Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất docx

Tín HiệuvàHệ Thống
Đỗ Tú Anh

Bộ môn Điềukhiểntựđộng, Khoa Điện
Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miềnhộitụ
Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất
22
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
3
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Tổ chức
44
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
4
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Mộtsố ví dụ biến đổi Laplace và miềnhộitụ
6.1.3 Các tính chấtcủamiềnhộitụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
5
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
66

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
6
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Tạisaocầnphépbiến đổi Laplace?
 Ta có
 Khi phân tích trong miềnthờigian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
xung và cộng các đáp ứng củahệ thống với các xung đó.
 Khi phân tích trong miềntầnsố, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
thành phầnmũ phứccódạng e
st
trong đós làtầnsố phức
sj
σ
ω
=
+
7
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
7
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Biiến đổi Laplace củamộttínhiệu x(t) được định nghĩalà
Định nghĩaphépbiến đổi Laplace
 Giảithíchbằng phép biến đổi Fourier
 Phép biến đổi Laplace có thểđược coi là phép biến đổi Fourier của
tín hiệux(t) saukhinhânvới hàm mũ thực
t
e
σ
−
88

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
8
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Mộtsố ví dụ biến đổi Laplace và miềnhộitụ
6.1.3 Các tính chấtcủamiềnhộitụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
9
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
 Ảnh Fourier củatínhiệumũ thực nhân quả
chỉ tồntạikhia > 0
 Tuy nhiên, từđịnh nghĩabiến đổi Laplace, ta có
 Do đóvới bấtkỳ giá trị nào củaa, biến đổi Laplace tồntạivớimọi
giá trịσ> -a
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
10
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
10
 Do s = σ+jω, ta viếtlại thành
 Nếua > 0, X(s) tồntạivới σ = Re{s} = 0, khi đótrở thành X(jω).
Ngượclại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồmbiến đổi Fourier X(jω).
 Miềnhộitụ: Miền các giá trị củas để biến đổi Laplace hộitụ
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi

Fourier
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
11
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
1111
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
11
 Xét tín hiệumũ thựcphản nhân quả
Ảnh Laplace củanólà
 Miềnhộitụ
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier
Biến đổi Laplace: Ví dụ 2
1212
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Sơđồđiểm không/điểmcực
 Ảnh Laplace thường có dạng phân thứccủas, tứclà
()
() ,
()
Bs
Xs
A
s
=
với s thuộc miềnhộitụ (MHT)
trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đathứcbậcM vàN củabiếns

 M nghiệmcủatử thứcB(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace
N nghiệmcủamẫuthứcA(s) đgl các điểmcực của ảnh Laplace.
 Chú ý: các điểmcựccủaB(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm
không có thể nằm trong hoặcnằm ngoài MHT.
 Mô tả mộtcáchcôđọng đặctínhcủa ảnh Laplace trong mặtphẳng
s bao gồmcả việcchỉ ra vị trí các điểm không và điểmcực, ngoài
MHT.
1313
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
13
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệumũ nhân quả
có ảnh Laplace là
 Biểudiễn X(s) thành dạng phân thức
Điểm
không
Điểm
cực
Biến đổi Laplace: Ví dụ 3
1414
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
14
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Mộtsố ví dụ biến đổi Laplace và miềnhộitụ
6.1.3 Các tính chấtcủamiềnhộitụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt

15
EE3000-Tín hiệuvàhệ thốngEE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Các tính chấtcủamiềnhộitụ
 Với tín hiệumột phía phải
1
() 0, .xt t t=>
{
 Vớitínhiệumột phía trái
2
() 0, .xt t t=<
}
max
Re ,s
σ
>
trong đó σ
max
là phầnthựclớnnhất
củacácđiểmcực
MHT:
{
}
min
Re ,s
σ
<
trong đó σ
min
là phầnthựcnhỏ nhất
củacácđiểmcực

MHT:
0
t
1
t
()
x
t
()
x
t
0
t
2
t
16
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
()
x
t
0
t
 Với tín hiệu khoảng hữuhạn (tín hiệuvừalàmột phía phải, vừalà
một phía trái
12
() 0, .xt t t t t=<∪>
MHT: toàn bộ mặtphẳng s
 Với tín hiệu hai phía (không phảilàcáctínhiệutrên)
{
}

12
Re ,s
σ
σ
<<
trong đó σ
1
và σ
2
là các phầnthực
của(ítnhất) hai điểmcực
MHT:
Các tính chấtcủamiềnhộitụ
()
x
t
0
t
1
t
2
t
2
()xt
s
dfssdfdsfs

 
1
()xt

s
dfssdf


17
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Xét tín hiệu hai phía
() () ( )
at at
xt e ut e u t
−
=
−−
()
x
t
0
(0)a >
t
()
x
t
0
(0)a
<
t
 Do đó
11
() , Re ,
X

saa
s
asa
=
+−<<
+
−
22
2
Re ,
s
aa
s
a
=
−< <
−
 Từ các ví dụ trên ta có
{}
1
1
() , Re
X
ssa
s
a
=>−
+
{}
2

1
() , Re
X
ssa
s
a
=<
−
và
σ
j
ω
a
−
a
×
×
Miềnhộitụ: Ví dụ
1818
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
18
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Mộtsố ví dụ biến đổi Laplace và miềnhộitụ
6.1.3 Các tính chấtcủamiềnhộitụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
1919

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Để tìm lạitínhiệu x(t) từảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi
Fourier ngược.
 Do
() () ,
tjt
Biến đổi Laplace ngược
X
jxteedt
σω
σω
∞
−−
−
∞
⎡⎤
+=
⎣⎦
∫
nên có thể viết ảnh Fourier ngượccủanólà
1
() ( )
2
tjt
xte X j e d
σω
σ
ωω
π
∞

−
−
∞
=+
∫
 Nhân cả hai vế vớie
σt
, ta có
()
1
() ( )
2
jt
xt X j e d
σω
σ
ωω
π
∞
+
−
∞
=+
∫
 Thay s = σ+jω và ds=jdω,
1
() ()
2
j
st

j
xt X se ds
j
σ
σ
π
+
∞
−∞
=
∫
nằm trong MHT
20
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
 Cho hàm phân thứcbậc2
được phân tích thành tổng các phân thức đơngiản
 Có 3 khả năng củaMHT
và
21
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
 Trường hợpMHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệumột phía phải
 Ta có
 Do đó ảnh Laplace của
là
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
22

 Trường hợpMHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía
 Ta có
 Do đó ảnh Laplace của
là
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
23
 Trường hợpMHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái
 Ta có
 Do đó ảnh Laplace của
là
Các cặpbiến đổi Laplace
24
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
2525
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
2525
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
25
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Mộtsố ví dụ biến đổi Laplace và miềnhộitụ
6.1.3 Các tính chấtcủamiềnhộitụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt