(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích
phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trịn
xoay trong ơn thi THPTQG

Lĩnh vực sáng kiến: Phương pháp dạy tốn
Tác giả:
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Nơi công tác: Trường THPT
Điện thoại liên hệ: O937-351-107
Địa chỉ thư điện tử:
Đề nghị công nhận sáng kiến cấp : sở

Năm 2020 - 2021

§
2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


I – MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân tính diện tích của các

hình phẳng và thể tích của các vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12, học
sinh gặp rất nhiều khó khăn. Năng lực tính tốn và vận dụng các cơng thức tính
cịn hạn chế, khả năng vẽ hình và đọc đồ thị của hàm số cịn yếu. Các em thường
vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trực
quan nên bị nhầm lẫn. Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất
ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sai
lầm khi giải tốn ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích mặt
trịn xoay.
Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trịn xoay trong chương
trình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản. Tuy nhiên các em học sinh
thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những
lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hố các phương pháp giải, chỉ ra một số
sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài tốn theo một hệ thống nhất
quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật tốn chung cũng như tránh
được những sai lầm khi giải các bài tốn về tính diện tích hình phẳng và thể tích
vật thể trịn xoay.
Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng ” và dạy học giải tốn liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tính diện
tích hình phẳng và thể tích khối trịn xoay cho học sinh lớp 12. Để giúp cho học
sinh 12 khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài tốn thực tế tính diện tích
hình phẳng và thể tích của vật thể trịn xoay, giúp cho q trình giải tốn được dễ
dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo
của học sinh khi học tập mơn tốn. Đó là lí do tôi chọn đề tài “Một số giải pháp rèn
kỹ năng giải tốn ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật
thể trịn xoay trong ơn thi THPTQG”
2. Mục tiêu của sáng kiến
Giải pháp mới được xây dựng dựa trên cơ sở thực tiễn của quá trình dạy học,
các bài tốn ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế như tính diện tích hình
phẳng, tính thể tích vật thể trịn xoay. Giải pháp đưa ra làm rõ cách tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo ra

khi quay một hình phẳng quanh trục hồnh hoặc trục tung. Qua đó khắc phục
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


những khó khăn, sai lầm khi gặp bài tốn tính diện tích hình phẳng cũng như tính
thể tích của vật thể trịn xoay. Với dạng tốn này học sinh thường gặp những khó
khăn, sai lầm sau:
+ Khơng hình dung được hình phẳng, vật thể trịn xoay (nếu khơng có hình vẽ).
+ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít, chưa đủ để
giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan.
Sáng kiến hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phân
đặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và
thể tích khối trịn xoay mà học sinh đã được học. Đưa ra ví dụ minh họa (có hình
vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết và
trình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh sự vận dụng linh hoạt trong
quy trình giải tốn, phát huy tính sáng tạo của học sinh. Bằng kinh nghiệm của bản
thân, tôi đưa ra các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành.
Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi hai đồ thị hàm số.
Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính thể tích vật thể trịn xoay
Các bước thực hiện giải pháp
Bước 1: Trình bày kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Các
kiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới các
cơng thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích)
Bước 2: Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạ
của các ví dụ. (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc khơng

có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó).
Bước 3: Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có).
(Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp
đổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập cụ
thể)
Bước 4: Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân. (Các bài tập vận
dụng ứng dụng của tích phân giải các bài tốn thực tế trong đời sống thường ngày).
3. Phạm vi của sáng kiến
Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh các lớp 12 THPT Hồng Văn Thụ nói
riêng và học sinh các trường THPT nói chung.
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Thực hiện Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp Hành
Trung ương Đảng, Nghị quyết số 44NQ/CP ngày 09/06/2014 về Đổi mới căn bản
và toàn diện giáo dục, đào tạo và Chỉ thị số 16/CT/TTg ngày 18/6/2018 của Thủ
tướng Chính phủ về đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học,
phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại, nâng cao chất lượng giáo dục toàn
diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, lối sống, năng lực sáng tạo, tác phong
công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội.
Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Hồng Văn Thụ bản thân tơi nhận
thấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụng
toán học vào ứng dụng thực tiễn. Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài tốn có ứng dụng thực
tế hay mà học sinh cịn lúng túng trong việc tìm hướng giải. Vì vậy sáng kiến được
thực hiện nhằm rèn kỹ năng giải tốn ứng dụng của tích phân trong hình học.

Sáng kiến được thực hiện trên cơ sở dựa trên các văn bản chỉ đạo của Sở
giáo dục và đào tạo Lạng Sơn về việc dạy học theo hướng phát huy khả năng tư
duy sáng tạo và năng lực của học sinh. Thông qua các kiến thức liên quan về
“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”. Đề tài đưa ra những giải pháp cụ thể để
rèn kỹ năng giải tốn ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích
vật thể trịn xoay.
Sáng kiến được viết vào thời gian từ 20/9/2017 đến 25/03/2018 và tiến hành
dạy thử nghiệm lần đầu vào ngày 20/2/2018 thời điểm giữa học kỳ II của năm học
2017 - 2018 tại lớp thử nghiệm 12A8 và lớp đối chứng 12A9 trường THPT Hoàng
Văn Thụ Thành phố Lạng Sơn. Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hành
trong cùng một nhà trường. Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HS
làm bài kiểm tra 45 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra. Lớp dạy thử
nghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộc
Trường THPT Hoàng Văn Thụ.
2. Cơ sở thực tiễn
Chủ đề ứng dụng của tích phân trong hình học là một trong những nội dung
kiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và thuộc nội dung chương “Ngun
hàm, tích phân và ứng dụng” - chương trình Tốn giải tích lớp 12.
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hình
học, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy ví
dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục những khó
khăn, hạn chế của học sinh. Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện kỹ
năng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phương pháp
tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân
từng phần.

Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài tốn thực tế trong
hình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và
có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu khơng có hình vẽ thì học sinh thường
khơng hình dung được hình phẳng (hay vật thể trịn xoay) dẫn đến khơng tính được
diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể. Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” so
với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích
các khối đa diện).
Ngồi ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít
“chưa đủ” để giúp học sinh trực quan. Các em thường chỉ nhớ cơng thức tính diện
tích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứ
giác, ngũ giác, lục giác… Các cơng thức tính thể tích các khối như: khối chóp,
khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trong chương 1
hình học 12.;
Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng,
thể tích vật thể trịn xoay làm học sinh gặp khó khăn, khơng phát huy tính linh hoạt
sáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia
nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích.
Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựng cơng
thức tính từ giả thiết của bài tốn và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
b

Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức I   f ( x ) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

Học sinh không biết rằng công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu

thức f ( x) không đổi dấu trong khoảng
Trên cơ sở của lý thuyết của nguyên hàm tích phân, tơi đề xuất một số giải
pháp rèn kỹ năng tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay có ứng dụng
của tích phân.
6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Một số giải pháp rèn kỹ năng giải tốn ứng dụng của tích phân trong tính
diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay
1.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành
1.1.1 Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục
hồnh
a. Năng lực tổng hợp các cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y  f ( x) trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b .
Bài tốn : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đoạn

, trục hoành và hai đường thẳng

,

liên tục trên

được xác định:

y

y  f (x)

O a c1

c2

c3 b x

 y  f (x)

y  0
(H ) 
x  a

x  b

S

b

 f (x) dx
a

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, muốn vậy ta
phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối .



b

b

a

a

b

b

a

a

Nếu f ( x)  0 , x   a ; b  thì S   f ( x) dx   f ( x)dx
Nếu f ( x)  0 , x   a ; b  thì S   f ( x) dx     f ( x)  dx

Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có
hai cách làm như sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc
hai” để xét dấu các biểu thức f ( x) , đôi khi phải giải các bất phương trình
,
trên đoạn
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f ( x) trên đoạn  a ; b  để suy ra dấu của
f(x) trên đoạn đó.


Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y  f ( x ) nằm phía “trên” trục hồnh thì

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add




Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y  f ( x) nằm phía “dưới” trục hồnh thì

Cách 3 Nếu f ( x) khơng đổi dấu trên

b

thì ta có : S   f ( x) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

Nhận xét: Trong khi giải toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, học
sinh thường không kiểm tra điều kiện không đổi dấu của f(x) trên [a;b] mà đưa ra
công thức ngay dẫn đền sai lầm.
b. Rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hồnh
Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục
hồnh, các đường thẳng
.
Phân tích: Ở ví dụ này các em chỉ cần nhớ cơng thức tính diện tích hình

phẳng

là có thể tính được diện tích. Hoặc sử dụng cơng thức tính diện

tích tam giác vng. Cần chú ý: Nếu f ( x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
b

S   f ( x ) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

Bài giải:
Cách 1: xét dấu của

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Nhận xét:
Gọi S là diện tích cần tìm :

(đvdt)

Cách 2: (khơng dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
(đvdt)
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cách 3: Sử dụng máy tính điện tử tính tích phân
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Phân tích: Rõ ràng bài này các em chỉ cần áp dụng cơng thức tính diện tích
hình phẳng

, tuy nhiên để khử trị tuyệt đối có hai cách (Dùng đồ thị

hoặc xét xem trên đoạn

hàm số

có đổi dấu hay khơng)

Bài giải: Cách 1: Nhận xét:

;

Gọi S là diện tích cần tìm :
(đvdt)

Đồ thị

Cách 2: (khơng dựa vào đồ thị)
khơng đổi dấu trên đoạn

y

-2

-1

A
O

1

2

3
B

x

Gọi

S

là

diện

tích

cần

tìm:

f x  =  -x 2+2  x  -2

-4
(C)

(đvdt)
Chú ý: Cho phương trình
( với

tìm nghiệm trên
). thì trên mỗi khoảng

giả sử các nghiệm đó là
biểu thức

khơng đổi dấu
Khi đó

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành , trục tung và đường thẳng

.

Phân tích: Rõ ràng hàm số

có hai nghiệm

nên khi

tính tính phân ta phải chia trường hợp.

Cách 1: Nhận xét:

;

Đồ thị
y
4
f x  =  x 3-3  x 2 +2

Gọi S là diện tích cần tìm:

-2

(đvdt)

-1

A

x

2
B

O1

3

(C)

Cách 2: (khơng dựa vào đồ thị)

Gọi S là diện tích cần tìm:
.
Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính
Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh thường gặp sai lầm khi xây dựng công thức
tính sai:
Khắc phục: Học sinh phải nắm rõ: Nếu f ( x) khơng đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
b

S   f ( x ) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):

với

trục hồnh (Ox).
Phân tích: Xác định giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT:

Hướng dẫn giải:

Đồ thị
y

-2
A

-1

O 1

2
B

x
3

f x =  -x4+5  x2 -4

Gọi S là diện tích:

(C)
-4

1.1.2. Một số bài tập rèn kĩ năng xây dựng cơng thức tính tích phân từ đồ thị
hàm số cho trước
Ví dụ 5: Cho hàm số
phẳng giới hạn bởi đồ thị

liên tục trên đoạn

. Gọi

là diện tích hình

, trục hồnh, hai đường thẳng

,

(như hình vẽ dưới đây).

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Giả sử

là diện tích hình phẳng

. Chọn cơng thức đúng trong các phương án

cho dưới đây?
A.

.

B.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
+ Nhìn đồ thị ta thấy:
Đồ thị

cắt trục hoành tại

Trên đoạn

, đồ thị

ở dưới trục hoành nên

Trên đoạn

, đồ thị

ở trên trục hồnh nên

+ Do đó:
Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số
tích

trên đoạn

như hình vẽ ở bênvà có diện

. Tính tích phân

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:
Chọn A
Ta có

.

Ví dụ 7: Cho hàm số
rằng đồ thị

có đồ thị

tiếp xúc với đường thẳng

tại điểm có hồnh độ âm và đồ thị

hàm số

cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

A.

.

B.

.

. Biết

C.

và trục hoành.
.

D.

Lời giải:
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
Từ đồ thị suy ra

.
.

Do

tiếp xúc với đường thẳng

tại điểm có hoành độ

âm nên

.
13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Suy ra
Xét phương trình

.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

.

Kết luận: Để làm tốt dạng tốn này địi hỏi học sinh phải nhớ tính chất, hiểu rõ
cách xây dựng cơng thức tính diện tích, thể tích từ hình vẽ, địi hỏi học sinh phải
biết đọc và nhận xét dấu của hàm số từ đồ thị cho trước.

1.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
1.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị
hàm số
Cho hai hàm số
có đồ thị là (C1),
có đồ thị là (C2). Nếu hai

đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M
của hệ phương trình

thì cặp số

là nghiệm

(1)

- Hồnh độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình
+ Giải phương tình (*) ta sẽ được hồnh độ

(*)

của giao điểm của hai đồ thị.

+ Phương trình (*) được gọi là PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Thay x = x 0
vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm.
Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

và

.

Hướng dẫn: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt

;

1.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm
số.
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyện
cho các em biến đổi theo các bước.
+) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìm cận
của tích phân)
+) Bước 2: Sử dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
và

và đường

,

:

.

Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai Đồ thị
đồ thị là nghiệm của phương trình:

và

.

y
(C)

4
3
2
1

Gọi

S

là

diện

tích

cần

tìm:

x
-3

-2

-1

O

-1

1

2

3

4

-2
d
-3

Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ):
(đvdt)
Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )
(đvdt)
Ví dụ 10 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
và hai đường thẳng
Lời giải:

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:

Cách 2: Sử dụng máy tính để nhận được kết quả của tích phân rồi so sánh với các

đáp án.
Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số

trục

tung và đường thẳng
Lời giải:

Cách 1: Từ hình vẽ: Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Nên
Cách 2: Sử dụng máy tính để tính
Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên đoạn
đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trị tuyệt đối
ngay; nếu khơng vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trên đoạn đang
xét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối khơng đổi dấu; cịn trong trường hợp giải theo
trắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối.
1.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải tốn tính thể tích vật thể trịn
xoay
1.3.1 Rèn năng lực tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục
hồnh

Thể tích của một vật thể trịn xoay được tạo bởi một

hình phẳng giới hạn bởi các đường:
, trục
hoành, hai đường thẳng
và quay
quanh trục
, được tính theo cơng thức:

Ví dụ 12: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới
hạn bởi các đường:

và quay quanh trục hồnh.

Hướng dẫn giải
Gọi V1 là thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường:
quay quanh trục
Đồ thị

(đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:
quay quanh trục
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


y
4
3

(C)

2
1
-3

-2

-1

x

1

O

2

-1

3

(đvtt)

-2
-3
-4

d

Gọi V là thể tích cần tìm:

(đvtt)

Ví dụ 13: Thể tích của một vật thể trịn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn
bởi các đường:

và quay quanh trục

Hướng dẫn giải.
Gọi V1 là thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường:
quay quanh trục
(đvtt)
Đồ thị

Gọi V2 là thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y

quay quanh trục

4
3
(C)

:

d

2
1
x

2

-3 -2
-1

O
-2

-1

1

(đvtt)

3

Gọi

V

là

thể

tích

cần

tìm:

(đvtt)
Ví dụ 14[đề 101-THPTQG 2018] Cho hai hàm số
. Biết rằng đồ thị của hàm số

và
và
18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ). Hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Diện tích hình phẳng cần tìm là

.
Trong đó phương trình

là phương trình hồnh độ

giao điểm của hai đồ thị hàm số
Phương trình

có nghiệm

;

và
;

.

nên

.

Vậy

.
19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

1.3.2 Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân
Bài tốn 1. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến
đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét
vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:
A. 33750000 đồng.
Hướng dẫn giải
Gắn parabol

B. 12750000 đồng.

và hệ trục tọa độ sao cho

C. 6750000 đồng. D.3750000
đi qua

. Gọi phương trình của

parbol là (P):
Theo đề ra,
,

đi qua ba điểm

,

y

B

.

Từ đó, suy ra
Diện

tích

phần

Bác

Năm

xây

dựng:

x
O

Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A

(đồng). Chọn đáp án C

Bài toán 2. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
.
Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm
đến thời điểm mà vật dừng
lại là 

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Khi vật dừng lại thì
Suy ra:

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài tốn 3. Một khối cầu có bán kính là
, người ta cắt bỏ hai phần của khối
cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng
vng góc đường kính và cách tâm một
khoảng

để làm một chiếc lu đựng

nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc
lu chứa được.
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải: Cách 1: Trên hệ trục tọa độ
Ta thấy nếu cho nửa trên trục
kính bằng 5. Diện tích
đường thẳng

của

, đường trịn

quay quanh trục

ta được mặt cầu bán

giới hạn bởi nửa trên trục
quay xung quanh trục

.

của

, trục

, hai

ta sẽ được khối tròn xoay chính

là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có
Nửa trên trục

của

có phương trình

Thể tích vật thể trịn xoay khi cho

quay quanh
.

là:

Thể tích khối cầu là:

……
Thể tích cần tìm:

.

Chọn D
Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể
tích
Vậy thể tích của chiếc lu là

………
……..

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài tốn 4. Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng
giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo
được đường kính của miệng ly là
và chiều cao là
. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng
đối xứng là một parabol. Tính thể tích
đã cho.
A.

B.

C.

D.

A

O

B

6 cm

của vật thể

I

Hướng dẫn giải: Chọn gốc tọa độ
đi qua các điểm
Ta có

4 cm

trùng với đỉnh
và

của parabol

nên parabol

Vì parabol

có phương trình

.

Khi đó thể tích của vật thể đã cho là

Chọn đáp án A

2. Đánh giá kết quả thu được
2.1 Tính mới, tính sáng tạo
2.1.1. Ưu điểm
Thơng qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến chúng tơi thấy rằng có
một số ưu điểm rèn được các năng lực sau đây cho học sinh:

- Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh.
- Rèn kỹ năng tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. Rèn năng lực
tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
- Rèn kỹ năng tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay một hình
phẳng quanh trục hồnh.
- Giải một số bài tốn ứng dụng thực tế của tích phân. Học sinh có được hình
vẽ trực quan trong các bài tốn tính diện tích, thể tích.
- Có được giải pháp cụ thể khi tính giải tốn ứng dụng của tích phân tính diện
tích, thể tích trong hình học. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


thị hàm số và trục hồnh. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị hàm số. Dạng bài tập tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay
một hình phẳng quanh trục hồnh.
- Xây dựng đề kiểm tra dạng trắc nghiệm, có đáp án biểu điểm, giúp học sinh
tiếp cận với cách thức thi THPT quốc gia mới của Bộ giáo dục và đào tạo.
- Đưa được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm có hướng dẫn
giải để học sinh tiếp cận với những bài toán ứng dụng thực tế để ôn luyện chuẩn bị
kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019.
2.1.2. Nhược điểm
- Do thời gian thực hiện sáng kiến còn ngắn và phạm vi, đối tượng áp dụng
còn nhỏ nên sáng kiến mới chỉ được áp dụng cho 01 lớp dạy thử nghiệm và 01 lớp
dạy đối chứng. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài để hồn thiện đề tài, có
thể áp dụng rộng rãi khơng chỉ ở trường THPT Hồng Văn Thụ và nhân rộng ra
các trường thông qua các buổi sinh hoạt cụm chun mơn…
- Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn ở các lĩnh vực, vật lý, toán
học, xây dựng, …nhưng sáng kiến mới chỉ nghiên cứu và đưa ra một số ứng dụng

trong thực tế hoặc một vài bài tốn ứng dụng của tích phân trong xây dựng.
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến:
2.2.1 Khả năng áp dụng hoặc áp dụng thử, nhân rộng:
- Sáng kiến có giá trị thực tiễn, giúp học sinh lớp 12 có được một phương pháp
tiếp cận khác trong giải tốn ứng dụng của tích phân với những bài tốn thực tế trong
hình học. Làm tài liệu cho giáo viên, học sinh trường THPT Hoàng Văn Thụ.
- Rèn được kỹ năng cụ thể cho học sinh khi giải tốn ứng dụng của tích phân
trong hình học cụ thể như: Năng lực phân tích và tổng hợp, năng lực khái quát hoá,
đặc biệt hoá và tương tự.
+ Năng lực vận dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và phương pháp
tích phân từng phần.
+ Năng lực vận dụng phương pháp đổi biến số. Năng lực vận dụng cơng
thức tính diện tích và thể tích.
+ Năng lực tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán ứng dụng của tích
phân.
+ Giúp học sinh có được cách nhìn nhận sâu sắc và toàn diện hơn về ứng
dụng của Toán học trong thực tiễn.
23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.2.2 Khả năng mang lại lợi ích thiết thực
2.2.2.1 Hiệu quả kinh tế:
- Đây là một đề tài về phương pháp dạy học nên không mang nhiều giá trị kinh
tế. Nhưng kết quả nghiên cứu của đề tài và những giá trị thiết thực từ đề tài mang lại,
khi đem vào áp dụng thực tế trong giảng dạy sẽ giúp các giáo viên bộ môn:
- Không tốn nhiều thời gian, cơng sức tìm tài liệu.
- Giáo viên sử dụng trong ôn thi THPT quốc gia và ôn luyện học sinh giỏi.
- Giáo viên ơn luyện có thêm dữ liệu cho ôn tập.

Từ những lợi ích trên cho thấy chuyên đề có giá trị trong thực tiễn và ở góc
độ nào đó đem lại hiệu quả kinh tế trong giáo dục.
2.2.2.2 Hiệu quả về mặt xã hội.
Trong quá trình áp dụng sáng kiến, kết quả bộ môn tăng, HS hiểu bài, ham
thích mơn học, đặc biệt số lượng học sinh tham gia vào đội tuyển toán tăng.
Trong đề tài này ‘’Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích
phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trịn xoay trong ơn thi THPTQG’’
giúp học sinh tiếp cận và giải các bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích
hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay một cách trực quan, và nâng cao năng lực
giải toán thực tế của học sinh.
IV – KẾT LUẬN
Thơng qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến giúp rèn kỹ năng tính
diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh, tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi
quay một hình phẳng quanh trục hồnh. Học sinh biết sử dụng hình vẽ trực quan
trong các bài tốn tính diện tích, thể tích và giải được một số bài tốn ứng dụng
thực tế dạng trắc nghiệm để học sinh ôn luyện và thi tốt kỳ thi THPT Quốc gia
năm 2019

24

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


25

LUAN VAN CHAT LUONG download : add