Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, Các tính chất đặc trưng của hệ thống pptx

Tín HiệuvàHệ Thống
Đỗ Tú Anh

Bộ môn Điềukhiểntựđộng, Khoa Điện
Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt,
Các tính chất đặctrưng củahệ thống
22
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
22
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
2
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạtvới các tính chấtcủahệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạttừ phương trình vi phân
3
Hàm truyền đạtcủahệ thống
 Hàm truyền đạt củahệ LTI, H(s), được định nghĩalàbiến đổi Laplace
của đáp ứng xung củahệ thống
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Khi s = jω, đólàbiến đổiFourier(hệ thống phải ổn định) và một
cách tổng quát, đólàbiến đổi Laplace.
 Hàm truyền đạtrất quan trọng vì
4
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hàm truyền đạt: Ví dụ
 Khâu vi phân: tín hiệuralàđạo hàm theo thờigiancủatínhiệuvào

H(s)
()xt
()
()
dx t
yt
dt
=
()
X
s () ()Ys sXs
=
 Khâu tích phân: tín hiệu ra là tích phân củatínhiệuvào
H(s)
()xt
() ( )
t
yt x d
τ
τ
−
∞
=
∫
()
X
s
1
() ()Ys Xs
s

=
 Khâu chậmtrễ: tín hiệuralàtínhiệuvàodịch đimộtkhoảng thờigian
(thờigiantrễ)
H(s)
()xt () ( )yt xt
τ
=
−
()
X
s
() ()
s
Ys e Xs
τ
−
=
()Hs s
=
1
()Hs
s
=
()
s
Hs e
τ
−
=
55

EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
55
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
5
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạtvới các tính chấtcủahệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạttừ phương trình vi phân
Hệ nhân quả và phảnnhânquả
 Do đáp ứng xung nhân quả h(t) là tín hiệu phía phải, MHT củaH(s)
phảithỏamãn
{
}
max
Re s
σ
>
j
ω
σ
 Do đáp ứng xung phảnnhânquả h(t) là tín hiệu phía trái, MHT của
H(s) phảithỏamãn
{
}
min
Re s

σ
<
j
ω
σ
MHT phảinằm bên phải tấtcả
các điểmcựccủahệ
MHT phảinằm bên trái tấtcả
các điểmcựccủahệ
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
6
 Nếu H(s) có thể phân tích thành dạng
1
()
,
()
N
k
N
k
k
r
Bs
b
A
sss
=
=+
+
∑

Hệ nhân quả và phảnnhânquả
trong đó
, 1,2, ,
k
s
kN−=…
là các điểmcực
, 1,2, ,
k
rk N
=
…
đgl các residue
thì h(t) là nhân quả với
{
}
max
Re s
σ
>
và là phảnnhânquả với
{
}
min
Re s
σ
<
 Ví dụ
{}
1

() , Re 1
1
Hs s
s
=>−
+
{}
() , Re 1
1
s
e
Hs s
s
=>−
+
Hệ nhân quả
Hệ phi nhân quả
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
7
Hệổn định
 Hệ LTI là ổn định BIBO khi và chỉ khi h(t) khả tích tuyệt đối
()ht dt
∞
−
∞
<
∞
∫
 Đây cũng là điềukiện Dirichlet để hàm h(t) có ảnh Fourier (trừ các
trường hợp đặcbiệt)

 Mặt khác nếucóthể xác định H(jω) từ H(s) bằng cách thay s = jω thì
MHT củaH(s) phảichứatrụcjω
Để tồntại đáp ứng tầnsố H(jω) thì hệ phải ổn định
j
ω
σ
j
ω
σ
j
ω
σ
j
ω
σ
 Để hệ là nhân quả và ổn định, tấtcả các điểmcựcphỉanằm bên trái
mặtphẳng phứcs
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
8
Hệ khả nghịch đảo
 Nếuhệ LTI h(t) là khả nghịch đảo, tồntại hệ nghịch đảo h
I
(t) sao cho
() () ()
I
ht h t t
δ
∗=
1
()

()
I
Hs
Hs
=
 Các điểmcựccủa H(s) là các điểm không củaH
I
(s) và ngượclại
 Nói chung, hệ nghịch đảoH
I
(s) của H(s) không duy nhấtdo cóthể có
nhiềukhả năng khác nhau củaMHT (phânthứcA(s)/B(s) cóítnhất
một điểmcực)
 Nếu H(s) = B(s)/A(s) thì H
I
(s) = A(s)/B(s)
 Tuy nhiên thường có chỉ mộthệ nghịch đảo đượcsử dụng trong
thựctế do còn có các yêu cầu khác (như tính ổn định và/hoặc tính
nhân quả)
9
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hệ khả nghịch đảo: Ví dụ
 Cho hệ ổn định nhân quả
1
() ,
2
s
Hs
s
+

=
+
{
}
Re 2s >−
 Hai khả năng cho hệ nghịch đảotương ứng
{}
1
1
() , Re 1
2
I
s
Hs s
s
+
=>−
+
{}
2
1
() , Re 1
2
I
s
Hs s
s
+
=
>−

+
và
 Tuy nhiên chỉ H
I1
(s) ích hữu trong thựctế vì nó vừa ổn định và nhân
quả, còn H
I2
(s) thì không
 Ví dụ 2:
{}
1
() , Re 2
2
s
Hs s
s
−
=>−
+
ổn định, nhân quả
{}
1
2
() , Re 1
1
I
s
Hs s
s
+

=>
−
{}
2
2
() , Re 1
1
I
s
Hs s
s
+
=<
−
Không ổn định, nhân quả
Ổn định, không nhân quả
10
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Ghép nốihệ thống
11
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
1212
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
1212
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
12
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫnxuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chấtcủa phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạtvới các tính chấtcủahệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạttừ phương trình vi phân
13
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Phương trình vi phân
 Trên thựctế, phầnlớncáchệ thống được quan tâm đều đượcmôtả
bởicácphương trình vi phân tuyếntínhhệ số hằng
00
() ()
kk
NM
kk
kk
kk
dyt dxt
ab
dt dt
=
=
=
∑∑
vớibậccủamôhìnhlàsố lớnhơn trong hai số M và N
 Sử dụng biến đổi Laplace và các tính chấtcủa nó, ta có được
0
() ()
()
() ()
M

k
k
k
k
k
k
bs
Ys Bs
Hs
X
sAs
as
=
∞
== =
∑
∑
 Về lý thuyết, cho phép M > N (ví dụ với khâu vi phân lý tưởng)
 Các hệ thống thựctế bị ràng buộcbởi
M
N≤
???
14
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Phương trình vi phân: Ví dụ
 Xét PTVP tuyếntínhcấp1
() ()
()
d
y

tdxt
ay t a
dt dt
+=
 Sử dụng biến đổi Laplace
()
()
Bs as
A
ssa
=
+
Do đó
{}
1
( ) , Re
as
Hs s a
s
a
=
>−
+
{}
2
( ) , Re
as
Hs s a
s
a

=
<−
+
-Nếnhệ là nhân quả
-Nếuhệ là phảnnhânquả
 Với điềukiện nào của a thì H
1
(s) ổn định
Với điềukiện nào của a thì H
2
(s) ổn định
???
0a >
0a
<
Khâu vi phân
thựctế
15
Hệ thống bậcmột
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
 Xét PTVP tuyếntínhcấp1
()
() ()
d
y
t
a
y
txt
dt

+=
 Hàm truyền đạt(hệ nhân quả)
() {}
1
, ReHs s a
s
a
=>−
+
 Đáp ứng xung
{
}
1
() () ()
at
ht L ht e ut
−−
==
 Vớia > 0, MHT củaH(s) chứatrụcjω, khi đótồntại đáp ứng tần
số H(jω), cũng có nghĩa bộ lọc thông thấp là ổn định
16
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hệ thống bậc hai
 Xét PTVP tuyếntínhcấp2
2
2
() ()
() ()
dyt dyt
abytxt

dt
dt
++=
 Hàm truyền đạt(hệ nhân quả)
() {} { } { }
{}
12
2
12
11
, Re max Re ,Re
()()
Hs s r r
srsr
sasb
== >−−
++
++
 Đáp ứng xung
{
}
12
1
11
() () () ()
rt r t
ht L ht ke ut ke ut
−
−
−

==+
tổng các hàm mũ phức
 Đồ thịđáp ứng xung ???
17
EE3000-Tín hiệuvàhệ thống
Hệ thống bậc hai
Phụ thuộcvàovị trí các điểmcựclà
 Thực
 Thuần ảo
 Phức