Trật tự từ trong mô hình Heisenberg phản sắt từ với tương tác bất đẳng hướng trong không gian spin trên mạng tam giác

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

TRẬT TỰ TỪ TRONG MƠ HÌNH HEISENBERG PHẢN SẮT TỪ
VỚI TƯƠNG TÁC BẤT ĐẲNG HƯỚNG TRONG KHÔNG GIAN
SPIN TRÊN MẠNG TAM GIÁC
Phạm Thị Thanh Nga
Bộ môn Vật lý, Khoa Năng lượng - Trường Đại học Thủy lợi

phụ thuộc hướng của đoạn thẳng nối chúng
với nhau thì được gọi là bất đẳng hướng trong
Mơ hình Heisenberg phản sắt từ đẳng không gian toạ độ. Khi tương tác trao đổi ứng
hướng trên mạng tam giác từ lâu đã là một với các thành phần khác nhau của tích vơ
đối tượng được nghiên cứu nhiều cả về lý hướng hai spin cũng khác nhau J x  J y  J z
ij
ij
ij
thuyết lẫn thực nghiệm bởi người ta cho rằng thì được gọi là bất đẳng hướng trong
khơng
ở đây có thể tồn tại pha chất lỏng spin do sự gian spin mà ở dạng đơn giản nhất là khi
cạnh tranh của thăng giáng và vấp từ hình
Jijx  J ijy  Jijz . Khi đó mơ hình Heisenberg
học. Tuy nhiên, các kết quả nghiên cứu lý được gọi là mơ hình XXZ. Dạng cụ thể trong
thuyết và thực nghiệm không khẳng định giả gần đúng lân cận gần nhất như sau:
thiết này. Vì vậy, mơ hình Heisenberg được
H  J  Sxi Sxj  SizS jz   Syi Syj 
(2)
đề xuất mở rộng khi tính tới các tương tác xa


ij
hơn tương tác lân cận gần nhất, khi có từ

trường... Mơ hình Heisenberg bất đẳng hướng
Người ta phân biệt hai trường hợp khác
trong không gian spin cũng là một sự mở rộng nhau tùy theo giá trị của  . Nếu Δ < 1 thì
tất yếu đang được nhiều người quan tâm, đặc được gọi là bất đẳng hướng mặt từ dễ bởi vì
biệt trong thời gian gần đây một số vật liệu lúc này trong gần đúng cổ điển tất cả các spin
có cấu trúc mạng tam giác với tương tác bất đồng phẳng trong mặt Oxy. Nếu Δ > 1 thì
đẳng hướng đã được phát hiện như được gọi là bất đẳng hướng trục từ dễ hay
Ba3 CoSb2 O9 . Nhiều phương pháp lý thuyết còn gọi là bất đẳng hướng Ising. Trạng thái
khác nhau đã được áp dụng, tuy nhiên các cơ bản của hệ bất đẳng hướng Ising trên
phương pháp này đều phải xử lý điều kiện mạng tam giác cũng là đồng phẳng trên một
ràng buộc trên mỗi nút liên quan tới tính mặt phẳng đi qua trục Oz trong khơng gian
khơng chính tắc của các tốn tử spin ở gần spin. Trong bài này ta sẽ nghiên cứu trường
đúng trường trung bình. Trong cơng trình hợp bất đẳng hướng kiểu mặt từ dễ 0    1
này, chúng tơi sử dụng phương pháp tích trên mạng tam giác.
phân phiếm hàm do Popov-Fedotov đề xuất
Mỗi nút mạng có 6 nút lân cận gần nhất,
để nghiên cứu trật tự từ trong mơ hình
Heisenberg bất đẳng hướng kiểu mặt từ dễ được nối bởi 6 véc tơ lân cận gần nhất, với a
là khoảng cách giữa hai nút liền kề:
trong không gian spin trên mạng tam giác.
1. GIỚI THIỆU CHUNG



2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Hệ các mô men từ định xứ có thể được mơ
tả bằng Hamiltonian Heisenberg có dạng sau:
r r
(1)

H   J ijSi .S j (Jij  0)



r
r
1
3 
1,4   (0, a) , 2,5   a,
a
2 2 
r
 1
3 
3,6    a,
a
 2 2 

(3)

Các tính tốn trong bài này được thực
Khi tương tác trao đổi Jij không chỉ phụ hiện tương tự như đã làm trong các công
thuộc vào khoảng cách giữa hai nút i,j mà cịn trình, theo các bước sau đây:
ij

214


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

i) Tham số trạng thái cơ bản cổ điển bằng
véc tơ sóng trật tự
Ta có thể tìm trạng thái cơ bản cổ điển bằng
cách tham số hoá trạng thái đó qua các véc tơ
trật tự như trình bày dưới đây. Vì các trạng
thái trật tự từ được đặc trưng bằng một véc tơ
trật tự Q chung cho tất cả các nút nên tính tốn
sẽ đơn giản hơn. Nếu ở trạng thái cơ bản các
véc tơ spin là đồng phẳng thì ta có thể tham số
r
hố trạng thái cơ bản bằng véc tơ trật tự Q :
r
rr
rr
Si  S  cos Qri nˆ 1  sin Qri nˆ 2 



 

 

(4)

với nˆ1 , nˆ2 là hai vec tơ đơn vị trực giao trong
không gian spin  nˆ l .nˆ m    lm ,  l, m  1, 2  .
Chọn hai vector cơ sở nˆ1 , nˆ2 dọc theo trục Ox
và Oz. Thay (4) vào (2) rồi cực tiểu hoá (2)
r
theo Q ta thu được:

r  2 2  
Q  , 
 3 3

(5)

ii) Chuyển sang hệ tọa độ định xứ
Thực hiện phép quay trong không gian
spin quanh trục Oy để chuyển từ hệ quy chiếu
định xứ (Ox’z’)
sao cho tại mỗi nút i hướng
r
của spin Si trùng với hướng Oz’ trong gần
đúng cổ điển. Ta thu được các thành phần
của tương tác giữa các nút như sau:
rr
zz
yy
Jxx
ij  Jij  Jijcos Q j  Xij ; Jij  Jij  Yij
(6)
rr
zx
zx
Jij  Jij  Jij sin Q j  Wij

 
 

Trong biểu diễn Fourier theo tọa độ, cho

mạng tam giác, từ (6), ta thu được:
(7)
X(q)  3J  (q)
Y(q)  6J (q)
(8)
W(q)  3iJ w (q)
(9)
trong đó:
1
q
3 
(q)   cosq x  2cos x cos
qy 
3
2
2

1 
qx
3 
 w (q) 
qy 
 sin q x  2sin sin
3
2
2


(10)
(11)

iii) Phương pháp Popov-Fedotov
Trước hết biểu diễn toán tử spin S  1 / 2 :
Sli 

1
fi ( l )  fi  ,

2 

(12)

trong đó  là các ma trận Pauli, ,  ,  là
các chỉ số spin. fi , fi  lần lượt là các tốn tử
sinh và hủy fermion. Vì mỗi nút ln có một
spin nên các tốn tử spin phải thoả mãn điều
kiện ràng buộc n i  1. (13). Tính chính xác
điều kiện ràng buộc nói chung là rất khó khăn.
Ở gần đúng đơn giản nhất - gần đúng trường
trung bình, thì ràng buộc một hạt trên một nút
được thay bằng ràng buộc trung bình nhiệt
động: n i   f i , f i  1 (14). Để tính


chính xác điều kiện ràng buộc có một fermion
trên mỗi nút. Popov-Fedotov đưa vào toán tử
1 i 2 Nˆ
ˆ



e , (15), trong đó Nˆ   f if i 
chiếu
N
i
i

là tốn tử số hạt. Việc đưa vào toán tử chiếu
(15) tương đương với việc gán cho hệ một thế
hóa học ảo  

i
. Nếu chuyển sang biểu diễn
2

Fourier theo thời gian ảo thì điều đó có nghĩa
là thay vì tần số Matsubara thông thường cho



Fermion  F   2n  1 , ta sẽ làm việc với
tần

số

P F  F 

Matsubara

cải

biến

 2 
1

 n   . Việc áp dụng
2  
4

phương pháp Popov-Fedotov được thực hiện
theo sơ đồ sau: một là, viết tổng thống kê Z
dưới dạng tích phân phiếm hàm; hai là, thực
hiện biến đổi Hubbard-Stratonovich. Ba là,
tính nhiễu loạn theo trường phụ. Sau khi tính
được tổng thống kê, ta có thể tính được năng
lượng tự do F   k BT ln Z. Từ tổng thống kê
có thể tính được các đại lượng vật lý đặc trưng
của hệ từ như: độ từ hóa tự phát, năng lượng
trạng thái cơ bản, nhiệt dung riêng, độ tự cảm.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1. Momen từ mỗi phân mạng và nhiệt độ
chuyển pha ở gần đúng trường trung bình
Mơ men từ trên mỗi nút trong gần đúng
trường trung bình được cho bởi:
m0 

215



1
3

tanh   Jm 0  , (16) khi lấy   i ,
2
2
2



Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

tức là khi điều kiện ràng buộc lấy chính xác
1

3

còn: m0  tanh  Jm 0  , (17) khi   0 ,
2
4

tức là khi điều kiện ràng buộc lấy trung bình.
Từ (16) và (17) ta suy ra nhiệt độ chuyển pha
Tc : Tc  3J / 4 , (18) nếu điều kiện ràng buộc
lấy chính xác và %
Tc  3J / 8, (19) khi điều
kiện ràng buộc lấy trung bình.
3.2. Phổ magnon
Phổ magnon được cho bởi biểu thức sau:
với

q  3Jm0 q (20),
2q  1  (q) 1  2 (q)  (21), trong đó
m0 thoả mãn (16) còn (q) được cho bởi (10).

3.3. Năng lượng tự do và năng lượng
trạng thái cơ bản
Năng lượng tự do của hệ gồm đóng góp từ
gần đúng trường trung bình, thăng giáng dọc
và thăng giáng ngang (so với hướng từ hoá
cổ điển):
(22)
F  FMF  Fzz   F 
N
N
3
3Jmo2  ln(2 cosh Jm o )
2

2
Fzz  1 / 2   ln A o
FMF 

r
k

F 

1 

3Jmo 

ln sh k  ln sh


 k 
2
2 

A o  1  3 J (q)K zz
2



3J 2 (q)K zz
2

1   (q)



2
K zz
2   1  4m o / 4

(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

ở đây,  (q) được cho bởi (10). Ở nhiệt độ T

= 0K, m0 =1/2, K zz
2  0 nên thăng giáng
lượng tử dọc khơng cho đóng góp. Ngồi ra,
ln(2coshx) = ln(2shx) = x nếu T = 0K và
x >0. Vì vậy, ta có năng lượng trạng thái cơ
bản của hệ khi chú ý tới đóng góp của thăng
giáng lượng tử (ngang):



1
Egr   3JN / 8  1  2 1   k 

 N k


(28)

Ta thấy ngay khi  =1 thì kết quả đưa về
trường hợp đẳng hướng [4].

4. KẾT LUẬN

Phương pháp Popov-Fedotov do tính được
một cách chính xác điều kiện ràng buộc trên
mỗi nút nên cho ta một số kết quả khá thú vị
như sau:
i) Ở gần đúng trường trung bình nhiệt độ
chuyển pha khi tính chính xác điều kiện ràng
buộc lớn gấp đôi so với khi tính gần đúng là

phù hợp với các tác giả khi xét các mạng
khác. Kết quả này cho thấy tính bất đẳng
hướng kiểu mặt từ dễ không làm thay đổi mô
men từ trên mỗi nút và nhiệt độ chuyển pha
khi so với trường hợp đẳng hướng.
ii) Khác với độ từ hoá ở gần đúng trường
trung bình, phổ magnon phụ thuộc tham số
bất đẳng hướng  vì nguồn gốc của magnon
là do thăng giáng thành phần ngang của các
spin, trong đó có thành phần theo trục Oy, tức
là thành phần bất đẳng hướng. Kết quả trên
đưa về kết quả thu được bằng các phương
pháp sử dụng biểu diễn boson cầm tù nếu đặt
m0 = S =1/2 [1]. Như vậy trong hình thức
luận Popov-Fedotov thì phổ magnon cũng
phụ thuộc nhiệt độ. Khi  = 1 thì kết quả đưa
về trường hợp đẳng hướng.
iii) Từ năng lượng tự do có thể thu được
biểu thức giải tích cho nội năng, nhiệt dung
riêng, độ từ hố tự phát trên mỗi nút khi chú ý
tới ảnh hưởng của thăng giáng. Từ các biểu
thức này có thể khảo sát số để tìm sự phụ
thuộc của các đại lượng trên vào tham số bất
đẳng hướng. Các tính tốn được thực hiện
tương tự như trong. So sánh với kết quả thu
được bằng phương pháp sử dụng biến đổi
Holstein-Primakov, ta thấy ở T = 0K kết quả
của chúng ta trùng với, nghĩa là phương pháp
Popov-Fedotov không cho thấy sự ưu việt so
với các phương pháp hạt phụ cầm tù khi nhiệt

độ bằng khơng.Tuy nhiên có thể thấy khi xét ở
nhiệt độ khác khơng thì phương pháp PopovFedotov cho kết quả khác biệt đáng kể so với
các phương pháp khác.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. L. Chernyshev and M. E. Zhitomirsky,
Phys. Rev, B79, 144416 (2009), Erratum:
Phys. Rev. B 91, 219905 (2015).

216