Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng pot

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 1 of 17


PHẦN I. ĐƯỜNG THẲNG
CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN
Bài tốn 1. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
11
M x ;y
và
( )
22
N x ;y

 Phương pháp giải.
 Phương trình tham số:
+
( )
2 12 1
MN x x ;y y=−−


+ Đường thẳng
d
qua
M
và nhận

MN

làm VTCP nên:
( )
( )
1 21
1 21
x x x xt
d:
y y y yt

=+−


=+−



 Phương trình tổng qt:
+
(
)
2 12 1
MN x x ;y y=−−


+ Đường thẳng
d
qua
M

và nhận
( )
( )
21 21
n y y; x x= −− −

làm VTPT nên có dạng:
( )( ) ( )( )
21 1 21 1
y y xx x x yy 0−−−−−=

Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng (tham số. tổng qt) của đường thẳng
d
đi qua
( )
M 1; 2−
và
( )
N 3; 6−

Giải.
 Phương trình tham số:
+ Ta có
( )
MN 4; 8= −


+ Đường thẳng
d
qua

M
và nhận
MN

làm VTCP nên:
x 1 4t
d:
y 2 8t
=−+


= −


 Phương trình tổng qt:
+ Ta có
( )
MN 4; 8= −


+ Đường thẳng
d
qua
M
và nhận
( )
n 8;4
=

làm VTPT nên:

( ) ( )
d:8 x 1 4 y 2 0 d:2x y 0++ − =⇔ +=

 Nhận xét.( Phương trình đoạn chắn). Phương trình đường thẳng
d
cắt
Ox,Oy
theo thứ tự tại
( )
A a;0
và
( )
B 0;b

với
a 0,b 0≠≠
có dạng:
xy
d: 1
ab
+=

Ví dụ 2. Lập phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
A 2;0−
và
( )
B 0;3

Giải. Phương trình đường thẳng
d
cho bởi:
xy
d: 1 d:3x 2y 6 0
23
+ =⇔ − +=
−

Bài tốn 2. (Phương trình đường thẳng biết vec tơ chỉ phương). Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
00
M x ;y
và có VTCP
( )
u a;b=


 Phương pháp giải.
 Phương trình tham số:
0
0
x x at
d:
y y bt
= +



= +


 Phương trình tổng qt: Đường thẳng
d
đi qua
( )
00
M x ;y
và có VTPT
( )
n b; a= −

nên:
( ) ( )
00
d:b x x a y y 0−− −=

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 2 of 17


Ví dụ 3. Lập phương trình đường thẳng
d
đi qua
(
)
M 1; 2
và có VTCP

(
)
u 2; 1
= −


 Phương trình tham số:
x 1 2t
d:
y2t
= +


= −


 Phương trình tổng qt: Đường thẳng
d
đi qua
( )
M 1; 2
và có VTPT
( )
n 1; 2=

nên:
( ) ( )
d:1 x 1 2 y 2 0 d:x 2y 4 0− + − =⇔ + −=

Bài tốn 3. (Phương trình đường thẳng viết vec tơ pháp tuyến). Viết phương trình đường thẳng

d
đi qua điểm
( )
00
M x ;y
và có VTPT
( )
n a;b=


 Phương pháp giải.
 Phương trình tổng qt: Đường thẳng
d
đi qua
( )
00
M x ;y
và có VTPT
( )
n a;b=

nên:
( ) ( )
00
d:a x x b y y 0−+ −=

 Phương trình tham số: Đường thẳng
d
đi qua
( )

00
M x ;y
và có VTCP
(
)
u b;a= −

nên:
0
0
x x bt
d:
y y at
= −


= +


Bài tốn 4. Phương trình đường thẳng biết hệ số góc. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
( )
00
M x ;y
có hệ số
góc
k

 Phương pháp giải. Đường thẳng

d
được cho bởi
( )
00
d:y k x x y= −+

 Chú ý. Nếu gọi
α
là góc tạo bởi đường thẳng
d
và trục dương của trục
Ox
, ta có:
k tan= α

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng
d
trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
( )
M 1; 2
có hệ số góc
k3=

b) Đi qua điểm
( )
A 3;2−
và tạo với hướng dương của trục
Ox
một góc

0
45

c) Đi qua điểm
( )
B 3;2
và tạo với trục
Ox
một góc
0
60

Bài tốn 5. Chuyển dạng phương trình đường thẳng
 Cho phương trình dạng tham số:
0
0
x x at
d:
y y bt
= +


= +

(1)
+ Nếu
a,b 0≠
khử
t
từ (1) ta có:

00
xx yy
ab
−−
=
(Phương trình chính tắc)
+ Từ pt chính tắc ta có:
(
) ( )
0 0 00
b x x a y y 0 bx ay ay bx 0
− − − =⇔−+ − =
(Phương trình tổng qt)
 Chú ý.
+ Nếu
a0=
thì phương trình tổng qt là
00
d:x x d:x x 0=⇔ −=

+ Nếu
b0
=
thì phương trình tổng qt là
00
d:y y d:y y 0=⇔ −=

 Cho phương trình dạng tổng qt:
d :ax by c 0+ +=

+ Cho
xt=
giải
y
theo
t
ta có :
xt
d:
ca
yt
bb
=



=−−


(Phương trình tham số)
+ Từ đó đưa ra phương trình chính tắc
 Chú ý:
+ Nếu
d :ax c 0+=
thì phương trình tham số là
c
x
d:
a
yt


= −



=


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 3 of 17


+ Nếu
d:by c 0+=
thì phương trình tham số là
xt
d:
c
y
b
=



= −



Ví dụ 5. Lập phương trình chính tắc và phương trình tổng qt của đường thẳng
d

biết:
a)
x 3 2t
d:
y 1 5t
= +


= −

b)
x 2t
d:
y1
=


=


Ví dụ 6. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
d
biết:
d:x 2y 1 0− −=

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua 2 điểm
A

và
B
trong cách trường hợp sau:
a)
( ) ( )
A 3; 2 & B 1; 5−−

b)
( ) ( )
A 3;1 & B 1; 6−−

c)
( ) ( )
A 3;0 &B 0; 6−

d)
( )
2
m
A 0; & B 2m 1; m
2

−+


, từ đó tìm điểm cố định của
d

Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng
d

đi qua điểm
A
và có VTCP
u

trong các trường hợp sau:
a)
( )
( )
A 2; 3 & u 1; 2= −


b)
(
) (
)
A 1; 4 & u 0;1
−=


Bài tập 3. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và có VTPT
n

trong các trường hợp sau:
a)
( )

( )
A 3;2 &n 2;2
=


b)
( ) (
)
A4;3&n 5;4
−=−


Bài tập 4. Viết phương trình tổng qt, phương trình chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau:
a)
x 3 2t
d:
y4t
= −


= +

b)
x 1 3t
d:
y2t
= −


= +


c)
x3
d:
y 5 6t
=


=−+

d)
x 3 2t
d:
y 1 5t
= −


= +


Bài tập 5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của các đường thẳng sau:
a)
xy20+−=
b)
x 2y 5 0+ +=
c)
3x y 8 0−−=

d)
x3=

e)
y5= −

Bài tập 6. Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của
ABC∆
biết trung điểm ba cạnh
BC,AC,AB
theo thứ
tự là
( ) ( ) ( )
M 2;3 ,N 4; 1 ,P 3;5−−

Bài tập 7. Cho tam giác
ABC
có
( ) ( ) ( )
A2;2,B 1;6,C 5;3−−

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao
AH
của tam giác
c) Chứng minh
ABC∆
vng cân
Bài tập 8. Cho tam giác
ABC
có
( ) ( ) (
)

A1; 1,B 2;1,C3;5
−−

a) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến
BI
của tam giác
ABC

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm
A
và vng góc với trung tuyến
BI

Bài tập 9. Cho tam giác
ABC
có
(
) ( ) ( )
A 1; 1 , B 1; 9 , C 9;1−−

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác
b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 4 of 17


c) Lập phương trình các đường cao của tam giác
d) Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác
Bài tập 10. Trong mp tọa độ cho điểm
( )

M 5; 3−
. Viết phương trình của đường thẳng
d
đi qua
M
và cắt trục hồnh và
trục tung lần lượt tại
A,B
sao cho
M
là trung điểm của
AB


CHỦ ĐỀ 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Bài tốn 1. Viết phương trình đường thẳng
d
song song với đường thẳng
:ax by c 0∆ + +=
cho trước và thỏa mãn
điều kiện
K

 Phương pháp giải.
 Cách 1. Vì
d//
∆
nên
d
nhận VTPT của

∆
là
( )
n a;b
∆
=

làm VTPT và thỏa điều kiện
K

 Cách 2. Vì
d//∆
nên
d
nhận VTCP của
∆
là
( )
u b;a
∆
= −

làm VTCP và thỏa điều kiện
K

 Cách 3. Vì
d / / d :ax by m 0∆⇒ + + =

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng
d

đi qua điểm
( )
A 3;2
và song song với đường thẳng
:x 2y 1 0∆ + −=

Giải.
 Cách 1. Ta có
d//∆
nên
d
nhận VTPT của
∆
là
(
)
n 1; 2
∆
=

làm VTPT nên
d
có phương trình
( ) ( )
d:1. x 3 2. y 2 0 d:x 2y 7 0− + − =⇔ + −=

 Cách 2.
d//∆
nên
d

nhận VTCP của
∆
là
( )
u 2;1
∆
= −

làm VTCP nên
x 3 2t
d:
y2t
= −


= +


 Cách 3. Vì
d / / d:x 2y m 0∆⇒ + + =
. Mặt khác
( )
A 3;2 d 3 2.2 m 0 m 7∈⇒+ + =⇔ =−

Vậy
d:x 2y 7 0+ −=

Bài tốn 2. Viết phương trình đường thẳng
d
vng góc với đường thẳng

:ax by c 0∆ + +=
cho trước và thỏa mãn
điều kiện
K

 Phương pháp giải.
 Cách 1. Đường thẳng
d
thỏa mãn:
thỏa mãn K thỏa mãn K
d: d:
d nhận VTPT của làm VTCP

⇔

⊥∆ ∆


 Cách 2. Đường thẳng
d
thỏa mãn:
thỏa mãn K thỏa mãn K
d: d:
d nhận VTCP của làm VTPT

⇔

⊥∆ ∆


 Cách 3. Đường thẳng
d :ax by c 0⊥∆ + + =
nên
d
có dạng:
d : bx ay m 0−+=

II. MỘT SỐ BÀI TỐN
Bài 1. Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC
nếu cho
( )
B 4; 5−−
và hai đường cao có phương trình:
1
d : 5x 3y 4 0+ −=
và
2
d : 3x 8y 13 0++=

Bài 2. Cho
ABC∆
có phương trình
AB:5x 3y 2 0− +=
, các đường cao xuất phát từ
A,B
lần lượt có phương trình là:
1
d :4x 3y 1 0− +=
và

2
d :7x 2y 22 0+−=
. Lập phương trình hai cạnh
AC,BC
và đường cao thứ 3.
Bài 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết đỉnh
( )
C 4; 1−
, đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh
của tam giác có phương trình tương ứng là
12
d :2x 3y 12 0 , d :2x 3y 0−+= +=

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 5 of 17


Bài 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết
 
A 1; 3
và hai trung tuyến lần lượt có phương trình là
x 2y 1 0− +=
và
y10
−=

Bài 5. Biết phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng là
5x 2y 6 0− +=
và
4x 7y 11 0+ −=
. Viết phương
trình cạnh thứ ba của tam giác đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
( )
A 3; 1−
và song song với
:2x 3y 1 0∆ + −=

Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
A 1; 2
và vng góc với:
a) Đường thẳng
:x y 1 0∆ − −=

b) Trục Ox
Bài tập 3. Cho hai đường thẳng
1
d :5x 2y 7 0− +=
và
2
d :5x 2y 9 0
− −=

. Viết phương trình đường thẳng
d
song song
và cách đều
12
d ;d

Bài tập 4. Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác
ABC
biết trung điểm ba cạnh
BC,AC,AB

theo thứ tự là
( ) ( ) ( )
M 2;3 , N 4; 1 , P 3;5−−

Bài tập 5. Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết
( )
A 2;2
và hai đường cao có phương trình
1
d :x y 2 0
+−=

và
2
d :9x 3y 4 0
− +=

Bài tập 6. Lập phương trình các cạnh
ABC∆
, biết 1 đỉnh
( )
A 2; 7−
, phương trình đường cao kẻ từ
C
là
1
d :3x y 11 0
++ =
và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh
C
là
2
d :x 2y 7 0
+ +=

Bài tập 7. Cho tam giác
ABC
có phương trình cạnh
AB
là
xy90+−=
, đường cao qua đỉnh
A
và
B
lần lượt có

phương trình là
1
d : x 2y 13 0+ −=
và
2
d :7x 5y 49 0
+−=
. Lập phương trình
AC,BC
và đường cao thứ ba.
Bài tập 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC
biết đỉnh
( )
C 3;5
, đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ
1 đỉnh có phương trình tương ứng là và
2
d :8x y 7 0+−=

Bài tập 9. Lập phương trình các canh của tam giác
ABC
biết
( )
A 3;1
và hai đường trung tuyến có phương trình là
1
d :2x y 1 0− −=
và
2

d :x 1 0−=

Bài tập 10. Phương trình hai cạnh của một tam giác là
3x y 24 0 ; 3x 4y 96 0−+ = + − =
. Viết phương trình cạnh thứ ba
của tam giác biết trực tâm
32
H 0;
3




Bài tập 11. Cho tam giác
ABC
với
( ) ( ) ( )
A 2;1 , B 2;5 , C 4;1−
. Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh
AB , AC
. Từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

CHỦ ĐỀ 3. HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài tốn 1. Xác định hình chiếu vng góc
H
của điểm
M
lên đường thẳng
d

 Phương pháp giải.
 Cách 1.
+ Viết phương trình đường thẳng
d
qua
M
và vng góc với
d

+ Ta có
H d d'= ∩

 Cách 2.
+ Chuyển d về dạng tham số
0
0
x x at
d:
y y bt
= +


= +


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 6 of 17

+ Gọi
( )

00
H x at;y bt++
là hình chiếu vng góc của M lên d. Ta có
dd
MH u MH.u 0 t⊥⇔ =⇒
   

Bài tốn 2. Xác định điểm
A'
đối xứng với điểm
A
qua đường thẳng
d

 Phương pháp giải.
 Cách 1.
+ Viết phương trình đường thẳng
∆
qua
A
vng góc với
d

+ Gọi
Id=∆∩

+ Từ đó tìm tọa độ
A'

 Cách 2. Gọi

( )
00
A' x ;y
ta có:
d
AA' u
Trung điểm I của AA' nằm trên d

⊥




 
00
x ,y
⇒

Ví dụ 1. Cho đường thẳng
d:3x 4y 12 0+ −=
và điểm
( )
M 7;4
. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc
H
của
M
lên d. Từ
đó suy ra tọa độ
1

M
là điểm đối xứng của
M
qua d.
Giải.
 Cách 1.
+ Gọi
∆
là đường thẳng qua
M
và vng góc với
d
. Vì
d :4x 3y m 0∆⊥ ⇒∆ − + =

Vì
M 4.7 3.4 m 0 m 16∈∆⇒ − + = ⇔ =−
. Do đó
:4x 3y 16 0∆ −−=

+ Ta có
Hd=∆∩
, suy ra tọa độ của
H
là nghiệm của hệ:
( )
3x 4y 12 0 x 4
H 4;0
4x 3y 16 0 y 0
+ −= =


⇔⇒

−−= =


+ Vì
H
là trung điểmcủa
1
MM
nên ta có
( )
1
M 1; 4−

 Cách 2.
+ Chuyển d về tham số ta có
( )
x 4 4t
d: H 4 4t;3t
y 3t
= −

⇒−

=


+ Ta có

( ) ( )
dd
MH u MH.u 0 4 4t 3 3 3t 4 0 t 0⊥ ⇔ = ⇔− − − + − = ⇔ =
   
. Do đó
( )
H 4;0

+ Vì
H
là trung điểmcủa
1
MM
nên ta có
( )
1
M 1; 4−

Ví dụ 2. Cho điểm
( )
M 3; 1
−
và
x 4t
d:
y 3 3t
=


= +


. Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d.
Giải.
+ Chuyển d về dạng tổng qt ta có:
d:3x 4y 12 0−+=

+ Gọi
( )
00
M' x ;y
là điểm đối xứng của M qua d.
d
MM' u
Trung điểm I của MM' nằm trên d

⊥




 
( )
( )
00
00 0
00
00 0
4x 3 3y 1 0
4x 3y 9 x 3
x3 y1

3x 4y 37 y 7
3. 4. 12 0
22
 −+ +=
+= =−


⇔ ⇔⇔
 
+−
−=− =
− +=




Vậy
( )
M ' 3;7−

 Có thể giải bằng cách tìm tọa độ hình chiếu vng góc của
M
lên d trước sau đó suy ra tọa độ điểm đối xứng (Như
Cách 2 ở Ví dụ 1)
II. MỘT SỐ BÀI TỐN
Bài 1. Cho tam giác
ABC
biết
( ) ( ) ( )
A 1; 3 , B 5;1 , C 3; 1−−

a) Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 7 of 17


b) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC
Bài 2. Cho tam giác ABC biết
( )
A 2; 1−
và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình
1
d :x 2y 1 0− +=
và
2
d :x y 3 0++=
. Lập phương trình cạnh
BC

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của M lên d, từ đó suy ra tọa độ điểm
1
M
đối xứng với M qua d, biết:
a)
( )
d:4x 5y 3 0 & M 6;4− += −

b)
( )

d : x 2y 2 0 & M 1; 4− +=

c)
( )
d:4x 14y 29 0 & M 1;2− −=

d)
( )
xt
d : & M 1; 6
y 1 2t
=


=−+


e)
( )
x 1 2t
d : & M 2;3
y1t
= −


= +


f)
(

)
x 6 2t
d : & M 1; 3
y 5t
= +

−

= −


Bài tập 2. Cho tam giác
ABC
. Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác, từ đó suy ra tọa độ điểm K đối xứng với H
qua BC, biết:
a)
( ) ( ) ( )
A 0; 3 , B 3; 0 , C 1; 1−−
b)
( ) ( ) ( )
A 1;3 , B 0;1 , C 4; 1−−

Bài tập 3. Cho tam giác ABC có
( )
A 0;3
và hai đường phân giác trong của góc B,C lần lượt có phương trình
1
d :x y 0
−=
và

2
d :2x y 6 0
+−=
. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài tập 4. Cho tam giác ABC biết
( ) ( )
A 3;5 , B 4; 3−
và đường phân giác trong của góc C có phương trình
d:x 2y 8 0+ −=
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 5. Một hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau có tọa độ
( )
5;1
và
( )
0;6
, một cạnh của hình chữ nhật có phương trình
x 2y 12 0+ −=
. Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Bài tập 6. Một hình thoi có một đỉnh có tọa độ
( )
0;1
, một cạnh có phương trình
x 7y 7 0+ −=
và một đường chéo có
phương trình
x 2y 7 0+ −=
. Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình thoi.

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ QUA MỘT ĐIỂM

Bài tốn 1. Xác định phương trình đường thẳng
d'
đối xứng với đường thẳng
d
qua đường thẳng
∆

 Phương pháp giải.
 Khả năng 1. Nếu
dI∩∆=
. Ta thực hiện các bước:
+ Xác định tọa độ I
+ Lấy
Ad∈
xác định tọa độ điểm
A'
đối xứng với A qua
∆

+ Đường thẳng
d'
đi qua I và
A'


 Khả năng 2. Nếu
d//∆

+ Viết lại phương trình d dưới dạng TQ:
d :ax by c 0+ +=

+ Vì
d'//d// d':ax by m 0∆⇒ + + =

+ Lấy điểm
A d,I∈ ∈∆
. Gọi
A'
đối xứng với A qua I
A'⇒

+ Vì
A' d' m d'∈⇒⇒


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 8 of 17


Ví dụ 1. Xác định đường thẳng
1
d
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆
, biết:
a)
d:4x y 3 0−+=
và
:x y 0
∆ −=

b)
d:6x 3y 4 0− +=
và
:4x 2y 3 0∆ − +=

Giải.
a) Ta có:
+ Gọi
( )
H d H 1; 1= ∩∆⇒ − −
.
+ Lấy
( )
A 0;3 d∈
. Gọi
A'
là điểm đối xứng của
A
qua
( )
A ' 3;0∆⇒

+ Khi đó
1
d
là đường thẳng qua
H
và
1

A' d :x 4y 3 0⇒ − −=

b) Ta có:
+ Vì
1
d / / d :2x y m 0∆⇒ − + =

+ Lấy
4
A 0; d
3

∈


và
3
I 0;
2

∈∆


. Gọi
A'
là điểm đối xứng của A qua I. Ta có
5
A' 0;
3





+ Vì
1
55
A' d 2.0 m 0 m
33
∈ ⇒ −+ =⇔ =
. Vậy
1
5
d :2x y 0
3
−+=

Bài tốn 2. Xác định phương trình đường thẳng
1
d
đối xứng với đường thẳng
d :ax by c 0+ +=
qua điểm
( )
00
I x ;y

 Phương pháp giải.
 Cách 1.
+ Gọi
( )

M x;y d∈
. Gọi
( )
1 11
M x ;y
là điểm đối xứng của M qua I. Ta có:
1 0 01
1 0 01
x x 2x x 2x x
y y 2y y 2y y
+= = −

⇔

+= = −


+ Thay vào phương trình của d ta suy ra được phương trình
1
d

 Cách 2.
+ Vì
11
d / /d d :ax by m 0⇒ + +=

+ Lấy điểm
Ad∈
. Gọi
A'

là điểm đối xứng của A qua I
⇒
Tọa độ
A'

+ Vì
1
A' d m
∈⇒⇒
phương trình
1
d

Ví dụ 2. Xác định phương trình đường thẳng
1
d
đối xứng với đường thẳng
d:x 2y 2 0− +=
qua điểm
( )
I 1;1

Giải.
 Cách 1. Với
( )
M x;y d
∈
, gọi
( )
1 11

M x ;y
là điểm đối xứng với M qua I. Ta có:
11
11
xx 2 x2x
yy 2 y2y
+= =−

⇔

+= =−


Thay vào phương trình d ta có:
( ) ( )
1 1 11
2 x 2 2 y 2 0 x 2y 0− − − +=⇔ − =

Vậy
1
d :x 2y 0−=


Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 9 of 17


 Cách 2.
+ Vì
1

d / /d d: x 2y m 0⇒ − +=

+ Lấy
( )
A 0;1 d
∈
. Gọi
A'
là điểm đối xứng với A qua I
( )
A' 2;1
⇒

+ Vì
1
A' d m 0∈⇒=
. Vậy
1
d :x 2y 0−=

II. MỘT SỐ BÀI TỐN
Bài 1. Cho
ABC∆
biết phương trình cạnh
BC:4x y 3 0−+=
và hai đường phân giác trong góc
B,C
có phương trình
1
d :x 2y 1 0− +=

và
2
d :x y 3 0++=
. Lập phương trình cạnh
AB, AC

Bài 2. Cho hình bình hành
ABCD
biết phương trình
AB:2x y 0−=
,
AD:4x 3y 0−=
và tâm
( )
I 2;2
. Lập phương trình
BC,CD

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1. Xác định đường thẳng
1
d
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
∆
, biết:
a)
d:x 2y 13 0+ −=
và
:2x y 1 0∆ − −=

b)
d:x 3y 3 0− +=
và
:2x 6y 3 0∆ − +=

c)
d:x3y60− +=
và
:2x y 3 0∆ −−=

Bài tập 2. Xác định phương trình đường thẳng
1
d
đối xứng với đường thẳng
d
qua điểm
I
, biết:
a)
d:2x y 4 0−+=
và
( )
I 2;1−

b)
d:x 2y 5 0− −=
và
( )
I 2;1

Bài tập 4. Cho
ABC∆
biết phương trình cạnh
BC :9x 11y 5 0+ +=
và hai đường phân giác trong góc
B,C
có phương
trình
1
d : 2x 3y 12 0
−+=
và
2
d : 2x 3y 0+=
. Lập phương trình cạnh
AB, AC

Bài tập 5. Cho hình bình hành
ABCD
biết phương trình
AB:x 2y 7 0+ −=
,
AD:x y 2 0−+=
và tâm
( )
I 1;1
. Lập
phương trình
BC,CD

Bài tập 6. Cho tam giác
ABC
có
( )
C 4; 1−
, đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ
A
lần lượt có phương
trình
1
d :2x 3y 12 0
−+=
và
2
d :2x 3y 0+=
. Xác định tọa độ đỉnh
A,B

CHỦ ĐỀ 5. GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài tốn 1. Cho 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
cắt nhau. Hãy xác định góc tạo bởi
1
d
và
2

d

 Cách 1. Lấy
( )
1
11
u a ;b=

,
( )
2
22
u a ;b=

lần lượt là VTCP của
12
d ,d
. Gọi
α
là góc giữa
12
d ,d
. Ta có:
12 12 12
2222
12
1122
n .n a .a b .b
cos
n .n

ab.ab
+
α= =
++

 Cách 2. Gọi
12
k ;k
lần lượt là hệ số góc của
12
d ,d
.
α
là góc giữa
12
d ,d
. Ta có:
12
12
kk
tan
1 k .k
−
α=
+

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 10 of 17

Nếu
1 2 12
d d k .k 1⊥⇔ =−

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
trong các trường hợp sau:
a)
1
x 2t
d:
y4t
=


= +

và
2
x 2u
d:
y 2u
=


=



b)
1
x 2t
d:
y4t
=


= +

và
2
d :x y 7 0+−=

c)
1
d :x 2y 1 0+ +=
và
2
d :x 4y 3 0+ +=

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
M 1;1
và tạo với đường thẳng
d:x y 2 0−−=
một góc
0

45

Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
( )
M 5;1
và tạo với đường thẳng
d:y 2x 4=−+
một góc
0
45

Bài tốn 2. Cho điểm
( )
00
M x ;y
và đường thẳng
: ax by c 0∆ + +=
. Hãy xác định khoảng cách từ
M
tới
∆

 Phương pháp giải. Ta sử dụng cơng thức sau:
( )
00
22
ax by c
d M,
ab
++

∆=
+

Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
d
biết:
a)
( )
M 1;1
và
d:x y 2 0−−=

b)
( )
M 2;1
và
x1 y1
d:
11
−+
=
−

c)
( )
M 1; 5
và
x 2t

d:
y4t
=


= +


Bài tốn 3. Cho hai đường thẳng
11 1 1
d :a x b y c 0+ +=
và
22 2 2
d :a x b y c 0+ +=
. Hãy xác định phương trình hai
đường phân giác của các góc tạo bởi
1
d
và
2
d

 Phương pháp giải.
Phương trình hai đường phân giác có dạng:
1 11 2 2 2
22 22
11 22
axbyc axbyc
ab ab
++ ++

= ±
++

Ví dụ 5. Viết phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng
1
d
và
2
d
biết:
a)
1
d :2x 4y 7 0+ +=
và
2
d :x 2y 3 0− −=

b)
1
xt
d:
y4t
=


= +

và
2
d :x y 7 0+−=

c)
1
x 3t
d:
y4t
=


= +

và
2
xu
d:
y 3u
=


=




Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 11 of 17


II. MỘT SỐ BÀI TỐN
Bài 1. Xác định giá trị

a
để góc tạo bởi 2 đường thẳng
x 2 at
d:
y 1 2t
= +


= −

và
3x 4y 12 0++=
bằng
0
45

Bài 2. Tìm giá trị
m
để khoảng cách từ
( )
A 1;1
đến đường thẳng
( )
: mx 2m 1 y 3 0∆ + − −=
bằng
2

Bài 3. Lập phương trình đường thẳng qua
( )
P 10;2

và cách đều hai điểm
( )
A 3;0
và
( )
B 5;4−

Bài 4. Cho hai điểm
( )
A 1;1
và
( )
B 3;6
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
và cách B một khoảng bằng 2.
Bài 5. Cho tam giác
ABC
có
( ) ( ) ( )
A 2;6 ,B 3; 4 ,C 5;0−−
. Lập phương trình đường phân giác trong của tam giác
ABC

xuất phát từ A,B.
Giải. Ta có
( )
( )
AB 5; 1 AB 5 5 ; AC 3; 6 AC 3 5=−−⇒ = = − ⇒ =
 

Gọi
d
là đường phân giác trong xuất phát từ A.
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5x 2 10y 6 3x 2 6y 6
M x;y d cos AB,AM cos AC,AM
55 35
x20
− −− − −− −
∀ ∈⇔ = ⇔ =
⇔−=
   

Vậy ta có
d:x 2 0−=

Bài 6. Các cạnh của tam giác được cho bởi phương trình:
AB: x y 4 , AC: x 3y 8 0 , BC:3x y 0+= − −= −=

a) Tính các góc của tam giác
b) Tính chu vi tam giác
c) Tính diện tích của tam giác
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1. Tính góc giữa hai đường thẳng
1
d
và

2
d
trong các trường hợp sau:
a)
1
x 2t
d:
y 1 3t
=


= +

và
2
x 1 2u
d:
y2u
= −


= −


b)
1
xt
d:
y1t
=



= +

và
2
d :x 2y 7 0+ −=

c)
1
d :4x 3y 1 0+ +=
và
2
d :3x 4y 3 0+ +=

Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng
∆
trong các trường hợp sau:
a) Qua điểm
( )
M 1; 2
và tạo một góc
0
45
với đường thẳng
xt
d:
y1t
=



= +


b) Qua điểm
( )
M 2;1
và tạo một góc
0
45
với đường thẳng
x3 y2
d:
11
++
=

c) Qua điểm
( )
M 2;3
và tạo một góc
0
45
với đường thẳng
d:x y 0−=

d) Qua điểm
( )
M 5;1
và tạo một góc

0
45
với đường thẳng
d:y 2x 1= +

e) Qua điểm
( )
M 2;5
và các điểm
( )
N 4;1
một đoạn bằng 2
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 12 of 17


f) Qua điểm
( )
A 2;3−
và cách đều hai điểm
(
)
B 5; 1
−
và
(
)
C 3;7

Bài tập 3. Tính khoảng cách từ điểm

M
tới đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a)
( )
M 1; 3
và
d:3x 4y 2 0− −=

b)
( )
M 2;4
và
xt
d:
y1t
=


= +


Bài tập 4. Viết phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng
1
d
và
2
d
biết:
a)
1

d :3x 4y 1 0+ +=
và
2
d :4x 3y 3 0+ +=

b)
1
xt
d:
y1t
=


= +

và
2
d :2x y 1 0
+ −=

c)
1
x1t
d:
y1t
= −


= +


và
2
xu
d:
y 1 2u
=


= +


Bài tập 5. Các cạnh tam giác cho bởi
AB: x y 2 0,AC :3x y 5 0,BC : x 4y 1 0−−= −+= − −=

a) Tính chu vi tam giác
b) Tính diện tích tam giác
Bài tập 6. Cho tam giác
ABC
có diện tích bằng
3
2
và
( )
A 2; 3−
,
( )
B 3; 2−
và trọng tâm
G d:3x y 8 0∈ −−=
. Tìm tọa

độ điểm
G,C

Bài tập 7. Cho hai điểm
( )
A 1; 3
và
( )
B 3;1
. Lập phương trình đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới đường
thẳng đó bằng 1.
Bài tập 8. Cho
( )
P 1;1
và hai đường thẳng
1
d :x y 0+=
và
2
d :x y 1 0− +=
. Gọi d là đường thẳng qua P cắt
12
d ,d
lần
lượt tại A,B. Viết phương trình của d biết
2PA PB=


CHỦ ĐỀ 6. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1. Viết phương trình đường phân giác trong của tam giác

Cho hai điểm
(
) ( )
MM NN
M x ;y ,N x ;y
và đường thẳng
d :ax by c 0+ +=
. Ta có:
 Nếu
( )( )
MM NN
ax by c ax by c 0+ + + +>
thì
M,N
nằm cùng phía so với d
 Nếu
( )( )
MM NN
ax by c ax by c 0+ + + +<
thì
M,N
nằm khác phía so với d
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho
ABC∆
có
( ) ( )
7
A ;3 ,B 1;2 ,C 4;3
4


−


. Viết phương trình đường phân giác trong và ngồi
của góc
A
của tam giác.
Giải. Ta có:
+ Phương trình cạnh
AB: 4x 3y 2 0− +=

+ Phương trình cạnh
AC: y 3 0−=

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 13 of 17


+ Các đường phân giác trong và ngồi của trong và ngồi của góc A có phương trình:
1
1
2
2
4x 3y 2 y 3
d: 0
d : 4x 2y 13 0
51
4x 3y 2 y 3 d :4x 8y 17 0
d: 0
51

−+ −

+=

+ −=

⇔


−+ − −+=


−=



+ Ta xét vị trí tương đối của B, C với
1
d
. Ta có:
( ) ( )
( )
4.1 2.2 13 4. 4 8.3 17 0+ − −− + >

Do đó B, C nằm cùng phía so với
1
d
nên ta có:
 Phương trình đường phân giác trong góc A là:
2

d :4x 8y 17 0−+=

 Phương trình đường phân giác ngồi góc A là:
1
d : 4x 2y 13 0+ −=

Bài tập 1. Viết phương trình đường phân giác trong và ngồi xuất phát từ đỉnh
A
của tam giác
ABC
, biết
( )
A 1;1
,
( )
B 10;13
và
( )
C 13;6

Bài tập 2. Biết các cạnh của tam giác
ABC
có phương trình:
AB:x y 4 0−+=
,
BC:3x5y40+ +=
và
AC:7x y 12 0+− =
. Viết phương trình đường phân giác trong của góc
A

Dạng 2. Xác định tọa độ điểm
Bài tập 1. Cho
ABC∆
có
( )
M 1;1−
là trung điểm một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình là
xy20++=
;
2x 6y 3 0+ +=
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài tập 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
( ) ( )
A 1; 3 , B 1;1−
và
d:y 2x=

a) Tìm
Cd∈
sao cho
ABC∆
đều
b) Tìm
Dd∈
sao cho
ABD∆
cân tại D
Bài tập 3. Diện tích
ABC∆

là
3
S
2
=
, hai đỉnh
( ) ( )
A2;3,B3;2−−
và trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng
d:3x y 8 0−−=
. Tìm tọa độ điểm
C

Bài tập 4. Tìm điểm M trên đường thẳng
d:x y 2 0−+=
, cách đều hai điểm
( )
E 0;4
và
( )
F 4; 9−

Bài tập 5. Cho đường thẳng
x 2 2t
d:
y 1 2t
=−−


= +


mà điểm
( )
M 3;1

a) Tìm
Ad∈
sao cho
A
cách
M
một khoảng bằng
13

b) Tìm
Bd∈
sao cho
MB
ngắn nhất
Bài tập 6. Cho tam giác
ABC
có diện tích bằng
3
2
và hai điểm
A,B
có tọa độ là
A(2; 3),B(3; 2)−−
. Trọng tâm
G

của
tam giác nằm trên đường thẳng
3x y 8 0−−=
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Bài tập 7. Cho
ABC∆
có
A(2;1)
, đường cao xuất phát từ
B
có phương trình
x 3y 7 0− −=
và đường trung tuyến qua
đỉnh
C
có phương trình
x y10+ +=
. Xác định tọa độ đỉnh
B,C
.
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 14 of 17


Bài tập 8. Cho
ABC
∆
biết

AC: x 3y 3 0+ −=
, đường cao
AH : x y 1 0+ −=
, đỉnh
C Ox,B Oy∈∈
. Tìm tọa độ các đỉnh
của
ABC
∆
.
Bài tập 9. Cho
ABC∆
có đỉnh
A
nằm trên
d:x 4y 2 0− −=
. Cạnh
BC
song song với
d
, phương trình đường cao
BH : x y 3 0++=
và trung điểm của
AB
là
M(1;1)
. Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC∆
.
Bài tập 10. Cho

ABC∆
cân tại
A
, trọng tâm
41
G;
33



. Phương trình cạnh
BC:x 2y 4 0− −=
, phương trình
BG : 7x 4y 8 0− −=
. Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC∆
.
Bài tập 11. Cho
1
d :x y 5 0++=
và
2
d :x 2y 7 0+ −=
và điểm
A(2;3)
. Tìm
12
B d ,C d∈∈
sao cho
ABC∆

có trọng tâm
G(2;0)
.
Dạng 3. Bài tốn cực trị
Bài tập 1. Tìm trên đường thẳng
d:x 2y 3 0+ −=
điểm
( )
MM
M x ;y
sao cho
22
MM
xy+
nhỏ nhất.
Bài tập 2. Tìm trên đường thẳng
d:3x 2y 1 0− −=
điểm
( )
MM
M x ;y
sao cho
22
MM
xy+
nhỏ nhất.
Bài tập 3. Tìm trên trục hồnh điểm
P
sao cho tổng khoảng cách từ
P

tới các điểm
A,B
là nhỏ nhất trong các trường
hợp sau:
a)
( )
A 1;1
và
( )
B 2; 4−

b)
( )
A 1;1
và
( )
B 3;3

Bài tập 4. Cho
d:x 2y 2 0+ +=
và hai điểm
A(0;6),B(2;5)
. Tìm
Md∈
sao cho
MA MB
+
nhỏ nhất.
Bài tập 5. Trong mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm
( ) ( ) ( )

A 1;1 , B 3;3 , C 2;0

a) Tính diện tích tam giác
b) Hãy tìm tất cả điểm
M
trên trục hồnh sao cho

AMB
nhỏ nhất
Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm
( )
M 4;1
. Một đường thẳng d ln đi qua M cắt
Ox,Oy
theo thứ tự tại
(
) (
)
A a;0 ,B 0;b
với
a,b 0>
. Viết phương trình đường thẳng d sao cho:
a) Diện tích tam giác
OAB
nhỏ nhất
b)
OA OB+
nhỏ nhất
c)
22

11
OA OB
+
nhỏ nhất
Bài tập 7. Cho đường thẳng
d:x 2y 2 0− −=
và hai điểm
( )
A 1;2
và
( )
B 2;5
. Tìm trên d điểm
M
sao cho:
a)
MA MB+
nhỏ nhất
b)
MA MB+
 
nhỏ nhất
c)
MA MB−
nhỏ nhất
d)
MA MB−
lớn nhất
Bài tập 8. Cho đường thẳng
d:x 2y 2 0− +=

và hai điểm
( )
A 0;6
và
( )
B 2;5
. Tìm trên d điểm
M
sao cho:
a)
MA MB+
nhỏ nhất
b)
MA MB−
lớn nhất

PHẦN II. ĐƯỜNG TRỊN
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 15 of 17


CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Bài tốn 1. Xác định các yếu tố của đường tròn
Bài tập 1. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường tròn, xác định tâm và bán kính
của nó:
a)
22
x y 2x 2y 2 0+ − − −=
b)
22

x y 2x 4y 9 0+ − − +=

c)
22
x y 2x 2y 7 0− − − − +=
d)
22
2x y 2x 2y 2 0+ − − −=

e)
22
16x 16y 16x 8y 11+ + −=
f)
22
7x 7y 4x 6y 1 0+ − + −=

g)
22
x y 2x 1 0+ − −=
h)
22
2x 2y 4y 4 0+ + −=

Bài tập 2. Xác định tâm và bán kính các đường tròn sau:
a)
( ) ( )
22
x2 y3 9− ++ =
b)
( ) ( )

22
x5 y7 6+ ++ =

c)
( )
2
2
x4 y 8− +=
d)
22
x y 60+ −=

Bài tập 3. Cho họ đường tròn
( )
m
C
có phương trình:
( )
22
x y 2mx 4 m 2 y 6 m 0+ − − − +− =

a) Tìm
m
để
( )
m
C
là đường tròn.
b) Tìm tập hợp tâm của đường tròn
( )

m
C
khi
m
thay đổi.
Bài tập 4. Cho
( ) ( )
22
m
C :x y 2 m 2 x 4my 19m 6 0+ − + + − −=
. Tìm quỹ tích tâm
( )
m
C
khi
( )
m
C
là một đường tròn.
Bài tốn 2. Lập phương trình của đường tròn
Bài tập 1. Lập phương trình đường tròn
( )
C
trong các trường hợp sau:
a) Có tâm
(
)
I 2;3
và bán kính
R4=

b) Có tâm
( )
I 3;5
và đi qua
(
)
A 2; 5−

c) Có tâm
( )
I 4;5−
và tiếp xúc với đường thẳng
:5x 12y 10 0∆ − −=

d) Có tâm thuộc đường thẳng
xy20−−=
và qua hai điểm
( )
A 1; 3−
và
( )
B 4;2

Bài tập 2. Lập phương trình đường tròn
( )
C
trong các trường hợp sau:
a)
( )

C
tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm
( )
A 4;8−

b)
( )
C
qua ba điểm
(
) ( ) ( )
A 1;3 ,B 4;2 ,C 3;5

Bài tập 3. Lập phương trình đường tròn
( )
C
trong các trường hợp sau:
a)
( )
C
có tâm
(
)
I 1; 2−
và tiếp xúc với đường thẳng
d:x 2y 7 0− +=

b)
( )
C

có đường kính
AB
với
( ) ( )
A 1;1 , B 7;5

c)
( )
C
đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
A 2;4 ,B 5;5 ,C 6; 2−−

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 16 of 17


Bài tập 4. Lập phương trình của đường tròn
(
)
C
tiếp xúc với các trục tọa độ và thỏa mãn các yếu tố sau:
a) Đi qua điểm
(
)
M 4;2

b) Có tâm nằm trên đường thẳng
d:4x 2y 8 0− −=

Bài tập 5. Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
:4x 3y 2 0∆ + −=
và tiếp xúc với hai đường thẳng
d:x y 4 0++=
và
d':7x y 4 0−+=

Bài tập 6. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
A,B,C
trong các trường hợp sau:
a)
( ) ( ) ( )
A4;5,B3;2,C1;4−−

b)
( ) ( ) ( )
A 1;3 ,B 5;6 , C 7;0

Bài tập 7. Cho
( )
A 4;0
và
( )
B 0;3
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
OAB

Bài tập 8. Cho đường tròn
( )
22

C :x y 4x 3 0+ − +=
. Lập phương trình đường tròn
( )
C'
đối xứng với
( )
C
qua đường
thẳng
d:4x 3y 0−=

CHỦ ĐỀ 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN
Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng
d
và đường tròn
( )
C
và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) trong các trường
hợp sau:
a)
d:x y 4 0+−=
và
( )
22
C :x y 2x 2y 1 0+ + + +=

b)
d:3x 4y 12 0+ −=
và
( )

22
C :x y 2x 2y 1 0+ − − +=

c)
d:2x y 5 0−−=
và
( )
22
C : x y 20x 50 0+− +=

Bài tập 2. Biện luận theo m sự tương giao giữa đường thẳng
d
và đường tròn
( )
C
trong các trường hợp sau:
a)
: mx y 2 0∆ −+=
và
( )
22
C :x y 2x 4y 4 0+ + − +=

b)
:3x y m 0∆ −+ =
và
( )
22
C :x y 4x 6y 3 0
+ − + +=

Bài tập 3. Tìm giao điểm của đường tròn và đường thẳng trong các trường hợp sau:
a)
d:3x 4y 3 0+ −=
và
( )
22
C :x y x 7y 0+ −− =

b)
x 1 2t
d:
y 2t
= +


=−+

và
( ) ( ) ( )
22
C : x 1 y 2 16− +− =


CHỦ ĐỀ 2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN
Bài tập 1. Cho đường tròn
( ) ( ) (
)
22
C : x 2 y 1 25− +− =

a) Xác định tâm và bán kính của
( )
C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
M 5; 3−

c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
d:5x 12y 2 0− +=

d) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vng góc với
:3x 4y 7 0∆ + −=

e) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến đi qua
( )
A 3;6

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh
Page 17 of 17


Bài tập 2. Cho đường tròn
( )
22
C :x y 4x 8y 5 0+ − + −=

a) Xác định tâm và bán kính của
( )
C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
A 1; 0−

c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vng góc với
:x 2y 0∆+ =

d) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C

biết tiếp tuyến đi qua
( )
B 3; 11−

Bài tập 3. Viết phương trình tiếp tuyến với
( )
22
C :x y 4x 2y 0+−−=
tại giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
d:x y 0+=

Bài tập 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
( )
22
1
C :x y 2x 3 0+ − −=
và
( )
22
2
C:x y 8x8y280+−−+=