BAI TAP DAI SO TUYEN TINH

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1.1 Thực hiện các phép toán sau
1

6
a) 
0

2

3
 2
 5
 4

 
 
5  2 11 5
3
1
 2 −1 1  



 b) (4 1 3 2)  c)   (1 4 9 3) d) 
 2 (1 2)
0  −7 3 2
0
2
 1 2 1  


 
 
 0
3
 5
 1

 3
 
 2 1 − 1
 − 2 1 0
; B = 
; C =  2  . Tính (2A + 3B)C.
e) A = 
0 1 4 
 − 3 2 2
1
 

 1 −1 0


1 an
 , a ∈ R vaø n ∈ N.
f) A =  0
1 1 ; f(x) = 3x2 + 2x - 4. Tính f(A). g) 


0 1
−1 0 1

0 1 
2 1 


0 −1 1
 2 −1 0


 ; B = 
 ; C = 2 1  ; D = 3 −1 .
h) A = 
−1 0 1




0 1 2


3 −1
0 2 




• Tính A - 2B + (3C – D)T
• Tính (ATB)T – (2C)DT– 3I3
Baøi 1.2
1 2 
 , B =

 4 − 1

a) Tính AB - BA biết A = 

 2 − 3

 .
− 4 1 
 2 1

 0 1

b) Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A = 
1 1 3


Bài 1.3 Cho các ma trận A =  1 2 2  , B =
 2 2 5



 2 2


 2 −1 −2
 −1 2 , C =  2 3 1 


 3 2

a) Tính 5A -BC, (AB)C , (BC)TAT.
b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 5.
 2 1 2


Bài 1.4 Cho ma trận A =  3 2 6 . Tìm ma trận nghịch đảo A -1 bằng phương pháp


 −1 1 7

Gauss- Jordan (phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận).

1/12


 3 −4 5 


Bài 1.5 Cho ma trận A =  2 −3 1  . Tìm ma trận nghịch đảo A -1 bằn g phương pháp


 3 −5 −1

phần bù đại số.
Bài 1.6 Tìm ma trận X trong các trường hợp sau
 1 2
 3 0
. X = 
;
 3 4

 7 2

 3 2   − 1 2
 =
;
 −2 −1  −1 1

a) 

b) X . 

 2 1  3 2  1 2
 . X. 
 =

 4 5  5 3  3 4

 2 1
 1 −1  1 1 
. X − X .
 =

 1 2
 −1 1   1 −1

c) 

 1 2 2



e)  2 5 4 X 

 2 4 5

d) 

 3 5
 1 5




 7 6 =3  2 2




 2 1
 −2 1

 1 1 −1  1 −1 3

 

f) X  2 1 0  =  4 3 2

 

 1 −1 1   1 −2 5

 1 4 −3 4 


1 3 −5 7 
 1 2 3 −2

=
g) X

 4 14 −15 23
 4 1 −3 1 


 2 7 −7 13

Bài 1.7 Tính các định thức sau
7 6 5
a) 1 2 −1 ;
3 −2 2

2 3 −5 4
d) 5 −3 −1 3 ;
3 2 1
4
4 1 5 −2

1
1
1
1

a a'
a
a'
g)
b
b
b'
b'
ab a' b ab' a' b'

1
2
c)
3
4

2 3 4
b) 5 6 7 ;
8 9 1
0 x y z

e)

x 0 z y
y y 0 x
z z x 0

1
x3
h)

1
4x 3

x
x2
2x
3x 2

2
3
4
1

x2 + 1

;

x2
x
3x 2
2x

f) xy
xz

x3
1
4x 3
1

3
4
1
2

4
1
;
4
3
xy

xz

y +1
yz ;
2
yz
z +1
2

a x x ....... x x
x a x ....... x x
x x a ........ x x
i)
................................
x x x ........ a x
x x x ........ x a

2/12

1 2 3 ....... n − 1 n
1 0 3 ....... n − 1 n
1 2 0 ........ n − 1 n
j)
......................................
1 2 3 ............ 0 n
1 2 3 ........ n − 1 0

k)

1

2

3

....... n − 1 n

2

2

3

....... n − 1 n

3

3

3

....... n − 1 n

....

.....

.....

....... ....... ...

n − 1 n − 1 n − 1 ....... n − 1 n
n
n
n
.......
n
n

1 0 
−1 1 


−1 0 1 
 1 −1 0



 ; B = 
 ; C = 0 −1 ; D =  1 −1 .
Baøi 1.8 Cho A = 





 0 1 −1
−1 0 1
1 1 
 0

1




a. Tính det([(A – B)T + (C – 2D)]A)
b. Tính det((ATB) + (3C)DT – I3)
Bài 1.9 Giải các phương trình, bất phương trình sau
1
1
a)
1
1

x x2
2 4
3 9

4 16

x3
8
=0;
27
64

x
x +1 x + 2
2 x + 2 −1
b) x + 3 x + 4 x + 5 =0 ; c) 1
1
−2 > 0
x+6 x+7 x+8
5 −3
x

Bài 1.10 Chứng minh rằng
a) Nếu A, B là các ma trận vuông khả nghịch cấp n và AB = BA thì A-1B-1 = B-1A-1
b) Nếu A1, A2,…, Ak
là các ma
-1
−1 −1
(A1 . A2 …….Ak) = A k .A k −1 ......A −2 1 .A1−1

trận

vuông

khả

nghịch

cấp

Bài 1.11 Tìm hạng các ma trận sau
2
−4
0
5 − 1
1 3

5 
 2 − 1 − 3 4   2 − 1 3 − 2 4  − 1 − 4
 b) 4 − 2 5 1 7  c)  3
a) 
1
7  d)
 
5 1 − 1 7  

5 − 10

 2 − 1 1 8 2  0
9
1
7 7
 2
3

0 

1
2 − 4 3
1 − 2 1 − 4

0 1 − 1 3

1 − 7 4 − 4

0
2
1

5

Baøi 1.12 Tìm hạng các ma trận sau (biện luận theo m)
 1 2 3
1 3



4 5 6
4 1

a)
b) 
 7 8 9
17 1




10 m 12
3 4

−1 6 
 3 1 1 4
1 7




0 4
−3 10 
2 2 4 3

c)
d) 




2 −2
−7 22
m 4 10 1




−2 10 

 1 7 17 3
 3 −1

5
2
4
7

3 −2

2 0
0 1

1 3

Bài 1.13

3/12

n

thì


 1 m 1 3


a) Cho ma traän A =  1 2 m 1 4 . Tìm các giá trị của m để r(A) = 2.



 m 1 1 4
m 1 1 1 


b) Cho ma traän A =  1 m 1 m  . Tìm các giá trị m để r(A) < 3.

2
1 1 1 m 
1

−1
c) Cho ma traän A = 
2

0

4 3 6

0 1 1
. Tìm các giá trị m để r(A) = 3.
1 −1 0

2 m 4

Bài 2.1 Giải các hệ phương trình sau ñaây bằng phương pháp Gauss
x +2 y +3z = −1

a) x + y + z = 1 ;
x +4 y +9 z = 9


 x − y +2 z = 1

b) 2 x + y +2 z = 1 ;
 x −3y +4 z = 1


− x +3y −3z = 11

c)  4 x −5y − z = 5 ;
 3x +2 y +3z = 15


 x +2 y +3z = 14

d) 2 x +3y +4 z = 20 ;
3x +4 y +4 z = 23


 x1
2 x

e)  1
 x1
 x1

+ 3x2
+ 5x2

+ 2 x3

+ 2 x3

+ 4 x4
+ 9 x4

= 1
= 1

+ 5x2
+ 3x2

+ 6 x3
+ 4 x3

+ x4
+ 3x4

= 3
= 2

;

3 x
2 x

f) 
x
5 x

+ 2y

+z

−t

= 1

+ 3y

+z

+t = 1

+ 2y

+ 3z

−t

+ 5y

+ 2z

= 2
= 1

Baøi 2.2 Giải các hệ phương trình sau, chỉ rõ nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản (nếu
có)
 x1 + 3 x 2 + 5 x3 + x 4 = 0


a)  4 x1 − 7 x 2 − 3 x3 − x 4 = 0
3x + 2 x + 7 x + 8 x = 0
2
3
4
 1

x − 3 y + z = 0

b) 4 x + 2 y − 3z = 0
5 x − y − 2 z = 0


 x1 − 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0

2 x + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0
c)  1
3x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0
x1 + 4 x 2 − 6 x 3 + 3x 4 = 0

 x1 +2x 2
 2x −3x

2
d)  1
 − x1 + x 2
 5x1 + x 2

−x3
+7x 3

= 0
= 0

+3x 4
+2x 4

= 0
= 0

Baøi 2.3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
− x +3y −3z = 11

a)  4 x −5y − z = 5
 3x +2 y +3z = 15


 x +2 y +3z = 14

b) 2 x +3y +4 z = 20
3x +4 y +4 z = 23


4/12


 x1 +2x 2
 2x −3x

2

c)  1
−
x
+
x
2
 1
 5x1 + x 2

−x3
+7x 3
+3x 4
+2x 3

x1
x

d)  1
x1
x 1

= 2
= −1
= 6
= 0

+x2
−2 x 2

−2 x 3

−x 3

+3x 4
+x 4

= 1
= 1

+7 x 2
−5x 2

−8x 3
+4 x 3

+11x 4
−5x 4

= 1
= 1

Bài 2.4 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m
+ y −3z = 1
x

a) 2 x + y + mz = 3 ;
 x + my +3z = 2


2 x − y +3z = 1


b)  x + y + z = 2 m ;
 x −3y
= m


+z = 1
mx + y

c)  x + my + z = m ;
 x
+ y + mz = m 2


+ y + (1 − m )z = m + 2
 x

+2 z
=
0 ;
d) (1 + m)x − y
 2x
− my
+3z
= m+2


x1

e) x 1
x

 1

−2 x 2
+x2
+7 x 2

 3x
2 x

g) 
x
5x

+2 y + z − t =
1
+3y + z + t =
1
;
+2 y +3z − t =
2
+5y +2 z
= m +1

 x1
2 x

i)  1
− x 1
 5x 1

+x 3
−x3
−5x 3

+2 x 4
+x4
−x4

= 1
= m ;
= 4m

+2 x 2
−3x 2

−x3
+7x 3

= 2
= −1

+x 2
+x 2

+3x 3
+2 x 3

=
=

6
m

 2 x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1

f)  x1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 ;
x + 7x − 4 x + 11x = m
2
3
4
 1
 x1
2 x

h)  1
 x1
 x 1

;

 x1
x
 1
j) 2 x 1
 3x
 1
 x 1

+3x 2
+5x 2

+2 x 3
+2 x 3

+4 x 4
+9 x 4

= 1
= 1

+5x 2
+3x 2

+6 x 3
+4 x 3

+ mx 4
+3x 4

= 3
= 2

;

+2 x 2
+x 2

+3x 3
+x3

+ mx 4
+ mx 4

=
=

m+2
m +1

+3x 2
+4 x 2
+x 2

+4 x 3
+2 x 3
+2 x 3

+2 mx 4
+3mx 4
+2 mx 4

=
2m + 3
=
3m + 1
2
= m +m+2

Baøi 2.5 Tìm điều kiện của tham số m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm
+y

+z
=
m
mx

a)  2 x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − 1 ;
 x
1
+y
+ mz
=


(2 + m )x + my + mz = 1

b)  x
+ my + z = m

x
+ y + mz = 1


ax −3y + z = −2

Bài 2.6 Cho hệ phương trình ax + y +2 z = 3 với a, b là các tham số.
3x +2 y + z = b


a) Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b.
b) Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm.

c) Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ .
Bài 2.7 Tìm các đa thức bậc ba f(x) bieát
a) f(1) = 2; f(-1) = -4; f(2) = 8; f(-2) = -28.
b) Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua các điểm: (1;4), (3;32), (-3;-4), (2;11).
5/12


Bài 3.1
a) Chứng minh tập hợp sau là không gian vectơ con cuûa R-kgvt Mat(2x2)

a b 

∈
2
2
+
=
0
U = 
Mat
x
:
a
d
(
)


 c d 


b) Chứng minh tập hợp sau là không gian vectơ con cuûa R-kgvt R3[x]

V = {a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ∈ R3 [ x ] : a0 + a1 + a2 + a3 = 0}
Bài 3.2 Trong các trường hợp sau đây, xét xem W có là không gian vectơ con của R-kgvt
Rn khoâng
a) W = {(x1, x2, ......, xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0}
b) W = {(x1, x2, ......, xn) ∈ Rn : x1 + 2x2 = x3}
c) W = {(x1, x2, ......, xn) ∈ Rn : x1 + x2 + ...... + xn = 0}
d) W = {(x1, x2, ......, xn) ∈ Rn : x1 + x2 + ..... + xn = 1}
Bài 3.3
a)

Hãy

biểu

diễn

x = ( 7; −2;15 )

thành

tổ

hợp

tuyến

tính

của

thành

tổ

hợp

tuyến

tính

của

hợp

tuyến

tính

của

u = ( 2; 3; 5 ) ,v = ( 3; 7;8 ) ,w = (1; −6;1)
1
A=
 −7
4 1 
 1 2
16
U =

,V
=
,W
=

 −3 2 
1
 3 −2 




b)

Hãy

biểu

c)

Hãy

biểu

diễn

diễn

4
7 

9
−3

f ( x ) = 2 + 6x2

thành

tổ

u ( x ) = 2 + x + 4 x 2 ,v ( x ) = 1 − x − 3 x 2 ,w ( x ) = 3 + 2 x + 5 x 2
Bài 3.4 Trong các trường hợp sau đây, hãy xác định tham số m để véctơ x là tổ hợp tuyến
tính của các véctơ u, v, w
a) Trong R3: u = (3, 4, 2), v = (6, 8, 7), w = (5, 6, m), x = (1,3, 5)
b) Trong R3: u = (1, -3, 2), v = (2, -1, 1), w = (3, -4, 3), x = (1, m, 5)
c) Trong R4: u = (1, 2, -3, 2), v = (4, 1, 3, -2), w = (16, 9, 1, -3), x =(m, 4, -7, 7)
d) Trong R2[t]: u(t) = 2 + 2t + 4t2, v(t) = 1 - t - 3t2, w(t) = 3 +3t + 6t2, x(t) = m+9t+5t2
Bài 3.5 Xét tính độc lập tuyến tính , phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau
1) M = {(1, 2, 3), ( 3, 6, 7)} trong R3.
2) M = {(2, -3, m), ( 3,-2, 5), ( 1, -4, 3)} trong R3.
3) M = {(4, -5, 2, 6), (2, -2, 1, 3), ( 6, -3, 3, 9), ( 4, -1, 5, 6)} trong R4.
4) M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 2, 3x2 + mx + 3} trong R2[x].
Bài 3.6 Tìm hạng của các hệ vectô sau
a) S = {u1 = (1, 2, -1), u2 = (0, 1, 1), u3 =(2, 3, -3)}.
6/12


b) T = {u1 = (1, 2, -1 ), u2 =(1, 1, -2), u3 =(0, 3, 3), u4 =(2, 3, -3)}.
c) H = {u1 = (1, -1, 0, 0 ), u2 =(0, 1, -1, 0), u3 =(0, 0, 1, -1), u4 =(-1, 0, 0, 1)}.



 −1 4 
1 2 
 −2 8 
1 1 
,B
=
,C
=
,D
=

4 6 
16 24 
 2 3  ’
 8 12 







d) K =  A = 



u1 ( x ) = 1 + 2 x − x 3 ,u2 ( x ) = x + 3x 2 − 2 x 3 ,u3 ( x ) = −1 + 2 x 2 + 4 x3 ,
e) I = 


2
3
u4 ( x ) = 3 + x − 11x + 14 x

Bài 3.7 Gọi
W là không gian vectơ con của R4
sinh ra bởi hệ vectơ
{u1 = (2,-1,3,2); u2 = (-1,1,1,-3); u3 = (1, 1, 9, -5)}. Hoûi vectơ u = (3, -1, 0, -1) có thuộc
không gian vectơ con W không? Tại sao?
Bài 3.8 Trong R3, cho taäp M = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (-1, 0, 1), u3 =(1, 2, m)}. Với giá trị nào
của m thì M là tập sinh của R3.
Bài 3.9 Trong các tập vectơ sau, xét xem tập nào là cơ sở của R3
a) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 = (1, 1, 1), u3 = (3,4,2), u4 = (7, 2,1)}
b) M = {u1 = (1, 1, 2), u2 =(1,2,1), u3 =(3 , 2, 2)}
c) M = {u1 =(1, 2, 3), u2 =(2, 3, 4), u3 =(3, 4, 5)}
Baøi 3.10
a) Chứng minh tập hợp sau laø một cơ sở cuûa R-kgvt Mat(2x2)


1 2
2 3 
1 2 
 1 3 
S = A = 
,B
=
,C
=
,D
=


 0 −1
1 3 
 −1 0  
 −1 −2 







b) Chứng minh tập hợp sau là một cơ sở của R-kgvt R3[x]

T = {α1 ( x ) = x + x 2 + x 3 ,α 2 ( x ) = 1 + x 2 + x 3 ,α 3 ( x ) = 1 + x + x3 ,α 4 ( x ) = 1 + x + x 2 }
Baøi 3.11 Trong không gian R4 cho các tập hợp W1={(x1, x2, x3, x4)∈R4: x1+ x2 =2x3, x1 - x2
= 2x4}, W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x2 = x3}
a) Chứng minh rằng W1, W2 là các không gian vectơ con của R4.
b) Tìm một cơ sở của W1, một cơ sở của W2.
Bài 3.12 Trong không gian R4, cho hệ vectô U ={u1 = (1, -1, -4, 0), u2 = (1, 1, 2, 4),
= (2, 1, 1, 6), u4 =(2, -1, -5, 2)}. Đặt W = span(U)

u3

a) Tìm hạng của U.
b) Tìm số chiều và một cơ sở của W.
c) Vectơ u = (6, 2, 0, 16) có thuộc W không? Nếu u thuộc W thì tìm tọa độ vectơ u đối với
cơ sở vừa tìm được ở câu b).
Bài 3.13 Cho B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R- không gian vectơ V, ñaët
E ={v1= mu1 + u2 + 3u3, v2 = mu1 - 2u2 + u3, v3 = u1 - u2 + u3}

a) Xác định m để E là cơ sở của V.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E.
7/12


Bài 3.14 Chứng minh rằng tập hợp B ={1 + x + x2, 1 + 2x, 1 + 3x + 2x2} là một cơ sở của
R-kgvt R2[x], tìm tọa độ của vectơ u = 3x2 - x + 7 đối với cơ sở B.
Bài 3.15 Trong R-kgvt Mat(2x2), cho S = { A,B,C,D} là cơ sở của Mat(2x2), tìm tọa độ
của vectơ H đối với cơ sở S.

1 2
2 3 
1 2 
 1 3
 7 14 
,B = 
,C = 
,D = 
và H = 





 −1 −2 
 0 −1
1 3 
 −1 0 
 −1 2 

Trong đó A = 

Bài 3.16 Trong không gian R3 cho hệ vectơ B = {u1=(1,2,3), u2 =(1,1,2),u3 =(1,1,1)} và hệ
vectơ E ={v1 = (2,1,-1), v2 = (3,2,-5), v3 =(1, -1, m)}.
a) Chứng minh B là cơ sở của R3. Xác định m để E là cơ sở của R3.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E.
c) Cho ( x )

E = ( 2; 2;1) , ( y ) E = ( 2; 4; −1) , tìm vectơ x, [3x + 2y]E , [x]B

 3
 
d) Cho [v] =  −2 , tìm v, [v] E
B  
 1

Bài 3.17 Trong không gian R3, cho B ={v1 =(1,0,1), v2 =(1,2,2), v3 =(0,-1,-1)} và
E ={u1 =(1,0,-1), u2 = (1,1,1), u3 = (-1,2,2)}
a) Chứng minh B, E là các cở sở của R3.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E . Cho u =(1, 2, 3), tìm [u]

B

c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Cho [ v ]B

, [u] E

 3
=  −2  , tìm v, [v] E
1

 

Bài 3.18 Trong R-kgvt R2[x], cho B là cơ sở chính tắc của R2[x] vaø E ={v1 = 1 + 3x, v2 = x
+ 2x2, v3 = 1 + x + x2}.
a) Chứng minh E là cơ sở R2[x].
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
c) Cho ( v ) E = (1; −2; 3) , tìm v, [v]

B

Bài 3.19 Cho B ={u1, u2, u3} là một cơ sở của R3 và các vectơ v1, v2, v3 có tọa độ đối với
cơ sở B lần lượt là [ v1 ]B

1
1
 2
= 1 , [ v2 ]B =  2  , [ v3 ]B =  2 
 1
 3
1
 
 
 

a) Chứng minh E ={v1, v2, v3} là cơ sở của R3. Tìm v1, v2, v3 theo u1, u2 , u3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B.
Bài 3.20 Hãy tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất sau

8/12

 x1 − 3 x 2 + x 3 = 0

a) 4 x1 + 2 x 2 − 3x 3 = 0
5 x − x − 2 x = 0
2
3
 1

 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0

b) 2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 0
4 x + 5 x + 6 x = 0
2
3
 1

 x1 − 3 x 2 + 4 x3 − x 4 = 0
2 x + x − 2 x + 2 x = 0

3
4
c)  1 2
−
+
+
3
x
2

x
2
x
x
2
3
4 =0
 1
 x1 + 4 x 2 − 6 x3 + 3 x 4 = 0

 1 − 2 4 − 3


3 1 − 6
 2
d) AX = 0 với A = 
−2 −5 1 6 


 3 − 1 7 − 9



Bài 3.21 Cho không gian R3 với tích vô hướng Euclide. Hãy xác định m để các vectơ u, v
trực giao nhau
a) u = (2, m,3), v = (1, 3, -4).
b) u = (m m,1), v = (m, 5, 6).

1
Bài

3.22

Trong

R-kgvt

R2[x]

xét

tích

vô

hướng

f ,g =

∫

f ( x ).g( x )dx

−1

(∀ f(x), g(x) ∈ R2[x])
Hãy tính tích vô hướng của f và g trong các trường hợp sau
a) f(x) = 1- x +2x2, g(x) = x – 3x2.
b) f(x) = x + 5x2, g(x) = 1 + 6x2.

Bài 3.23 Trong không gian R3 với tích vô hướng Euclide. Hãy áp dụng quá trình trực giao
Gram-Schmidt để biến cơ sở {u1 , u 2 , u 3 } thành cơ sở trực chuaån
a) u1 = (1,1,1), u2 = (1,-1,0), u3 = (1,2,1).
b) u1 = (1,0,0), u2 = (3,1,-2), u3 = (0,1,1).

1
Bài

3.24

Trong

R-kgvt

R2[x]

xét

tích

vô

(∀ f(x), g(x) ∈ R2[x])

hướng

f ,g =

∫

f ( x ).g( x )dx

−1

a) Hãy áp dụng quá trình trực giao Gram-Schmidt để biến cơ sở chính tắc
B={1, x, x2} thành cơ sở trực giao.
b) Gọi W là không gian vectơ con của R2[x] gồm tất cả các vectơ trực giao với
= x2 . Tìm một cơ sở trực giao của W.
Bài 3.25

u(x)

Trong không gian R3 xét tích vô hướng x, y = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3

( ∀x = ( x1 ,x2 ,x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ R 3 )
a) Hãy áp dụng quá trình trực giao Gram-Schmidt để biến cơ sở
U = { u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (1,0,0)} thành cơ sở trực chuẩn
V={ v1, v2, v3}.
b) Tìm tọa độ của x = (1,2,3) đối với cơ sở V
Bài 4.1 Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính
9/12


a) f : R 3 → R 3 , f ( x, y,z ) = ( x,0 ,0 )

(

)

b) f : R2 [ x ] → R 2 , f a0 + a1 x + a2 x 2 = ( a0 ,−a1 )

 a b  
 = ( a + b,c − d )
d  

c) f : Mat ( 2 x 2 ) → R 2 , f  
 c

Bài 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R 5 → R 4 xác định bởi

f ( x, y,z,t ,k ) = ( x + 4 y + 5 z + 9k ,3x − 2 y + z − k ,− x − z − k ,2 x + 3 y + 5 z + t + 8k ) a) Tìm
số chiều và một cơ sở của kerf
b) Tìm số chiều và một cơ sở của imf
Bài 4.3 Cho ánh xạ tuyến tính f : Mat ( 2 x 2 ) → R 3 xác định bởi

 a b  
f 
  = ( 2a + 3b + 5c + 6d ,3a + 4b + 6c + 7 d ,3a + b + c + 4d )
c
d


a) Tìm số chiều và một cơ sở của kerf
b) Tìm số chiều và một cơ sở của imf
Bài 4.4 Tìm ánh xạ tuyến tính T : R2 [ x ] → R2 [ x ] biết

T (1) = 1 + x , T ( x ) = 3 − x 2 ,

T ( x 2 ) = 4 + 2 x − 3 x 2 . Tính T ( 2 − 2 x + 3 x 2 )
Baøi 4.5 Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 → R 3 xác định bởi

f ( x, y,z ) = ( x + 3 y,−2 y + z,4 x − y + 2 z )
a) Xác định ma trận chính tắc của f
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {b1 = ( −1; 2;1) ,b2 = ( 0;1;1) ,b3 = ( 0; −3; −2 )}
Baøi 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 [ x ] → R 3 xác định bởi

f ( ax 2 + bx + c ) = ( a − 2b + c,b + c,a + b − 2c )
a) Tìm số chiều của kerf và imf, xác định 1 cơ sở của kerf
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở U và T, trong đó

U = {u1 ( x ) = x + x 2 ,u2 ( x ) = 1 + x 2 ,u3 ( x ) = 1 + x}

T = {t1 = (1; 2; 3) ,t2 = ( 2;5;3) ,t3 = (1; 0;10 )}
Baøi 4.7 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R 3 → R2 [ x ] biết ma trận chính tắc của f được xác định

 1 −1 3 


bởi A = 5 6 −4 . Tính số chiều của kerf và imf, xác định 1 cơ sở của imf.


7 4 2 


10/12


 3 −2 1 0 

 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : Mat 2 x 2 → R 3 đối

Baøi 4.8 Cho 1
6
2
1
( )


 −3 0 7 1 


với cơ sở U và T, với


 0 1
2 1
 1 4
 6 9 
U = A = 
,B
=
,C
=
,D
=








 1 1
 −1 −1
 −1 2 
 4 2 

T = {t1 = ( 0;8;8 ) ,t2 = ( −7;8;1) ,t3 = ( −6;9;1)}
a) Tìm  f ( B )  ,  f ( C ) 
T
T
b) Tìm f ( A ) , f ( D )

 2 2 

 0 0  

c) Tìm f  

Bài 4.9 Tìm ánh xạ tuyến tính

f : R 3 → R2 [ x ]

biết rằng

f (1,1,1) = 1 + x 2 ,

f (1,1,0 ) = 1 + 2 x + 3 x 2 , f (1,0,0 ) = 4 + 5 x + x 2 .
Bài 4.10 Tìm ánh xạ tuyến tính f : R2 [ x ] → R 3 biết ma trận của f đối với cơ sở U và T là

 1 −2 1 

A =  0 1 1  ,
 1 1 −2 


U = {u1 ( x ) = 1 + x + x 2 ,u2 ( x ) = 1 + x,u3 ( x ) = 1}
T = {t1 = (1; 4; −2 ) ,t2 = ( −1;1; −1) ,t3 = ( 3; 0;1)}
Bài 5.1 Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận sau đây
3 0 

 8 −1

a) A = 

 0 1 0


c) A =  −4 4 0


 −2 1 2

 2 1

 − 1 2
 1 0 − 1


d) A =  0 1 1 
−1 1 0 




b) A = 

Bài 5.2 Tìm ma trận làm chéc hóa A (nếu có)

 −14 12 

 −20 17 
1 0 0


c) A = 0 1 1


0 1 1



a) A = 

1 0 

 6 −1
 2 0 −2 


d) A = 0 3 0



0 0 3 



b) A = 

Bài 5.3 Chéc hóa các ma trận sau (nếu có)
11/12


 5 −3 2


a) A =  6 −4 4


 4 −4 5

 2 −1 0


b) A =  1 0 0


 0 0 3

 1 0 −1


c) A =  −1 2 −1



 0 0 2

 2 0 0


d) A =  0 1 0


 2 −1 1

 1 −2 −1


e) A =  0 2 −1


 0 −2 1 

 1 0 4


f) A =  −2 −1 −4


 0 0 2

Bài 5.4 Chéc hoá trực giao các ma traän sau
 2 −1 −1



a) A =  −1 2 −1


 −1 −1 2 

 1 2 2


b) A =  2 1 2


 2 2 1

 3 −1 1 


c) A =  −1 5 −1


 1 −1 3 

 −3 2 2 


d) A =  2 −3 2 


 2 2 −3

Bài 5.5 Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao
a) f(x1, x2) = 5x12 + 8x 22 − 4 x1 x 2
b) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x 23 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 − 2 x 2 x 3
c) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x 22 + 2 x 23 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 x 3
d) f(x1, x2, x3) = 4 x12 + 4 x 22 + 4 x32 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x 3 + 4 x 2 x3
e) f(x1, x2, x3) = 3x12 + 2 x 22 + x 32 + 4 x1 x 2 + 4 x 2 x 3
f) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x 22 + 3x 32 − 2 x1 x 3 − 2 x 2 x 3
g) f(x1, x2, x3) = −2 x12 − 5x 22 − 5x 23 − 4 x1 x 2 + 4 x1 x 3 + 8x 2 x 3
h) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 5x 22 + 5x 23 + 4 x1 x 2 − 4 x1 x 3 − 8x 2 x 3
i) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x 22 + 5 x32 + 2 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3
j) f(x1, x2, x3) = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3
Bài 5.6 Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phương phaùp Lagrange
a) f(x1, x2, x3) = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3
b) f(x1, x2, x3) = x12 + x 22 + x 23 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 − 2 x 2 x 3
c) f(x1, x2, x3) = x12 + 5 x 22 − 4 x32 + 2 x1 x 2 − 4 x1 x3
d) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x 22 + 5 x32 + 2 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3
e) f(x1, x2, x3) = 2 x12 + 2 x 22 + 3x 32 − 2 x1 x 3 − 2 x 2 x 3

12/12