Đạo hàm và phương pháp giải bài tập

Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
3
y x
=
b)
2
3 1y x= +
c)
1y x
= +
d)
1
1
y
x
=
−
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1)
= − + −
3 2
5
3 2
x x
y x
2)
3
2

2
5
+−=
x
xy
3)
= − + −
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x x x x
4)
)13(5
2
−= xxy
5) y = (x
3
– 3x )(x
4
+ x
2
– 1) 6)
32
)5( += xy
7)
)35)(1(
22
xxy
−+=

8)
)23)(12(
+−=
xxxy
9)
32
)3()2)(1( +++= xxxy

10)
( )
 
= + −
 ÷
 
2
3 1y x x
x
11)
3
2y x
=
12) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5

13)
4 2

3y x x= +
14)
( )
( ) ( )
2
2 1 2 3 7y x x x
= + − +
15)
2
2 5
2
x
y
x
−
=
+
16)
2
1
2 3 5
y
x x
=
+ −
17)
3
2
2
1

x x
y
x x
−
=
+ +
18)
− + +
=
−
2
2
7 5
3
x x
y
x x

19)
76
2
++= xxy
20)
21
++−=
xxy
21)
1)1(
2
+++=

xxxy

22)
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y
23)
1 x
y
1 x
+
=
−
24)
( )
3
2
2 3 1y x x= + −
25)
( )
3
2 3
2y x x x x
= + + −

26) y =
x
(x
2
-
x
+1) 7)
3
2
2 3
2
x
y x x
x
 
= + −
 ÷
 ÷
−
 

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x
3
) 3) y = x.cotx 4)
2
)cot1( xy
+=
5)
xxy

2
sin.cos
=
6)
3
1
cos cos
3
y x x
= −
7)
2
sin
4
x
y
=
8)
xx
xx
y
cossin
cossin
−
+
=
9)
3
y cot (2x )
4

π
= +

10)
2
sin (cos3 )y x
=
11)
3
2
y cot 1 x= +
12)
xxy 3sin.sin3
2
=
13)
2
y 2 tan x
= +
14)
3
cosx 4
y cot x
3sin x 3
= − +
15)
sin(2sin )y x
=
16)
4

sin 3y xp= -
17)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=
18)
xsinx
y
1 tanx
=
+
19)
sinx x
y
x sinx
= +
20)
y 1 2tanx
= +

Bài 4: Cho hai hàm số :
4 4
( ) sin cos f x x x= +
và
1
( ) cos 4

4
g x x
=
Chứng minh rằng:
'( ) '( ), ( )f x g x x R
= ∀ ∈
.
GV: Nguyễn Quang Tánh 1
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11
Bài 5: Cho
23
23
+−=
xxy
. T×m x ®Ĩ: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a)
0
2
x
x
<


>

b)
1 2 1 2x
− < < +
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) =

xxcosxsin3
+−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài 7: Cho hàm số
f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)
= + + −
Bài 8: a) Cho hàm số:
2
22
2
++
=
xx
y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
b) Cho hàm số
3
4
x
y
x
−
=
+
. Chứng minh rằng: 2(y’)

2
=(y -1)y’’
c) Cho hàm số
= −
2
y 2x x
. Chứng minh rằng:
+ =
3
y y" 1 0
Bài 9: Chứng minh rằng
'( ) 0 f x x R
> ∀ ∈
, biết:
a/
9 6 3 2
2
( ) 2 3 6 1
3
f x x x x x x
= − + − + −
b/
( ) 2 sinf x x x
= +
Bài 10: Tính vi phân các hàm số sau:
a)
12
3
+−=
xxy

b)
2
sin
4
x
y
=
c)
76
2
++=
xxy

d)
xxy
2
sin.cos
=
e)
2
)cot1( xy
+=
Bài 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)
1
2
x
y
x
+

=
−
2)
2
2 1
2
x
y
x x
+
=
+ −
3)
2
1
x
y
x
=
−

4)
2
1y x x= +
5)
2
siny x x=
6)
2
(1 )cosy x x= −

7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1)
( )
3
6
''
2
y
x
=
−
2)
( )
3 2
3
2
4 10 30 14
''
2
x x x
y
x x
− + +
=
+ −
3)
( )
( )
2

3
2
2 3
''
1
x x
y
x
+
=
−
4)
( )
3
2 2
2 3
''
1 1
x x
y
x x
+
=
+ +
5)
( )
2
'' 2 sin 4 cosy x x x x
= − +
6)

2
'' 4 sin ( 3)cosy x x x x
= + −
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 12: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
1
1
y
x
=
+
b) y = sinx
ĐS: a)
( )
( )
( )
1
!
1
1
n
n
n
n
y
x
+
= −
+

b)
( )
sin
2
n
y x n
π
 
= +
 ÷
 
GV: Nguyễn Quang Tánh 2
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11
Bài 13: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
)12)(33(
22
−++−= xxxxy
; b)
)1)(23(
242
−++−= xxxxy
c)
)1
1
)(1( −+=
x
xy

d)

2
1
2
2
+
+
=
x
x
y
e)
52
)21( xy −=
f)
3
1
12






−
+
=
x
x
y
g)

32
)52(
1
+−
=
xx
y
k)
5
23
+−= xxy
l)
)12(sin
33
−= xy
m)
2
2sin xy +=
n)
xxy 5cos34sin2
32
−=
o)
32
)2sin2( xy +=

p)
)2(cossin
2
xy =

g)
2
2
tan
3
x
y =
r)
tan cot
2 2
x x
y = −
Bài 14 : Cho hàm số f(x) = x
5
+ x
3
– 2x - 3. Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
VẤN ĐỀ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
LÝ THUYẾT :
Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x
0
; y
0
)
∈
( C )
Phương pháp : Xác định x
0
, y
0

, f’( x
0
) và sử dụng cơng thức y = f’( x
0
).(x – x
0
) + y
0
Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( x
A
; y
A
)
Phương pháp :
B1 :Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k.(x – x
A
) + y
A
= g(x)
B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc :
( ) ( )
( )
'
f x g x
f x k
=



=



( nghiệm của hệ là hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến )
Giải hệ phương trình trên ta tìm được x
⇒
k
⇒
PTTT
Dạng 3 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
( song song hoặc vng góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm

⇒
f’(x
0
) = k với x
0
là hồnh độ tiếp điểm.
Giải phương trình trên ta tìm được x
0

⇒
y
0

.
⇒
PTTT y = k.(x – x
0
) + y
0
Chú ý :
i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x
iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
iv. Hai đường thẳng vng góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 .
Tức là nếu đường thẳng
∆
có hệ số góc a thì :
+ Đường thẳng d song song với
∆

⇒
d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vng góc với
∆

⇒
d có hệ số góc k =
1
a
−
Bài 1: Cho hàm số (C):
3 2
y x 3x .= −

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2).
Bài 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®êng cong
3
xy
=
:
a) T¹i ®iĨm (-1 ;-1) ;
b) T¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 2 ;
c) BiÕt hƯ sè gãc cđa tiÕp tun b»ng 3.
Bài 3: Cho hàm số
3x 1
y f(x)
1 x
+
= =
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a) Tại điểm A(2; –7); b) Tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
c) Tại giao điểm của (C) với trục tung; d) Biết tiếp tuyến song song với d:
1
y x 100
2
= +
.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
GV: Nguyễn Quang Tánh 3
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11
Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3 2
5 2y x x= − +

. Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến đó:
a) song song với đường thẳng
3 1y x= − +
; b) vng góc với đường thẳng
1
4
7
y x= −
c) đi qua điểm A(0;2)
Bài 5 . Cho đường cong (C):
2
2
x
y
x
+
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) tại điểm có hồnh độ bằng 1; b) tại điểm có tung độ bằng
1
3
; c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là
4
−
.
Bài 6. Cho hàm số
2 1
1
x

y
x
+
=
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a.Tại điểm có hồnh độ
1
2
x =
; b. Tại điểm có tung độ
1
2
y = −
; c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến
3k
= −
.
Bài 7. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a. Tại điểm có tung độ
1

2
y =
; b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
1
9
: 2013
2
d y x= − +
;
c. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
( )
2
1
: 1
8
d y x= −
.
Bài 8. Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a. Tại giao điểm của (C) và trục hồnh . b. Tại giao điểm của (C) và trục tung .
c. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

( )
1
8 1
:
9 3
d y x= − +
.
Bài 10: Cho hàm số
2
2
x x
y
x
+
=
−
(C)
a. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b. Viết PTTT của (C) tại điểm M có hồnh độ x
0
= -1.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
(C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x
0
= 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.

Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :
3 2
5 2y x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) :
a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =
1
7
x – 4.
GV: Nguyễn Quang Tánh 4