CD9 TINH TOAN, RUT GON BIEU THUC LOGARIT

Chun đề
❾
Ⓐ

TÍNH TỐN, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA LOGARIT

KIẾN THỨC CƠ BẢN
CẦN NẮM
 Ghi nhớ
➊- Khái niệm lôgarit


Cho hai số dương với . Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là lơgarit cơ số
của , và ký hiệu là .

➋-Tính chất


Cho . Ta có:

❸. Quy tắc tính lơgarit
. Lơgarit của một tích
 Cho với , ta có:



Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số dương:

 trong đó
. Lơgarit của một thương


Cho với ta có:

Đặc biệt:

➍. Lôgarit của một lũy thừa


Cho hai số dương Với mọi , ta có:



Đặc biệt:

. Đổi cơ số


Cho ta có:



Đặc biệt:


❺. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên
. Lôgarit thập phân


Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với thường được viết là
hoặc .

. Lôgarit tự nhiên
1




Ⓑ

Câu 1.

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số . Với được viết là .

BÀI TẬP RÈN
LUYỆN
Cho các số thực dương a, b với a  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

1
log a2  ab   log a b
2
A.

B.

1
log a2  ab   log a b
4
C.

D.

log a2  ab   2  2 log a b

log a 2  ab  

1 1
 log a b
2 2

Lời giải

Chọn D

1
1
1 1
log a 2  ab   log a 2 a  log a 2 b  .log a a  .log a b   .log a b
2
2
2 2
Ta có:
Câu 2.

log 3 a a 3
Cho a là số thực dương a  1 và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P  3

C. P  9

B. P  1

D.

P

1
3

Lời giải

Chọn C
log 3 a a 3  log 1 a 3  9
a3

Câu 3.

.

P  loga b3  loga2 b6
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?

A. P  9loga b

B. P  27loga b

C. P  15loga b

D. P  6loga b

Lời giải

Chọn D

6
P  loga b3  loga2 b6  3loga b loga b  6loga b
2
.

Câu 4.

 a2 
I  log a  
2  4 .
a
2
Cho là số thực dương khác . Tính
A.

I

1
2.

B. I  2 .

C.

Lời giải
2

I 

1
2.

D. I  2 .


Chọn B
2

 a2 
a
a
I  log a    log a    2 log a   2
2  4 
2 2
2  2
.
ln ( 5a ) - ln ( 3a )
Với a là số thực dương tùy ý,
bằng

Câu 5.

A.

ln  5a 
ln  3a 

.

B.

ln  2a 

.

C.

ln

5
3.

ln 5
D. ln 3 .

Lời giải

Chọn C
Ta có

ln ( 5a ) - ln ( 3a ) = ln

5a
5

= ln
3a
3.

3
log 3  
 a  bằng
Với a là số thực dương tùy ý,

Câu 6.

A.

1  log 3 a

.

B.

3  log 3 a

1
C. log3 a .

.

D.

1  log 3 a

.

Lời giải

Chọn A
3
log 3    log 3 3  log 3 a
 1  log 3 a
a
Ta có
.

log  ab 2 
b
a
Với và là hai số thực dương tùy ý,
bằng

Câu 7.

A. 2log a  log b .

B. log a  2 log b .

C.

2  log a  log b 

.

1
log a  log b
2
D.

.
Lời giải

Chọn B
Ta có

log  ab 2   log a  log b 2  log a  2 log b  log a  2 log b
=
.

log 5 a 3 bằng
Với a là số thực dương tùy ý,

Câu 8.

1
log5 a
A. 3
.

1
 log 5 a
B. 3
.

C.

Lời giải
Chọn D

log 5 a 3  3log 5 a .
3

3  log 5 a

.

D.

3log 5 a

.


Câu 9.

2

log 2 a bằng:
Với a là số thực dương tùy ý,
A.

1
 log 2 a
B. 2

.

2log 2 a .

1
log 2 a
C. 2
.

D.

2  log 2 a .

Lời giải

Chọn A

log 2 a  2log 2 a
Vì a là số thực dương tùy ý nên
2

Câu 10.

.

log 4  4a 
Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
A.

1  log 4 a

.

B.

4  log 4 a

.

C.

4  log 4 a

.

D.

1  log 4 a

.

C.

2  log 2 a

.

D.

2  log 2 a

.

C.

 log3 a 

D.

2  log 3 a

.

Lời giải

Chọn A
Ta có
Câu 11.

log 4  4a   log 4 4  log 4 a  1  log 4 a

.

log 2  2a 
Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
A.

1  log 2 a

.

B.

1  log 2 a

.
Lời giải

Chọn A
Ta có:
Câu 12.

log 2  2a   log 2 2  log 2 a  1  log 2 a

.

log 3  9a 
Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
1
 log3 a
A. 2
.

B.

2 log 3 a

.

2

.

Lời giải

Chọn D
Ta có
Câu 13.

log 3  9a   log 3 9  log 3 a  2  log 3 a

.

4
Cho a  0 và a  1 , khi đó log a a bằng

A. 4 .

1
B. 4 .

C.
Lời giải

Chọn B

4



1
4.

D. 4 .


1

Do a  0 và a  1 nên
Câu 14.

log a 4 a  log a a 4 

1
1
log a a 
4
4.

3
Cho a  0 và a  1 , khi đó log a a bằng

1
B. 3 .

A. 3 .

1
3.

D. 3 .

1
C. 2 .

1
D. 2 .

C.



Lời giải

Chọn B
3

log a a  log a
Câu 15.

1
a3



1
3.

Cho a  0 và a  1 , khi đó log a a bằng
A. 2 .

B. 2 .
Lời giải

Chọn D
1

Với a  0 và a  1 , ta có
Câu 16.

log a a  log a a 2 

1
1
log a a 
2
2.

5
Cho a  0 và a  1 , khi đó log a a bằng

1
A. 5 .

B.



1
5.

C. 5 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn A
1
1
1
log a 5 a  log a a 5  log a a 
5
5.
Ta có:

Câu 17.

Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 2a 3 
log 2 
  1  3log 2 a  log 2 b
b 

A.
.

 2a 3 
1
log 2 
  1  log 2 a  log 2 b
3
 b 
B.
.

 2a 3 
log 2 
  1  3log 2 a  log 2 b
b 

C.
.

 2a 3 
1
log 2 
  1  log 2 a  log 2 b
3
 b 
D.
.
Lời giải

Chọn A

5


 2a 3 
3
3
log 2 
  log 2  2a   log 2  b   log 2 2  log 2 a  log 2 b  1  3log 2 a  log b
 b 
Ta có:
.
Câu 18.

I  log a a.
Cho a là số thực dương khác 1. Tính

A.

I

1
2

B. I  0

C. I  2.

D. I  2

Lời giải

Chọn D
Với a là số thực dương khác 1 ta được:
Câu 19.

I  log a a  log 1 a  2loga a  2
a2

Cho loga x  3,logb x  4 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Tính P  logab x.

A.

P

7
12

B.

P

1
12

C. P  12

D.

P

12
7

Lời giải

Chọn D
P  logab x 

Câu 20.

Cho

1
1
1
12



logx ab logx a logx b 1 1 7

3 4
.

log a b  2

và

log a c  3

A. P  31

. Tính

P  log a  b 2 c3 

B. P  13

.
C. P  30

D. P  108

Lời giải

Chọn B
Ta có:

Câu 21.

Cho
A.



log 3 a  2

I



loga b2c3  2loga b 3loga c  2.2  3.3  13

và

log 2 b 

5
4.

.

1
I  2 log 3  log 3  3a    log 1 b 2
2 . Tính
4
.
C. I  0 .

B. I  4 .
Lời giải

Chọn D
Ta có log 3 a  2  a  3  9 và
2

 I  2 log 3 log 3  3.9    log 1

4

log 2 b 

 2

2

1
1
 b  22  2
2
.

 2

1 3

2 2.
6

D.

I

3
2.


Câu 22.

log 2 x  5log 2 a  3log 2 b

Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. x  3a  5b

B. x  5a  3b

5
3
C. x  a  b

5 3
D. x  a b

Lời giải

Chọn D
5
3
5 3
5 3
Có log 2 x  5log 2 a  3log 2 b  log 2 a  log 2 b  log 2 a b  x  a b .

Câu 23.

4
4 log 2 a  log 2 b
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b  16 . Giá trị của
bằng

A. 4 .

C. 16 .

B. 2 .

D. 8 .

Lời giải

Chọn A
4
4
Ta có 4 log 2 a  log 2 b  log 2 a  log 2 b  log 2 a b  log 2 16  4 .

Câu 24.

3 2
3log 2 a  2log 2 b bằng
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b  32 . Giá trị của

A. 5 .

C. 32 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A
3 2
Ta có: log 2 a b  log 2 32  3log 2 a  2log 2 b  5 .

Câu 25.

2 3
2log 2 a  3log 2 b
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b  16 . Giá trị của
bằng

A. 8 .

B. 16 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn C
Ta có
Câu 26.

2log 2 a  3log 2 b  log 2  a 2b3   log 2 16  4

3
log 2 a  3log 2 b

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab  8 . Giá trị của
bằng

A. 8 .

B. 6 .

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn D
Ta có
Câu 27.





log 2 a  3log 2 b  log 2 a  log 2 b3  log 2 ab3  log 2 8  3

.

log 2 a  log 8 (ab)
Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. a  b .

C. a  b .

3
B. a  b .

7

2
D. a  b .


Lời giải

Chọn D
Theo đề ta có:
1
log 2 a  log8 (ab)  log 2 a  log 2 ( ab)  3log 2 a  log 2 (ab)
3
3
 log 2 a  log 2 ( ab)  a 3  ab  a 2  b
Câu 28.

log 3  3a.9b   log 9 3
Xét các số thực a và b thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a  2b  2 .

B. 4a  2b  1 .

C. 4ab  1 .

D. 2a  4b  1 .

Lời giải

Chọn D

1
1
1
a 2b
a  2b
  a  2b 
log 3  3a.9b   log 9 3  log 3 3 .3  2 log3 3  log 3 3
2
2  2a  4b  1









2

Câu 29.

log 2 a b
 3a 3 . Giá trị của biểu thức ab 2 bằng
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 4

A. 3 .

C. 12 .

B. 6 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A
2



2

2

4log2 a b  3a 3  22log 2 a b  3a 3  2log2 a b
Câu 30.



2

 a 3   a 2b   3a 3  a 4b 2  3a 3  ab 2  3
2

Cho a và b là hai số thực dương thoả mãn 4
A. 3 .

log 2  ab 

B. 6 .

 3a. Giá trị của ab 2 bằng
C. 2 .

D. 12 .

Lời giải

Chọn A
Ta có
Câu 31.

4

log 2  ab 

  2

log 2  ab 

2

2
   ab  2
4log 2  ab   3a   ab   3a  ab 2  3

nên
.

log3 ( ab )
= 4a . Giá trị của ab2 bằng
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9

C. 2 .

B. 6 .

A. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn D
9log3  ab   4a   ab   4a  ab 2  4
2

Ta có

.
2

Câu 32.

log3 ( a b )
 4a3 . Giá trị của ab 2 bằng
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9

A. 4.

B. 2.

C. 3.
8

D. 6.

.


Lời giải

Chọn A
Ta có:

9log3 ( a b )  4a 3  32log 3 ( a b )  4a 3  3log 3 ( a b )  4a 3   a 2b   4a 3  a 4b 2  4a 3  ab2  4.
2

Câu 33.

2

2

2

2

log 2 a  2 log 4 b  3
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng
A.

a  8b 2 .

B. a  8b .

4
D. a  8b .

C. a  6b .
Lời giải

Chọn B
Ta có

log 2 a  2log 4 b  3  log 2 a  2 log 22 b  3  log 2 a  log 2 b  3

 log 2
Câu 34.

a
a
 3   8  a  8b
b
b
.

log 3 a  2 log 9 b  3
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  27b .

B. a  9b .

4
C. a  27b .

2
D. a  27b .

Lời giải

Chọn A
Ta có:
Câu 35.

log 3 a  2 log 9 b  3  log 3 a  log 3 b  3  log 3

a

 3  a  27b
b
.

log 3 a  2 log 9 b  3
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  27b .

B. a  9b .

4
C. a  27b .

2
D. a  27b .

Lời giải

Chọn A
Ta có:
Câu 36.

log 3 a  2 log 9 b  3  log 3 a  log 3 b  3  log 3

Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn
đúng?
2
A. a  16b .

a
 3  a  27b
b
.

log 2 a  2 log 4 b  4

B. a  8b .

C. a  16b .

. Mệnh đề nào dưới đây
4
D. a  16b .

Lời giải

Chọn C
Ta có:

log 2 a  2 log 4 b  4  log 2 a  log 2 b  4  log 2

9

a
a
 log 2 16   16  a  16b
b
b
.

Câu 37.

3
Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a  log 2 b  6 , khẳng định nào dưới đây đúng?

3
A. a b  64 .

3
B. a b  36 .

3
C. a  b  64 .

3
D. a  b  64 .

Lời giải

Chọn A
Ta có:
Câu 38.

log 2 a 3  log 2 b  6  log 2  a 3b   6  a 3b  2 6  a 3b  64

.

3

Với moi a, b thỏa mãn log 2 a  log 2 b  8 , khẳng đinh nào dưới đây đúng?

3
A. a  b  64 .

3
B. a b  256 .

3
C. a b  64 .

3
D. a  b  256 .

Lời giải

Chọn B
3
3
3
Ta có log 2 a  log 2 b  8  log 2 a b  8  a b  256 .

Câu 39.

3
Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a  log 2 b  7 , khẳng định nào dưới đây đúng?
3
A. a  b  49 .

3

B. a b  128 .

3
C. a  b  128 .

3
D. a b  49 .

Lời giải

Chọn B
Ta có
Câu 40.

log 2 a 3  log 2 b  7  log 2  a 3b   7  a 3b  27  128.

3
Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a  log 2 b  5 , khẳng định nào dưới đây đúng?

3
A. a b  32 .

3
B. a b  25 .

3
C. a  b  25 .

Lời giải

Chọn A
log 2 a 3  log 2 b  5  log 2 a3b  5  a 3b  25  a 3b  32

10

.

3
D. a  b  32 .