LỜI GIẢI HSG TOÁN 8 TĨNH GIA 2012-2013

PHềNG GD&T TNH GIA K THI HC SINH GII CP HUYN
Nm hc 2012-2013
Mụn thi : TON 8
(Thi gian lm bi : 120 phỳt - Khụng tnh thi gian giao )
Bài 1 : (4.0 điểm)
Cho biểu thức : M =








+

+

1
1
1
1
224
2
xxx
x

+

+
2
4
4
1
1
x
x
x
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (4.0 điểm)
a, Chng minh rng A = n
3
+ (n+1)
3
+( n+2)
3


9 vi mi n

N
*
b, Giải phơng trình:

2 1
1
2011 2012 2013
x x x
=
Bài 3 : (5.0 điểm)
Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
a)
ABM
đồng dạng
ACN

b) góc AMN bằng góc ABC
2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của
BC; F là trung điểm của AK.
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 : (4.0 điểm)
a, Chứng minh rằng
( ) ( )
3
3
333
.3 zyxxyyxzyx
+++=++
b, Cho
.0
111
=++
zyx

Tính
222
z
xy
y
xz
x
yz
A ++=
Bài 5 : (3.0 điểm)
Tìm một số có 8 chữ số:
1 2 8
a a . a
thoã mãn ng thi 2 điều kiện sau:

( )
2
87
1 2 3
a a a = a a
v
( )
3
4 5 6 7 8 7 8
a a a a a a a=
L I GII
Bài 1 :
a) M =
(
)1)(1(

1)1)(1(
224
2422
++
++
xxx
xxxx
x
4
+1-x
2
) =
1
2
1
11
2
2
2
244
+

=
+
+
x
x
x
xxx
b) Biến đổi : M = 1 -

1
3
2
+x
. M bé nhất khi
1
3
2
+x
lớn nhất

x
2
+1 bé nhất

x
2
= 0

x = 0

M
bé nhất
= -2
Bài 2 :
a, A = n
3
+(n
3
+3n

2
+3n+1)+(n
3
+6n
2
+12n+8) =3n
3
+9n
2
+15n+9 = 3(n
3
+3n
2
+5n+3)
t B= n
3
+3n
2
+5n+1 = n
3
+n
2
+ 2n
2
+2n + 3n+3
=n
2
(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thy n(n+1)(n+2) chia ht cho 3 ( vỡ tớch ca 3 s t nhiờn liờn tip )
3(n+1) chia ht cho3

B chia ht cho 3

A =3B chia ht cho 9
b, Ta có:
2 1
1
2011 2012 2013
x x x
=

2 1
1 1 1
2011 2012 2013
x x x
+ = + +

2 2011 1 2012 2013
2011 2011 2012 2012 2013 2013
x x x
+ = + +


2013 2013 2013
2011 2012 2013
x x x
= +


1 1 1

(2013 )( ) 0
2011 2012 2013
x =


(2006 - x) = 0
(vỡ
1 1 1
0
2011 2012 2013

)

x = 2006
Bài 3 :
1) a) chứng minh

ABM đồng dạng

CAN (g-g)
b) Từ câu a suy ra:
AN
AM
AC
AB
=


AMN
đồng dạng

ABC


AMN =

ABC ( hai góc tơng ứng)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H

BAH =

CHA ( so le trong, AB // CH)
mà

CAH =

BAH ( do Ax là tia phân giác)
Suy ra:

CHA =

CAH nên

CAH cân tại C
do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tam giác KHA.
Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)
Bài 4 :

a, Chứng minh
( ) ( )
3
3
333
.3 zyxxyyxzyx
+++=++

Biến đổi vế phải đc điều phải chứng minh.
b, Nhn xột: Nu
0
=++
cba
thì
3 3 3
3a b c abc
+ + =
Tht vy:

( ) ( ) ( )
abcccabccbaabbacba 333
333
3
333
=+=+++=++
(vì
0
=++
cba
nên

cba
=+
)
Theo giả thiết
.0
111
=++
zyx

.
3111
333
xyz
zyx
=++
khi đó
3
3111
333333222
=ì=








++=++=++=
xyz

xyz
zyx
xyz
z
xyz
y
xyz
x
xyz
z
xy
y
xz
x
yz
A
Bài 5 :
Ta có a
1
a
2
a
3
= (a
7
a
8
)
2
(1) a

4
a
5
a
6
a
7
a
8
= ( a
7
a
8
)
3
(2).
Từ (1) và (2) =>
7 8
22 31a a
=> ( a
7
a
8
)
3
= a
4
a
5
a

6
00 + a
7
a
8
( a
7
a
8
)
3
a
7
a
8
= a
4
a
5
a
6
00.
( a
7
a
8
1) a
7
a
8

( a
7
a
8
+ 1) = 4 . 25 . a
4
a
5
a
6

do ( a
7
a
8
1) ; a
7
a
8
; ( a
7
a
8
+ 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả
năng:
a) . a
7
a
8
= 24 => a

1
a
2
a
3
. . . a
8
là số 57613824.
b) . a
7
a
8
1 = 24 => a
7
a
8
= 25 => số đó là 62515625
c) . a
7
a
8
= 26 => không thoả mãn