158 đề HSG toán 8 yên lập 2012 2013

UBND HUYỆN YÊN LẬP
PHÒNG GD & ĐT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MƠN THI: TỐN 8

 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2013
A


.
2
x

1
x

1
x

1
x


Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4 điểm)

4
2
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013 x  2012 x  2013
3
2
b) Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f ( x)  x  3 x  3x  1 chia hết cho

g ( x)  x 2  x  1
Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
x  241 x  220 x  195 x  166



 10
17
19
21
23
a)
b) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số di 7 đơn vị và tăng
mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghich đảo của phân số đã
cho. Tìm phân số đó.
Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh
AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM , đường thẳng này cắt tia BM
tại D, cắt tia BA tại E
·
·
a) Chứng minh : EA.EB  ED.EC và EAD  ECB
2

0
·
b) Cho BMC  120 và S AED  36cm . Tính S EBC
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM .BD  CM .CA có giá trị không đổi
d) Kẻ DH  BC  H  BC  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

BH , DH . Chứng minh CQ  PD
Câu 5. (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
P   a  b  c    
a b c
ĐÁP ÁN


Câu 1.
 x  1

x0
a) Điều kiện 
2
2
x  1   x  1  x 2  4 x  1 x  2013

A
.
x2  1
x
x  1  x  1  x  1  x  1  x 2  4 x  1 x  2013



.
x2  1
x
x  2013

x
b)
c) Ta có A nguyên   x  2013 Mx  x U (2013)
Vậy x là ước của 2013, x  1
Câu 2.
x 4  2013 x 2  2012 x  2013   x 4  x    2013 x 2  2013 x  2013
a)
 x  x  1 x 2  x  1  2013 x 2  x  1





  x 2  x  1  x 2  x  2013





3
2
2
b) Thực hiện phép chia x  3x  3x  1 cho x  x  1
Ta được thương là x  4, dư là 3

2
2
Để f  x  Mg  x  thì 3Mx  x  1 mà x  x  1  0 nên

 x2  x  1  1
 x  1; x  0

 2
 x  x  1  3  x  1; x  2
Vậy x   0; 1;1; 2 thì f  x  Mg ( x)
Câu 3.

x  241 x  220 x  195 x  166



 10
17
19
21
23
a)
x  241
x  220
x  195
x  166

1
2
3

40
17
19
21
23
x  258 x  258 x  258 x  258




0
17
19
21
23
1
1 
 1 1
  x  258        0  x  258
 17 19 21 23 
b) Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x  11


x
 x  11
x

11
Phân số cần tìm là

x7
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x  15
x
x  15

Theo bài ta có phương trình: x  11 x  7
Giải phương trình và tìm được x  5 (thỏa mãn)
5

Vậy phân số cần tìm là 6
Câu 4.

a) *Chứng minh EA.EB  ED.EC
EB ED
EBA : ECD( gg ) 

 EA.EB  EC.ED
EC
EA
Chứng minh
·
·
*Chứng minh EAD  ECB
·
·
Chứng minh EAD : ECB  cgc   EAD  ECB
0
0
0
·

·
·
b) Từ BMC  120  AMB  60  ABM  30


1
ED 1
EB 

0  ED 
µ
2
EB 2
Xét EDB vng tại D có B  30
2
S EAD  ED 
2

  S ECB  144cm
Lý luận cho S ECB  EB 
c) Chứng minh BMI : BCD ( g .g )
Chứng minh CM .CA  CI .BC
2
Chứng minh BM .BD  CM .CA  BC có giá trị khơng đổi
d) Chứng minh BHD : DHC ( g.g )
BH BD
2 BP BD
BP BD







DH DC
2 DQ DC
DQ DC
·
·
Chứng minh DPB : CQD  cgc   BDP  DCQ
0
·
·
Mà BDP  PCQ  90  CQ  PD
Câu 5.
a a b
b c c
a b a c  b c
   1     1  3          
b c a
c a b
b a c a c b
 P 3222 9
Vậy Pmin  9  a  b  c
P 1