bài tập chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
π
 
− =
 ÷
 
b.
( ) ( )
0 0
sin 2x 45 c x 60 0os− + + =
c.
tan3x cot 2x
=
d.
( )
x
cot c
2
0
os 2x-30= −
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.

4s inx+cosx = 2 sin x
h.
2
cos( ) sinx x=
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a.
0
tan(2x 15 ) 1− =
, với
( )
0 0
x 180 ;90∈ −
b.
s 3cinx = osx
, với
2
x ;
3
π
 
∈ − π
÷

 

Bài 3. Giải các phương trình
a.
2
c c
2

os os x-
2 4
 
π π
 
=
 ÷
 
 
 
b.
( )
sin c 1os2xπ =
c.
( )
tan c 1
4
osx+sinx
π
 
=
 
 
c. 3sinx + 4cosx = 5
Bài 4*. a. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
(
)
2
c 3x 9x 160x 800 1
8

os
π
 
− + + =
 
 
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
2
cos (3 9 16 80) 1
4
x x x
π
 
− − − =
 
 
(ĐH An Ninh-2000)
II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 5. Giải các phương trình
a.
3 tan 3x 3 0− =
b.
( )
( )
s 2c 0inx+1 os2x - 2 =
c.
2
3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c
d.
2

3 4 3 0− + =cot x cot x
Bài 6. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3+ =tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0+
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x+ − =
Bài 7. a. Tìm các nghiệm của phương trình
2
3 3 0sin x sin x+ =
thỏa mãn
2 4
3 3
x ;
π π
 
∈
 
 
b. Tìm m để phương trình
( )
2

2 1mtan x m t anx - 2 = 0+ −
, có nghiệm duy nhất
2 2
x ;
π π
 
∈ −
 ÷
 
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a.
3cosx + 4sinx = -5
b.
5 2 6 13
2
sin x cos x− =
c.
3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x
d.
sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = +
e.
(3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − =
g.
2cos cos( ) 4sin 2 1
3
x x x
π
+ + =
Trang -1-

Bài 9. Giải phương trình:
a.
2 2
cos 2 3 sin cos 3sin 1x x x x+ + =
.
b.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3x x x x x+ + =
. (HV CNBCVT-2001).
c.
cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = −
.
d.
2
4sin ( ) sin 2 1
6
x x
π
+ + =
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
a.
2 2

2sin ( ) 2cos cos 2
6
y x x x
π
= + + +
b.
2sin( )cos( ) sin 2
6 3
y x x x
π π
= + + +
c.
2sin(2 ) 4cos cos( )
3 3
y x x x
π π
= + + +
d.
6 6
sin cos sin 4y x x x= + +
.
Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
a.
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +
=

+ +
. b.
sin
cos 3
x
y
x
=
+
c.
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y
x
π
=
+ +
.
Bài 11’. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
+
=
+

là số nguyên.
IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 12. Giải các phương trình:
a.
2
6 2
2
sin x sinxcosx - cos x+ =
b.
2
2 2 3 2 2
2
sin x sin2xcos2x + cos x− =
c.
2 3 6
2
cos x sinxcosx = 3 + 3+
d.
2
4 3 3 2 2 4
2
sin x sin x cos x+ − =
e.
( ) ( )
4 4 1
3
s inxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x +
2 2
π π
π π

   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Bài 13. Giải các phương trình
a.
( )
2
3 8 9 0
2
sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − =
b.
2
1
2
2
2
sin x sin2x - cos x+ =
c.
( ) ( )
2
2 3 3 1 1
2
sin x s inxcosx + 3 cos x+ + − = −
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 14. Giải các phương trình
a.
2

2 4 3
3
sin x cos x sinx+ =
b. 2sin
3
x = cos3x
c.
3
2
4
sin x s inx
π
 
+ =
 ÷
 
d. 2sin
3
x = cosx
e.
3 3
sin cos sin cosx x x x+ = −
g.
1
1 2
t anx
sin x
1+tanx
−
= +

Bài 15. Giải các phương trình
a.
2 3 6
3
sin x sin x sin x cos x+ =
b.
3
4 0sin x sin x cosx− + =
c.
3
4 3
3 2
cos x sin x cosxsin x s inx=0− − +
d.
3 2
sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = +
e.
3
cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = +
g.
3
sin 3 cos cos sinx x x x+ = +
Trang -2-

V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 16. Gải các phương trình
a.
( )
3 2 2 3 0s inx+cosx sin x+ + =
b.

s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c.
( )
2 12 12 0sin x s inx - cosx− + =
d.
3 3
1sin x cos x+ =
e. 1 + sin
3
2x + cos
3
2x =
3
4
2
sin x
g.
3
4
3
sin x sin x cos x
π
 
+ = +
 ÷
 
h.
1 t anx = 2 2 sinx+
i. sinx +
1

s inx
+ cosx +
1
cos x
=
10
3
Bài 17. Giải các phương trình
a.
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
b.
sin 1 cos 1 1x x+ + + =
c.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
. d.
2 sin3 cos3 sin cosx x x x+ − = +
.
e.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
.g.
cos sin sin cos 1x x x x+ + =
.(ĐH QGHN 97)

Bài 18. Giải các phương trình
a.
( ) ( )
t anx+7 t anx + co t x+7 cot x = -14
b.
( )
2 2
1
tan cot t anx + cotx 1
2
x x+ − =
c.
2 2
tan cot t anx + cotx 2x x+ − =
` d.
3 3 2 2
tan cot tan cot 1x x x x+ + + =
e.
3 3
1
tan cot 3
sin 2
x x
x
+ + =
g.
3 tan 3 cot 4x x+ + + =
.
VI. Phương trình lượng giác khác
Bài 19. Giải các phương trình

a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
e. tanx + tan2x = tan3x g.
2
sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
=
Bài 20. Giải các phương trình
a.
2 2 2
5 2 3sin x sin x sin x+ =
b.
3
3 4 5
2
2 2 2
cos x cos x cos x+ + =
c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x
e. 3cos
2
2x - 3sin

2
x + cos
2
x g. sin
3
xcosx - sinxcos
3
x =
2
8
h.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 21.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15
0
)cot(x - 15
0
) =
1
3
c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin
4
x + 5cos
4
x - 3 = 0
e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2
x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x

h. sin
2
xtanx + cos
2
xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx
i. sin
2
x + sinxcos4x + cos
2
4x =
3
4
.
Trang -3-

VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phương trình :
• Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác
• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
±
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t
=
tanx cotx±
)
• Một số phương trình khác…….
VD1. Giải phương trình :
x

2 osx = 2tan
2
c+
(đặt
x
t an
2
t =
)
VD2. GPT :
2
sinx + 3 osx + 3
sinx + 3 osx
c
c
=
VD3. GPT :
2
2
4 2
2 os 9 os 1
os os
c x c x
c x c x
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
(HD : Đặt t =
2

os
os
c x
c x
−
)
VD4 . GPT :
6 6
sin cos sin 2 1x x x+ + =
(đặt t sin2x)
VD5.
3
8 os os3x
3
c x c
π
 
+ =
 ÷
 
(Đặt t =
3
x
π
+
).
VD6.
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 1 0x x x x+ − + − + =
Bài tập vận dụng :

Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau
1.
1 3sin 2 2 tanx x+ =
2.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 tanxx− + = +
3.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− =
4.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
5.
2
4
tan 5 0
cos
x
x
− + =
6.
2
2
4 2 2

cos cos 3 0
cos 3 cos
x x
x x
 
+ − + − =
 ÷
 
7.
( )
2 2
2
4
4 tan 10 1 tan tan 0
cos
x x x
x
+ + + =
8.
2
cos cos cos sin 1x x x x+ + + =
9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷

   
10.
2
cos9 2cos 6 2 0
3
x x
π
 
+ + + =
 ÷
 
2. Biến đổi lượng giác
• Sử dụng công thức hạ bậc
• Đưa về phương trình tích
VD1:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
VD2:
2 2
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
π
 
− = +
 ÷
 
VD3:
2

3 4
1 2cos 3cos
5 5
x x
+ =
VD4:
3
2sin cos 2 cos 0x x x+ + =
VD5:
2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
VD6:
2 2
7
sin cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
 
− = − −
 ÷
 
Trang -4-

Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= +

2.
2 2
1 sin sin sin cos 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
3.
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4sin 2 cos 2
x x x x
x x
+ +
=
+
4.
cos cos3 2cos5 0x x x
+ + =
5.
sin 3 sin 5
3 5
x x
=
6.

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + =
3.Phương pháp không mẫu mực
Vd1 :
4 4
sin cos cos2x x x+ =
Vd2 :
2008 2009
sin cos 1x x+ =
Vd3 :
( )
sin 3 cos sin 3 2x x x+ =
Vd4 :
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x+ =
Vd5 :
2
8cos 4 cos 2 1 sin3 1 0x x x+ − + =
Bài tập vận dụng
Bài 24 : Giải các phương trình
1.
2
cos4 3cos 4sin
2
x
x x− =

2.
3 3
cos sin
2cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
+
3.
( )
2 2
4 cos 3cos 1 2 3 tan 3tan 0x x x x+ + + + =
4.
2 2 2 2
2sin cos 4 sin cos 4x x x x= +
5.
( )
2
2 sin cos 2 cot 2x x x+ = +
VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH
1.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2

x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(ĐH A-2008)
2.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin .cosx x x x x x− = −
(DH B-2008)
3.
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(ĐH D-2008)
4.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(ĐH A - 2007)
5.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =

(ĐH B - 2007)
6.
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
(ĐH D - 2007)
7.
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x
x
+ −
=
−
(ĐH A - 2006)
8.
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 

+ + =
 ÷
 
(ĐH B - 2006)
9.
cos3 cos 2 cos 1 0x x x
+ − − =
(ĐH D - 2006)
10.
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(ĐH A - 2005)
Trang -5-

11.
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
(ĐH B - 2005)
12.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
(ĐH D - 2005)

13. Tam giác ABC không tù thỏa mãn đk:
( )
cos2 2 2 cos cos 3x B C+ + =
. Tính các góc của tam
giác (ĐH A - 2004)
14.
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(ĐH B - 2004)
15.
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(ĐH D - 2004)
16.
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(ĐH A - 2003)
17.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x

x
− + =
(ĐH B - 2003)
18.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(ĐH D - 2003)
19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
(ĐH A - 2002)
20.

2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(ĐH B - 2002)
21.
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
(ĐH D - 2002)
22.
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
23.
( )
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = +
24.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
   
− − − =
 ÷  ÷
   
25.
sin 2 cos2
tan cot

cos sin
x x
x x
x x
+ = −
26.
2 2 sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 ÷
 
27.
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
28.
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1

cos
x x
x
x
−
+ =
29. Cho phương trình
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
m
x x
+ +
=
− +
(m là tham số).
a. Giải phương trình với m =
1
3
b. Tìm m để pt có nghiệm
30.
2
1
sin
8cos
x
x
=
31.
( )

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Trang -6-