Bài tập bất đẳng thức tam giác

Các bài toán trong tam giác lớp
10A0
I. Các BĐT cơ bản trong tam giác :
Cho tam giác ABC, ta luôn có :
1.
3 3
sin A sin B sin C
2
+ +
2.
3
1 cos A cosB cosC
2
< + +
3.
tan A tan B tan C 3 3+ +
(A,B,C nhọn)
4.
cot A cot B cot C 3+ +
(A,B,C nhọn)
5.
A B C 3
1 sin sin sin
2 2 2 2
< + +
6.
A B C 3 3
2 cos cos cos
2 2 2 2
< + +
7.

A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ +
8.
2 2 2
3 A B C
sin sin sin 1
4 2 2 2
+ + <
9.
2 2 2
A B C 9
2 cos cos cos
2 2 2 4
< + +
10.
2 2 2
A B C
tan tan tan 1
2 2 2
+ +
11.
3 3
sin Asin Bsin C
8

12.
1
cos AcosB cosC

8

13.
A B C 1
sin sin sin
2 2 2 8

14.
2 2 2
9
sin A sin B sin C
4
+ +
15.
2 2 2
3
cos A cos B cos C
4
+ +
II, Tam giác vuông :
Cho tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện
sau. Cmr tam giác ABC cân.
1.
1
( )( )
4
= + + +S a b c a b c
2.
cos cos sin sin
+ =

b c a
B C B C
3.
sin cos
sin cos
+
=
+
A B
tgA
B A
4.
sin sin sin 1 cos cos cos
+ + = + + +
A B C A B C
5.
sin
2 2

=
B a c
a
6.
1
cot
sin
+
+ =
c b
gA

A a
7.
cos
2 2
+
=
B a c
c
8.
1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
=
A B C A B C
III.Tam giác cân :
Cho tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện
sau. Cmr tam giác ABC cân.
1.
tg tg 2cotg
2
C
A B+ =
2.
cos cos .sin .sin
=
a A b B a A b B
3.
2
2 .+ =tgA tgB tgA tg B
4.

cot cot
2 2

=
ữ ữ

C C
a g tgA b tgB g
5.
2 2
sin sin sin sin
cos cos
2
+
+ =
A B A B
C
A B
tg
6.
2sin .sin cot .sin
2
=
C
A B g C
7.
( ) cot
2 2
=
C B

p b g ptg
8.
.sin( ) .sin( ) 0 + =a B C b C A
9.
.cos 2 2 .sin 2 .sin= +a a B b B C

IV.Tam giác đều :
Cho tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện
sau. Cmr tam giác ABC đều .
1.
cos cos cos sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
.
2.
1 1 1 1 1 1
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = + +
.
( A, B, C nhọn )
3.
cotg cotg cotg tg tg tg
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +

4.
sin sin sin sin 2 sin 2 sin 2A B C A B C+ + = + +
.
5.
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + = + +
6.
1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg 2 3
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + + + + =

7.
2 2 2 2 2 2
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
+ + = + +
A B C
A B C
8.
( ) ( )
tan A tan B tan C cot A cot B cot C+ + + +
=

A B C A B C
tan tan tan cot cot cot
2 2 2 2 2 2

+ + + +
ữ ữ

( A, B, C nhọn )
9.
( )
A B C A B C
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2
3
sin A sin B sin C
2
  
+ + + +
 ÷ ÷
  
= + +