Lý thuyết Ma trận - TS. Lê Xuân Đại (ĐH Bách Khoa)

MA TRẬN
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2012.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 1 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực
hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m
hàng và n cột có dạng sau:
A =







a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
m 1
. . . a
mj
. . . a
mn







TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 2 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực
hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m
hàng và n cột có dạng sau:
A =








a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m 1
. . . a
mj
. . . a
mn







TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 2 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Người ta thường ký hiệu A = (a
ij
)

1im ;1j n
.
Các số a
ij
(i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử
hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A.
Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là
M
m ×n
(K ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 3 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận cột, ma trận hàng
Định nghĩa





a
1
a
2
.
.
.
a
n






được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là ma trận hàng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 4 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận cột, ma trận hàng
Định nghĩa





a
1
a
2
.
.
.
a

n





được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là ma trận hàng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 4 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Gọi A
i∗
=

a
i1
a
i2
. . . a
in


là hàng thứ i của ma trận
A, 1  i  m, và gọi A
∗j
=





a
1j
a
2j
.
.
.
a
mj





là cột thứ j của ma
trận A, 1  j  n thì
A =

A
∗1
A

∗2
. . . A
∗n

=





A
1∗
A
2∗
.
.
.
A
m∗





TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 5 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ví dụ
Ma trận A =

1 −4 5

0 3 −2

2×3
gồm có:
2 ma trận hàng

1 −4 5

,

0 3 −2

và 3 ma trận cột

1
0

,

−4
3

,

5
−2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 6 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không

Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó
đều bằng 0, có nghĩa là a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 7 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó
đều bằng 0, có nghĩa là a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 7 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó
đều bằng 0, có nghĩa là a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 7 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa
Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập
hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là
M
n
(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n.

Ví dụ
A =


1 2 3
0 −3 −2
5 4 −5


là ma trận vuông cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 8 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa
Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập
hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là
M
n
(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
A =


1 2 3
0 −3 −2
5 4 −5


là ma trận vuông cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 8 / 76

Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đơn vị
Định nghĩa
Ma trận I =





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





, có nghĩa là

(a
ii
= 1, i = 1, n; a
ij
= 0, ∀i = j) được gọi là ma
trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay I
n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 9 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ví dụ
I =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


là ma trận đơn vị cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 10 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận chéo
Định nghĩa
Ma trận D =





α

1
0 . . . 0
0 α
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . α
n





, có nghĩa là
(a
ij
= 0, ∀i = j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận
chéo cấp n và được ký hiệu là
D = dig


α
1
α
2
. . . α
n

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 11 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ví dụ
A =


1 0 0
0 −3 0
0 0 0


là ma trận chéo cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 12 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m ×n
được gọi là ma trận đối

của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận
A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 13 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m ×n
được gọi là ma trận đối
của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5


là ma trận đối của ma trận
A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 13 / 76
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m ×n
được gọi là ma trận đối
của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận
A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 13 / 76
Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau
Ma trận bằng nhau
Định nghĩa
Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu
như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí
tương ứng bằng nhau
A = (a
ij
)
m ×n
= B = (b
ij
)
m ×n
⇔ a
ij
= b
ij
, ∀i, j.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 14 / 76
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m ×n
∈ M
m ×n
(K ), α ∈ K . Khi đó

αA = (α.a
ij
) ∈ M
m ×n
(K ) là tích của số α với ma
trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2
0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 15 / 76
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m ×n
∈ M
m ×n
(K ), α ∈ K . Khi đó
αA = (α.a
ij
) ∈ M
m ×n
(K ) là tích của số α với ma

trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2
0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 15 / 76
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m ×n
∈ M
m ×n
(K ), α ∈ K . Khi đó
αA = (α.a
ij
) ∈ M
m ×n
(K ) là tích của số α với ma
trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2

0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 15 / 76
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m ×n
∈ M
m ×n
(K ), α ∈ K . Khi đó
αA = (α.a
ij
) ∈ M
m ×n
(K ) là tích của số α với ma
trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2
0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2012. 15 / 76