Bài 5 BPT hệ BPT bậc nhất nhiều ẩn đáp án

Bài 5. BPT-HỆ BPT BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
• Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax  by  c

(1)

 ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c 
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền
nghiệm của nó.
Ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình
ax  by  c như sau (tương tự cho bất phương trình ax  by  c )
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng  : ax  by  c .
Bước 2. Lấy một điểm M 0  x0 ; y0  không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu O   ).
Bước 3. Tính ax0  by 0 và so sánh ax0  by 0 với c .
Bước 4. Kết luận
Nếu ax0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M 0 là miền nghiệm của ax  by  c .
Nếu ax0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M 0 là miền nghiệm của ax  by  c .
Chú ý
Để tìm miền nghiệm của các bất phương trình ax  by  c ta cũng làm qua 4 bước như trên và lưu ý rằng:
Nếu ax0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M 0 (khơng kể bờ  ) là miền nghiệm của ax  by  c .
Nếu ax0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa M 0 (không kể bờ  ) là miền nghiệm của
ax  by  c .
Hoàn toàn tương tự đối với bất phương trình ax  by  c .
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn.
4. Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F  ax  by trên một miền đa giác
Bài tốn. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  ax  by ( a, b là hai số đã cho không đồng
thời bằng 0) với x, y thỏa mã hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( có miền nghiệm là miền đa giác
A1 A2 ... Ai Ai 1 ... An ).
Phương pháp
Bước 1. Tìm miền đa giác A1 A2 ... Ai Ai 1 ... An là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Bước 2. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 ,..., An .
Bước 3. Tính F  xi ; yi  trong đó Ai  xi ; yi  với i  1 , 2 ,..., n
Bước 4. Kết luận
Giá trị lớn nhất M  max F  xi , yi  .
i 1,2,...n

Giá trị lớn nhất m  min F  xi , yi  .
i 1,2,...n

Trang 1


II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bộ số  x0 ; y0  là nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 khi và chỉ khi ax0  by0  c  0 . (Tương tự
với các bất phương trình ax  by  c  0 , ax  by  c  0 , ax  by  c  0 ).
- Để tìm nghiệm nguyên của bất phương trình, ta dựa vào biểu diễn hình học tập nghiệm trên mặt phẳng tọa
độ.
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; yB  nằm cùng một phía đối với đường thẳng
d : ax  by  c  0 khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0

hoặc ax  by  c  0 hay  ax A  by A  c  axB  byB  c   0 .

A. Bài tập tự luận
Câu 1.

Cho bất phương trình: 2 x  y  0 . Trong các cặp số  1; 2  ,  2;0  ,  0;1 ,  3; 2  ,  1; 2  , cặp

nào là nghiệm của bất phương trình, cặp nào khơng phải là nghiệm của bất phương trình?
Lời giải
Bằng cách thử trực tiếp, các cặp  1; 2  ,  0;1 là nghiệm, các cặp cịn lại khơng phải là nghiệm của bất
phương trình.
Câu 2.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x  2 y  1 ?
Lời giải

1

+ Đường thẳng d : x  2 y  1 đi qua hai điểm A 1;0  và B  0;   .
2

+ x  y  0 không phải là nghiệm của bất phương trình.
+ Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d : x  2 y  1 , không chứa gốc tọa
độ O , không bao gồm đường thẳng d (là miền khơng gạch chéo trên hình vẽ)

Câu 3.

Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau
a) 2 x  y  0 .

b)

x  2 y 2x  y 1

.
2
3

Lời giải.
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng d :2 x  y  0 . Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt
phẳng. Chọn một điểm bất kì khơng thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;0  .
Ta thấy 1;0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ

d và chứa điểm M 1;0  (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Trang 2


b) Ta có

x  2 y 2x  y 1

 3  x  2 y   2  2 x  y  1  0   x  4 y  2  0  x  4 y  2  0 .
2
3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng  : x  4 y  2  0 .
Ta có  chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì khơng thuộc đường thẳng đó,
chẳng hạn điểm O  0;0  .
Ta thấy  0;0  không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (Khơng kể đường thẳng  ) và không chứa điểm O  0;0 
(miền khơng được tơ màu trên hình vẽ).

Câu 4.

x y
  1 , trong đó x , y là số nguyên dương.
3 4
Lời giải

Tìm các nghiệm  x; y  của bất phương trình

x y
y
  1 nên ta có  1  y  4 .
3 4
4
Do y nguyên dương nên y  1; 2;3 .
Cách 1: Do x  0 ,

x 3
9
  0  x   x  1; 2 .
3 4
4
x 1
3
+ Với y  2 , ta có 0    0  x   x  1 .
3 2
2
x 1
3

+ Với y  3 , ta có 0    0  x   x  .
3 4
4
Vậy bất phương trình có các nghiệm ngun dương là 1;1 ,  2;1 và 1; 2  .
+ Với y  1 , ta có 0 

Trang 3


Cách 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình lên hệ trục tọa độ (là miền không gạch chéo trên hình
vẽ):

Từ biểu diễn hình học, ta thấy các điểm nguyên dương trong miền nghiệm của bất phương trình là
A 1;1 , B  2;1 và C 1; 2 

 x  1
Tìm giá trị của tham số m sao cho 
là nghiệm của bất phương trình mx   m  1 y  2 .
y  2
Lời giải
 x  1
Ta có 
là nghiệm của bất phương trình mx   m  1 y  2 khi và chỉ khi
y  2
Câu 5.

m  2  m  1  2  m  4

Câu 6.

Cho tam giác ABC có A 1; 2  , B  3; 1 và C  3; 4  . Tìm điều kiện của tham số m để điểm

 m5
M  m;
 nằm bên trong tam giác ABC ?
3 

Lời giải
Cách 1:

x 1
y2

 3x  4 y  5  0 .
3  1 1  2
x  3 y 1

 x  2y  5  0 .
Đường thẳng BC :
3  3 4  1
x 1 y  2

 3x  y  5  0 .
Đường thẳng AC :
3  1 4  2
Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm bên trong tam giác ABC là điểm M cùng với mỗi đỉnh A , B , C lần
lượt cùng phía với nhau đối với cạnh BC , CA , AB

m5 


1  4  5   m  2 3  5   0



m  1

m5 


  9  1  5   3m 
 5   0  m  2  1  m  2
3



m  7


m

5


 5  0
 9  16  5   3m  4
3



Cách 2:

Đường thẳng AB :

Trang 4


x 5
 m5
Do M  m;
.
 nên M  d : y 
3 
3

Ta thấy, đường thẳng d cắt cạnh AC , BC của tam giác ABC lần lượt tại D và E .
Dựa vào đồ thị, ta thấy hoành độ D là xD  1 , hoành độ điểm E là xE  2 .
Điểm M nằm bên trong tam giác ABC khi và chỉ khi điểm M nằm trên đoạn thẳng DE (trừ hai điểm
D, E ) khi và chỉ khi 1  m  2 .
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 7.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

ax  by  c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0 ) không được
gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2 x  3 y  1  0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng
2x  3y 1  0 .
C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

ax  by  c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0 ) được gọi là

miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình ax  by  c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không
đồng thời bằng 0 ) là tập rỗng.
Lời giải
Chọn C
Câu 8.

Câu nào sau đây sai?.
Miền nghiệm của bất phương trình  x  2  2  y  2   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm
A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  4; 2  .

D. 1; 1 .

Lời giải
Chọn
C.
Ta có:  x  2  2  y  2   2 1  x    x  2  2 y  4  2  2 x  x  2 y  4 .
Dễ thấy tại điểm  4; 2  ta có: 4  2.2  8  4 .
Câu 9.

Câu nào sau đây đúng?.
Miền nghiệm của bất phương trình 3  x  1  4  y  2   5 x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm
A.  0;0  .

B.  4; 2  .

C.  2; 2  .

D.  5;3 .

Lời giải
Chọn

A.
Trang 5


Ta có: 3  x  1  4  y  2   5 x  3  3 x  3  4 y  8  5 x  3  2 x  4 y  8  0  x  2 y  4  0
Dễ thấy tại điểm  0;0  ta có: 0  2.0  4  4  0 .
Câu 10. Câu nào sau đây sai?.
Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2  2 y  5   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm
A.  3; 4  .

B.  2; 5  .

C.  1; 6  .

D.  0;0  .

Lời giải
Chọn
D.
Ta có: x  3  2  2 y  5   2 1  x   x  3  4 y  10  2  2 x  3 x  4 y  8  0 .
Dễ thấy tại điểm  0;0  ta có: 3.0  4.0  8  0 (mâu thuẩn).
Câu 11. Câu nào sau đây đúng?.
Miền nghiệm của bất phương trình 4  x  1  5  y  3  2 x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  1;1 .

D.  2;5  .

Lời giải
Chọn
D.
Ta có: 4  x  1  5  y  3  2 x  9  4 x  4  5 y  15  2 x  9  2 x  5 y  10  0 .
Dễ thấy tại điểm  2;5  ta có: 2.2  5.5  10  0 (đúng).
Câu 12. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2  y  3  4  x  1  y  3 là phần mặt phẳng chứa điểm
nào?
A.  3;0  .

B.  3;1 .

C. 1;1 .

D.  0;0  .

Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số 1;1 thỏa bất phương trình.
Câu 13. Miền nghiệm của bất phương trình 5  x  2   9  2 x  2 y  7 là phần mặt phẳng không chứa
điểm nào?
A.  2;1 .

B.  2;3 .

C.  2; 1 .

D.  0;0  .

Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số  2;3 khơng thỏa bất phương trình.
Câu 14. Trong các cặp số sau đây, cặp nào khơng là nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 ?
A.  2;1 .

B.  3; 7  .

C.  0;1 .

D.  0;0  .

Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số  0;1 khơng thỏa bất phương trình.
Câu 15. Trong các cặp số sau đây, cặp nào khơng là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5  0 ?
A.  5;0  .

B.  2;1 .

C. 1; 3 .
Lời giải

ChọnB.

Trang 6

D.  0;0  .


Ta thay cặp số  2;1 vào bất phương trình x  4 y  5  0 được 2  4  5  0 (sai) đo dó cặp số

 2;1
Câu 16.

khơng là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5  0 .

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. 2 x  5 y  3 z  0 .

B. 3 x 2  2 x  4  0 .

C. 2 x 2  5 y  3 .

D. 2 x  3 y  5 .

Lời giải
Chọn
D.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 17.

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y  3  0 ?
A. Q  1; 3 .

 3
B. M 1;  .
 2

C. N 1;1 .

3

D. P  1;  .
2


Lời giải
Chọn

B.

Tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình 2 x  y  3  0 là nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng 2 x  y  3  0 và không chứa gốc tọa độ.
 3
Từ đó ta có điểm M 1;  thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y  3  0 .
 2

Câu 18. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  y  2  0 không chứa điểm nào sau đây?
A. A 1 ; 2  .
Chọn

B. B  2 ; 1 .

 1
C. C 1 ;  .
 2
Lời giải

D. D  3 ; 1 .

A.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  y  2  0.
Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d  không chứa điểm  0 ; 0  .

Trang 7


Câu 19. Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2(2 y  5)  2(1  x) không chứa điểm nào sau đây?
A. A  1 ;  2  .

2
 1
B. B   ;   .
 11 11 

C. C  0 ;  3 .

D. D  4 ; 0  .

Lời giải
Chọn

B.

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3 x  4 y  11  0.
Ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  4 y  11  0.
Ta thấy  0 ; 0  khơng là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 20. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 không chứa điểm nào sau đây?
A. A 1 ; 1 .

B. B  2 ; 2  .

C. C  3 ; 3 .

D. D  1 ;  1 .

Lời giải
Chọn

D.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 2 x  y  1.
Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (khơng kể bờ  d  ) không chứa điểm

 0 ; 0.



 



Câu 21. Miền nghiệm của bất phương trình 1  3 x  1  3 y  2 chứa điểm nào sau đây?
A. A 1 ;  1 .
Trang 8

B. B  1 ;  1 .

C. C  1 ; 1 .





D. D  3 ; 3 .


Lời giải
Chọn

A.



 



Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 1  3 x  1  3 y  2.

Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d  không chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 22. Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2  y  1  2 x  4 chứa điểm nào sau đây?
A. A 1 ; 1 .

B. B 1 ; 5  .

C. C  4 ; 3 .

D. D  0 ; 4  .

Lời giải
Chọn B

Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành  x  2 y  8  0.
Vẽ đường thẳng  d  :  x  2 y  8  0.
Ta thấy  0 ; 0  khơng là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (khơng kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 23. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  2 y  2  2  0 chứa điểm nào sau đây?
A. A 1 ; 1 .

B. B 1 ; 0  .

C. C





2; 2 .

D. D





2; 2 .

Lời giải
Chọn

A.

Trang 9


Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 2 x  2 y  2  2  0.
Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  d  chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 24. Cho bất phương trình 2 x  4 y  5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A. 1;1  S .

B. 1;10   S .

C. 1; 1  S .

D. 1;5   S .

Lời giải
ChọnC.
Ta thấy 1; 1 thỏa mãn hệ phương trình do đó 1; 1 là một cặp nghiệm của hệ phương trình.
Câu 25. Cho bất phương trình x  2 y  5  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.  2; 2   S .

B. 1;3  S .

C.  2; 2   S .

D.  2; 4   S .

Lời giải
Chọn
A.
Ta thấy  2; 2   S vì 2  2.2  5  0 .
Câu 26. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là
y

y
3

3

A.

B.
2
O

Trang 10

x

2
O

x


y
y
2

3

x

O

C.

D.
2

O

3

x

Lời giải
y

Chọn
C.
Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

3

Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền
nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  d  chứa điểm  0 ; 0  .

2

x

O

Câu 27. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là
y

y

3

A.

3

B.
x

2

2

O

x

O

y

y
2

3

C.

D.

2

O

x

x

O

3

Lời giải

y

Chọn
A.
Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

3

Ta thấy  0 ; 0  khơng phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (khơng kể bờ  d  )

2

x

O

không chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 28. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là
Trang 11

y

y
3

3

A.

B.
2

x

2

x

O

O

y
y
2

3

x

O

C.

D.
2

3

x

O

Lời giải

y

Chọn D.
Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

2

Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy
miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  )

3

chứa điểm  0 ; 0  .
Câu 29. Cho bất phương trình 2 x  3 y  2  0 có tập nghiệm là S .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. 1;1  S .

 2 
B. 
.
 2 ;0   S



C. 1; 2   S .

D. 1;0   S .

Lời giải
ChọnB.
 2 
2
 3.0  2  0 .
Ta thấy 
vì 2.
 2 ;0   S
2



Câu 30. Cặp số ( x; y )   2;3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. 4 x  3 y .

B. x – 3 y  7  0 .

C. 2 x – 3 y –1  0 .
Lời giải

Chọn D.
Ta có 2  3  1  0 nên Chọn D.
Câu 31.
Trang 12

Cặp số  x0 ; y0  nào là nghiệm của bất phương trình 3 x  3 y  4 .

x

O

D. x – y  0 .


A.  x0 ; y0    2; 2  .

B.  x0 ; y0    5;1 .

C.  x0 ; y0    4;0  .

D.  x0 ; y0    2;1 .

Lời giải
Chọn
B.
Thế các cặp số  x0 ; y0  vào bất phương trình:

 x0 ; y0    2; 2   3x  3 y  4  3  2   3.2  4 (vơ lí)
 x0 ; y0    5;1  3x  3 y  4  3.5  3.1  4 (đúng)
 x0 ; y0    4;0   3x  3 y  4  3.  4   3.0  4 (vơ lí)
 x0 ; y0    2;1  3x  3 y  4  3.2  3.1  4 (vơ lí).

Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Giải bài tốn biểu diễn hình học tập nghiệm hay miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta
lần lượt biểu diễn miền nghiệm các bất phương trình trong hệ. Nếu ta quy ước miền nghiệm của mỗi bất
phương trình trong hệ là miền khơng bị gạch (tức là miền gạch đi không phải là miền nghiệm của bất
phương trình) thì miền cịn lại khơng bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
- Giả sử tập hợp những điểm M  x; y  trong mặt phẳng Oxy là miền giới hạn bởi đa giác A1 A2...An . Khi đó
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức P  ax  by (với a 2  b 2  0 ) đạt được tại một trong các đỉnh của
miền đa giác.
A. Bài tập tự luận
Câu 1.

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau

x  y  2  0
a) 
x  3y  3  0

x  y  0

b) 2 x  3 y  6  0
x  2 y 1  0


Lời giải.
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ các đường thẳng d : x  y  2  0 và d  : x  3 y  3  0 .
Xét điểm O  0;0  , ta thấy  0;0  khơng phải là nghiệm của bất phương trình x  y  2  0 và x  3 y  3  0
do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng khơng được tơ màu trên hình vẽ cả hai đường thẳng d và d  .

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ các đường thẳng d : x  y  0 , d  :  2 x  3 y  6  0 và d  : x  2 y  1  0 .

Trang 13


Xét điểm O  0;0  , ta thấy  0;0  là nghiệm của bất phương trình 2 x  3 y  6  0 và x  2 y  1  0 . Do đó
O  0;0  thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x  3 y  6  0 và x  2 y  1  0 .

Xét điểm M 1;0  , ta thấy 1;0  là nghiệm của bất phương trình x  y  0 do đó điểm M 1;0  thuộc miền
nghiệm bất phương trình x  y  0 .
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng khơng được tơ màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng d  .

x  2 y  0
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình 
.
x  3y  3
Lời giải
- Vẽ các đường thẳng d1 : x  2 y  0 ; d2 : x  3y  3 .
Câu 2.

- Điểm M 1;0  có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tơ đậm các nửa mặt phẳng bờ

d1; d2 không chứa điểm M . Miền không bị tô đậm (miền chứa điểm M ), khơng tính các bờ d1; d2 (hình vẽ)
là miền nghiệm của hệ đã cho.

 x  2 y  6
x  y  4

Câu 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình 
.
x  0
 y  0
Lời giải
- Vẽ các đường thẳng d1 :  x  2 y  6 ; d2 : x  y  4 ; trục Oy : x  0 ; trục Ox : y  0 .

- Điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tơ đậm các nửa mặt phẳng bờ

d1; d2 ; Ox; Oy không chứa điểm M . Miền không bị tô đậm là hình tứ giác OABC kể cả bốn cạnh
OA, AB, BC , CO trong hình vẽ dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Trang 14


y
d1
A

B
M

O

Câu 4.

C

d2

x

3 x  y  1

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 x  y  6 .
x  3y  3


Lời giải
- Vẽ các đường thẳng d1 :3x  y  1; d2 : 2x  y  6 ; d3 : x  3 y  3

- Điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ

d1; d2 ; d3 không chứa điểm M . Miền không bị tơ đậm là hình tam giác ABC khơng tính cạnh AC trong
hình vẽ dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

y

d1
B

M
A

C
O 1

d3 x
d2

Câu 5.

3 x  y  1

Cho cặp  x; y  là nghiệm của hệ 2 x  y  6 (*). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
x  3y  3


f  x; y   2 x  3 y  1 .
Lời giải
* Trước hết ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*):
+ Vẽ các đường thẳng d1 :3x  y  1; d2 : 2x  y  6 ; d3 : x  3 y  3

+ Điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ

d1; d2 ; d3 không chứa điểm M . Miền không bị tơ đậm là hình tam giác ABC , tính cả ba cạnh AB, BC , CA
trong hình vẽ dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Trang 15


y

d1
B

M
A

C
O 1

d3 x
d2

* Tìm tọa độ các điểm A, B, C :

3 x  y  1  x  0
+ A  d1  d3 nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ 
. Vậy A  0;1 .

x

3
y

3
y

1


3
x

y



1

x  1
+ B  d1  d2 nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ 
. Vậy B 1; 4  .

2
x

y

6
y

4


2
x

y

6

x  3
+ C  d2  d3 nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ 
. Vậy C  3;0  .


x

3
y

3
y

0


* Tính giá trị của f  x; y   2 x  3 y  1 tại tất cả các đỉnh của tam giác ABC :

Suy ra

 x; y 
f  x; y   2 x  3 y  1
min f  x; y   f 1; 4   9

Câu 6.

A  0;1

B 1; 4 

C  3;0 

2

9

7

và max f  x; y   f  3;0   7 .

Trong mặt phẳng Oxy , cho tứ giác ABCD có A  2;0  ; B  0;3 ; C  3; 2  và D  3; 2  (tham
khảo hình vẽ). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho điểm M  m; m  1 nằm trên hình tứ giác

ABCD tính cả bốn cạnh AB, BC , CD, DA .
y
B
C
O
A

x
D

Lời giải
* Nhận thấy hình tứ giác ABCD tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất
phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm O  0;0  và lần lượt có các bờ là các đường
AB, BC , CD và DA .
- Phương trình đường thẳng AB : 3 x  2 y  6 . Bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ AB
(tính cả bờ AB ) và chứa điểm O là 3 x  2 y  6 .
- Phương trình đường thẳng BC : x  3 y  9 . Bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ BC
(tính cả bờ BC ) và chứa điểm O là x  3 y  9 .
- Phương trình đường thẳng CD : x  3 . Bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ CD (tính cả
bờ CD ) và chứa điểm O là x  3 .
- Phương trình đường thẳng DA : 2 x  5 y  4 . Bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ DA
(tính cả bờ DA ) và chứa điểm O là 2 x  5 y  4 .

Trang 16


Như vậy hình tứ giác ABCD tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình
3 x  2 y  6
x  3y  9

(*).

x

3

2 x  5 y  4
* Điểm M  m; m  1 nằm trên hình tứ giác ABCD tính cả bốn cạnh của nó khi và chỉ khi  m; m  1 là một

m  4
3m  2  m  1  6


m  3
m  3  m  1  9

2 9 m 3
nghiệm của hệ (*) , tức là 
.

m

3

7
2
m  3

2m  5  m  1  4

9

m  
7

9
3
Vậy các giá trị m cần tìm là   m  .
7
2
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 7.

 x y20
Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình 
là
2 x  3 y  2  0
A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  1;1 .

D.  1; 1 .

Lời giải
ChọnC.
Ta thay cặp số  1;1 vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
Câu 8.

Câu nào sau đây đúng?.

 x y
 2  3 1  0

3y

 4 là phần mặt phẳng chứa điểm
Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x  1) 
2

x0



A.  2;1 .

B.  0;0  .

C. 1;1 .

D.  3; 4  .

Lời giải

Chọn
A.
Nhận xét: chỉ có điểm  2;1 thỏa mãn hệ.
Câu 9.

2 x  3 y  1  0
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
?
 5x  y  4  0
A.  1; 4  .

B.  2; 4  .

C.  0;0  .

D.  3; 4  .

Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có điểm  0;0  khơng thỏa mãn hệ.

2 x  5 y  1  0

Câu 10. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 x  y  5  0 ?
 x  y 1  0

Trang 17


A.  0;0  .

B. 1;0  .

C.  0; 2  .

D.  0; 2  .

Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có điểm  0; 2  thỏa mãn hệ.

 x y 0

Câu 11. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  3  0 là phần mặt phẳng chứa điểm
 x  y 5  0

A.  5;3 .

B.  0;0  .

C. 1; 1 .

D.  2; 2  .

Lời giải
Chọn
A.
Nhận xét: chỉ có điểm  5;3 thỏa mãn hệ.

3 x  y  9

x  y  3

Câu 12. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm
2 y  8  x
 y  6
A.  0;0  .

B. 1; 2  .

C.  2;1 .

D.  8; 4  .

Lời giải
ChọnD.
Nhận xét: chỉ có cặp số  8; 4  thỏa bất phương trình 3 x  y  9 .
Câu 13.

x  y  0
Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
2 x  5 y  0
định đúng?
 1
 1 2
A. 1;1  S .
B.  1; 1  S .
C. 1;    S .
D.   ;   S .

 2
 2 5
Lời giải
Chọn C
Thế đáp án, chỉ có x  1; y  

Câu 14.

1
thỏa mãn hệ bất phương trình  chọn C
2

3 x  y  6
x  y  3

Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm:
2 y  8  x
 y  4
A.  2;1 .

B.  6;4  .

C.  0;0  .

D. 1;2  .

Lời giải
Chọn A
Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có

toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế x  6; y  4 vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng:

22  6; 6  1; 8  2; 4  4 . Vậy ta chọn đáp án B .
Đáp án A có toạ độ khơng thoả bất phương trình thứ 3.
Trang 18


Đáp án C, D có toạ độ khơng thoả bất phương trình thứ 1 và 3.
Câu 15. Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn
hệ bất phương trình dưới đây?

y  0

A. 5 x  4 y  10 .
5 x  4 y  10


x  0

B. 5 x  4 y  10 .
4 x  5 y  10


x  0

C. 4 x  5 y  10 .
5 x  4 y  10


x  0

D. 5 x  4 y  10 .
4 x  5 y  10


Lời giải
Chọn
D.
Cạnh AC có phương trình x  0 và cạnh AC nằm trong miền nghiệm nên x  0 là một bất
phương trình của hệ.
x y
5 
Cạnh AB qua hai điểm  ; 0  và  0; 2  nên có phương trình:   1  4 x  5 y  10 .
5 2
2 
2
x  0

Vậy hệ bất phương trình cần tìm là 5 x  4 y  10 .
4 x  5 y  10


x  0
Câu 16. Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng

x  3y 1  0
định đúng?



A. 1; 1  S .



B. 1;  3  S .





C. 1; 5  S .





D. 4; 3  S .

Lời giải
ChọnC.





Ta thấy 1; 5  S vì 1  0 .

x  0

Câu 17. Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
x

3
y

1

0


định đúng?

A.  1; 2   S .

B.





2;0  S .





C. 1;  3  S .

D.





3;0  S .

Lời giải
ChọnD.
Ta thấy



 3  0
.
3;0  S vì 
3

3.0

1

0




Trang 19

x  y  3

Câu 18. Cho hệ bất phương trình  1
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
1  2 x  y  0
đúng ?
A. 1; 2   S .
B.  2;1  S .
C.  5; 6   S .
D. S   .
Lời giải
Chọn D.
Vì khơng có điểm nào thỏa hệ bất phương trình.

3

2 x  y  1
Câu 19. Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
2
4 x  3 y  2
đúng ?
 1

A.   ; 1  S .
 4

B. S   x; y  | 4 x  3 y  2 .

C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường
thẳng 4 x  3 y  2 .
D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y  2 .
Lời giải
Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
3
 d1  : 2 x  y  1
2
 d2  : 4 x  3 y  2
Thử trực tiếp ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của phương trình (2) nhưng khơng phải là nghiệm của
phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình
chính là các điểm thuộc đường thẳng  d  : 4 x  3 y  2.

2 x  3 y  5 (1)

Câu 20. Cho hệ 
. Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 2 là tập nghiệm của bất
3
 x  2 y  5 (2)
phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S1  S 2 .
B. S 2  S1 .
C. S 2  S .
D. S1  S .
Trang 20

Lời giải
Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
 d1  : 2 x  3 y  5

 d2  : x 

3
y5
2

Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai
miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, miền khơng bị
gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 21. Phần khơng gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ A, B, C, D?
y
3

2

x

O

y  0
A. 
.
3 x  2 y  6

y  0
B. 
.
3 x  2 y  6

x  0
C. 
.
3 x  2 y  6
Lời giải

x  0
D. 
.
3 x  2 y  6

Chọn A.
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng  d1  : y  0 và đường thẳng

 d 2  : 3x  2 y  6.
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.
Lại có  0 ; 0  thỏa mãn bất phương trình 3 x  2 y  6.

x  2 y  0

Câu 22. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  2 chứa điểm nào sau đây?
y  x  3

Trang 21

A. A 1 ; 0  .

B. B  2 ; 3 .

C. C  0 ;  1 .

D. D  1 ; 0  .

Lời giải
Chọn
D.
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
 d1  : x  2 y  0

 d 2  : x  3 y  2
 d3  : y  x  3
Ta thấy  0 ; 1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  0 ; 1

thuộc cả ba

miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, miền không bị
gạch là miền nghiệm của hệ.

2 x  3 y  6  0

Câu 23. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  0
chứa điểm nào sau đây?
2 x  3 y  1  0


A. A 1 ; 2  .

B. B  0 ; 2  .

C. C  1 ; 3 .

1

D. D  0 ;   .
3


Lời giải
Chọn

D.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
 d1  : 2 x  3 y  6  0

 d2  : x  0
 d3  : 2 x  3 y  1  0
Ta thấy 1 ; 1 là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm 1 ; 1

thuộc cả

ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.

2 x  1  0
Câu 24. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây?
3 x  5  0
5 
1

A. Khơng có.
B. B  ; 2  .
C. C  3 ; 1 .
D. D  ; 10  .
3 
2

Lời giải
Chọn
A.

Trang 22


Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
 d1  : 2 x  1  0

 d 2  : 3x  5  0
Ta thấy 1 ; 0  là

khơng nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 1 ; 0 

khơng thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy khơng có điểm nằm trên mặt

phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.

3  y  0
Câu 25. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây?
2 x  3 y  1  0
A. A  3 ; 4  .

B. B  4 ; 3 .

C. C  7 ; 4  .

D. D  4 ; 4  .

Lời giải
Chọn

C.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
 d1  : 3  y  0

 d2  : 2 x  3 y  1  0
Ta thấy  6 ; 4  là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  6 ; 4 

thuộc cả hai

miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, miền không bị
gạch là miền nghiệm của hệ.
Trang 23

x  2 y  0
Câu 26. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
khơng chứa điểm nào sau đây?
 x  3 y  2
A. A  1 ; 0  .

B. B 1 ; 0  .

C. C  3 ; 4  .

D. D  0 ; 3 .

Lời giải
Chọn

B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
 d1  : x  2 y  0

 d 2  : x  3 y  2
Ta thấy  0 ; 1 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  0 ; 1

thuộc cả hai

miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần khơng thích hợp, phần khơng bị
gạch là miền nghiệm của hệ.
3 x  2 y  6  0


3y

Câu 27. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x  1) 
 4 không chứa điểm nào sau đây?
2

 x  0

A. A  2 ;  2  .

B. B  3 ; 0  .

C. C 1 ;  1 .
Lời giải

Chọn
C.
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
 d1  : 3x  2 y  6  0

 d 2  : 4 x  3 y  12  0
 d3  : x  0
Trang 24

D. D  2 ;  3 .


Ta thấy  2 ;  1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  2 ;  1 thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền khơng thích hợp, miền khơng

bị gạch là miền nghiệm của hệ.

x  y  0

Câu 28. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  3 không chứa điểm nào sau đây?
x  y  5

A. A  3 ; 2  .

B. B  6 ; 3 .

C. C  6 ; 4  .

D. D  5 ; 4  .

Lời giải
Chọn

A.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
 d1  : x  y  0

 d 2  : x  3 y  3
 d3  : x  y  5
Ta thấy  5 ; 3 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  5 ; 3

thuộc cả ba

miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền khơng thích hợp, miền khơng bị gạch

là miền nghiệm của hệ.

x  3y  0

Câu 29. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  2 y  3 không chứa điểm nào sau đây?
y  x  2


A. A  0 ; 1 .

B. B  1 ; 1 .

C. C  3 ; 0  .

D. D  3 ; 1 .

Lời giải
Chọn

C.
Trang 25