SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI THPT
QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm
Tổ:
Toán - Tin
Trường: THPT Như Thanh
SKKN thuộc mơn Tốn.

THANH HĨA, NĂM 2019

SangKienKinhNghiem.net


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...............................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .....................................................................................2
2.2. Thực trạng.............................................................................................................................................2

2.3. Giải quyết vấn đề.................................................................................................................................3
2.3.1 . Cơ sở lý thuyết..................................................................................................................................5
2.3.2. Một số dạng bài toán về hàm số f (x ), f

éu(x )ù... khi biết đồ thị của hàm số f '(x ) .....7
ê
ë ú
û

2.4. Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng.........................................................................................23
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.........................................................................................25
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...............................................................................................................26
3.1. Kết luận................................................................................................................................................26
3.2. Kiến nghị..............................................................................................................................................26
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................................27

SangKienKinhNghiem.net


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi
mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng
tạo của người học. Nhưng khơng phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương
pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học
hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền
thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ
động sang chủ động.
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là một

cơng cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài tốn. Giữa hàm số f ( x ) và đạo hàm của
nó f '( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn
dưới dạng cơng thức nó cịn được thể hiện qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị của
hàm số f '( x ) để tìm ra được các tính chất của hàm số f ( x ) giúp ta giải quyết
được rất nhiều bài tốn khó.
Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi từ hình thức thi tự luận
sang trắc nghiệm đối với mơn Tốn, thì xuất hiện trong đề thi rất nhiều bài tốn
có giả thiết là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f '( x ) và yêu cầu chỉ
ra các tính chất của hàm số f ( x ) . Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với học
sinh, để giải quyết được các dạng bài tốn này thì học sinh cần phải nắm vững
kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của nó. Xuất phát từ những lý do
trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị
của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc
Gia tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vận
dụng, vận dụng cao về hàm số f ( x ), f u( x )..... khi biết đồ thị hàm số f '( x ) .
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lý
thuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết các bài toán đơn điệu, cực
trị, GTLN-GTNN.... của hàm f u( x ) khi biết đồ thị của hàm số f '( x ) .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp
nhiều phương pháp như:
-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân
tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với mơn học thuộc lĩnh vực Tốn học.
- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.

1
SangKienKinhNghiem.net

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về
đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh
mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối
truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri
thức, kỹ năng, phát triển năng lực...."
Mọi người đều cần phải học toán và dùng tốn trong cuộc sống hàng
ngày. Vì thế mà Tốn học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong
đời sống xã hội. Hiểu biết về Tốn học giúp cho người ta có thể tính tốn, suy
nghĩ, ước lượng,...và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ,
suy luận lôgic,...trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng như
trong cuộc sống hàng ngày.
Ở trường phổ thơng, học tốn về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán
liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản,
khám phá về các con số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý
tưởng liên quan,... Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học tốn và
giải tốn giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp.
Kiến thức mơn Tốn cịn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học
khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,...
Do đó, ở trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn Tốn để đáp ứng
được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình
thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của
mơn Tốn như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy
sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận tốn học), Năng lực tính tốn (gồm: năng
lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn; năng lực mơ hình

hóa; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn).
2.2. Thực trạng.
Trong q trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôi
nhận thấy việc học bộ mơn tốn của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bài
toán về hàm số f ( x ) khi biết đồ thị của hàm số f '( x ) . Các em không biết bắt
đầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào…. Chính những khó khăn đó đã
ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến các em khơng
có hứng thú trong việc học mơn Tốn.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập
về hàm số f ( x ) khi biết đồ thị của hàm số f '( x ) , các em thường thụ động trong
việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung
cấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạng này. Kết quả khảo sát ở
một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với các dạng
bài toán này.

2
SangKienKinhNghiem.net


2.3. Giải quyết vấn đề.
Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai mơn Tốn được thi dưới hình
thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài tốn sau:
Cho hai hàm số y  f x  , y  g x  . Hai hàm số y  f  x  và y  g  x 
có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
y  g  x  .
y  f  x 

y
10
8

5
4
O

3

8 1011

x

y  g  x 

Hàm số h x   f x  4   g  2 x  3  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?


A.  5; 31  .


5 

B.

2
9 
 ; 3 .
4 

C.  31 ;    .
 5



D.  6; 25  .


4 

(Trích câu 50 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2018).
Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thơng, kể cả
những học sinh có học lực giỏi. Cái khó khăn của bái tốn trên chính là việc tìm
ra mối liên hệ giữa hai điều kiện đồ thị hàm số f '( x ), g '( x ) và tính đơn điệu của
hàm h( x ) . Sau đây là một số cách giải bài toán này.
3
2

Cách 1: Đặt X  x  4 , Y  2 x  . Ta có h x   f   X   2 g  Y .
Để hàm số h x   f x  4   g  2 x  3  đồng biến thì h x   0

2
3  x  4  8

.
 f   X   2 g  Y với X , Y  3;8  
3
3  2 x  2  8
1  x  4
1  x  4
9
19



 9   9 19 
 9
19   9
19   x  .Vì  ; 3    ;  . Vậy, chọn B.
4
4
 2x 
4  4 4 

 4  x  4
2
2
Cách 2: Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại A a;10  ,


a  8;10  . Khi đó ta có:
 f x  4   10, khi 3  x  4  a
 f x  4   10, khi  1  x  4


 
 
3
3
3
3
25 .
g
2

x


5,
khi
0

2
x


11
g
2
x


5,
khi

x



 
 
2
2
2
4

4
 
 
3
Do đó h x   f  x  4   2 g   2 x  3   0 khi  x  4 . Vậy, chọn B.
4
2


3
SangKienKinhNghiem.net


Cách 3: Ta có h x   f  x  4   2 g   2 x  3  .

2

25
 x  4  7 , f x  4   f 3  10 ;
Dựa vào đồ thị, x   9 ;3  , ta có
4
4 
3 9
3
3  2 x   , do đó g  2 x    f 8   5 .
2 2
2

Suy ra h x   f  x  4   2 g   2 x  3   0, x   9 ;3  . Do đó hàm số đồng
2


4 
biến trên  9 ;3  . Vậy, chọn B.
4 

Rõ ràng bài tốn trên có nhiều hướng để giải quyết, tuy nhiên nếu học
sinh khơng có kỹ năng đọc đồ thị của hàm số đạo hàm thì sẽ rất khó khăn.
Trong năm học 2016-2017 năm đầu tiên tổ chức thi dưới hình thức trắc
nghiệm với mơn Tốn, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bài tốn sau:
Cho hàm số y = f (x ) . Đồ thị của hàm số y = f ¢(x ) như hình bên. Đặt
h(x ) = 2f (x ) - x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
y
4
2
- 2

2

4

x

- 2

A. h(4) = h(- 2) > h(2)
B. h(4) = h(- 2) < h(2)
C. h(2) > h(4) > h(- 2)
D. h(2) > h(- 2) > h(4)
(Trích câu 49 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2017).
Giải

2
+ Tính đạo hàm: h(x ) = 2f (x ) - x Ta có: h ¢(x ) = 2f ¢(x ) - 2x
h ¢(x ) = 0 Û 2f ¢(x ) - 2x = 0 Û f ¢(x ) = x
+ Vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị như hình bên dưới

y
4
2
- 2

2

4

x

- 2

4
SangKienKinhNghiem.net


éx = - 2
ê
¢
h (x ) = 0 Û ê
êx = 2 (tại các giao điểm của đường cong và đường thẳng trên hình)
ê
x= 4
ê

ë
é- 2 < x < 2
h ¢(x ) > 0 Û 2f ¢(x ) - 2x > 0 Û ê
êx > 4
ê
ë
éx < - 2
h ¢(x ) < 0 Û 2f ¢(x ) - 2x < 0 Û ê
ê2 < x < 4
ê
ë

+ Bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h (2) lớn nhất trong 3 giá trị cực trị
+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu cịn lại.
Ta có: h(4) - h(- 2) =

ò

4

- 2

h '(x )dx =

ò

2

- 2

h '(x )dx +

ò

4

2

h '(x )dx > 0 Û h(4) > h(- 2)

+ Vậy thứ tự đúng là: h(2) > h(4) > h(- 2) . Vậy, chọn đáp án C.
Như vây, các bài tốn liên quan đến đồ thị hàm số ln xuất hiện nhiều trong
đề thi chính thức ở 2 năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học
2018-2019. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài
toán liên quan đến hàm số f (x ), f éëêu(x )ùûú.... khi biết đồ thị của hàm số f '(x ) .
2.3.1 . Cơ sở lý thuyết.
Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính
chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
2.3.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số y  f x  được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2
 f x1   f x2 

Hàm số y  f x  được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2
 f  x1   f  x2 

Định nghĩa 2: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên khoảng a; b  (có

thể a là  ; b là  ) và điểm x0  a; b .
a. Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x   f x0  với mọi x  x0  h; x0  h  và x  x0 thì
ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0 .
b. Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x   f x0  với mọi x  x0  h; x0  h  và x  x0 thì
ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại x0 .

5
SangKienKinhNghiem.net


Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x  trên tập D nếu f x   M
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f x0   M . Kí hiệu M  max f x 
D

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x  trên tập D nếu f x   m
f  x .
với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f x0   m . Kí hiệu m  min
D
2.3.1.2. Các tính chất.
Định lý 1: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K
+ Nếu f ¢(x ) > 0, " x Ỵ K thì hàm số y = f (x ) đồng biến trên K
+ Nếu f Â(x ) < 0, " x ẻ K thỡ hàm số y = f (x ) nghịch biến trên K
Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K . Nếu

f ¢(x ) 0, " x ẻ K (hoc f Â(x ) £ 0, " x Ỵ K ) và f  x   0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm thì hàm số y = f (x ) đồng biến (nghịch biến) trên K
Định lý 2:: Giả sử hàm số f có cực trị tại điểm x 0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm
tại x 0 thì f  x 0   0.

Định lý 3: Giả sử hàm số y  f x  liên tục trên khoảng K  x0  h; x0  h  và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h  0 .
a. Nếu f ' x   0 trên khoảng x0  h; x0  và f ' x   0 trên khoảng x0 ; x0  h  thì x0
là một điểm cực đại của hàm số f x  .
b. Nếu f ' x   0 trên khoảng x0  h; x0  và f ' x   0 trên khoảng x0 ; x0  h  thì x0
là một điểm cực tiểu của hàm số f x  .
2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.
- Cho hàm số y  f x  có đồ thị C . Đồ thị hàm số C 1 : y  f x  a  được suy
ra từ đồ thị C  bằng cách tịnh tiến đồ thị C  theo phương trục hoành một đoạn
bằng a . Nếu a  0 tịnh tiến đồ thị C  qua phải a đơn vị và nếu a  0 tịnh tiến
đồ thị C  qua trái a đơn vị.

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị C . Đồ thị hàm số C 2 : y  f x  b được suy
ra từ đồ thị C  bằng cách tịnh tiến đồ thị C  theo phương của trục tung một
đoạn bằng b . Nếu b  0 tịnh tiến đồ thị C  xuống dưới b đơn vị và nếu b  0
tịnh tiến đồ thị C  lên trên b đơn vị.

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị C . Đồ thị hàm số
ìï f ( x ) khi x > 0
(C3 ) : y = f ( x ) = ïí
được suy ra từ đồ thị hàm số C  bằng cách:
ïï f (- x ) khi x £ 0
ỵ

6
SangKienKinhNghiem.net


+ Giữ nguyên phần đồ thị C  nằm bên phải trục Oy và bỏ phần C  nằm bên trái Oy .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị C  nằm bên phải trục Oy qua Oy .
- Cho hàm số y  f x  có đồ thị C . Đồ thị hàm số

ìï f ( x ) khi f ( x ) > 0
(C3 ) : y = f ( x ) = ïí
được suy ra từ đồ thị hàm số C  bằng cách:
ïï - f ( x ) khi f ( x ) £ 0
ỵ
+ Giữ nguyên phần đồ thị C  nằm trên Ox .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị C  nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị C 
nằm dưới trục Ox.
2.3.1.4. Một số ứng dụng của tích phân.
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f x  liên tục, trục
b

hoành và hai đường thẳng x  a; x  b được tính theo cơng thức: S   f x  dx .
a

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Cho hai hàm số y  f x  và y  g x  liên tục trên đoạn a; b . Khi đó diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x  , y  g x  và hai đường thẳng
b

x  a, x  b là S   f x   g x  dx .
a

2.3.2. Một số dạng bài toán về hàm số f (x ), f éëêu(x )ùúû... khi biết đồ thị của hàm
số f '(x ) .

Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số f (x ), f éëêu(x )ùûú... khi biết đồ thị của
hàm số f '(x ) .
Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị của đạo
hàm y  f  x  như hình vẽ cho trước. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến,
cực trị của hàm số y = f éêëu (x )ùûú.
Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f  x  tìm nghiệm của phương trình f ¢(x ) = 0

(hoành độ giao điểm của đồ thị hàm f  x  với trục Ox ). Giả sử có các nghiệm
là: x  x1, x  x2,...
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y = f éêëu (x )ùûú và giải phương trình
u  x .f  u x   0

7
SangKienKinhNghiem.net






u  x  0

u x  x1
 nghiệm xi .(i  1,..n )
u  x .f  u x   0  
u x  x2

...

Bước 3: Tìm các khoảng f  x  0, f  x  0 . Giả sử f  x  0, x  a;b khi đó










f  u x   0, u x  a;b. Giải bất phương trình a  u x   b .

 

Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f x . Hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ sau.

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f 2  x .
(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT)
Giải
+) Dựa vào đồ thị hàm f  x  ta có:

f  x   0, x  1;1 4;  ; f  x   0, x  ; 1 1; 4

x  1

f  x  0  x  1
x  4





+) Đặt g x   f 2  x . Ta có: g x   2  x  f  2  x    f  2  x 

+) Để hàm g x   f 2  x  đồng biến thì: g x   0   f  2  x   0  f  2  x   0
2  x  1


1

2

x

4


x  3

2  x  1


Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng 2;1 và 3;    .
Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài tốn cơ bản về việc xét
tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên ¡ , hàm số y  f  x  có
đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm
số g x   f  x  x 2  trên ¡ .

8
SangKienKinhNghiem.net


Để tìm được khoảng nghịch biến của hàm số ta phải dựa vào việc xét dấu của
đạo hàm cấp 1.
+) Ta tính đạo hàm của hàm số g x   f  x  x 2 .Ta có:
g   x    f (  x  x 2 )   1  2 x . f   x  x 2 , sự biến thiên của hàm số
'

g x   f  x  x 2 phụ thuộc vào dấu của g   x  .

1

1

x   2
x   2
 1  2 x  0


2

+) Ta có: g  x   0  
  x  x  0   x  1
2


2

 f  x  x   0
x  0
 x  x  1



+) Nhận thấy g  1  3. f  2   0 và các nghiệm của phương trình g  x   0 là

các nghiệm đơn nên ta có bảng xét dấu g  x  như sau:
x
g  x 



1



1
2



0




0
0

0
Dựa vào bảng biến thiên ta dễ dàng suy ra hàm số g x  nghịch biến trên các


1
1
khoảng  1;   và 0;    , đồng biến trên các khoảng ;  1 và   ;0  , hàm
2
 2 

1
2

số đạt cực trị tại các điểm x  1; x   ; x  0 .
Ngoài cách xét dấu g  x  như trên ta cũng có thể xét dấu g  x  như sau:

1
 x   2
 1  2 x  0


 x  x2  0
2

f

x

x


0


 

g  x   0  
    x  x 2  1 
 1  2 x  0

 
2
  x   1
f

x

x

0


 
2

 0   x  x 2  1



1
 x   2

 
   x  1
 x  0



1
 x  
2


 1  x  0

x  0

.
 1  x   1

2

Từ đó ta cũng có bảng xét dấu g  x  như trên.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị y  f  x  như
hình vẽ bên và f 2   f 2   0 .

9
SangKienKinhNghiem.net


Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g x    f 3  x  .
2

Giải
Ta có: g  x   2 f ' 3  x  f 3  x  .
Từ đồ thị của y  f  x  ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra f x   0, x  ¡  f 3  x   0, x  ¡ .
Hàm số g x    f 3  x  nghịch biến khi và chỉ khi
2

 2  3  x  1
2  x  5
g   x   2 f 3  x  f  3  x   0  f  3  x   0  
.

3  x  2
x  1
Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;5 và ;1

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ¢( x ) như hình bên. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g( x ) = f (1- x 2 ) trên
¡ .

Giải
Ta có

g¢( x ) = - 2xf ¢(1- x ). Hàm

- Giải (1):

2

ïìï - 2x > 0
Û
í
ï f ¢(1- x 2 )< 0
ïỵ

số g( x ) nghịch biến
ïìï x < 0
.
í
ïïỵ 1 < 1- x 2 < 2

éìï - 2x > 0
êï
êíï f ¢ 1- x 2 < 0
)
êï (
Û g¢( x ) < 0 ờợ
ờỡù - 2x < 0
ờù
ờớ Â
2
ờùùợ f (1- x )> 0
ë

(1)
.
(2)

hệ vô nghiệm.

10
SangKienKinhNghiem.net


- Giải (2):

ïìï - 2x < 0
Û
í
ï f ¢(1- x 2 )> 0
ïỵ

ïìï x > 0
Û x > 0.
í
ïïỵ 1- x 2 < 1Ú1- x 2 > 2

Vậy, hàm số nghịch biến

trên khoảng (0 :+ ¥ )
Tuy nhiên ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau:
Ta có

éx = 0
g¢( x ) = 0 Û ê
êf ¢ 1- x 2 = 0.
)
ê (

ë

Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng (0 :+ ¥ )
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm là hàm số f  x  trên ¡ . Biết rằng
hàm số y  f  x  2   2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm khoảng nghịch biến
của hàm số f x  .
y

2

-2

x

2

O

3

1

-1

Giải:
Nhận xét: Với yêu cầu của bài tốn thì ta cần xác định được dấu của hàm số
f  x  . Từ giả thiết ta thấy rằng, đồ thị của hàm số f  x  đã thực hiện một số
phép biến đổi đồ thị để được đồ thị như hình vẽ. Từ đó ta có thể giải như sau:
Từ đồ thị hàm số f ' ( x - 2) + 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm

số f ' ( x - 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x - 2) sang trái
f ' ( x ) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

2

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

11
SangKienKinhNghiem.net


y

-1

1

O

x
3

-3

Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) , ta thấy f ' ( x ) < 0 khi x Ỵ (- 1;1). Vậy, hàm số nghịch biến
trên khoảng (- 1:1) .
Tuy nhiên ngoài cách giải trên ta cũng có thể giải bằng cách sau:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: f  x  2   2  2, x  1;3  f  x  2   0, x  1;3 .
Đặt t  x  2 thì f  t   0, t  1;1 .Vậy, hàm số f x  nghịch biến trên khoảng

1;1 .
Ví dụ 6: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên ¡ . Biết đồ thị của hàm số
y  f ' x  như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số g x   f x   x .

Lời giải

Ta có g ' x   f ' x   1. Khi đó g ' x   0  f ' x   1 (1).
Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f ' x  và đường
thẳng y  1 .
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x  , ta thấy đồ thị hàm số y  f ' x  và đường thẳng
x  0
y  1 có ba điểm chung có hồnh độ là 0;1; 2 . Do đó f ' x   1   x  1 .
 x  2

x  0
Suy ra g ' x   0   x  1 .
 x  2

Trên ;1 đường thẳng y  1 tiếp xúc hoặc nằm trên đồ thị hàm số y  f ' x  .
Trên 1; 2  đường thẳng y  1 nằm dưới đồ thị hàm số y  f ' x  .
Trên 2;   đường thẳng y  1 nằm trên đồ thị hàm số y  f ' x  .
Ta có bảng biến thiên

12
SangKienKinhNghiem.net


Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x  đạt cực tiểu tại điểm x  1.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f (x ) biết rằng hàm số y = f ¢(x ) có đồ thị như hình vẽ
bên dưới.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = f (x 2 + m) có 3 cực trị
Giải
2
+ Hàm số y = f (x + m) có đạo hàm y ¢= 2x.f ¢(x 2 + m)
éx = 0
2
¢
¢
y = 0 Û 2x.f (x + m) = 0 Û ê
êf ¢(x 2 + m) = 0
ê
ë
éx 2 + m = 0

ê
2
2
¢
f (x + m ) = 0 Û ê
êx + m = 1
ê2
êx + m = 3
ë
+ Vì đồ thị y = f ¢(x ) tiếp xúc trục Ox tại điểm có hồnh độ x = 1 nên x = 1 là

nghiệm bội chẵn. Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình:
éx 2 + m = 0
éx 2 = - m
ê
ê
êx 2 + m = 3 Û êx 2 = 3 - m
ê
ê
ë
ë
éx 2 = - m
(1)
+ Để hàm số y = f (x + m) có 3 cực trị khi hai phương trình êê 2
có
x = 3 - m (2)
ê
ë
2

thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0
ìï - m £ 0
TH 1: ïí

ìï m ³ 0
Û ïí
Û 0 £ m < 3 phương trình (1) vơ nghiệm hoặc
ïï 3 - m > 0
ïï m < 3
ỵ
ỵ
nghiệm kép x = 0 , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác khơng khi đó
2x.f '(x 2 + m) = 0 có 3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị
ïì - m > 0
ïì m < 0
TH 2: ïí
khơng có m thỏa u cầu bài tốn
Û ïí
ïï 3 - m £ 0
ïï m ³ 3
ỵ
ỵ

13
SangKienKinhNghiem.net


Vậy, 0 £ m < 3 thì hàm số y = f (x 2 + m) có 3 cực trị.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị
của đạo hàm y = f ¢(x ). Hàm số g (x ) = f (x )+ 2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

y = f '(x )

Giải

+ Ta có f ' (x ) = 0 có 3 nghiệm thực x = a < 0; x = b > 0; x = c > 0
f ' (x ) > 0 trên khoảng (a;b)và (c; + ¥

)
f ' (x ) < 0 trên khoảng (- ¥ ; a )và (b; c)
+ Bảng biến thiên:

+ Vì vậy hàm số y = f (x ) có 3 cực trị trong đó có 2 cực trị có hồnh độ dương
+ Thực hiện biến đổi đồ thị hàm số dạng y = f (x ). Bỏ phần đồ thị phía bên trái
trục tung, lấy đôi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ
dưới đây) được đồ thị hàm số y = f (x )
y = f(x)

+ Ta thấy đồ thị hàm số y = f (x ) có 5 cực trị, suy ra đồ thì hàm số
g (x ) = f (x )+ m có 5 cực trị với mọi giá trị m.

Vậy, hàm số g (x ) = f (x )+ 2019 có 5 cực trị.

14
SangKienKinhNghiem.net


Ví dụ 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên ¡ , đồ thị
hàm số y  f  x  như trong hình vẽ bên, f a   0 . Tìm số
điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) ?

y

f  x 

a

O

b

c

x

Giải.:
Từ đồ thị của hàm số y = f '( x) ta có bảng biến thiên như sau:
x
y,

a



-

0

+



c

b

0

-

0 +

f (b)
y

f (a )

f (c )

Đề suy ra được đồ thị của hàm số y = f ( x) ta cần phải so sánh được hai giá trị
f (a ), f (c ) và dấu của chúng.
c

Ta có: f (c) - f (a ) =

b

c

ò f '( x)dx = ò f '( x)dx + ò f '( x)dx > 0 Þ

a

a

f (c ) > f (a ) > 0

b

Do đó, đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trên trục ox với mọi x Þ đồ thị f ( x) cũng
chính là đồ thị f ( x) . Vậy, đồ thị hàm số f ( x) có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 10: Cho hàm số y  f x  xác định trên ¡ có f 3  8 ; f 4  

9
1
; f 2  
2
2

. Biết rằng hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực
trị của đồ thị hàm số y  2 f x   x  1 .
2

Giải
Nhận xét: Số cực trị của hàm số y  f x  bằng số cực trị của hàm số y  f x 
cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x  với trục hoành.
Đặt g ( x )  2 f x   x  1 , x  ¡ và h x   2 f x   x  12 , x  ¡ .
2

Ta có: h ' x   2 f ' x   2 x  1  h ' x   0  f ' x   x  1 (*)

15
SangKienKinhNghiem.net


Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị
 x  1
x  1
y  f  x  và đường thẳng y  x  1 , ta có: *  
x  2

x  3

Ta có bảng biến thiên của hàm số h x  như sau:

Ta có:
1
2
2
h 3  2 f 3  3  1  0 vì f 3  8

h 2   2 f 2   2  1  0

vì f (2) 

h 4   2 f 4   4  1  0

vì f 4  

2

2

9
2

Suy ra h x   0 có đúng hai nghiệm phân biệt x1  3;  1 và x2  3; 4  .
Vậy, hàm số g x   h x  có đúng 5 điểm cực trị.
Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh các giá trị của hàm
f (x ) khi biết đồ thị của hàm số f '(x ) .
Cơ sở phương pháp của bài tốn dạng này cũng là bài tốn đã trình bày trong
dạng 1. Sau đây ta xét một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm là f  x  . Đồ thị của hàm số y  f  x 
được cho như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng f 1  f 0   f 1  f 2  . Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của hàm số y  f x  trên đoạn 1; 2 .
Giải
Từ đồ thị của hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên của hàm số y  f x 
trên đoạn 1; 2 như sau:

16
SangKienKinhNghiem.net


f  x   f (1)
Nhận thấy: min
1;2




Để tìm Max f x  ta so sánh f ( 1) và f (2) .
1;2

Theo giả thiết, f 1  f 0   f 1  f 2   f 2   f 1  f 0   f 1.
Từ bảng biến thiên , ta có f 0   f 1  0 . Do đó
f 2   f 1  0  f 2   f 1 . Hay max f x   f 2  . Vậy, hàm số đạt
1;2




giá trị nhỏ nhất tại x  1 và giá trị lớn nhất tại x  2.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm là f ¢(x ). Đồ thị của hàm số y = f ¢(x )
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5). Tìm giá trị x0 đề
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f x  trên đoạn 0;5.

Giải
+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên trên của hàm số y = f (x ) trên éëê0;5ùúû.

f  x   f (2) .
+ Từ bảng biến thiên ta thấy min
0;5
 

+ Để tìm Max f x  ta so sánh f (0) và f (5) .
0;5

+ Ta có: f (0) + f (3) = f (2) + f (5) Þ f (0)- f (5) = f (2)- f (3) < 0 Þ f (0) < f (5).
f  x   f 5 . Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  2 và giá trị lớn

Hay max
0;5




nhất tại x  5.

17
SangKienKinhNghiem.net


Ví dụ 3 : Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số
y = f ¢(x ) như trong hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f x  trên đoạn a ; c .

Giải:
Từ đồ thị của hàm số y = f ¢(x ) ta có bảng biến thiên như sau:

f  x   f (b) . Để tìm giá trị nhỏ nhất ta so
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Max
a ;c




sánh hai giá trị f (a);f(c) .Tuy nhiên cái khó của bài tốn này so với 2 ví dụ trước
là khơng có dữ kiện để ta so sánh, vì vậy ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình
b

phẳng. Bằng trực quan ta thấy ị f ¢(x )dx > 0;
a

c

ị f ¢(x )dx <

0 và diện tích hình

b

phẳng giới hạn trên éêëa;bùúû lớn hơn hình phẳng giới hạn trên éêëb; cùúûnên
Ta có f (c)- f (a ) =

c

ị f ¢(x )dx =
a

b

ị f ¢(x )dx +
a

c

ị f ¢(x )dx >

0 Þ f (c) > f (a )

b

f  x   f a  . Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  a và giá trị lớn
Hay min
a;c




nhất tại x  b.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm là f ¢(x ). Đồ thị của hàm số y = f ¢(x ) được
cho như hình vẽ bên. Biết rằng f (0) + f (1)- 2f (2) = f (4)- f (3). So sánh giá trị
f (0); f (2); f (4)

18
SangKienKinhNghiem.net