LUYỆN TẬP: ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

NG D NG TÍNH DI N TÍCH DI N TÍCH HÌNH PH NG
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân tính di n tích hình ph ng thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

I. KI N TH C C

B N

 Cho hình ph ng H gi i h n b i các đ

Khi đó di n tích hình ph ng H đ

 y  f ( x)

ng  y  g ( x)
(*)
 x  a; x  b  a


b

c tính theo công th c sau: SH   f ( x)  g ( x) dx (2*)

a

 Chú ý:
 Trong đ bài hình ph ng H luôn cho y  f ( x), y  g ( x) . Còn x  a , x  b có th cho ho c
không cho. N u trong bi u th c (*) không có x  a ho c không có c hai ( x  a và x  b )
thì ta s tìm c n a , b cho tích phân b ng cách gi i ph ng trình hoành đ giao đi m:
f ( x)  g ( x) .
b

 N u y  g ( x)  0 (hay tr c hoành Ox ) thì SH   f ( x) dx .
a

 Có th áp d ng (2*) v i bi n y (các hàm s s đ

c rút x theo y - coi x là hàm c a bi n

y ).

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

II. CÁC VÍ D MINH H A
Ví d 1 (A,A1 – 2014) .Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng : y  x2  x  3 và y  2 x  1

Gi i:
ng trình hoành đ giao đi m c a đ ng cong y  x2  x  3 và đ

+) Ph

ng th ng y  2 x  1 là:

x  1
x2  x  3  2 x  1  x2  3x  2  0  
x  2
+) Khi đó di n tích hình ph ng c n tìm là :
2

2

S   ( x  x  3)  (2 x  1) dx  
2

1

1

2

 x3 3x2

1
x  3x  2 dx   ( x  3x  2)dx   
(đvdt)
 2x 
2
 3
1 6
1
2

2

2

Nh n xét : Nh v y khi bài toán yêu c u tính di n tích hình ph ng đ bài bu c ph i cho hai đ ng
y  f ( x) và y  g ( x) . Còn hai đ ng x  a ; x  b ch a có thì ta s đi tìm b ng cách gi i ph ng trình
hoành đ giao đi m f ( x)  g ( x) . N u tìm đ
d u (ho c là âm, ho c là d

c hai nghi m x  a ; x  b thì f ( x)  g ( x) s mang cùng 1

ng). Nên ta có th bi t chính xác d u c a h( x)  f ( x)  g ( x) b ng cách theo

1 giá tr b t kì x  c  (a ; b) vào h( x) ho c áp d ng luôn công th c
b

S   f ( x)  g ( x) dx 

a

b

  f ( x)  g ( x)dx .
a

Ví d 2 (A,A1 – 2014) .Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
1) y  (e  1) x , y  (1  e x ) x (A – 2007).
Gi i:
1) y  (e  1) x , y  (1  e ) x (A – 2007). Xét ph
x

ng :

2) y  x2  4 x  3 , y  x  3 (A – 2002).

ng trình hoành đ giao đi m:

x  0
x  0

(e  1) x  (1  e x ) x  x(e  1  1  e x )  0  x(e  e x )  0   x
x  1
e  e
x
1
V i 0  x  1  e  e  e hay x(e  e x )  0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

 S   (e  1) x  (1  e x ) xdx   x(e  e x ) dx   [x(e  e x )]dx  e  xdx   xe xdx  S1  S2

(1)

1

1

ex2
e


*) Tính S1  e  xdx 
2 0 2
0

(2)

1
u  x
du  dx
1
x1

 S2  xe   e xdx  e  e x  e  (e  1)  1 (3)
*) Tính S2   xe dx
t: 
x
x
0
0
dv  e dx v  e
0
0
e
Thay (2), (3) vào (1) ta đ c di n tích hình ph ng: S   1 (đvdt)
2
1

x

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

C1: (N u v hình)
1

S  S1  S2  S3    x  3  ( x2  4 x  3)  
0

3

5

  [x  3  ( x  4 x  3)]dx   [x  3  ( x2  4 x  3)]dx
2

1

3

1

3

5

  ( x2  5 x)dx   ( x2  3x  6)dx   ( x2  5 x)dx
0

1

1

3

3

5

 x3 5 x2   x3 3x2
  x3 5 x2 
109
  



6
x
 
  

 
6
2 0  3
2
2 3
 3
1  3
C2: (Không v hình):

1

3

5

1

3

1

3

5

1

3

  x2  5 xdx   x2  3x  6 dx   x2  5xdx   ( x2  5x)dx   ( x2  3x  6)dx   ( x2  5 x)dx

0

1

0

3

5

 x3 5 x2   x3 3x2
  x3 5 x2 
109
6
  



x
(đvdt)
 
  
 
2 0  3
2
2 3
6
 3
1  3

Ví d 3. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol ( P ) : y2  4 x và đ

ng th ng (d ) : y  2 x  4

Gi i:
Cách 1:
+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a

x  1
( P ) và (d ) : (2 x  4)2  4 x  x2  5 x  4  0  
x  4
y  2 x
V i x  0 thì y2  4 x  
, do đó di n tích
 y  2 x
hình ph ng H gi i h n b i ( P ) và (d ) th c ch t là

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

 y  2 x ( P1 )

di n tích gi i h n b i 3 đ ng :  y  2 x ( P2 )
 y  2 x  4 (d )

+) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a ( P1 ) và ( P2 ) là:
2 x  2 x  x  0

y  2 x
y  2 x


 y  2 x
 y  2x  4
+) Khi đó H  H1  H 2 trong đó H1 : 
và H 2 : 
x  1
x  0
x  4
x  1


Suy ra di n tích hình ph ng H là:
1





4

1

4

1

0

1

S  SH1  SH 2    2 x  2 x  dx    2 x   2 x  4   dx  4 xdx  2


0

1





x  x  2 dx

4

2

8x x

x2
8 19

 2  x x   2x    9
3 0
2
3
1 3 3
y2
(P )
4
y
và y  2 x  4  x   2 (d )
2
+) Khi đó ph ng trình tung đ giao đi m c a ( P ) và (d ) là:
Cách 2: +) Ta có: y2  4 x  x 

 y  2
y2 y
  2  y2  2 y  8  0  
4 2
y  4
+) Do đó di n tích hình ph ng H gi i h n b i ( P ) và (d ) là
4

2
 y
 y2
y3 
 y 

S     2   dy    2 y    9
2
12  2
 4
 4
2 
Nh n xét:
Cách 1, vi c bi u di n y theo x và đi tính di n tích hình
4

ph ng theo bi n x khá ph c t p. Song n u ta tính di n tích hình ph ng theo bi n y ngh a là ta bi u di n
các đ

ng gi i h n b i x theo y thì vi c tính toán tr nên đ n gi n (cách 2) . Vì v y khi đ ng tr

c

m t bài toán tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng , ta nên đ t ra câu h i “nên tính di n tích
theo bi n x hay bi n y ?” và tùy vào d ki n c a bài toán s cho ta bi t nên đi theo h ng nào đ có
đ c l i gi i g n, đ p và t i u nh t.

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:

Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-