(SKKN HAY NHẤT) áp dụng bất đẳng thức cauchy và bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

THÁNG : 5 / 2020
CHUYÊN ĐỀ :
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Giáo viên báo cáo: Nguyễn Thị Đường
A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN :
I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):
Với 2 số khơng âm a;b
( vì
a+b

)

( tương tự )
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2

(1)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
+ Nếu a.b =k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2

a=b

+ Nếu a +b = k (khơng đổi ) thì max( a.b) =

a=b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n

( 2)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
+ Nếu a1.a2.a3 …. an = k (không đổi ) thì Min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n
a1 = a2 = a3 = …..= an
+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (không đổi ) thì m
+ Mở rộng của BĐT Cơ- si
1.

Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c
Dấu “=” xảy ra

2.

Với 4 số a, b, c ,d không âm

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
a+b+c+d
Dấu “=” xảy ra
3. Đối với n số khơng âm: a ,
Ta có:
Dấu “=” xảy ra
+ Biến dạng :

với x;y;z >0
II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski .

+Với 4 số a;b;c;d ta có :
Dấu ‘ =’ xảy ra khi
+Tổng quát : Cho hai bộ
Ta có:
Dấu bằng xảy ra

.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 : Cho a;b;c >0 và

. Tìm GTNN của

Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Tương tự:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020

(Áp dụng BĐT Cô si )
Suy ra :

=>

khi

a= b= c =

Bài 2: Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c 12
Tìm GTNN của
Bài giải
Ta có :
Áp dụng BDT Cô si cho 4 số dương :
Ta có :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
=>
3(a+b+c)

3.12 =36

Vì P>0 => P

6

Khi a =b =c = 4
Bài 3 : Tìm GTNN của :

biết x+y = 6

Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A 0)

=>A

khi

Bài 4:

Tìm GTNN của

Bài giải:

Áp dụng BĐT cô si

Khi
Bài 5 : Cho

;a >0; b >0 . Tìm GTLN của N= a + b

Bài giải
+ Chứng minh BĐT :

;

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
+

=>

Nên
khi a = b = 1

Bài 6 : Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của :

Bài giải
+ Ta chứng minh BĐT :
+Ta có

Vậy

hay

Tương tự :

(1)
(2)
(3)

Từ (1)(2)(3) Suy ra :

khi a= b= c=1
Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b

1 . Tìm GTNN của :

Bài giải
+Ta có :
+

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

THÁNG : 5 / 2020
+

Khi a =b=
Bài 8: Cho xy =1 và x;y >0 . Tìm GTLN của :
Bài giải

khi t = 1 => x =y = 1
Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 . Tìm GTLN của :

Bài giải
+ Ta có :

=>

+
=

khi x =y = z= 1.
Bài 10: Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016. Tìm GTNN của :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
Bài giải
+ Ta có
Tương tự 2

b+c

2

c+a

Nên suy ra
2M 2 (a+b+c) =2. 2016
=>M 2016
=>

khi a =b =c = 2016:3 =672

Bài 11 : Cho x;y;z>0 . Tìm GTNN của :
Bài giải
+Ta chứng minh
+Ta có

+ Suy ra

khi x =y =z

Bài 12 : Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 . Tìm GTNN của :
Bài giải: + Chứng minh BĐT :

với x;y;z >0

+Ta có :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

THÁNG : 5 / 2020
Khi a=b=c = 1.
Bài 13: Cho x;y >0 và x+y+xy =8 . Tìm GTNN của :
Bài giải
+Ta có x +y
=>xy +

8 hay

=>
=>xy

4

+ Ta có
Vì xy

4 => 9 –xy

5 =>

Suy ra A 8
Vậy

khi x = y =2

Bài 14 : Cho x;y;z >0 và xyz =1 . Tìm GTNN của :
Bài giải
+ Áp dụng BĐT cô si với 3 số khơng âm ta có :

=>

Dấu “ =” xảy ra khi x =1

Tương tự đối với y ; z
+
Bài 15: Cho a

10; b 100 ; c 1000. Tìm GTNN của :

Bài giải

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
Ta có :

=1110.111
Vậy

khi a =10 ; b = 100; c =1000.

Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z

. Tìm GTNN của

Bài giải
Ta có

=

Vậy

khi x = y =z =

Bài 17: Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của:

Bài giải
+ Ta có
+ tương tự đối với 2 hạng tử cịn lại
Ta suy ra

=>

Khi a =b=c =

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
Bài 18 : Cho a;b>0 và a+b 1 . Tìm GTNN của :
Bài giải
Ta có

=
=1+
A

=>

Khi a =b =

Bài 19: Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 . Tìm GTNN của :
Bài giải
Áp dụng BĐT cơ si cho 2 số dương:
;(k>0) với Điểm rơi
=>
+Ta có

=(x+y+z)Suy ra Min A= 1 khi

-

=

=1
.

Bài 20: Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020

Tìm GTNN của :
+ Ta có :
(Áp dụng BĐT :

với x;y;z >0)

+ Áp dụng BĐT cô si :

Vậy Min A =

Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0)

Bài 21 : Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 . Tìm GTNN của :
Bài giải
+ Áp dụng BĐT:

với x;y;z >0; một cách liên tục

Ta có :

Suy ra Min P = 3 khi x =y =z = 1.

Bài 22: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3. Tìm GTNN của:
Bài giải

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
+ Ta có :
Tương tự ta có :

Nên suy ra :

2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3

Min A = 3 khi a = b= c = 1.
Bài 23. Cho x>0;y>0 và x + y = 1 .Tìm GTNN của :
Bài giải
Ta có :
=

=
.

=

.

=

=
Mặt khác Áp dụng BĐT :

=>A

. Vậy Min A = 9 . Khi x = y =

Bài 24 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx

3 . Tìm GTNN của :

Bài giải

+ Ta chứng minh :
Hay

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
+ Áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương ta có :

Nên :
Tương tự :

Suy ra

Vậy Min A =

. Khi x =y =z = 1 .

Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1. Tìm GTNN của :

Bài giải
+ Ta có :
( Áp dụng BĐT :
+ Tương tự :

).

Nên suy ra :
;

Vậy

=>Min A =

. Khi x =y =z =

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020
Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn

. Tìm GTNN của :

Bài giải
+ Áp dụng BĐT Bunhicosky

=>

Tương tự ta có :

Do đó :

Vậy Min A = 3 Khi x = y= z =

.

Bài 27: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của :

Bài giải

+Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương :

Tương tự :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020

Ta có :

Vậy Min A =

, Khi a = =b = c= 1 .

C. BÀI TẬP :
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1
Tìm GTNN của A = (1+

) (1+

) (1+

)

2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1
Tìm GTNN của B =
3. Cho a,b,c > 0
a) Tìm GTNN của C =
b) Tìm GTNN của D =

4. Cho x,y,z 

và x + y + z = 1

Tìm GTLN E =
5. Cho a,b,c  0 và a + b + c = 1
Tìm GTLN của F =

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


THÁNG : 5 / 2020

LUAN VAN CHAT LUONG download : add