CHUYÊN đề PHƯƠNG PHÁP LUYỆN tập THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

CHUN ĐỀ:

PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

ƠN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG

TRỤ:
h

V= B.h
 B : d ie än tíc h đ a ùy

B

với 

 h : c h ie àu c a o

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
c
a

b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh

b
a

a
a

2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
1
3

V= Bh

h

 B : diện tích đáy
với 
 h : chiều cao
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ
DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

B

S
C'
A'

A

B'
C

VSA BC
VSA ' B ' C '



SA SB SC
SA ' SB ' SC '

4. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
h
V  B  B' BB'
3
B, B' : diện tích hai đáy
với 
h : chieàu cao





B

A'

B'
C'

A

B

C


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

GV: Lª Minh TiÕn

II/ Bài tập:
LOẠI 1:
1) Dạng 1:

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vng
cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
C'

A'

B'
3a

C
a 2

A
a

Lời giải:
Ta có
VABC vng cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB
VAA'B  AA '2  A'B2  AB2  8a2
 AA '  2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

B

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và
đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
C'
D'
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a
A'
3a
B'
ABCD là hình vng  AB 

4a
2
5a
2
9a
C
D
Suy ra B = SABCD =
4
Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
A
B
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh
a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
VABC đều nên

C'

A'
B'

AI 

A

C
I
B

AB 3
 2 3 & AI  BC
2

 A 'I  BC(dl3 )
2S
1
SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  4
2
BC
AA'  (ABC)  AA '  AI .
VA 'AI  AA '  A 'I 2  AI 2  2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc
tấm bìa một hình vng cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật
khơng có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
C'

D'

D'

D' D

A'

B'
D

C

A

A'
A

A'

B

Giải
C'
Theo đề bài, ta có
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm
C C'
nên ABCD là hình vng có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
B B'
Vậy thể tích hộp là
V = SABCD.h = 4800cm3
B'

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng

600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
Tính thể tích hình hộp .

C'

D'

Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =

B'

A'

a 3
a 3
2
VDD'B  DD'  BD'2  BD2  a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2

Theo đề bài BD' = AC = 2
C

D

A

a2 3
2

B

60

2)Dạng 2:

Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vng cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .
Tính thể tích lăng trụ.
C'

A'

B'

C

A
60o
B

Lời giải:
Ta có A 'A  (ABC)  A 'A  AB& AB là
hình chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy góc[A 'B,(ABC)]  ¼  60o

ABA'

VABA '  AA'  AB.tan 600  a 3
1
a2
SABC = BA.BC 
2
2
a3 3
Vậy V = SABC.AA' =
2


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

GV: Lª Minh TiÕn

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
¼
vng tại A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300.
Tính AC' và thể tích lăng trụ.
A'

ABC  AB  AC.tan60o  a 3 .
Lời giải: V
Ta có:
AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C)
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ = 30o
BC'A

AB
VAC'B  AC' 
 3a
t an30o
V =B.h = SABC.AA'
VAA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a 2
a2 3
VABC là nửa tam giác đều nên SABC 
2
3
Vậy V = a 6

C'

B'

o
30

A

C

a
o
60
B

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a
và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300.

Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta
A'
D'
có: DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình
chiếu của BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼ '  300
DBD
o
C
B
30
a 6
VBDD'  DD'  BD.tan 300 
D
A
3
3
a 6
4a 2 6
a
Vậy V = SABCD.DD' =
S = 4SADD'A' =
3
3
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh
BAD
a và ¼ = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .
Tính thể tích của hình hộp.

C'

B'

C'

B'

VABD đều cạnh a  SABD 

A'

D'

o
30
A

Giải

C

B

60 o

D
a

a2 3

4

a2 3
2
VABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3
3a3
Vậy V  B.h  SABCD .BB' 
2
 SABCD  2SABD 


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

3) Dạng 3:

GV: Lª Minh TiÕn

Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vng cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc
600 .Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
A'
C'
Ta có A 'A  (ABC) & BC  AB  BC  A 'B
Vậy góc[(A 'BC),(ABC)]  ¼ '  60o
ABA

B'

A

C

o
60
B

VABA '  AA'  AB.tan 600  a 3
1
a2
SABC = BA.BC 
2
2
a3 3
Vậy V = SABC.AA' =
2

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải: VABC đều  AI  BC mà AA'  (ABC)
C'
A'
nên A'I  BC (đl 3  ).
¼
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o
2x 3
B'

 x 3 .Ta có
Giả sử BI = x  AI 
2
2 AI 2 x 3
A' AI : A' I  AI : cos 30 0 

 2x
3
3
A

30o

C

B

x

I

3
x
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2
A’A = AI.tan 300 = x 3.

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng

(BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian
D'

C'

A'

B'

C

D

60 0

O
A
a

B

GV: Lª Minh TiÕn

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vng nên OC  BD
CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ). Vậy
¼

góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vng nên SABCD = a2
a 6
VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o =
2
3
a 6
Vậy V =
2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng
(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một
góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

D'

A'
C'

B'
2a

D

A
o
60

o

30

C

B

4) Dạng 4:

Ta có AA'  (ABCD)  AC là hình chiếu
của A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼  30o
A 'CA
BC  AB  BC  A'B (đl 3  ) .
A 'BA
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼  60o
o
VA'AC  AC = AA'.cot30 = 2a 3
2a 3
VA'AB  AB = AA'.cot60o =
3
4a 6
VABC  BC  AC2  AB2 
3
3
16a 2
Vậy V = AB.BC.AA' =
3

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o .
Tính thể tích lăng trụ.
A'

C'
B'

C

A
a

B

o
60
H

Lời giải:
Ta có C 'H  (ABC)  CH là hình chiếu
của CC' trên (ABC)
Vậy góc[CC',(ABC)]  ¼  60o
C'CH
3a
VCHC'  C'H  CC'.sin 600 
2
2
a 3
3a 3 3

SABC = 
.Vậy V = SABC.C'H =
4
8


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

Lời giải:
C'
1) Ta có A 'O  (ABC)  OA là hình
chiếu của AA' trên (ABC)
¼
Vậy góc[AA ',(ABC)]  OAA '  60o
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt
B'
bên của lăng trụ)
AO  BC tại trung điểm H của BC nên
BC  A 'H (đl 3  )
 BC  (AA 'H)  BC  AA ' mà AA'//BB'
60 o
A

nên BC  BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
C
2
2a 3 a 3

2) VABC đều nên AO  AH 
O
3
3 2
3
a
H
o a
VAOA'  A'O  AO t an60
a3 3
B
Vậy V = SABC.A'O =
4
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với

A'

AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy
những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
D'
C'

¼
 ¼  45o ,A 'NH  60o
A 'MH

A'

Đặt A’H = x . Khi đó
2x
A’N = x : sin 60 0 =
3

B'

D
C
N

H

AN =

AA' 2  A' N 2 

3  4x 2
 HM
3

Mà HM = x.cot 450 = x

A
M

Lời giải:

Kẻ A’H  ( ABCD ) ,HM  AB , HN  AD
 A' M  AB, A' N  AD (đl 3  )

B

3  4x 2
3
x
Nghĩa là x =
3
7
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
3
3
= 3. 7.
7


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

LOẠI 2:
1) Dạng 1:

GV: Lª Minh TiÕn

Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC)

và (ASC) cùng vng góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

Lời giải:
Ta có
(ABC)  (SBC)

 AC  (SBC)

 (ASC)  (SBC)


A

a_
B

C

/
/

1
1 a2 3
a3 3
Do đó V  SSBC .AC 
a
3
3 4
12

\
S

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với
AC = a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vng .
2)Tính thể tích hình chóp .

S

C

a

A
60o

B

Lời giải:
1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC
mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vng.
2) Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu
của SB trên (ABC).
¼
Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB  60o .
a
VABC vuông cân nên BA = BC =
2

1
a2
SABC = BA.BC 
2
4
a 6
VSAB  SA  AB.t an60o 
2
2
1
1 a a 6 a3 6

Vậy V  SABC .SA 
3
34 2
24

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA
vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.
Tính thể tích hình chóp .


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian
S

C

A
60 o
a

M
B

GV: Lª Minh TiÕn

Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác
ABC đều nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) .
¼
Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA  60o .
1
1
Ta có V = B.h  SABC .SA
3
3
3a
VSAM  SA  AM tan60o 
2
1
1
a3 3
Vậy V = B.h  SABC .SA 
3
3
8

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA
vng góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

S
H

60

A

B

a

2) Dạng 2 :

C

o
D

Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) và
CD  AD  CD  SD ( đl 3  ).(1)
¼
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o .
VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
1
1
a3 3
Vậy V  SABCD .SA  a2a 3 
3
3

3
2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) )
nên CD  AH  AH  (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
1
1
1
1
1
4
VSAD 


 2 2 2
2
2
2
AH SA AD 3a a 3a
a 3
Vậy AH =
2

Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.

S
VSAB đều  SH  AB
mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
D
a 3
A
2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
2
3
H
1
a 3
B
suy ra V  SABCD .SH 
a
C
3
6


Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

GV: Lª Minh TiÕn

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông
cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
A

Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) ,
mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) .
a

B
H
C

60

o

D

Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a 3
a 3
& HD = AD.cot60o =
3
2a 3
suy ra
VBCD  BC = 2HD =
3
1
1 1
a3 3
V = SBCD .AH  . BC.HD.AH 
3
3 2
9

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có
BC = a. Mặt bên SAC vng góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt
đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
S
Lời giải:
a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên
SH  mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC 
¼ ¼
SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o
Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là
H
A
45
đường phân giác của VABC ừ đó suy ra H là trung
C
điểm của AC.
I
J
a
1
a3
b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC .SH 
B
2
3
12

GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

3) Dạng 3 :

Khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC
suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
2
2a 3 a 3

AO = AH 
3
3 2
3
11a2
VSAO  SO2  SA 2  OA2 
3
1
a3 11

a 11
.Vậy V  SABC .SO 
 SO 
3
12
3

S
2a

C

A

a

O

H
B

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

S

C

D

Lời giải:
Dựng SO  (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD  ABCD là
hình thoi có đường trịn gnoại tiếp
nên ABCD là hình vng .
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2
a 2
2
3
1
1 2a 2 a 2

 V  S ABCD .SO  a
3
3
2
6

nên VASC vuông tại S  OS 
O
A

a

B

Vậy V 

a3 2
6

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

D
M

A

C
O
I

H
a

B

Lời giải:
a) Gọi O là tâm của ABC  DO  ( ABC )
1
V  S ABC .DO

3
a2 3
2
a 3
S ABC 
, OC  CI 
4
3
3
a 6
DOC vng có : DO  DC 2  OC 2 
3
2
3
1a 3 a 6 a 2
.
V 

3 4
3
12
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH
1
a 6
MH  DO 
2
6
1
1 a 2 3 a 6 a3 2

.
 VMABC  S ABC .MH 

3
3 4
6
24

Vậy V 

a3 2
24

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc
3a3
60o . Tính thể tích hình chóp.
Đs: V 
16
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên
là 45o.
a
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
Đs: SH =
3
a3
2) Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: V 
6
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy

a3 3
Đs: V 
một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.
24
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
h3 3
Tính thể tích hình chóp.
Đs: V 
3
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh
h3 3
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.
Đs: V 
8
¼  60o .
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB
a2 3
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
Đs: S 
3
3
a 2
2) Tính thể tích hình chóp.
Đs: V 
6


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên
2h3
Đs: V 
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.
3
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.
8a3 3
Tính thể tích hình chóp .
Đs: V 
3
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
a3 3
Tính thề tích hình chóp.
Đs: V 
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
9a3 2
nó bằng V 
.
Đs: AB = 3a
2
4) Dạng 4 :
Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B, AC  a 2 ,
SA vng góc với đáy ABC , SA  a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song

với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:

1
S ABC .SA và SA  a
3
+ ABC cân có : AC  a 2  AB  a
1
1 1
a3
 S ABC  a 2 Vậy: VSABC  . a 2 .a 
2
3 2
6

S

a)Ta có: VS . ABC 

N
C

G

A
M

I
B

b) Gọi I là trung điểm BC.
SG 2

G là trọng tâm,ta có :
SI 3
SM SN SG 2



 // BC  MN// BC 
SB SC SI 3


VSAMN SM SN 4

.

VSABC
SB SC 9

Vậy: VSAMN

4
2a 3
 VSABC 
9
27


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C
và vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua
C vng góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE  ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
1
a3
D
a)Tính VABCD : VABCD  SABC .CD 
3
6
F
b)Tacó:
AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD )
a
 AB  EC

E

Ta có:

B

C

DB  EC  EC  ( ABD)

c) Tính VDCEF :Ta có:
a
A

VDCEF DE DF

.
(*)
VDABC DA DB

Mà DE .DA  DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1

 2 
2
DA DA
2a
2
2
DF DC
a2
1



Tương tự:

2
2
2
DB DB
DC  CB
3


Từ(*) 

VDCEF 1
1
a3
 .Vậy VDCEF  VABCD 
VDABC 6
6
36

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và
trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia
bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN
là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (ABM).

S

N

VSAND SN 1
1
1

  VSANB  VSADB  VSABCD
VSADB SD 2
2
4
VSBMN SM SN 1 1 1
1
1
A

.
 .   VSBMN  VSBCD  VSABCD
VSBCD
SC SD 2 2 4
4
8
3
Mà V SABMN = V SANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3
Do đó :

V ABMN . ABCD 5

+

M D
O

C

B


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên

tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song
song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
d)
Lời giải:
a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD
S
 EF // BD
b) VS . ABCD 
M
E

B


+ VSOA có : SO  AO.tan 60 

I
C

Vậy : VS . ABCD

F
O
A

1
S ABCD .SO với S ABCD  a 2
3

D

a 6
2

a3 6

6

c) Phân chia chóp tứ giác ta có
VS . AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF

VS . ABCD = 2VSACD = 2 VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
SM 1

Ta có : 
SC 2
SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:


V
SM SF 1
SI SF 2
.


  SAMF 
SO SD 3
VSACD SC SD 3

1
1
a3 6
 VSAMF  VSACD  VSACD 
3
6
36

 VS . AEMF  2

a3 6 a3 6

36
18

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng
góc đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC  ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Lời giải:
a) Ta có: VS . ABCD

S

D'

b) Ta có BC  ( SAB)  BC  AB '
& SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC )
nên AB'  SC .Tương tự AD'  SC.
Vậy SC  (AB'D')
c) Tính VS . A B ' C ' D '

B'

C'

VSAB'C' SB ' SC '

.
(*)
VSABC SB SC
SC '
1

SAC vuông cân nên
SC
2
2
2
SB ' SA
2a
2a 2 2




Ta có:
SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3
V S A B 'C '
1

Từ (* ) 

3
V SA B C

I

+Tính VS . AB ' C ' : Ta có:

B

A
O
C

D

1
a3 2
 S ABCD .SA 
3
3

 VSAB 'C '

1 a3 2 a3 2
 .

3 3
9

+ VS . A B ' C ' D '  2VS . A B ' C ' 

2a 3 2
9

5) Dạng 5 : Ơn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng
góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Lời giải:
S

a)Ta có V 

1
S ABCD .SA
3

+ S ABCD  (2a ) 2  4a 2
+ SAC có : SA  AC tan C  2a 6
H

A

B

60o
D
2a

.

C

1 2
8a3 6
V  4a .2a 6 
3
3
MH / / SA  MH  ( DBC )
b) Kẻ
1
1
Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD
2
2
3
1
2a 6
VMBCD  V 
4
3


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt
bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60 o .Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:
Hạ SH  ( ABC ) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC
suy ra SE  AB, SF  BC, SJ  AC . Ta có
¼  SFH  SJH  60O 
SEH ¼ ¼
SAH  SFH  SJH nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC )
Ta có SABC = p ( p  a )( p  b)( p  c)
J
abc
A
C với p =
 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2
60
2
H
S 2 6a
E
F
Mặt khác SABC = p.r  r  
p
3
B
Tam giác vuông SHE:
2 6a
. 32 2 a
SH = r.tan 600 =
3
1
2

3
Vậy VSABC = 6 6 a .2 2 a  8 3 a .
3
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a,
AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
A
B
S

2
3
Ta có : V  AB. AD.AA '  a 3.a  a 3

O
D

M
C

B'

A'
C'
D'

ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a
* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao
1
a3 3
giống khối hộp nên: VOA' B'C ' D'  V 
3
3
b) M là trung điểm BC OM (BB'C')
1
1 a2 a 3 a3 3
VOBB'C '  SBB'C ' .OM  . .

3
3 2 2
12
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
diện OBB’C’. Ta có : C ' H 

3VOBB 'C '
SOBB '

ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a
 SOBB ' 

1 2
a  C ' H  2a 3
2


GV: Lª Minh TiÕn

Chun đề:Luyện tập Hình Học Khơng Gian

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

B

A

D

Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.
+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao
bằng nhau nên có cùng thể tích.

1 1
3 2

C

2
Khối CB’D’C’ có V1  . a .a 

A'

B'

C'

1 3
a
6

+Khối lập phương có thể tích: V2  a
1 3 1 3
3
 VACB ' D '  a  4. a  a
6
3

3

D'
a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối
CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,
E
B
A
2

3
1
VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI  1 a . a 3  a 3
I
F
3
3 2 2
12
C
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’
và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao
B'

A'

A’A nên VA ' CEF 

J
C'

SCEF

1
SCEF . A ' A
3

1
a2 3
a3 3

 S ABC 
 VA ' CEF 
4
16
48

+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có
đáy là CFB’, đường cao JA’ nên

V A ' B ' CF

1
1
a2
 SCFB' . A ' J SCFB'  SCBB ' 
3
2
4

 V A ' B ' CF 

1 a2 a 3 a3 3

3 4 2
24

+ Vậy : VCA'B'FE

a3 3


16