Giải tích phức - Nguyễn Trường Thanh pot

Giải tích phức
Nguyễn Trờng Thanh
Bộ môn Toán, Trờng Đại Học Mỏ và Địa Chất
Đông Ngạc, Từ Liêm, Hà Nội
04/03/2009
Mục lục
1 Số Phức và Hàm Số Phức 4
1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Dạng lợng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Khái niệm về hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Bài tập chơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Đạo hàm và Vi Phân 12
2.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Vài ví dụ về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Khái niệm hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Vi phân hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Tích phân đờng 16
3.1 Tích phân đờng hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
2
3.1.3 Các tính chất tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân và định lí CôSi . 18

3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Công thức tính tích phân CôSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Chuỗi số và chuỗi hàm 23
4.1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.3 Sự hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Chuỗi Taylo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Chuỗi Lô răng (Laurent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Điểm bất thờng cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Lý thuyết thặng d 30
5.1 Khái niệm thặng d và Các định lí cơ bản của thặng d . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.1 Định nghĩa thặng d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.2 Định lí cơ bản của thặng d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Cách tính thặng d ứng với các cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.1 Thặng d của cực điểm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.2 Thặng d với cực điểm cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Thặng d loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.1 Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.2 Thặng d loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4.1 Tích phân hàm phức theo đờng cong kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
5.4.2 Tính tích phân xác định hàm số thực
b

a
f(x)dx : . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4.3 Tính tích phân suy rộng
+


f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4.4 Tính các tích phân suy rộng
+


f(x) cos(mx)dx và
+


f(x) sin(mx)dx . 36
6 Lý thuyết toán tử 38
6.1 Khái niệm về phép tính toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Định lí đồng dạng của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Tính chất tuyến tính của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.6 Tính chất rời chỗ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.8 Tính chất chậm trễ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.9 Định lí vi phân và tích phân hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.10 Định lí vi phân và tích phân hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11 Các công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.11.2 Định lí về ảnh của tích xếp: (Công thức nhân ảnh) . . . . . . . . . . . . . 45
6.11.3 Công thức Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12 Toán tử Laplace ngợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12.1 Định nghĩa và Các định lí tìm hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12.2 Trờng hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.13 Toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.13.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.13.2 Tính chất của toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chơng 1
Số Phức và Hàm Số Phức
1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức
1.1.1 Định nghĩa
Đơn vị ảo là một số mà bình phơng bằng 1 kí hiệu bởi i. Nói cách khác i
2
= 1.
Một biểu thức z = x + iy, x, y R, đợc gọi là một số phức. Ngoài ra, x gọi là phần thực
của z, kí hiệu bởi Re(z), y gọi là phần ảo của z, kí hiệu bởi Imz. Nếu x = 0 thì z = iy gọi
là thuần tuý ảo. Tơng tự, nếu y = 0 thì z = x đợc gọi là thuần tuý thực. Tâp hợp các số
phức đợc kí hiệu bởi C := {z = x + iy : x, y R}.
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức
Một số phức z = x + iy tơng ứng 1 1 với điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đề Các, do đó
toàn bộ mặt phẳng goi là Mặt phẳng phức.
Những điểm nằm trên trục hoành có toạ độ (x, 0) ứng với số phứ z = x + i0 = x là số thực
thuần tuý, do đó trục hoành đợc gọi là trục thực. Tơng tự, trục tung gọi là trục ảo.
4
5
Hình 1.1: Mặt phẳng phức
1.1.3 Dạng lợng giác của số phức
Mỗi điểm M(x, y) đợc xác định bởi véc tơ

OM có mô đun bằng r và tạo với trục

0x một
góc bằng . Do đó, điểm Mcó thể xác định theo cặp số (r.). Hơn thế,
z = x + iy = r cos() + ir sin()
gọi là dạng lợng giác của số phức z.
Chúng ta qiu ớc |z| := r =

x
2
+ y
2
, Ar g(z) := , z := x iy tơng ứng đợc gọi là
Mô đun, Argumen và số phức liên hợp của số phức z.
1.1.4 Các phép toán đối với số phức
1. Bằng nhau: Hai số phức z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
đợc gọi là bằng nhau nếu x
1
=

x
2
, y
1
= y
2
.
2. Số phức liên hợp: z = x iy = r(cos() i sin()) = r(cos() + i sin()).
3. Phép cộng- Phép trừ:

z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
),
z
1
z
2
= (x
1
x

2
) + i(y
1
y
2
).
Tính chất:
6
Hình 1.2: Dạng lơng giác của số phức
(a) z + z = 2Re(z), z z = 2Imz.
(b) |z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|.
(c) |z
1
z
2
| |z
1
| |z
2
|.
4. Phép nhân hai số phức:
z

1
.z
2
= (x
1
x
2
y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
) = r
1
r
2
(cos(
1
+
2
) + si n(
1
+

2
))
Do đó:
|z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
|, arg(z
1
z
2
) = arg(z
1
) + ar g(z
2
).
Tính chất:
(a) |z
1
||z
2
| = |z
2
||z
1
|, (Giao hoán).

(b) z
1
(z
2
+ z
3
) = z
1
z
2
+ z
1
z
3
, (Phân phối đối với phép cộng).
(c) z
1
(z
2
z
3
) = (z
1
z
2
)z
3
, (Kết hợp).
(d) zz = |z|
2

= (x
2
+ y
2
).
5. Phép chia hai số phức:
(a) Phép nghịch đảo:
1
z
=
1
r
(cos() + i sin()) =
x
x
2
+ y
2
i
y
x
2
+ y
2
.
7
(b) Phép chia hai số phức:
z
1
z

2
=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
i
x
1
y
2
x
2
y
1
x
2
2
+ y
2

2
=
r
1
r
2
(cos(
1

2
) + i si n(
1

2
)).
Tính chất:
i. |
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
ii. Arg(

z
1
z
2
) = Arg(z
1
) Arg(z
2
).
6. Phép nhân lên luỹ thừa:
z
n
= (x + iy)
n
=
n

k=0
C
k
n
x
k
(iy)
nk
= r
n
[cos(n) + i sin(n)].
7. Phép khai căn:
Định nghĩa:

n

z là số phức saôch
n
= z.
=
n

r( cos
+2k
n
+ sin
+2k
n
), k = 0, n 1.
1.2 Hàm số phức
1.2.1 Khái niệm về hàm phức
1. Định nghĩa:
= f(z), z : là đối số, : hàm số, f : quy luật.
Miền xác định của hàm f:={: sao cho theo quy luật f có thể xác định giá trị tơng
ứng của }:=D
f
.
Miền xác định của f:={ Mọi giá trị của khi đối số z chạy khắp miền xác định } :=R
f
.
2. Sự tách phần thực và phần ảo trong quan hệ hàm: Cho hàm số = f(z), z = x + iy. Khi
đó ta có thể biểu diễn, := u(x, y) + iv(x, y), trong đó u, v là các hàm số thực hai biến.
3. Tính chất hình học của quan hệ hàm: = f(z) là một phép biến hình trên mặt phẳng phức.
8

Hình 1.3: Phép biến hình
Ví dụ 1.1. Cho = z
2
. Tìm ảnh của miền tròn đơn vị.
Miền D := {z = x + iy : x
2
+ y
2
1}. Phơng trình biên miền D là {(x, y) : x
2
+ y
2
= 1}.
Xét quan hệ = z
2
= (x
2
y
2
) + i2xy. Ta thấy (x
2
y
2
)
2
+ (2xy)
2
= 1, 2xy có miền giá
trị là đoạn thẳng [1, 1] khi (x, y) chạy trên biên miền D, do đó quan hệ = z
2

biến hình
tròn đơn vị thành chính nó.
Ví dụ 1.2. Tìm nghịch ảnh của đờng tròn (u
1
2
)
2
+ (v +
1
2
)
2
= (
1
2
)
2
qua phép biến hình
=
1
z
.
Trên mặt phẳng phức u, v, đòng tròn C : (u
1
2
)
2
+ (v +
1
2

)
2
= (
1
2
)
2
, có tâm I(
1
2
;
1
2
), bán
kính
1
2
. Ta thấy,
=
1
z
=
x
x
2
+ y
2
i
y
x

2
+ y
2
, u =
x
x
2
+ y
2
, v =
y
x
2
+ y
2
,
trong đó (u, v) C. Từ đây, (x 2)
2
+ (y 2)
2
= 4 (nghịch ảnh của C).
1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản
1. Hàm lũy thừa: Có dạng
= z
n
= (x + iy)
n
=
n

k=1
C
k
n
x
k
(iy)
nk
= [r(cos + i sin )]
n
= r
n
[cos(n) + i sin(n)].
9
2. Hàm mũ: Có dạng = e
z
với định nghĩa nh sau: nếu z = x + iy thì
= e
x
.e
iy
= e
x
(cos y + i sin y).
e
z
1
e
z
2

= e
z
1
+z
2
.

e
z
1
e
z
2
= e
z
1
z
2
.
(e
z
)
n
= e
nz
.
e
z+2i
= e
z

.
3. Các hàm lợng giác: Ta kí hiệu
sin z :=
e
iz
e
iz
2i
; cos z :=
e
iz
+ e
iz
2
;
tgz :=
sin z
cos z
=
1
i
e
2zi
1
e
2zi
+ 1
; cotgz :=
cos z
sin z

= i
e
2zi
+ 1
e
2zi
1
.
4. Hàm Logarit:
Định nghĩa: Logarit của số phức z là số sao cho e

= z và đựoc kí hiệu ln z := .
Nếu z = r(cos + i sin ) = e
i
thì = ln z = r + i = ln| z|+ iAr g(z). (Chú ý: ln z
là hàm đa trị.)
Tính chất:
ln(z
1
.z
2
) = ln(z
1
) + ln(z
2
); ln(
z
1
z
2

) = ln(z
1
) ln(z
2
); ln(z
z
2
1
) = z
2
ln z
1
;
z
z
= e
zl nz
5. Các hàm số lợng giác ngợc:
Hàm = arc sinz : Gọi arcsinz là số phức sao cho sin = z. Khi đó,
= arcsinz =
1
i
ln(iz +

1 z
2
).
Hàm = arc cosz : Gọi arccosz là số phức sao cho cos = z. Khi đó,
= arccosz =
1

i
ln(z +

1 z
2
).
10
Hàm = arc tgz : Gọi arctgz là số phức sao cho tg = z. Khi đó,
= arctgz =
1
2i
ln(
1 + i z
1 iz
).
Hàm = arc cotgz : Gọi arccotgz là số phức sao cho cotg = z. Khi đó,
= arccotgz =
1
2i
ln(
z + i
z i
).
1.2.3 Bài tập chơng 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
11
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Chơng 2
Đạo hàm và Vi Phân
2.1 Định nghĩa đạo hàm
Xét hàm số f ( z) xác định trong miền D và một điểm z
0
= x
0
+ iy
0

D. Cho z
0
= x
0
+ iy
0
một số gia z = x + y, tơng ứng có số gia của hàm số f :
f = f(z
0
+ z) f(z
0
) = f((x
0
+ x) + i(y
0
+ y)) f(x
0
+ iy
0
).
Nếu tỉ số
f
z
tồn tại giới hạn khi z 0 thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm của f(z) tại điểm
z
0
. Kí hiệu f

(z
0

) =
df
dz
|
z=z
0
= lim
z0
f
z
.
Chú ý:
1. Giá trị lim
z0
f
z
luôn là duy nhất theo mọi cách tiến đến 0 của z.
2. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và z = x + y. Khi đó
f

(z
0
) = lim
z0
f
z
= lim
x 0
y 0
u + iv

x + y
.
12
13
2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm
1. Điều kiện cần: Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tồn tại đạo hàm tại điểm z = x + iy thì
tại điểm đó phải tồn tại các đạo hàm riêng của u, v và

u
x
=
v
y
,
u
y
=
v
x
,
(Điều kiện CôSi-Riman).
Chứng minh. Xét giới hạn
f
z
khi z + z tiến tới z theo chiều song song với trục thực và
trục ảo. Sau đó từ tính duy nhất của giới hạn đạo hàm ta có điều phải chứng minh.
2. Điều kiện đủ: Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Nếu hai hàm thực hai biến u, v khả vi (?)
và chúng thỏa mãn điều kiện C R thì hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại z.
Chứng minh. (?).
2.3 Vài ví dụ về đạo hàm

Ví dụ 2.1. Cho f(z) = z
2
. Giả sử z = x + iy, ta có f ( z) = (x
2
y
2
) + 2xyi. Do đó u =
x
2
y
2
, v = 2xy. Hai hàm u, v đều khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện C R tại mọi cặp điểm
(x, y). Vậy f(z) = z
2
tồn tại đạo hàm tại mọi điểm z. Ngoài ra,
f

(z) =
u
x
+ i
v
x
= 2x + i2y = 2z.
Ví dụ 2.2. Cho f(z) = e
z
. Giả sử z = x + iy, khi đó
f(z) = e
x+iy
= e

x
(cos x + sin y), u = e
x
cos y, v = e
x
sin y.
Ta thấy u, v thoả mãn điều kiện C R, do đó hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại mọi điểm và
f

(z) =
u
x
+ i
v
x
= e
x
cos y + e
x
sin y = e
z
.
Ví dụ 2.3. Cho hàm f(z) = z.Imz.Rez. Ta thấy f(z) = x
2
y + xy
2
. Điều kiện C R thoả mãn
khi x = y = 0. Do đó, hàm f(z) chỉ có đạo hàm tại z = 0,
14
2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm

Cho hàm f ( z), giả sử tại z nào đó tồn tại f

(z) = 0. Đoạn MN nối từ điểm z tới điểm
z + z, đoạn M
1
N
1
nối từ điểm f(z)tới điểm f(z) + f. Các vec tơ

MN ,

M
1
N
1
tơng ứng
với số phức z, f. Ta thấy
lim
M N
|

M
1
N
1
|
|

MN|
= lim

0
|
f
z
| = |f

(z)|.
Vậy mô đun của đạo hàm đặc trng cho sự thay đổi kích thớc tuyến tính tại điểm z thông
qua hàm f(z).
Ví dụ 2.4. Cho f(z) = z
2
+ z + 3. Ta thấy f

(z) = 2z + 1, do đó |f

(1)| = 3. Vậy hàm f(z)
làm thay đổi kích thớc tuyến tính tại điểm z = 1 lên 3 lần.
Tơng tự,
lim
z0
[arg(f) arg(z)] = lim
z0
arg
f
z
= argf

(z)
2.5 Khái niệm hàm giải tích
Định nghĩa 1: Hàm f(z) giải tích trong một miền D nếu đơn trị và có đạo hàm liên tục trên

D.
Đôi khi ta nói hàm f(z) giải tích tại điểm z
0
, điều nay f có nghĩa là f(z) giải tích trong một
lân cận mở nào đó chứa điểm z
0
.
Định nghĩa 2: Hàm f(z) giải tích trong miền D đóng (kể cả biên) nếu nó giải tích bên trong
một miền mở nào đó chứa D.
Điều kiện cần và đủ để hàm f(z) = u(x, y + iv(x, y) giải tích trong D là các hàm u, v tồn
tại các đạo hàm riêng cấp một liên tục và thoả mãn điều kiện C R trên D.
2.6 Vi phân hàm biến phức
Định nghĩa: Cho hàm f(z) xác định trong miền D và điểm z
0
D. Nếu số gia của hàm số
f = Az + (z), trong đó A là hằng số, (z) là vô cùng bé cấp cao hơn z, thì ta
15
nói hàm f(z) khả vi tại điểm z
0
và biểu thức Az gọi là vi phân của hàm số tại z
0
, kí hiệu
df = Az.
Hoàn toàn tơng tự nh đối với hàm biến số thực ta cũng chứng minh đợc df = f

(z
0
)dz.
Ngoài ra sự tồn tại đạo hàm và tính khả vi của hàm số tại một điểm là tơng đong.
Chơng 3

Tích phân đờng
3.1 Tích phân đờng hàm biến phức
3.1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức cho đòng song trơn AB trơn (hoặc trơn từng khúc) và hàm f(z) xác
định trên đờng cong đó. Chia đòng cong AB thành n phần một cách tuỳ ý bởi những điểm chia
A z
0,
z
1
, , z
k
, , z
n
B. Trên cung thứ tự thứ k là z
k1
, z
k
ta chọn tùy ý một điểm
k
. Gọi
z
k
= z
k
z
k1
. Lập tổng:
I
n
=

n

k=1
f(
k
)z
k
.
Cho n sao cho max z
k
0. Nếu I
n
dần tới một giới hậm I không phụ thuộc vào cách
chia cung AB và cách chọn
k
thì giá trị đó đợc gọi là tích phân đờng của hàm f(z) trên cung
AB, kí hiệu

AB
f(z)dz = lim
max z
k
0
n

k=1
f(
k
)z
k

.
16
17
3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo
Giả sử z = x + iy, z
k
= x
k
+ iy
k
,
k
=
k
+ i
k
, k = 0, n và f(z) = u(x, y) + iv(x , y). Ta
có
I
n
=
n

k=1
f(
k
+ i
k
)[z
k

z
k1
]
=
n

k=1
[u(
k
,
k
)x
k
v(
k
,
k
)y
k
] + i[v(
k
,
k
)x
k
+ u(
k
,
k
)y

k
].
Từ đây, lim
n
I
n
=

AB
f(z)dz =

AB
u(x, y)dx v(x, y)dy + i

AB
v(x, y)dx + u(x, y)dy.
Ví dụ 3.1. Tính

AB
z
2
dz với AB là đờng thẳng có phơng trình y = x đi từ điểm A(0, 0) tới
B(1, 1).
Ta thấy f(z) = z
2
= x
2
y
2
+ 2xyi, do đó

AB
f(z)dz =

AB
(x
2
y
2
)dx 2xydy + i

AB
2xydx + (x
2
y
2
)dy
=
1

0
[(x
2
x
2
) 2x.x]dx + i
1

0
[2x.x + (x

2
x
2
)]dx
=
2
3
+ i
2
3
Ví dụ 3.2. Tính

AB
z
2
dz với AB là một phần t đờng tròn đơn vị trong góc phần t thứ nhất và
A(1.0), B(0, 1).
3.1.3 Các tính chất tích phân
1.

C
Af(z)dz = A

C
f(z)dz.
2.

C
f(z) g(z)dz =

C
f(z)dz

C
g(z)dz.
3.

AB
f(z)dz =

BA
f(z)dz.
4.

AB
f(z)dz =

AC
f(z)dz +

CB
f(z)dz.
5.

AB
dz = z
A
z
B
.

6. Bất đẳng thức đánh giá tích phân: Nếu với mọi z AB ta có |f(z)| M và cung AB có
đọ dài l thì: |

AB
f(z)dz| Ml.
18
3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đờng lấy tích
phân và định lí CôSi
Định lý 3.1. Điều kiện cần và đủ để

AB
f(z)dz không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân trong
một miền D nào đó là: Trong miền đó các hàm u, v tồn tại các đạo hàm riêng thỏa mãn điều kiện
C R:
u
x
=
v
y
;
u
y
=
v
x
.
Chứng minh. Dùng công thức tách phần thực và phần ảo của hàm phức f(z), sau đó dùng tính chất
tích phân đờng loại 2.
Định lý 3.2 (Định lí CôSi cho miền đơn liên). Nếu f(z) giải tích trong miền D đóng, đơn
liên có chu tuyến C thí

C
f(z)dz = 0.
Chứng minh.
Định lý 3.3 (Định lí CôSi cho miền đa liên:). Nếu f(z) giải tích trong miền D đóng, đa
liên thì tích phân theo chu tuyến ngoài cùng bằng tổng tích phân theo các chu tuyến bên trong với
điều kiện các tích phân lấy theo chiều ngợc kim đồng hồ

C
f(z)dz =

C
1
f(z)dz +

C
2
f(z)dz
Chứng minh. Ta có thể giả thiết miền D gồm hai biên C
1
, C
2
. Ta nối C
1
, C
2
bởi cung AB tuỳ ý
và coi miền D là đơn liên. Theo đinh lí 3.2 ta có,

C

1
f(z)dz +

AB
f(z)dz +

C

2
f(z)dz +

BA
f(z)dz = 0.
Từ đây,

C
1
f(z)dz =

C
2
f(z)dz.
19
3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích
3.3.1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Ta gọi F (z) là nguyên hàm của f(z) trong miền D nếu trong miền đó F

(z) =
f(z).
Hoàn toàn tơng tự đối với hàm biến số thực ta cũng có kết quả sau: Mọi nguyên hàm của

hàm f(z) chỉ chênh nhau một hằng số.
3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích
Giả sử f(z) giải tích trong miền D. Khi đó tích phân đờng trong D chỉ phụ thuộc vào điểm
đầu và điểm cuối, do đó ta có thể kí hiệu :

AB
f(z)dz =
z

z
0
f(t)dt.
Nếu cố định z
0
và cho z chạy trong D thì giá trị tích phân sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào sự
biến thiên của z, hay nói cách khác đây là một hàm theo biến z D. Kí hiệu:
F (z) =
z

z
0
f(t)dt, z D.
Định lý 3.4. Nếu f(z) giải tích trong miền D thì F (z)cũng giải tích trong miền D và
F

(z) = f(z).
Chứng minh. Ta thấy
F = F (z + z) F (z) =
z+z

z
f(t)dt
= f(z)z +
z+z

z
[f(t) f(z)]dt.
Mặt khác,
|
1
z
z+z

z
[f(t) f(z)] dt|
1
|z|
.|z| . max
t[z,z+z]
|f(t) f (z)| = max
t[z,z+z]
|f(t) f(z)|.
20
Khi z 0, max
t[z,z+z]
|f(t) f(z)| 0, do đó F

(z) = f(z).
3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích
Cho f(z) giải tích trong miền D. Giả sử (z) là một nguyên hàm của f(z). Khi đó ta có:

z
2

z
1
f(z)dz = (z
1
) (z
2
) = (z)|
z
2
z
1
.
Ví dụ 3.3.
1+i

0
z
2
dz =
z
3
3
|
1+i
0
=
(1+i)

3
3
=
2
3
+ i
2
3
.
Ví dụ 3.4. Tính I =

C
(z z
0
)
n
dz, C là đuờng cong kín nào đó, z
0
cố định, n Z.
Truờng hợp 1, n 0 : I = 0.
Truờng hợp 2, n = 1, n < 0 :
1. Nếu C không bao quanh z
0
thì I = 0.
2. Nếu C bao quanh z
0
thì I =

C
R

(z z
0
)dz =
2

0
iR
n+1
e
1(n+1)
d, trong đó C
R
là đờng
tròn nào đó tâm z
0
bán kính R và nằm trong C.
Truờng hợp 3, n = 1 : I = 2i.
3.3.4 Công thức tính tích phân CôSi
Định lý 3.5. Giả sử D là miền đơn liên với chu tuyến C. Hàm f(z) giải tích trong miền D, z
0
D.
Khi đó ta có công thức

C
f(z)
z z
0
dz = 2if(z
0
).

Chứng minh. Đặt (z) =
f (z)
zz
0
. Do f(z) giải tích trên D nên (z) cũng giải tích trên D C
R
, trong
đó C
R
là đòng tròn tâm z
0
bán kính R tuỳ ý sao cho C
R
D. Theo định lí 3.3 trên miền đa liên
ta có,

C
f(z)
z z
0
dz =

C
R
f(z)
z z
0
dz.
21
Mặt khác,

C
R
f (z)
zz
0
dz =

C
R
f (z)f (z
0
)+f (z
0
)
zz
0
dz
=

C
R
f (z
0
)
zz
0
dz +

C

R
f (z)f (z
0
)
zz
0
dz
= f(z
0
)2i +

C
R
f (z)f (z
0
)
zz
0
dz.
Ta thấy,
|

C
R
f(z) f( z
0
)
z z
0
dz| 2R. max

zC
R
|
f(z) f( z
0
)
z z
0
| = 2 max
zC
R
|f(z) f(z
0
)|.
Do tính tuỳ ý của R, cho R 0 dẫn tới |

C
R
f (z)f (z
0
)
zz
0
dz| 0. (đpcm)
Ví dụ 3.5. Tính I =

C
e
z
z(z2)

dz.
1. C
1
là đòng tròn |z| = 1.
2. C
2
là đòng tròn |z| = 4.
Cách giải:
1) :Ta thấy hàm f(z) =
e
z
z2
. giải tích trong C
1
, do đó theo công thức Cô si ta có

C
f(z)
z 0
dz = 2i.f(z)|
z=0
= i.
2) : Theo công thức tích phân Cô sitrên miền đa liên ta có

C
2
e
z
z(z 2)
dz =

C
r
e
z
z(z 2)
dz +

C
m
e
z
z(z 2)
dz,
tron đó r, m đủ bé để C
r
, C
m
bao quanh thứ tự z = 0, z = 2. Mặt khác theo công thức Cô si
cho miền đơn liên ta có
I =
e
z
z 2
|
z=0
+
e
z
z

|
z=2
= i (e
2
1).
22
Hệ quả 3.1. Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền D. Khi đó f(z) tồn tại đạo hàm mọi cấp tại
mọi z
0
D, đồng thời
f
(n)
(z
0
) =
n!
2i

C
f(z)
(z z
0
)
n+1
dz.
Chứng minh. Trớc tiên ta chứng minh với n = 1. Lấy điểm z
0
D bất kì. Theo công thức tích
phân CôSi ta có
f(z

0
+ z) f(z
0
) =
1
2i

C
f (z)
zz
0
z
dz
1
2i

C
f (z)
zz
0
dz
=
1
2i

C
f (z)z
(zz
0
z)(zz

0
)
dz
Vậy
f

(z
0
) = lim
z0
f(z
0
+ z) f(z
0
)
z
=
1
2i

C
f(z)
(z z
0
)
2
dz.
Tơng tự với các trờng hợp khác.
Chơng 4
Chuỗi số và chuỗi hàm

4.1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số phức
4.1.1 Định nghĩa
Biểu thức z
1
+ z
2
+ ããã =


n=1
z
n
, z
i
C, i = 1, , đợc gọi là chuỗi số phức.
Tổng của n số hạng đầu tiên S
n
n

k=1
z
k
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
Nếu tồn tại lim
n
S
n
= S thì S đợc gọi là tổng của chuỗi. Khi đó ta nói rằng chuỗi số hội
tụ. Ngợc lại, ta nói rằng chuỗi số phân kì. Trong trờng hợp hội tụ, R
n

= S S
n
gọi là
phần d thứ n.
4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo
Giả sử z
n
= x
n
+ iy
n
. Khi đó, S
n
= (x
1
+ x
2
+ ããã + x
n
) + i(y
1
+ y
2
+ ããã + y
n
) và
n

k=1
z

k
=
n

k=1
x
k
+ i
n

k=1
y
k
. Nói cách khác, sự hội tụ của chuỗi số phức tơng đơng với sự hội tụ của hai
chuỗi số thực


k=1
x
k
,


k=1
y
k
23
24
4.1.3 Sự hội tụ tuyệt đối
Cho chuỗi số

n=1
z
n
.(1) Lập chuỗi các môdun của nó


n=1
|z
n
| =


n=1

x
2
n
+ y
2
n
(2), gọi là chuỗi
tuyệt đối của chuỗi (1).
Định lý 4.1. Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ.
4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm
Cho một dãy vô hạn các hàm phức u
1
(z), u
2

(z), . . . . Biểu thức u
1
(z)+u
2
(z)+ããã =


n=1
u
n
(z)
đợc gọi là một chuỗi hàm phức.
Khi cho z = z
0
thì ta đợc chuỗi số phức


n=1
u
n
(z
0
). Nếu chuỗi này hội tụ thì z
0
đợc gọi
là điểm hội tụ của chuỗi hàm (ngợc lại gọi là điểm phân kì).
Tập các điểm hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.
4.3 Chuỗi luỹ thừa
Định nghĩa: Chuỗi có dạng

n=0
a
n
(z z
0
)
n
, a
n
C, n 0, , z
0
C. Nếu z
0
= 0 thì chuỗi
có dạng


n=0
a
n
(z z
0
)
n
có thể đa về dạng


n=0
a

n
(Z)
n
bằng cách đổi biến Z = z z
0
. Do
đó ta chỉ cần xét tổng quát với trờng hơp z
0
= 0.
Từ định lí Abel và hệ quả của nó ta nhận thấy: Tồn tại một đờng tròn tâm 0 bán kính R
mà mọi z C
R
thì chuỗi


n=0
a
n
(z)
n
hội tụ, còn z nằm ngoài C
R
thì chuỗi phân kì. Đờng
tròn C
R
gọi là đờng tròn hội tụ.
Định lý 4.2 (Abel). Nếu chuỗi


n=0

z
n
hội tụ tại điểm z
1
thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi
giá trị z mà |z| < |z
1
|.
Hệ quả 4.1. Nếu z
1
là điểm phân kì của chuỗi


n=0
z
n
thì chuỗi sẽ phân kì tại mọi z thỏa
mãn |z| > |z
1
|.