Tài liệu Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8

tai lieu, luan van1 of 98.

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu
phát triển kinh tế - xã hội theo hướng cơng nghiệp hố và hiện đại hố
của đất nước. Đó là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động
trong học tập, thích nghi tốt với cuộc sống và lao động. Vì thế, người
giáo viên bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản
về kiến thức, còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo,
tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập.
Trong tất cá các mơn học cấp THCS, tốn học nói chung và hình học
nói riêng thì hình học là một phân mơn rất quan trọng trong việc rèn
luyện tính lơgic, tư duy sáng tạo, giúp học sinh không những học tốt mơn
Tốn mà cịn có thể học tốt các mơn học khác. Việc khai thác, phát triển
một bài toán đơn giản góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng
lực tư duy cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tơi nhận
thấy:
Các giáo viên giảng dạy tốn đều đánh giá cao tầm quan trọng của
việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Việc
khai thác giả thiết, khai thác sâu thêm kết quả của bài toán để tạo ra các
bài toán khác (đơn giản hoặc phức tạp hơn) là rất quan trọng và có ích.
Nó khơng chỉ giúp người dạy và người học nắm bắt kĩ kiến thức của một
dạng toán mà nó cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố, tổng qt
hố một bài tốn; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh
hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng
kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú u thích bộ mơn
tốn hơn. Nhưng hầu hết học sinh ( kể cả học sinh khá giỏi) sau khi giải
xong một bài tốn đều thỗ mãn với nó mà khơng có ý thức khai thác,
phát triển nó thành chùm bài tốn liên quan nhau. Chính điều này làm
hạn chế sự phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt của học sinh.
Chúng ta biết rằng, mỗi một bài tốn đều có giả thiết và kết luận của

nó. Việc chứng minh kết luận đó là yêu cầu bắt buộc học sinh phải thực
hiện. Song, chúng ta cần rèn cho học sinh suy nghĩ đằng sau bài tập đó
cịn có thể khai thác được gì, khai thác như thế nào đó mới là vấn đề cần
thiết để giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt. Chẳng
hạn: Chúng ta khai thác thêm được bài toán mới nào từ bài tốn đó, thay
đổi một số giả thiết thì cho ra bài tốn mới nào, hay như đảo ngược bài
tốn thì sao?...
Trong chương trình hình học 8, có nhiều bài tốn hay và khó dành
cho học sinh giỏi nhưng lại xuất phát từ bài toán đơn giản. Chỉ với sự
thay đổi một vài giả thiết có thể tạo ra một hệ bài tập hay và nó giúp cho
học sinh phát triển tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm lớp 8

document, khoa luan1 of 98.


tai lieu, luan van2 of 98.

tôi xin trao đổi kinh nghiệm: “Khai thác và phát triển từ một bài toán
đơn giản để bồi dưỡng toán 8“.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Chúng ta bắt đầu bằng bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1 ( Bài tốn cơ bản):
Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.
Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. Chứng minh rằng:
Tam giác DIL cân.
Hướng dẫn:
A

D
3

1

2
I

L

B

C

ADI, CDL có:
AD=CD


DAI = DCL =900 ( tính chất hình vng)
Error! = Error! ( cùng phụ với Error! )

 ADI = CDL ( c.g.c)
 DI = DL.
Vậy : DIL cân tại D.

Khai thác bài toán: Từ bài toán 1, nếu ta kẻ đường phân giác IDL
cắt cạnh BC tại M.
A

D
3
1

2
I

L

document, khoa luan2 of 98.

C

M

B


tai lieu, luan van3 of 98.


Khi đó: IDM = 450
 LDM = IDM
 ML = MI
 PError! = IB + BM + MI
= IB + BM + ML
= IB + BC + CL
1
= BC + BA = PABCD ( Với P là chu vi )
2
Do đó ta có bài tốn 2 sau đây:
Bài tốn 2:
Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.


Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho IDM = 450 .
Chứng minh rằng: Chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng
ABCD.
Hướng dẫn:
Như vậy từ bài tốn 1, ta cần phải tạo ra ADI = CDL ( c.g.c) bằng
cách vẽ thêm đường phụ như sau:
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI
A

D
4

45°
1 2 3

I
L

C

M

B

 CLD=AID (c.g.c)
 DL=DI, Error! = Error! (1)
Mà
vuông)

document, khoa luan3 of 98.

Error! + Error! + Error! = Error! = 90Error! ( tính chất hình


tai lieu, luan van4 of 98.

 Error! + Error! = 90Error! - Error! = 45Error! (2)
Từ 1,2 suy ra: Error! + Error! = 45Error! hay Error! = 45Error!
 LDM = IDM (c.g.c)
 ML = MI
Do đó: PError! = IB + BM + MI
= IB + BM + ML
= IB + BM + CL + CM
= IB + BM + AI + CM
= (BI + AI) + (BM + MC)
1
= AB + BC= PABCD .
2
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý
như sau:
“Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.



Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho IDM = 450 .
a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh
rằng: CLD =AID.
b, Chứng minh rằng: ML = MI.
c, Chứng minh rằng: Chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng
ABCD.”

Khai thác bài toán: Đặt câu hỏi ngược lại với bài toán 2, nếu chu vi

IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD thì số đo IDM = 450 hay
khơng?
Ta có tiếp bài tốn 3 sau đây:
Bài tốn 3:
Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.
Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM bằng một nữa chu vi

hình vng ABCD. Chứng minh rằng: IDM = 450.
Hướng dẫn:
Vẫn từ bài toán 1, ta cần phải tạo ra ADI = CDL ( c.g.c) bằng
cách vẽ thêm đường phụ như sau:
document, khoa luan4 of 98.


tai lieu, luan van5 of 98.

Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI
A

D

1

3

4

2

I

L
 CLD=AID (c.g.c)

C

M

B

 DL=DI, Error! = Error! (1)
Ta có:PError! = Error! PError!
 IB + BM + MI = AB + BC
 IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC
 MI = AI + MC (2)
Từ 1,2 suy ra: MI = CL + MC = ML
 LDM = IDM (c.c.c)


 LDM = MDI hay Error! + Error! = Error!
 Error! + Error! = Error!
Mà Error! + Error! + Error! = Error! = 90Error! ( tính chất hình
vng)
 Error! = 45Error!.

Vậy : IDM = 450
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý
như sau:
“Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.

Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình
vng ABCD.
a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh
rằng: CLD=AID.
b, Chứng minh rằng: LDM = IDM



c, Chứng minh rằng: IDM = 450.”

document, khoa luan5 of 98.


tai lieu, luan van6 of 98.

Khai thác bài toán: Trong bài toán 3, chu vi IBM bằng một nữa
chu vi hình vng ABCD. Nên chu vi IBM bằng 2a ( với a là độ dài
cạnh hình vng ABCD cho trước) khơng đổi nhưng diện tích IBM thì
ln thay đổi do độ dài cạnh MI phụ thuộc vào vị trí điểm di động I trên
cạnh AB kéo theo diện tích DMI cũng thay đổi. Lúc này vấn đề đặt ra là
diện tích DMI lớn nhất là bao nhiêu khi điểm I ở vị trí nào trên AB?
Khai thác giả thiết này ta có bài tốn cực trị hình học sau đây:
Bài tốn 4:
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm
thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM
bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. Xác định vị trí của điểm M và I
để diện tích DMI đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó?
Hướng dẫn:
A

D
1

3

4

2
I

L

C

M

B

Theo bài tốn 3, thì CLD = AID (c.g.c); LDM = IDM (c.c.c)
SError! = SError! - ( SError! + SError! + SError! )
= SABCD - ( SError! + SError! + SError! )
= SABCD - ( SError! + SError! )
= SABCD - ( SError! + SError! )
 2SError! = SError! - SError!
 SError! = Error! SError! - Error!SError! = Error!aError! - Error!S
Error!

 SError!  Error!aError!. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi SError!
=0
 I  B và M  C hoặc I  A và M  B.

Vậy: SError! đạt giá trị lớn nhất là Error!aError! khi và chỉ khi I  B
và M  C hoặc
I  A và M  B.
Bài toán này chủ yếu dành cho học sinh giỏi.
document, khoa luan6 of 98.


tai lieu, luan van7 of 98.

Khai thác bài toán: Trở lại bài toán 1, khi điểm I thay đổi trên AB
kéo theo độ dài đoạn thẳng LI cũng thay đổi. Nên trung điểm M của LI là
một điểm di động nhưng khoảng cách từ M tới D và tới B thì như thế nào
với nhau? DB là đoạn thẳng cố định vì sao? Vậy M di động trên đường
cố định nào?
Với sự khai thác giả thiết bài toán 1 theo hướng này cho ta bài toán
chứng minh điểm di động trên một đường cố định như sau:
Bài tốn 5:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.
Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm
của IL.Chứng minh rằng: M di chuyển trên đường cố định khi I thay đổi
trên AB.
Hướng dẫn:
A

D

I
M
L

C

B

DIL vuông tại D(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL
1
 MD = LI (1)
2
BIL vuông tại B(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL
1
 MB = LI ( 2). Từ 1,2 suy ra: MD = MB
2
 M cách đều hai đầu đoạn thẳng BD
Mà đoạn thẳng cố định BD ( do hình vuông ABCD cố định) nên
đường trung trực của BD cố định khi I thay đổi trên AB.
Vậy: M di động đường trung trực BD cố định khi I thay đổi trên AB.
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể viết bài tốn thành như sau:
Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.
Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm
của IL.Chứng minh rằng: M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng
BD.”

document, khoa luan7 of 98.


tai lieu, luan van8 of 98.

Khai thác tiếp bài toán 4: Tiếp tục khai thác sự thay đổi độ dài đoạn
thẳng LI khi điểm I di động trên AB thì đoạn thẳng LI ngắn nhất là bao
nhiêu khi đó I nằm ở đâu trên AB? Ta có tiếp câu b, câu c của bài 4 như

sau:
b, Đặt AI = x ( 0 < x  a). Tính LI theo a và x.
c, Tìm vị trí của điểm I trên AB để LI có độ dài ngắn nhất và tìm giá
trị đó.
Hướng dẫn:
b, Ta có: AID vng ở A nên: DI2 = AD2 + AI2 = a2 + x2
DIL vuông cân tại D nên: LI2 = 2DI2 = 2a2 + 2x2
c, Từ câu b, ta có: LI2  2a2  LI = a 2
Vậy LI có độ độ dài ngắn nhất là a 2 đạt được khi x=0  I  A.
Khai thác bài toán: Trở lại với bài toán 1, nếu ta kéo dài DI cắt tia
CB tại E thì khi I thay đổi trên AB kéo theo độ dài một số đoạn thẳng
thay đổi nhưng AID luôn đồng dạng với BIE cũng như  vng DEL
có đường cao DC ln khơng đổi khi I. Vì vậy, ta có bài tốn mới tiếp
theo:
Bài tốn 6:
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một nằm
giữa A và B. Tia DI cắt CB tại E.
a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID.
b, Chứng minh: Error! + Error! = Error!.
c, Trên tia đối cả tia AB lấy điểm F sao cho AF = BE. Gọi K là giao
điểm của FC và AE. Chứng minh: DK  EF.
Hướng dẫn:
D

A

a,
I

ADI, BIE có:



DAI = EBI = 900 (gt)


AID = BIE ( đối đỉnh)

document, khoa luan8 of 98.

C

B

E


tai lieu, luan van9 of 98.

 ADI ∽ BIE ( g.g)


IA ID
=
IB IE

 IE.IA = IB.ID
b, (Theo bài toán 1) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI cắt CB
tại L.
D

A

I
L

E

B

C

Khi đó DI = DL ( theo bài tốn 1)
 Error! + Error! = Error! + Error! = Error! = Error! (1)
Mà: CDL ∽ DEL ( g.g)


CD DL
=
DE EL

 DE.DL = CD.EL
 DE2.DL2 = CD2.EL2 (2)
Từ 1, 2 suy ra: Error! + Error! = Error! = Error! = Error!
c,
F
K
D 3

A
1

1 2

I
2
L

C

1
B

E

Dễ dàng chứng minh được: CDE = CBF (c.g.c)
 Error! = Error! mà Error! + Error! = 90Error! ( Vì CDE vng ở
C)
 Error! + Error! = 90Error! nên: CF  DE hay FK  DE tại K (3)
Dễ dàng chứng minh được: BAE = ADF (c.g.c)

document, khoa luan9 of 98.


tai lieu, luan van10 of 98.

 Error! = Error! mà Error! + Error! + Error! = 180Error! ( E,A,K
thẳng hàng)
Hay Error! + 90Error! + Error! = 180Error!
 Error! + Error! = 90Error!
Nên: Error! + Error! = 90Error!.

Do đó: AK  DF hay EK  DF tại K (4)
Từ 3,4 suy ra: K là trọng tâm của DEF.
Vậy: DK  EF.
Đây chính là bài 4 trong đề thi HSG huyện Thạch Hà mơn tốn 8
năm học 2013 - 2014.
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể yêu cầu học sinh làm câu a,
câu b với cách ra đề như sau:
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một nằm
giữa A và B. Tia DI cắt CB tại E.
a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID.
b, Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI cắt CB tại L.
Chứng minh:CDL ∽ DEL từ đó suy ra: DE2.DL2 = CD2.EL2
c, Chứng minh: Error! + Error! = Error!.
Khai thác bài toán: Tiếp tục khai thác sự thay đổi của điểm I trên
AB và đường thẳng qua D nhưng khơng vng góc với tia BC như bài 1
mà lại vng góc với tia BA tại L cùng với tia DI cắt tia CB tại E. Khi đó
ta có bài tốn hồn tồn tương tự bài tốn 5 nhưng liệu LI ngắn nhất có
phải là a 2 nữa khơng? Và lúc đó vị trí điểm I có trùng với A hay
không? Để trả lời câu hỏi này ta đi tiếp sang bài tốn 5 sau đây:
Bài tốn 7:
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm
thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC
tại L. Gọi M là trung điểm của LI.
a, Chứng minh rằng: M di động trên đường thẳng cố định khi I thay
đổi trên AB.
b, Đặt AI = x ( 0 < x  a). Tính LI theo a và x.
c, Tìm vị trí của điểm I trên AB để LI có độ dài ngắn nhất và tìm giá
trị đó.
Hướng dẫn:
L

document, khoa luan10 of 98.


tai lieu, luan van11 of 98.

a, Câu a hoàn toàn giải như bài tốn 4.
b, Ta có: AID vng ở A nên: DI2 = AD2 + AI2 = a2 + x2(3)
Nhưng DIL vng tại D nhưng khơng cân do đó ta sử dụng hai tam
giác đồng dạng để lập tỉ số đoạn thẳng tính DI2 như sau :
DIL  AID (g.g)


DI IL
=
 DI2 = AI.IL = x.LI (4)
AI ID

Từ 3,4 suy ra: a2 + x2 = x.LI  LI = Error! = Error! + x  2 Error! =
2a
( do (Error! - Error!)Error!  0, với mọi x > 0, a > 0 )
Vậy LI có độ dài ngắn nhất là 2a, đạt được khi Error! = x  x = a
 I  B.
C. KẾT LUẬN.
Trên đây là một số cách khai thác và phát triển từ một giả thiết I là
điểm di động trên cạnh AB của hình vng cho trước trong bài tốn cơ
bản 1 kết hợp với sự thay đổi một số giả thiết khác, hay đảo ngược bài
tốn, cũng có khi khai thác thêm các giả thiết của bài toán gốc để tạo ra
chùm bài tốn liên quan với nhiều dạng tốn nhằm mục đích rèn kĩ năng
giải toán cũng như kĩ năng khai thác phát triển bài tốn cho học sinh nói

chung và học sinh giỏi tốn 8 nói riêng đáp ứng mục tiêu chính là phát
triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho người học.
Và sau khi cho học sinh được thực hành theo kinh nghiệm này, tôi
nhận thấy ban đầu các em còn bỡ ngỡ nhưng càng về sau các em hứng
thú và say mê hơn, đa số các em đã tập được thói quen khi làm xong một
bài tốn thì ln hướng bản thân suy nghĩ bài tốn đó theo hướng:

document, khoa luan11 of 98.


tai lieu, luan van12 of 98.

- Tìm thêm những kết luận khác từ các giả thiết đó.
- Tìm ra những bài tốn họ hàng của nó .
- Tìm ra những bài tốn hay và khó hơn bằng cách thử thay đổi một
số giả thiết.
Dưới đây là kết quả khảo sát của bản thân tôi trước và sau khi áp
dụng kinh nghiệm đối với học sinh lớp 8 mà tôi được dạy đại trà cũng
như bồi dưỡng:
Kĩ năng

Trước khi áp
dụng

Khai thác bài toán
một cách linh hoạt, sáng
tạo

Sau khi áp
dụng

30%

60%

Đây là một kinh nghiệm nhỏ mà trong q trình dạy học tơi đúc rút
được tuy nhiên vẫn cịn hạn chế, thiếu sót cần bổ sung. Tơi rất mọng
nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.
D. KIẾN NGHỊ.
- Hàng năm trường, huyện thường tổ chức viết sáng kiến kinh
nghiệm. Nên sau khi chấm đề nghị ban tổ chức đánh giá và triển khai
kinh nghiệm hay có ích cho việc dạy học đến đồng nghiệp các đơn vị để
chất lượng dạy học ngày càng được nâng lên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

document, khoa luan12 of 98.