123 đề HSG toán 8 phổ văn 2012 2013

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC: 2012-2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
4
 x  1  x 2  x 2  6   4 x  x 2  1
3
2
b) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  6 x  11x  6
Câu 2. (5 điểm)

a)

x
Chứng minh rằng

2

 y 2  z 2   2  x4  y 4  z 4 
2

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6






60
998 997
996
995
b) Tìm x, biết: 1000 999
Câu 3. (3 điểm)
3x  3
A 3
x  x2  x  1
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên?
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 4. (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A  AC  AB  , đường cao AH. Trên tia HC lấy

HD  HA. Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE  AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a)

 x  1

4

 x 2  x 2  6   4 x  x 2  1

 x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1  x 4  6 x 2  4 x3  4 x
1
Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x
3
2
b) x  6 x  11x  6
 x3  x 2  5 x 2  5 x  6 x  6
 x 2  x  1  5 x  x  1  6  x  1
  x  1  x 2  5 x  6 

  x  1  x  2   x  3
Câu 2.
a) Ta có: x  y  z  0  x    y  z 
2
 x 2     y  z  
x 2  y 2  z 2  2 yz  x 2  y 2  z 2  2 yz
  x 2  y 2  z 2    2 yz 
2

2

 x4  y 4  z 4  2 x2 y 2  2 x2 z 2  2 y 2 z 2  4 y 2 z 2
 x4  y 4  z 4  2 x2 y 2  2x2 z 2  2 y 2 z 2
 x4  y 4  z 4  x4  y 4  z 4  x4  y 4  z 4  2x2 y 2  2x2 z 2  2 y 2 z 2
 2  x4  y 4  z 4    x2  y 2  z 2 

2

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





60
1000 999
998
997
996
995
x 1
x2
x3
x4
x5
x6

1
1
1
1
1
1 0
1000
999
998
997
996

995

b)



x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001





0
1000
999
998
997
996
995


1
1
1
1
1 
 1
  x  1001 






  0  x  1001
 1000 999 998 997 996 995 
Câu 3.
a) A 

3  x  1
3  x  1
3x  3
3
 2


2
2
x  x  x  1 x  x  1   x  1  x  1  x 2  1 x  1
3

2
Muốn A nhận giá trị nguyên thì x  1U  3   1; 3
2
Nếu x  1  3  x 
2
Nếu x  1  1  x 
2
Nếu x  1  1  x  0  A  3
2
- Nếu x  1  3  x   2  A  1

b)
-



 2;0; 2
Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là
3
A 2
x  1 nhận giá trị lớn nhất khi x 2  1 có giá trị nhỏ nhất
c)
2
Mà x  1  1 với mọi x  ¡
Vậy Max A  3  x  0
Câu 4.

a) Kẻ EF  AH  Tứ giác HDEF là hình chữ nhật
 EF  HD mà HD  AH ( gt )  EF  AH




0
µ µ
·
·
·
 BAH
Xét HBA và FAE có: H  F  90 , AH  EF , FEA

(phụ FAE
)
Do đó: HBA  FAE  g .g   AE  AB

1
 AM  BE
2
b) Ta có BAE vng tại A
1
 DM  BE
2
BDE vng tại D
Do đó: AM  DM
Xét AHM và DHM có: AM  MD; AH  HD; HM là cạnh chung
·AHD
·
·
 AHM  DHM  AHM  MHD 
 450
2
0
·
Vậy AHM  45