bài tập ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

NG D NG TÍNH DI N TÍCH DI N TÍCH HÌNH PH NG
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân tính di n tích hình ph ng thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
1) y  x ln( x  1) ; tr c hoành và x  e  1

ng :

2) y  x3  x2  2 và y  x2  x  2
3) y  4  x2 và y 

x2
3
Gi i:

1) y  x ln( x  1) ; tr c hoành và x  e  1
+) Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a đ

ng cong y  x ln( x  1) và tr c hoành ( y  0 ) là:

x  1

x ln( x  1)  0    x  0  x  2
 x  2

+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :

S

e 1



x ln( x  1) dx 

2

e 1

 x ln( x  1)dx

(vì x ln( x  1)  0 v i x   2; e  1 )

2

dx

du 




u
x
ln(
1)


x 1

t 
2
dv  xdx
v  x

2

+)

e 1

x2
1
Khi đó S  ln( x  1) 
2
2
2

e 1


2

x2
(e  1)2 1

dx 
x 1
2
2

e 1



1 

  x  1  x 1  dx
2

e 1




(e  1)2 1  x2
e2  5
   x  ln x  1  
2
2 2

4
2

e2  5
(đvdt)
4
2) y  x3  x2  2 và y  x2  x  2
V y S

+) Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a đ

ng cong y  x3  x2  2 và đ

ng cong y  x2  x  2 là:

 x  1
x  x  2  x  x  2  x  x  0  x( x  1)  0   x  0
 x  1
+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :
3

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

3

ng chung c a h c trò Vi t

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1

1

S   ( x3  x2  2)  ( x2  x  2) dx   x3  xdx 
1

1

0

Nguyên hàm – Tích phân

0

1

1

0

3
3
 ( x  x)dx   ( x  x)dx

1

 x3 x2 
 x3 x2 
5 1
          1
 3 2  1  3 2  0 6 6

V y S  1 (đvdt)
3) y  4  x2 và y 
+) Ph

x2
3
ng cong y  4  x2 và đ

ng trình hoành đ giao đi m c a đ

ng cong y 

x2
là:
3

x2
4 x 
 9(4  x2 )  x4  ( x2  3)( x2  12)  0  x   3
3
+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :
2

3

x2
x2 
4  x  dx    4  x2  dx ( vì
3
3
 3

3

S



2

 3

3



3

x2
x3
4  x dx   dx  I 
3
9
 3



3

I

2

 3

 3

4  x2 

x2
 0 v i x    3; 3  )
3

2 3
3

3

+) Tính I 



4  x2 dx

 3


dx  2cos tdt
  
t x  2sin t v i t    ;   
2
2
 2 2

 4  x  4  4sin t  2cos t  2cos t


i c n x 3t  ; x 3t 
3
3






4
 1
3
 3
Khi đó I   4 cos tdt  2  (1  cos 2t ) dt  2  t  sin 2t  

2
3







3

3

2

3

Suy ra S 

3

3

4
2 3 4  3
4  3
.V y S
(đvdt)
 3

3
3
3
3

Chú ý:
Khi gi i ph

ng trình hoành đ giao đi m f ( x)  g ( x) cho ta hai nghi m x1 ; x2 ( x1  x2 ) thì vi c xác

đ nh d u c a f ( x)  g ( x)  h( x) ( h( x) liên t c) ta ch c n đi tính h( x0 ) v i x0 là giá tr b t kì thu c

 x1; x2  . Ví nh

ý 4) vi c xác đ nh d u c a

x2
4  x   h( x) ta ch c n tính h(0)  2  0 (ch n
3
2

x2
 0 v i x    3; 3  .

3
Nh n xét : Nh v y khi bài toán yêu c u tính di n tích hình ph ng thì đ bài bu c ph i cho hai đ ng
y  f ( x) và y  g ( x) . Còn hai đ ng th ng x  a ; x  b trong đ bài ch a có thì ta s ph i đi tìm b ng
x  0   3; 3  ) nên ta k t lu n đ

cách gi i ph

c

4  x2 

ng trình hoành đ giao đi m f ( x)  g ( x) . N u tìm đ

thành n  1 tích phân mà
Hocmai.vn – Ngôi tr

c n nghi m ( n  2 ) thì ta s tách

đó m i tích phân có c n là 2 nghi m g n nhau nh t. Gi s ta tìm đ

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

c3
- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

nghi m x1 , x2 , x3 v i x1  x2  x3 thì
x2

x3

x2

x3

x1

x2

x1

x2

S   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx 

  f ( x)  g ( x) dx    f ( x)  g ( x) dx

Bài 2. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
2

x
4

1) y  4 

và y 

ng :

2

x
(B – 2002).
4 2

3x  1
và hai tr c t a đ (D – 2002).
x 1
3) Parabol (P) : y  x2  4 x  5 và hai ti p tuy n t i các đi m A(1;2), B(4;5) n m trên (P).
2) y 

4) x2  y2  4 và x2  y2  2 x  0 .
ng th ng x  1 .

5) y  x 1  3x2 , tr c hoành và đ

Gi i:
2

x
4

1) y  4 

Ph

và y 

2

x
(B – 2002).
4 2

ng trình hoành đ giao đi m:

Trên  2 2; 2 2  :

x2
x2
x2 x4

 4 
 x2  8  x  2 2
4 4 2
4 32

x2
x2

và hình ph ng đ i x ng qua Oy
4 4 2

2 2

2 2

1
1
x2
x2 
x2 dx  S1 
S2
 4 
dx   16  x2 dx 



4
4
2
2
2
2
2
0
0



2 2

S2

4

4


0

2 2

*) Tính: S1 



2
t x  4sin t  dx  4cos tdt và 16  x  4cos t v i t : 0  

16  x2 dx

0





4

4

4



 S1  16  cos tdt 8  (1  cos 2t )dt  8t  4sin 2t  0 4  2  4
2

0

0

2 2

*) Tính S2 


0

 S  2  4 

x3
x dx 
3

2 2



2

0

16 2

3

4
16 2
 2  (đvdt)
3
2 2 3
1

Hocmai.vn – Ngôi tr

.

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

3x  1
và hai tr c t a đ (D – 2002).
x 1
3x  1


y 
Hình ph ng gi i h n b i : 
x 1


y
x0
0;

3x  1
1
 0  3x  1  0  x  
Ph ng trình hoành đ giao đi m:
x 1
3
0
0
3x  1
3x  1
S 
dx  
dx
x 1
1
1 x 1
2) y 





3

3

0
4
4 

(đvdt)
   3
 dx    3x  4ln x  1   1  1  4 ln
3
x 1 
3
1

0

3

3) Parabol (P) : y  x2  4 x  5 và hai ti p tuy n t i các đi m A(1;2), B(4;5) n m trên (P).

Ta có: y '  2 x  4 .Áp d ng công th c ph
Ta đ

c ph

V y ph

ng trình ti p tuy n: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0

ng trình ti p tuy n t i A(1;2), B(4;5) l n l

t là: y  2 x  4 và y  4 x  11

ng trình hoành đ giao đi m c a hai ti p tuy n: 2 x  4  4 x  11  x 
c chia thành hai mi n di n tích b i đi m chia x 

Khi đó di n tích S đ

5
2

5
2

5
2

5
2

5

( x  1)3 2 ( x  4)3
  ( x2  2 x  1)dx   ( x2  8 x  16)dx   ( x  1) 2 d ( x  1)   ( x  4) 2 d ( x  4) 

3 1
3

5
5
1
1
4

4

2

CHÚ Ý:
Khi hình ph ng đ

2

c gi i h n b i 3 đ


5
2

9
4

ng cong: y  f ( x) ; y  g ( x) và y  h( x) thì các b n ph i

tìm cách chia ph n di n tích thành các ph n mà
Hocmai.vn – Ngôi tr

4

ng chung c a h c trò Vi t

đó đ

c gi i h n b i hai trong ba đ

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng cong và các
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

đ

Nguyên hàm – Tích phân

ng th ng x  a ; x  b (ngh a là ph n biên không có có s xu t hi n đ ng th i c 3 đ

ng cong trên).

4) x  y  4 và x  y  2 x  0 .
2

2

2

2

ng tròn tâm O có R  2 ( C1 )

Ta có: x2  y2  4 : Là đ

ng tròn tâm O '(1;0) có R '  1

và x2  y2  2 x  0  ( x  1)2  y2  1 : Là đ

( C2 )

Do tính đ i x ng c a hình ph ng c n tính (nh hình v ) nên: S  2(S1  S2 )
2

y  4  x
*) V i S1 là di n tích gi i h n b i: 
2
2

 y   x  2 x  1  ( x  1) ; x  0

0

 S1   ( 4  x2  1  ( x  1) 2 )dx
2

 y  4  x2
 S2   4  x2 dx

*) V i S2 là ph n di n tích gi i h n b i: 
 y  0; x  0
0
2

Ta đi tính: I   a 2  u 2 du đ t u  a sin t v i t     2 ;  2 


a2
a 2t a 2 sin 2t
du  a cos tdt
2
2
cos
(1
cos
2
)

I

a
tdt


t
dt


 C (*)

 2


2
2
2
4
a
u
a
cos
t
a
cos
t





Áp d ng (*)

+) V i x  2sin t ( x  2  t   và x  0  t  0 ) nên suy ra
2
0



2

0

 4t 4sin 2t 
4  x dx 4  cos tdt   
 
2
4  



0

2

2

2

2

0

+) T

ng t



1  ( x  1)2 dx 

2


2

 S1   


2




2



và S2   4  x2 dx   S  2      3 (đvdt)
2

0
2

CHÚ Ý:
*) Th c ch t n u s d ng ki n th c c p 1 (các em l p 5 đã bi t cách tính di n tích hình tròn)
2
2
Thì ta s có: S  S(C1 )  S(C2 )   .2   .1  3

(là cách gi i t i u nh t c a bài toán này)

*)Cách gi i trên ch ch ng minh m t đi u là tích phân có th tính đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

c di n tích trong c tình hu ng trên.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

ng th ng x  1 .

5) y  x 1  3x2 , tr c hoành và đ

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m : x 1  3x2  0  x  0
+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tính là :
1

1

0

0

S   x 1  3x2 dx   x 1  3x2 dx

+)

t t  1  3x2  t 2  1  3x2  2tdt  6 xdx  xdx 

tdt
3

i c n x  0  t  1 và x  1  t  2
2

2

2

7
7
tdt 1 2
t3
+) Suy ra S   t.
(đvdt) . V y di n tích hình ph ng là S 
(đvdt)
  t dt 

9
3 31
91 9

1

Bài 3. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng: y  x2 ln( x  1) ; y  ln

1
; x 1
x 1

Gi i:
1
 x2 ln( x  1)  ln( x  1)  0
x 1
2
 ( x  1) ln( x  1)  0  ln( x  1)  0  x  1  1  x  0

Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m : x2 ln( x  1)  ln

1

V y di n tích hình ph ng : S   x2 ln( x  1)  ln
0

1

1

1
dx   x2 ln( x  1)  ln( x  1) dx   ( x2  1) ln( x  1)dx
x 1
0
0

dx

du 

ln(
1)
u
x




x 1

t 
2
3
3
dv  ( x  1)dx v  x  x  x  3x

3
3
1

1
1
 x3

1 x3  3x
4
1  2
4 
dx  ln 2    x  x  4 
Khi đó : S    x  ln( x  1)  
 dx
3
1
3
3
1
x
x




 3

0
0
0
1



4
1  x3 x2
8
23
 ln 2     4 x  4ln x  1   ln 2 
(đvdt)
3
3 3 2
18
0 3
Bài 4. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s :

y

+) Ph

x ln 2 ( x2  1)
; tr c hoành và đ
x2  1
Gi i:

ng trình hoành đ giao đi m c a đ

ng th ng x  e  1 .

x ln 2 ( x2  1)
ng y 
và y  0 (tr c hoành) :
x2  1

x ln 2 ( x2  1)
0 x0
x2  1
+) Khi đó di n tích hình ph ng là :

S

e 1


0

V y S

1
x ln 2 ( x2  1)
dx 
2
2
x 1

e 1


0

d ( x2  1) 1
ln ( x  1) 2

x 1

2
2

2

e 1


0

1
ln ( x  1)d ln( x  1)  ln 3 ( x2  1)
6
0
2

2

2

e 1



1
6

1
(đvdt).
6

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

ng : y  5x2 ; hai tr c t a đ và y  3  x .

Bài 5. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
Gi i:
nên ta xét ph ng trình

Do 5  0 v i x 
hoành đ giao đi m:
+) 5x2  3  x  f ( x)  5x2  x  3  0  x  2
x 2

(vì f ( x) đ ng bi n v i x 

)

+) 3  x  0  x  3
Khi đó di n tích hình ph ng c n tính là:
2

S  5
0

x 2

3

2


x2 
5 x 2
24
1
dx   (3  x)dx 
  3x   

ln 5 0 
2  2 25ln 5 2
2
3

Bài 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y  3x ; y 

3
và y  9
x

Gi i:
+) Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a y  3x và y 

3
3
 f ( x)  3x   0  x  1
x
x
(Do f ( x) đ ng bi n v i x  0 và x  0 ph

3
:
x

3x 

ng trình vô nghi m)

+) Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a y  3x và y  9 : 3x  9  x  2

+) Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a y 

3
3
1
và y  9 :  9  x 
x
x
3

3

D a vào hình v ta có di n tích hình ph ng là: S    9  dx    9  3x dx
x
1
1
1

2

3
2

1

3x 
  9 x  3ln x  1   9 x 

ln 3  1
3



 6  3ln 3  9 

6
6
6
. V y S  15  3ln 3 
 15  3ln 3 
ln 3
ln 3
ln 3

Bài 7. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng : y  x2  1 (C1 ) và y  5  x (C2 )

Gi i:
Cách 1 (dùng đ th ):

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+) Ph

Nguyên hàm – Tích phân

ng trình hoành đ giao đi m c a (C1 ) và (C2 ) là:
5  x  0
x 5




x2  1  5  x    x2  1  5  x    x2  x  6  0  x  2  x  2
 2
 2



x
1
x
5


  x  x  4  0



+) Khi đó di n tích hình ph ng gi i h n b i (C1 ) và (C2 ) là S đ

c chia thành S1 và S2 .

Do tính đ i x ng nên ta có S1  S2  S  S1  S2  2S2 (*)
+) Ta s chia di n tích S2 thành Sa , Sb trong đó di n tích Sa đ
và x  0; x  1 , di n tích Sb đ

c gi i h n b i y  5  x; y  1  x2

c gi i h n b i y  5  x; y  x2  1 và x  0; x  1

1

2

0

1

V y S2  Sa  Sb   (5  x)  (1  x2 ) dx   (5  x)  ( x2  1)  dx
1

2

 x3 x2
  x3 x2

   x  x  4  dx     x  x  6  dx     4 x       6 x 
 3 2
0  3 2

1
0
1
1

2

2

2

23 13
  6 hay S2  6 (2*)
6 6
+) Thay (2*) vào (*) ta đ c di n tích hình ph ng: S  12
Cách 2 (làm theo ph ng pháp đ i s ):
+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C1 ) và (C2 ) là:


5  x  0
x 5




x2  1  5  x    x2  1  5  x    x2  x  6  0  x  2  x  2
 2
 2




x
1
x
5


  x  x  4  0



+) Khi đó di n tích hình ph ng gi i h n b i (C1 ) và (C2 ) đ
2

S



x2  1   5  x  dx 

2

c xác đ nh:

2



x2  1  x  5 dx

2

+) B ng xét d u phá tr tuy t đ i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1

Suy ra S 

x

2

2

0

1

Nguyên hàm – Tích phân

2

 x  6 dx    x  x  4 dx    x  x  4 dx   x2  x  6 dx
2

2

1

1

0

1

0

1

2

1

0

1

   ( x2  x  6)dx   ( x2  x  4)dx   ( x2  x  4)dx   ( x2  x  6)dx

2

1

0

1

2

 x3 x2

 x3 x2

 x3 x2
  x3 x2

     6x     4x     4x     6x
 3 2
 2  3 2
 1  3 2
0  3 2
1
13 23 23 13
    12
6 6
6 6
+) V y di n tích hình ph ng là S  12 .
Nh n xét :


+) Khi ph n hình ph ng c n tính di n tích có tính đ i x ng ta có s d ng công th c S  S1  S2  2S2
trong đó S1 và S2 đ i x ng nhau qua m t m t tr c ( bài toán trên ph n di n tích hình ph ng S1 đ i
x ng v i S2 qua tr c tung).
+) Khi đi tính di n tích hình ph ng mà ph n biên (vi n) c a nó đ c c u t o t 3 đ ng (cong) tr lên (
đây các đ ng đ c bi u di n y theo x ) và 2 đ ng th ng x  a ; x  b bu c ta ph i chia hình ph ng
m i ph n ch đ

thành các ph n mà
Nh ví d trên

c gi i h n b i 2 đ

ph n di n tích S2 c a hình ph ng đ

ng (n u đ i vai trò x, y ta c ng làm t

c gi i h n b i các đ

ng t ).

ng biên

y  1  x2 ; y  x2  x ; y  5  x và x  0; x  2 nên ta bu c ph i chia hình ph ng thành 2 ph n Sa , Sb mà

m i ph n ch đ

c gi i h n b i y  1  x2 ; y  5  x và x  0; x  1 (v i Sa ) và y  x2  1; y  5  x và

x  1; x  2 (v i Sb ).

Bài 8. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
y  x2 (C1 ) ; y 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng :

2

x
2
8
(C2 ) ; y  (C3 ) ; y  (C4 )
4
x
x
Gi i

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

ng trình hoành đ giao đi m c a:

2
+) (C1 ) và (C3 ) : x2   x3  2  x  3 2
x

Nguyên hàm – Tích phân

*) Xét ph

+) (C1 ) và (C4 ) : x2 

8
 x3  8  x  2
x

x2 2
x2 8
  x3  8  x  2
  x3  32  x  2 3 4
+) (C2 ) và (C4 ) :
4 x
4 x
*) G i S là di n tích hình ph ng c n tìm khi đó ta s chia S thành hai ph n di n tích S1 , S2 (nh hình
+) (C2 ) và (C3 ) :

v )
Trong đó S1 là ph n di n tích gi i h n b i các đ

S2 là ph n di n tích gi i h n b i các đ
2


Suy ra S  S1  S2    x2  dx 
x
3 
2
2

23 4


2

ng : y  x2 (C1 ) ; y 
ng : y 

2
(C3 ) và x  3 2; x  2
x

x2
8
(C2 ) ; y  (C4 ) và x  2; x  2 3 4
4
x

 8 x2 
  dx
x 4 

2

23 4

 x3


x3 
   2ln x    8ln x  
12  2
 3
 32 

4

  16

  2  ln 2    ln 2  2   4ln 2
3

 3


*) V y di n tích hình ph ng c n tìm là S  4ln 2

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-