i,j ∈ Xn, i ≠ j,
ta nói c p ( (i), (j)) là m t ngh ch th c a n u i <j nh ng (i) > (j).
Ví d . Trên X3, phép th M2 =
1), phép th R2 =

1 2 3
Có 2 ngh ch th là: (2, 1), (3,
2 3 1

1 2 3
có 3 ngh ch th là: (3, 2), (3, 1), (2, 1).
3 2 1

1.3. D u c a phép th
nh ngh a. Ta g i phép th là m t phép th ch n nên nó có m t s
ch n ngh ch th .
c g i là phép th l n u nó có m t s l ngh ch
th .
Ta gán cho m i phép th ch n m t giá tr b ng +1, m i phép th l
m t giá tr b ng -1.
Giá tr này c a phép th
sgn( ).
Nh v6y, theo

c g i là d u c a

và

c kí hi u b i

nh ngh a, sgn(M) =

Ví d . Trong ví d# 1 m#c 1.2, ta th y phép th R =

1 2 3
là m!t
3 2 1

21


phép th lI vì nó có 3 ngh ch th , còn M =

1 2 3
2 3 1

là m!t phép th

chTn vì nó có 2 ngh ch th . Do ó sgn(R) = -1, sgn(M) = 1.
B n 7c hãy t4 xác
m#c 1.1.

nh d u c a các phép th M1 và Rj trong ví d# 2, 1

H qu 1.

Ch ng minh. ChF c n ch ng minh r'ng
i− j

=
∏
{ } M(i) − M(j)
i, j

1, n u s ngh ch th là s chTn
- 1, n u s ngh ch th là s lI

trong ó {i, j} ch y kh?p t6p các t6p con g&m hai ph n t* c a Xn. Rõ
ràng s nhân t* 1 t* s và mJu b'ng nhau. Ta sQ ch ng minh: n u t* s
có nhân t* i - j thì mJu cCng có i - j ho$c j - i. Vì M là m!t song ánh nên
ng v8i nhân t* i - j t&n t i h, k ∈ Xn sao cho M(h) = i, M(k) - j. N u t* s
có h - k thì mJu s có M(h) - M(k) hay i - j, n u t* s có k - h thì mJu s
có j = i. V6y

i− j

=
∏
{ } M(i) − M(j)
i, j

1

−1

M(i)) là m!t ngh ch th và là s d
ch ng minh.
H qu 2. V i hai phép thêm
sgn(
Ch ng minh. Theo

. Nh ng

i− j
là s âm n u (M(i),
M(i) − (j)

ng n u trái l i. T; ó suy ra i%u ph,i
và

trên Xn ta có:

) = sgn( )sgn( )

nh ngh a và h) qu, 1 m#c 1.3,

= sgn(S)sgn(M), vì {S(i),S(j)} cCng ch y kh?p t6p các t6p
con g&m hai ph n t* c a Xn. 
22


H qu 3. M i chuy n trí
Ví d . Xét chuy n trí R =

u là phép th l .
1 2 3 4
1 5 3 4

5 6
. Các ngh ch th
2 6

ng 1

dòng th hai, t c là dòng ch a các R(i). S 1 bé h n và s 6 thì l8n h n
m7i s trong dịng nên chúng không tham gia vào ngh ch th . Do ó chF
có:
- Các ngh ch th d ng (5, r): (5, 3), (5, 4), (5, 2)
- Các ngh ch th d ng (s, 2): (3, 2), (4, 2), (5, 2).
Vì ngh ch th (5, 2) ã
là phép th lI.

>c k 2 l n nên chF có 5 ngh ch th . V6y R

N u b n 7c mu n ch ng minh h) qu, này có th d4a trên cách lí
gi,i 1 ví d# v;a nêu.

23


§2. KHÁI NI M MA TR N
MGi nh th c c p hai >c xác nh khi bi t không nh0ng các s t o
nên nó mà c, cách s?p x p chúng trong m!t b,ng s , ta g7i là ma tr6n.

D 8i ây là nh ngh a c a ma tr6n
nh ngh a 1. M t b ng g m m.n s
nh sau:

c vi t thành m dòng n c t

c g i là m t ma tr n ki u (m, n).
MGi s aij >c g7i là m!t thành ph n c a ma tr6n. Nó n'm 1 dịng
th i và c!t th j.
Ta th Bng kí hi)u ma tr6n b1i các ch0 in hoa: A, B,...
Có th vi t ma tr6n (1) m!t cách

n gi,n b1i

A = (aij)(m,n).
Khi ã bi t rõ m và n thì cịn có th vi t là A = (aij).
N u ma tr6n chF có m!t dịng (m!t c!t) thì ta g7i nó là ma tr6n dịng
(ma tr6n c!t).
N u m = n thì ma tr6n
(aij)n.
Ví d . A =

1
2

>c g7i là ma tr6n vuông c p n và vi t là A =

0 3
là m!t ma tr6n ki u (2, 3).
5 −7

24


nh ngh a 2. Ta g i ma tr n

là ma tr n chuy n v c a ma tr n (1) và kí hi u là tA.
Nh v6y ma tr6n tA thu >c t; A b'ng cách /i dòng th i c a A
thành c!t th i c a tA và n u A là ma tr6n ki u (m, n) thì ma tr6n chuy n
v tA ma tr6n ki u (n, m).

25


§3.

NH NGH A VÀ TÍNH CH T C A

Ta th y

nh th c c p hai

a 12

a 12

a 21

a 22

NH TH C

= a11a22 – a12a21 là m!t t/ng. Hãy

xem u 1 mGi h ng t* >c ch7n nh th nào. i v8i mGi h ng t*, n u
vi t các chF s th nh t 1 dòng trên, còn chF s th hai 1 dịng d 8i thì
>c m!t phép th :

sgn(N) = 1 vì N có 0 ngh ch th ; sgn(R) = - 1 vì R là m!t chuy n trí. Trên
t6p X2 = {1, 2} chF có hai phép thêm N và R. Nh v6y, có th vi t:

T/ng quát, ng Bi ta
3.1.

nh ngh a

nh th c c p n, (n > 0), nh sau:

nh ngh a

V i ma tr n vuông

ta g i t ng

là

nh th c c a ma tr n A và kí hi u b i

26