Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 12 pptx

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12


Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút

CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x
3
+mx
2
+9x+4 (Cm)
1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính:
I=

3/
4/
4


xdxtg

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
; y= 4x
2
; y = 4.

CâuIII (2 điểm):
1.Cho phương trình: (m+3)x
2
- 3mx + 2m = 0
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
sao cho 2x
1
- x
2
= 3.
2 Xác định m để tam thức bậc hai:
f(x)= x
2
+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với

x 4
Câu IV (2 điểm):
1. giải hệ phương trình: x + y + xy = 11
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28
2. Giải và biện luận phương trình:
mxmxx 
2

Câu V (2 điểm):
Cho phương trình: 2Cos
2
x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phương trình với m =
2
3

2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x 






2
3
;
2


Câu VI (2 điểm):
1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu ABC là  nhọn, c/m tgA + tgB + tgC 
33

Câu VII (2 điểm):
1. Tìm:
1
23

lim
3
1



x
xx
x

2. Giả phương trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

Câu XIII (2 điểm):
1. giải phương trình: log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1
2. Cho (H) có phương trình: x
2
- 3y
2
= 1 và đường thẳng : kx + 3y -1 = 0
a, Xác định k để  tiếp xúc với (H)
b, Tìm tọa độ tiếp điểm.

Câu IX (2 điểm):
1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là:
(P): Ax + By + Cz + D
1
= 0 (1)
(Q): Bx + Cy + Az + D
2
= 0 (2)
(P): Cx + Ay + Bz + D
3
= 0 (3)
Với điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
> 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện ABCD có AB  mp(BCD), BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những  vuông.
Câu X (2 điểm):
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)

2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ
số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: Toán- Đề số I
(Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang)

Câu I:

1. y' = 3x
2
+ 2mx + 9
Hàm số có CĐ CT'  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ)
 ' = m
2
- 27 > 0
 m (-;
33
)  (
33
;+) (0,5đ)
2. Giả sử A(x
1

; y
1
) và B(-x
1
; -y
1
) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng
thuộc (Cm) (0,25đ)
Khi đó: y
1
=
49
1
2
1
3
1
 xmxx
(1)
-y
1
=
49
1
2
1
3
1
 xmxx
(2) (0,25đ)

Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:

04
2
1
mx
(0,25đ)

4
2
1
mx
có nghiệm  m < 0 (0,25đ)

Câu II:
1. Ta có:
I =
dx
x
x
2
3/
4/
2
2
cos
sin












=


dx
x
x


3/
4/
4
2
2
cos
cos1


(0,25đ)

=
dxdx
x

dx
dx
x
dx


3/
4/
3/
4/
2
3/
4/
4
cos
2
cos






(0,25đ)

=
 
3/
4/
3/

4/
3/
4/
2
2)(1






xtgxtgxdxtg 

(0,25đ)

=
123
2
2
3
1
3/
4/
3/
4/
3/
4/
3















 xtgxxtgtgx
(0,25đ)

2. Giao điểm hai đường y=x
2
có hoành độ là : x

2
Giao điểm y=4 với y = 4x
2
có hoành độ là x=

1
Giao điểm hai đường y=x
2
và y= 4x
2
có hoành độ x=0 (0,5đ)

y = 4
y = x
2
y = 4x
2
y

x


Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :
S=2










dxxdxxx
2
1
2
1
0

22
44


= 2









 
1
0
2
1
2
2
1
2
43 dxxdxdxx
= 2








2
1
3
2
1
1
0
3
3
1
4 xxx
=
3
16
(đv dt) (0,5đ)




Câu III
1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
ta có :













3
2
32
3
3
21
21
21
m
m
xx
xx
m
m
xx
(đk m-3) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta có : x
1
=
3
32



m
m
và x
2
=
3
3


m
m
(0,25đ)
Thay vào (3) ta được
1
99
3
)3(2)3)(32(
3
3
2
3
3
3
32





















m
m
m
mmmm
m
m
m
m
m
m
m
(0,25đ)
Với m=-1 phương trình viết : 2x
2

+3x -2 =0
 x
1
=
2
1
, x
2
=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ)
2. Tam thức đã cho dương với x - 4
Khi và chỉ khi

































2
4
0)4(
0
0
4
0
0
21
s
af
xx
(0,25đ)

-4

x

S /2

2
1

x


+

+

–


2/7
132/7
13
5
2/7
13
13
0
2
5
072

032
032
2
2














































m
mm
m
m
m
mm
m
m
m
mm
mm

(0,5đ)

Câu IV:
1. Đặt





Pxy
Syx






)2(2823
)1(11
2
PSS
PS
(0,25đ)
(1)  P = 11 - S thế vào (2) ta được: S
2
+ 5S - 50 = 0
giải được: S
1
= 5; S
2

= -10
* với S
1
=5  P
1
= 6  hệ (I)





6
5
xy
yx
(0,25đ)
* với S
2
= -10  P
2
= 21  hệ (II)





21
10
xy
yx

(0,25đ)
* giải hệ (I) ta được 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2)
* giải hệ (II) ta được 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3)
vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:
(2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3) (0,25đ)

2. Giải và biện luận phương trình:
mxmxx 
2

Giải:
Phương trình tương đương với:












)2(3
)1(
)()(
0
222
mmx

mx
mxmxx
mx
(0,25đ)
Xét hai trường hợp:
* m  0: ta có: x=
3
m

theo điều kiện (1) ta phải có
3
m

-m 
0
3
2
m
 m>0 (0,25đ)
* m=0: x đều thỏa mãn phương trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x0
(0,25đ)
Vậy:
+ m<0 phương trình vô nghiệm
+ m>0 phương trình có nghiệm x=
3
m


+ m=0 phương trình co nghiệm x  0 (0,25đ)

Câu V:
Cho phương trình : 2cos
2
x - (2m+1)cosx + m = 0
Hệ

(0,25 đ)
Đặt: cosx = t;
1t

p/t  2t
2
- (2m+1)t + m =0
 = (2m-1)
2
0  t
1
=
2
1
và t
2
=m (0,25đ)
a. với m =
2
3
thì:
* nghiệm t
2

= cosx =
2
3
(loại)
* vậy t
1
= cosx =
2
1
= cos
3

 x= 


2
3
k
(k Z) (0,5đ)
b. Để phương trình có nghiệm
)
2
3
;
2
(


x

thì cosx < 0
 -1  m < 0 (0,25đ)

Câu VI:
1. Trong ABC ta có A=-(B+C)
tgA =tg(-(B+C)) = -tg(B+C)
(0,25đ)
tgA=-
tgCtgB
tgCtgB
.1

(0,25đ)
tgA-tgA.tgB.tgC = -tgB -tgC (0,25đ)
tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm). (0,25đ)
2.ABC là  nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
tgA+tgB+tgC 
3
tgC.tgA.tgB3

(0,25đ)
từ kết quả câu 1, ta có:
tgA+tgB+tgC  3
3
tgCtgBtgA 
(0,25đ)
 (tgA+tgB+tgC)
3
 27(tgA+tgB+tgC) (0,25đ)

 (tgA+tgB+tgC)
2
 27
 tgA+tgB+tgC
33
(đpcm) (0,25đ)
Câu VII
1.
1
23
lim
3
1



x
xx
x
=
)23)(1(
23
lim
3
6
1



xxx

xx
x
(0,5đ)

=
)23)(1(
)2)(1(
lim
3
12345
1



xxx
xxxxxx
x
(0,25đ)
23
)2(
lim
3
12345
1



xx
xxxxx
x

=
2
3
(0,25đ)

2. giải phương trình: 8.3
x
+ 3.2
x
=24 + 6
x

 8(3
x
-3) - 2
x
(3
x
-3) = 0 (0,25đ)
 (3
x
-3)(8 - 2
x
) = 0 (0,25đ)















3
1
82
33
x
x
x
x
(0,25đ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x =1 và x =3 (0,25đ)

Câu VIII:
1. Giải phương trình: log
2
(3.2
x
-1)= 2x+1


















012.32.2
3
1
2
212.3
012.3
2
12
xx
x
xx
x
đặt t= 2
x
(t>0) (0,5đ)

























2
1
1
3
1
0132
3
1
2

2
1
2
t
t
t
tt
x








2
1
2
12
x
x









1
0
x
x
(phương trình có 2 nghiệm) (0,5đ)
2. Giải a, (H) 
1
3
/
1
1
22

yx

đưởng thẳng (): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi:
A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2

2413.
3
1

1.
222
 kkk
(0,25đ)
giải b: * Khi k=2 ta có (): 2x+3y-1=0 (1)
gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm của () và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có:
(): x
0
x-3y
0
y-1 = 0 (2)
so sánh (1) và (2) ta có: 1
1
1
3
3
2
00





yx

(0,25đ)






1
2
0
0
y
x
 tiếp điểm M
0
(2,
-1)
* khi k=-2 ta có (' ): -2x+3y-1=0 (3)
goi M
1
(x
1
, y
1
) là tiếp điểm của (') và (H).
theo công thức phân đôi tọa độ ta có:
('): x
1
x- 3y
1

y-1 = 0 (4) (0,25đ)
Từ (3) và (4) ta có:
(thỏa)


A
B
C
D














1
2
1
1
1
3
3

2
1
1
11
y
x
yx

 M
1
(-2, -1)
Vậy 2 tiếp điểm là



1)- (-2,M
1)- (2,M
1
0
(0,25đ)

Câu IX
1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lượt là:

),,( CBAn
P



),,( ACBn

Q


(0,5đ)
),,( BACn
R



ta có:
0 

CABCABnnnnnn
PRRQQP

Vậy 3 mặt phẳng (P), (Q) ,(R) đôi một vuông góc. (0,5đ)

2. c/m: * AB  mp(BCD)






BDAB
BCAB
hay ABC và ABD vuông tại B.
gt cho BCD vuông tại C và AB(BCD) nên BC
là hình chiếu AC trên (BCD)
theo định lí 3 đường vuông góc  CDAC

hay ACD vuông tại C.



Câu X
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của . cm: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab+bc+ca)
Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của  nên:
a,b,c dương và:


















)3(
)2(
)1(
2
2
2
bcacc
abbcb
acaba
bac
acb
cba
(0,5đ)
cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
<2(ab+bc+ca) (đpcm) (0,5đ)

2. Giải: các chữ số lớn hơn 4 là 5, 6, 7, 8, 9 (0,25đ)
Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử. (0,5đ)
Tức là:
P
5
= 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (0,25đ)
Đáp số: 120 số

(0,5đ)
(0,5đ)


Tài liệu:
* Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12
* Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục
* Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT
* Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục)

