chuyen de phuong trinh luong giac

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Kiến thức cơ bản.
1. Vòng tròn lượng giác.
- Biết biểu diễn họ nghiệm trên vòng tròn lượng giác.
2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
αα
αα
αα
αα
CotCot
TanTan
CosCos
SinSin
−=−
−=−
=−
−=−
)(
)(
)(
)(
ααπ
ααπ
ααπ
ααπ
CotCot
TanTan
CosCos
SinSin

−=−
−=−
−=−
=−
)(
)(
)(
)(
αα
π
αα
π
αα
π
αα
π
TanCot
CotTan
SinCos
Sin
=−
=−
=−
=−
)
2
(
)
2
(

)
2
(
cos)
2
(
Cung hơn kém
π
Cung hơn kém
2/
π
Đặc biệt (
Zk
∈
)
ααπ
ααπ
ααπ
ααπ
CotCot
TanTan
CosCos
SinSin
=+
=+
−=+
−=+
)(
)(
)(

)(
αα
π
αα
π
αα
π
αα
π
TanCot
CotTan
SinCos
Sin
−=+
−=+
−=+
=+
)
2
(
)
2
(
)
2
(
cos)
2
(
απα

απα
απα
απα
CotkCot
TankTan
CoskCos
SinkSin
=+
=+
=+
=+
)(
)(
)2(
)2(
3. Các công thức lượng giác.
a. Các công thức cơ bản.
1cos
2
=+
αα
Sin
α
α
α
Cos
Sin
Tan
=
α

α
α
Sin
Cos
Cot
=
α
α
2
2
1
1
Cos
Tan
=+
α
α
2
2
1
1
Sin
Cot
=+
1.
=
αα
CotTan
b. Công thức cộng.
TanaTanb

TanbTana
SinaCossCosbbaCos
SinbCosaSinaCosbbaSin


1
b)Tan(a
Sinb)(
)(
±
=±
=±
±=±
c. Công thức nhân đôi.
GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144.
1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
d. Công thức nhân ba.
CosaaCosaCos
aSinSinaaSin
343
433
3
3
−=
−=
e. Công thức hạ bậc.
2
21
2

aCos
aCos
+
=

2
21
2
aCos
aSin
−
=

aCos
aCos
aTan
21
21
2
+
−
=
f. Công Thức biến đổi Tổng thành tích, tích thành tổng.
g. Công thức suy ra.
)
4
(2)
4
(2
)

4
(2)
4
(2
ππ
ππ
+−=−=−
−=+=+
aCosaSinCosaSina
aCosaSinCosaSina
II. Phương trình lượng giác.
1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Bài 1. Giải phương trình.
GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144.
+.
SinaCosaaSin 22
=
aSin
aCos
aSinaCosaCos
2
2
22
21
12
2.
−=
−=
−=+
+.

aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−
=

aTan
aTan
aCos
a
2
2
2
1
1
2
Tan1
Tan2a
Sin2a
+
−
=
+
=

CosaCosb

baSin
baTan
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
ba
Sin
ba
CosSinbSina
ba
Cos
ba
SinSinbSina
)(
)(
22
2
22
2
22
2
22
2
±
=±

−+
−=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
)()(
2
1
.
)()(
2
1
.
)()(
2
1
.
)()(
2
1
.
baCosbaCosSinbSina

baCosbaCosCosbCosa
baSinbaSinSinbCosa
baSinbaSinCosbSina
−−+−=
−++=
−−+=
−++=
2
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.
sin 3 sin( 2 )
4
x x
π
= −
2.
03)
3
cos(2
=−+
π
x
3.
xx 2sin3cos
=

4.
=
1
sin 2

2
x
5.
03)
6
2sin(2
=+−
π
x
6.
2
cos( )
4 2
x
π
− = −
7. tan(x+60
0
) = -
3
8. tan(2x-
4
π
).tan(
π
-
2
x
) = 1 9. cot(
7

π
-5x)
=
3
1
10. tan(2x+
3
π
)=tan(
6
π
-3x) 11.tan(2x-
3
π
)+cot(x+
4
π
)= 0
12.cos(3x+20
0
)=sin(40
0
-x)
Bài 2. Giải phương trình.
1. 2sin2x=1 với 0<x<2
π
2. cos3x=-
3
3
với -

π
<x<
π
3.
xsin
(2cosx+1) = 0 4.
x
x
cos
3cos22
−
= 0
Bài3. (KD – 2002)
Tìm
[ ]
14;0
∈
x
nghiệm đúng phương trình
043243
=−+−
CosxxCosxCos
.
Bài 4. (KD – 2004)
Giải phương trình:
( )
SinxxSinCosxSinxCosx
−=+−
2)2(12
.

Bài 5. Giải phương trình:
xCosxCosxSinxSin 423
2222
+=+
Bài 6. Giải phương trình:
23.
2
=−
xTanTanxxTan
Bài 7. (KD – 2003)
Giải phương trình:
0
2
).
42
(
22
=−−
x
CosxTan
x
Sin
π
Bài 8. Giải phương trình:
)2(
2
1
2
44
xCotTanx

xSin
xCosxSin
+=
+
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phươn trình sau:
1. 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2. cos
2
x + sinx + 1 = 0
3. 2cos
2
x +
2
cosx – 2 = 0 4. cos2x – 5sinx + 6 = 0
5. cos2x + 3cosx + 4 = 0 6. 4cos
2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
7. 2sin
2
x – cosx +
7
2
= 0 8. 2sin
2
x – 7sinx + 3 = 0
9. 2sin

2
x + 5cosx = 5. 10. 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0
11. cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0 12. 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3
13. cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0 14. tan
2
x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0
15.
3
3cot 3
2
sin
x
x
= +

GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144.
3
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

16.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
17.
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=
−
.
Bài 2. (KA – 2002).
Tìm các nghiệm trên (0;2
π
) của phương trình:
: 5
cos3x + sin3x
sin +
1 2sin2x
x
 
 ÷

+
 
= cos2x + 3
Bài 3. (KA – 2005).
Giải phương trình: cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0
Bài 4. (KD – 2005).
Giải phương trình: cos
4
x + sin
4
x + cos(x -
π
4
)sin(3x -
π
4
) -
3
2
= 0
Bài 5. (KB – 2004).
Giải phương trình:
xTanSinxSinx
2
)1(325
−=−

.
Bài 6. (KA – 2006).
Giải phương trình:
0
22
)(2
66
=
−
−+
Sinx
SinxCosxxSinxCos
Bài 7. Giải phương trình:
CosxxSinxCot )232(223
22
+=+
Bài 8. Giải phương trình:
1)
4
(
3
−=−
TanxxTan
π
.
3. Phương trình bậc nhất đối với Sinx và Cosx.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1. 4sinx – 3cosx = 2 2. sinx -
3
cosx = 1

3.
3
sin3x + cos3x = 1 4. sin4x +
3
cos4x =
2
5. 5cos2x – 12cos2x = 13 6. 3sinx + 4cosx = 5
7.
3cos3 sin3 2x x+ =
8.
cos7 3sin7 2x x− = −
9.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = +

10.
cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x− = −

11. 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + .
Bài 2. Tìm






∈
7
6
;

5
2
ππ
x
thoả mãn phương trình:
2737
−=−
xSinxCos
.
Bài 3. Giải phương trình:
)cos3(4cot3 xSinxxTanx
+=−
.
4. Phương trình đối xứng với Sinx và Cosx.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1. (2 2)+ (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2
2
+ 1
2. 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144.
4
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3. 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4. sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5. sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
1.
2
(sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2. (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =

2
2
.
3.
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
.
4. sin
3
x + cos
3
x =
2
2
.
5. sinx – cosx + 7sin2x = 1.
6. (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x+ − + = + .
7.
sin 2 2 sin( ) 1
4
x x
π
+ − =
.
8.
sin cos 4sin 2 1x x x− + =

.
9. 1 + tgx = 2
2
sinx.
10. sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11. 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.
Bài 3. Giải phương trình:
)
24
(8
)1(3
3
2
2
3
x
Cos
xCos
Sinx
TanxxTan
−=
+
+−
π
Bài 4. Giải phương trình:
xCosxSinxCos
x
2
33
=+

.
Bài 5. Giải phương trình:
0244tan43
22
=++++
xCotCotxxxTan
.
5. Phương trình đẳng cấp.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1.
2 2
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+
. 2.
xSinxSinxCos
22
123
+=−
3.
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ =
; 4.
1
4sin 6cos
cos
x x
x

+ =
.
5.
5
2
3sin (3 ) 2sin( )cos( )
2 2
x x x
π π
π
− + + +
3
2
5sin ( ) 0
2
x
π
− + =
.
6. 3sin
2
x -
3
sinxcosx + 2cos
2
x = 2 7. 4 sin
2
x+ 3
3
sinxcosx - 2cos

2
x=4
8. 3 sin
2
x + 5 cos
2
x - 2cos2x - 4sin2x = 0 .
Bài 2. Giải phương trình:
0Sinx34
233
=+−−
xCosxSinxSinxCos
.
6. Một số đề thi Đại Học gần đây.
1. KA_03. Giải phương trình: cotx - 1 =
cos2x
1 + tanx
+ sin
2
x -
1
2
sin2x
2. KA_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; π) của phương trình:
GV: Trịnh Thu Hương – 0977.935.144.
5