SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Giải một bài tốn là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài
tốn mà bạn đang giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò
và buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt nếu bạn tự giải lấy bài tốn đó thì bạn có thể
biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài tốn cụ thể cịn có một sự
tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận
và qua trình dẫn tới cách giải, mà điều này không sách vở nào trình bày cho học
sinh.
Bài tập tốn rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ mơn Tốn nói chung
và phân mơn Hình học khơng gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn
thuật tốn giải là khá lớn và gây cho học sinh khơng ít khó khăn, lúng túng khi giải
chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập giáo
viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh
biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí để giải tốn”. Bởi vì “Tìm ra cách giải
một bài tốn là một phát minh”
Bên cạnh đó, trong đề thi THPT quốc gia và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của
các năm qua, bài tốn hình học không gian liên quan đến véc tơ hầu như không thể
thiếu và là bài tốn khơng thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi là
một trong những bài tốn khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,
các tính chất, các phương pháp giải của véc tơ.
Véc tơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định
lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài tốn hình học khơng gian được
thuận lợi để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của véc tơ giải các bài
tốn hình học khơng gian, chính vì những lý do trên tơi mạnh dạn chọn đề tài
‘‘ Rèn luyện kỹ năng giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp véc
tơ’’
1.2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được
kết quả cao khi giải các bài tốn hình học khơng gian nói riêng và đạt kết quả cao
1

SangKienKinhNghiem.net


trong q trình học tập và thi tuyển nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh các lớp 11A1 và 11A4 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG tỉnh
Thanh Hóa.
- Các dạng tốn về hình học khơng gian mà sử dụng véc tơ để giải trong
chương trình hình không gian 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận;
- Điều tra thực tế;
- Thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một
số giải pháp như sau:
- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.
- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó
giúp học sinh đưa ra được lời giải của bài toán.
- Thực nghiệm sư phạm

2

SangKienKinhNghiem.net

2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Nội dung chủ đề véc tơ trong chương trình tốn THPT
Ở chương trình lớp 10 véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức
lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương
pháp tọa độ trên mặt phẳng.
Chương I - véc tơ: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về véc tơ (véc tơ, véc tơ
cùng phương, cùng hướng, bằng nhau) và các phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc
tơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu về tọa độ, trục và hệ
trục tọa độ trong mặt phẳng. Tọa độ của véc tơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa
độ.
Chương II – Tích vơ hướng của véc tơ và ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính
chất, biểu thức tọa độ của tích vơ hướng, hệ thức lượng trong tam giác [1].
Ở chương trình lớp 11 – véc tơ trong không gian là mọt bài trong chương
III: Quan hệ vng góc trong khơng gian. Các phép tốn và tính chất của véc tơ
trong khơng gian được hiểu tương tự như véc tơ trong mặt phẳng, nên khơng trình
bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba véc tơ.
Việc đưa véc tơ vào trong chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất
về quan hệ vng góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của
chương trình phân ban 2006 [2].
Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng của hai véc tơ,
r r

r

r

ký hiệu là a, b  hoặc a  b , được xác định bởi biểu thức tọa độ để làm cơ sở viết
phương trình mặt phẳng [3].

2.1.2. Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài tốn hình học [2]
Dùng véc tơ và các phép tốn véc tơ chúng ta có thể giải nhanh một số bài tập hình
học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng
3

SangKienKinhNghiem.net


 Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ
uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
AB, AC, AD đồng phẳng, tức là chứng minh AB  kAC  lAD .

 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau ta
uuur

uuur

chứng minh hai véc tơ AB và CD cùng phương, tức là chứng minh
uuur
uuur
AB  kCD .

 Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong P  , ta lấy trong

P  hai véc tơ

r
r

r
a và b không cùng phương và chứng minh cho ba véc tơ a ,

r
r
r
uuur
uuur
b và AB đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ c trong P  sao cho AB và c cùng

phương.
 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng
uuur uuur

minh AB.CD  0 .
uuur

 Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn véc tơ AB theo các véc
uuur 2

uuur 2

tơ đã biết và tính AB . Từ đó suy ra AB  AB .
uuur uuur
uuur uuur
OA.OB
·
·
 Để tính AOB ta tín tích vơ hướng OA.OB , từ đó suy ra cos AOB 
.

OA.OB

2.2. Thực trang của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Qua thực tế trực tiếp giảng dạy ở trường THPT 4 Thọ Xuân cho thấy rằng
HS thường gặp lúng túng và không giải được các bài tập khi học chương III phần
bài tập liên quan đến “Véc tơ trong khơng gian - Quan hệ vng góc” ngun nhân
của tình trạng trên xuất phát từ nhiều phía :
* Về phía HS :
- Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững kỹ năng áp dụng các quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững phương pháp và lựa chọn bài tập nào nên sử dụng véc tơ
- Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy được khả năng tư duy sáng
tạo.
4

SangKienKinhNghiem.net


* Về phía GV: GV khơng thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải bài
tập cho HS được trong thời gian ngắn trên lớp.
* Về phía phụ huynh: Sự quan tâm của một số phụ huynh đến việc học tập
của con em mình cịn hạn chế.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc
tơ để xử lí một số dạng tốn hình học khơng gian
DẠNG I. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
uuur
uuur
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB và AC
uuur

uuur

cùng phương, tức là AB  k AC .
Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song, ta chứng minh
uuur
uuur
k  ¡ , AB  kCD .
Bài 1. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi G, G ' lần lượt là trọng tâm của các tam
giác A ' BD và CB ' D ' . Chứng minh rằng A, G, G ', C ' thẳng hàng. [3]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài tốn
uuur uuuuur uuuur
Để chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ AG, C ' G ', AC '
cùng phương.
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
uuur uuuuur uuuur
vectơ AG, C ' G ', AC ' theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thơng thường ta chọn ba
vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả thiết G, G ' lần
lượt là trọng tâm của các tam giác A ' BD và CB ' D ' .

C

B
D

A
G

G'
C'

B'
A'

D'
5

SangKienKinhNghiem.net


Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuur r uuur r uuur r
Đặt AB  a , AD  b , AA '  c
uuuur r r r
Ta có: AC '  a  b  c 1
Vì G là trọng tâm của tam giác A ' BD nên:
uuur 1 uuur uuur uuur
1 r r r
AG  AD  AB  AA '  a  b  c
3
3



 



2 

Vì G ' là trọng tâm của tam giác CB ' D ' nên:

uuuuur 1 uuuur uuuuur uuuur
1 r r r
C ' G '  C ' C  C ' B '  C'D'   a  b  c
3
3
3
uuur 1 uuuur
Từ 1 và 2  suy ra: AG  AC '  A, G, C ' thẳng hàng.
3
uuuuur
1 uuuur
Từ 1 và 3 suy ra: C ' G '   AC '  A, G ', C ' thẳng hàng.
3



 



Vậy bốn điểm A, G, G ', C ' thẳng hàng.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho
uuur
uuur
uuur
uuuur
MC  mMA và ND  mNC ' . Tìm m để MN song song với BD’. [5]
Hướng dẫn

C

B

M
D

A

N
C'
B'
A'

D'

Bước 1: Phân tích bài tốn
uuuur
uuur
Đề MN / / BD’ thì MN cùng phương với BD ' , tức là có số thực k sao cho
uuuur
uuur
MN  k BD ' .
6

SangKienKinhNghiem.net


Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
uuuur uuur

vectơ MN , BD ' theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba vectơ
gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh.
uuur
uuur
uuur
uuuur
Chú ý giả thiết MC  mMA và ND  mNC ' .
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuur r uuur r uuur r
Đặt BA  a , BB '  b;BC  c
uuuur

uuur

uuuur

Ta có: MN  BN  BM 

r r r
1 m r
m r r uuuur uuur uuur uuur
a
(b  c) , BD '  BA  BC  BB '   a  b  c .
1 m
1 m

uuuur
uuur
m 1
m

1
Để MN / / BD’ thì MN  k BD ' 

m .
1 m
1 m
2
1
Vậy m   thì MN song song với BD’.
2
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax , N di chuyển trên By .

Giả sử AM  BN , I là điểm chia MN theo tỉ số

IM
 k . Chứng minh I di chuyển
IN

trên một tia cố định.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm điểm M thuooch đoạn AC và điểm N
thuộc đoạn C ' D sao cho MN song song với BD ' .
Dạng II. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ
uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
AB, AC , AD đồng phẳng, tức là chứng minh AB  k AC  l AD .

Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng   , hoặc nằm trên mặt

r r

phẳng   ta lấy trong   hai véc tơ a, b không cùng phương và chứng minh ba
uuur r r

r

uuur

r

véc tơ AB, a, b đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ c trong   sao cho AB và c cùng
phương.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD , I là trung điểm của AB , J là trung điểm của CD . Điểm
M chia trong AD theo tỉ số

MA
NB
 k , điểm N chia trong BC theo tỉ số
k.
MD
NC

Chứng minh I , J , M , N đồng phẳng. [3]
7

SangKienKinhNghiem.net


Hướng dẫn

A
I
M

B

D
N

J
C

Bước 1: Phân tích bài tốn
uur uuur uur
Để chứng minh I , J , M , N đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ IJ , IM , IN . Hay có
uur

uuur

uur

thể biểu diễn IJ  mIM  nIN .
uur uuur uur
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở và biểu diễn các véc tơ IJ , IM , IN theo chúng, từ đó suy ra
I , J , M , N đồng phẳng.
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuur r uuur r uuur r
Đặt AB  a , AC  b; AD  c .
Theo bài ra ta có:

uuuur
uuuur
uuuur
uuur uuuur
uuuur
uuuur
k uuur
k r
AM  k MD  AM  k AD  AM  AM 
AD hay AM 
c.
1 k
1 k
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
k uuur uuur
k r r
BN  k NC  BN  k BC  BN  BN 
AC  AB hay BN 
ba .
1 k
1 k
uuur uur uuuur
1r
k r

c
Do đó IM  IA  AM   a 
1
2
1 k
uur uur uuur 1 r
k r r
1 k r
k r
IN  IB  BN  a 
ba 
a
b 2 
2
1 k
2 1  k 
1 k
uur 1 uur uur
1 uur uuur uur uuur
1r 1r 1r
IJ  IC  ID  IA  AC  IA  AD   a  b  c
3
2
2
2
2
2
uuur uur
r r r
k

2k uur
a  b  c 
IJ .
Từ 1, 2  và 3 suy ra: IM  IN 
1 k
1 k























 







Vậy I , J , M , N đồng phẳng.
8

SangKienKinhNghiem.net


Bài 2. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Một mặt phẳng
P  cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC , SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’ . Chứng minh
rằng:

SA SB SC
SG


 3.
[6]
SA ' SB ' SC '
SG '

Hướng dẫn
S
A'
C'

G'
B'

A

G

C
M

B

Bước 1: Phân tích bài tốn
SA
SB
SC
SG
 x;
 y;
 z;
m
SA '
SB '
SC '
SG '
uuur uuur uuur
Chọn hệ véc tơ cơ sở với điểm đầu là S . Sau đó biểu diễn các véc tơ SA '; SB '; SC ' ;
uuur
SG ' theo các véc tơ đã chọn. từ đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ

Để chứng minh bài toán ta đặt các tỷ số

suy ra điều phải chứng minh
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uur

r uur

r uuur

r

SA
SB
SC
SG
 x;
 y;
 z;
m
SA '
SB '
SC '
SG '
uuur 1 r uuur 1 r uuur 1 r uuur 1 uuur
1 r r r
Ta có SA '  a; SB '  b; SC '  c; SG '  SG  (a  b  c)
x
y

z
m
3m

Đặt SA  a; SB  b; SC  c và

Do A’, B’, C’, G’ đồng phẳng nên , ,   R ;       1 sao cho
SG '  SA '  SB'  SC' 

1 r r r
r r r
(a  b  c)  a  b  c .
3m
x
y
z

x

  3m

1   
y


     
3m x y z
3m

z


  3m

9

SangKienKinhNghiem.net


SA SB SC
SG


 3.
SA ' SB ' SC '
SG ' ,
SA SB SC
SG


 3.
Vậy, ta có
.
SA ' SB ' SC '
SG '

Do       1  x  y  z  3m

Bài 3. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AD, BB ', C ' D ' . Chứng minh rằng đường thẳng C ' D song song với mặt
phẳng MNP  . [8]

Hướng dẫn

B

C
M

A

D

N
C'

B'

P
D'

A'

Bước 1: Phân tích bài tốn
Để chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng MNP  , ta chứng minh
uuur uuuur uuur

ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng. nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại của hai số thực
uuur
uuur
uuuur
x, y sao cho: C'D  xMP  yMN .

Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuur r uuur r uuur r
Đặt AB  a , AD  b; AA '  c .
uuuur

uuur

uuur uuur

r

1r 1r
2
2
uuur uuuur uuuur uuuur 1 r 1 r r
MP  MD  DD '  D ' P  a  b  c
2
2
uuuur uuuuur uuuur
r r
C ' D  C ' D '  D 'D   a  c
r r
r 1r 1r
uuur
uuur
uuuur
Giả sử C'D  xMP  yMN  a  c  x  a  b  c  
2
2 



Ta có: MN  MA  AB  BN  a  b  c

1 r 1r r
y a  b  c
2
2

10

SangKienKinhNghiem.net


r r 
1 r  1
1 r 1
 a  c   x  y  a    x  y  b   x 
2 
2 

 2
2
1

 x  2 y  1

1
2
 1

  x  y  0  x  y  
2
3
 2
1
 2 x  y  1

uuur
2 uuur 2 uuuur
Vậy, C'D   MP  MN
3
3
uuur uuuur uuur
Do đó ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng.

r
yc


Mà C '  MNP  nên suy ra C ' D / / MNP  .
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho
AB AC

 3 . Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
AI AJ
uuur
1 uuuur
Bài 2. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn MA   MD
4

uuuur
uuu
r
2
, NA '   NC . Chứng minh MN song song với mặt phẳng BC ' D .
3

Dạng III. Chứng minh quan hệ vng góc, tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng AB vng góc với đường thẳng CD ta chứng minh
uuur uuur
AB.CD  0 .
uuur
Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta biểu diễn véc tơ AB theo các véc tơ đã biết
uuur
sau đó ta bình phương vơ hướng véc tơ AB rồi sử dụng các kiến thức từ giả thiết
để suy ra AB .

uuur uuur
uuur uuur
OA
.OB
Để tính góc ·AOB ta tính tích vơ hướng OA.OB và dùng cơng thức cos ·AOB 
OA.OB

để tính ra kết quả.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD và BB ' . Chứng minh rằng MN  A ' C . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài tốn
uuuur uuuur

Để chứng minh MN  A ' C , ta chỉ cần chỉ ra tích vơ hướng MN . A ' C  0 . Muốn làm
uuuur uuuur
được điều này ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, biểu diễn các véc tơ MN , A ' C qua
11

SangKienKinhNghiem.net


uuuur uuuur

hệ véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng MN . A ' C .

B

C
M

A

D

N
C'

B'
A'

D'

Bước 2. Thực hiện giải bài toán

uuur r uuur r uuur r
Đặt AB  a , AD  b; AA '  c .
uuuur

uuur

uuur uuur

r

1r 1r
2
2
uuuur uuuur uuuur uuuur r r r
A ' C  A ' B  A 'D'  A ' A  a  b  c

Ta có MN  MA  AB  BN  a  b  c
rr

rr

rr

r

r

r

Vì ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lập phương nên: a.b  b.c  c.a  0 và a  b  c  x (với

x là độ dài cạnh của hình lập phương)
uuuur uuuur
r 1r 1r r r r
Khi đó ta có: MN . A 'C   a  b  c  . a  b  c
2
2 

r2 r r r r 1 r r 1 r2 1 r r 1 r r 1 r r 1 r2
 a  a.b  a.c  a.b  b  b.c  a.c  b.c  c
2
2
2
2
2
2
r2 1 r2 1 r2
1
1
 a  b  c  x2  x2  x2  0 .
2
2
2
2
uuuur uuuur
Vậy, MN  A 'C  MN  A ' C .





Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh
BD và AC . Trên các đường thẳng AB, ND lần lượt lấy các điểm E và F sao cho
EF song song với CM . Tính độ dài đoạn EF theo a . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài tốn
uuur
Để tính độ dài đoạn EF ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn véc tơ EF
uuur 2

uuur 2

theo các véc tơ cơ sở đó và tính EF . Từ đó suy ra độ dài đoạn EF  EF .
12

SangKienKinhNghiem.net


A

N

E

C

F

D

M

B

Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuur

r uuur

ur uuur

r

Đặt AB  x; AC  y; AD  z và

uuur
uuur
uuur
AE
 m , AF  n AN  (1  n) AD .
AB

r ur r ur r r a 2
Ta có x. y  z. y  z.x 
2
uuuur 1 r r uuur
r uuur
uuur
r uuur n ur
r
Lúc đó AM  ( x  z ); AE  m.x; AF  n AN  (1  n) z; AF  y  (1  n) z .
2

2
uuuur uuuur uuur 1 r
ur r
Suy ra CM  AM  AC  ( x  2 y  z )
2
uuur uuur uuur
r n ur
r
EF  AF  AE   mx  y  (1  n) z .
2
k

m  2

uuur
uuuur
2
n
Do CM / EF và CM//EF nên EF  kCM    k  k  
3
2
k

1  n  2

uuur
ur r
ur r
a 3
1 r

1 r
EF =  ( x  2 y  z )  EF 2 = ( x  2 y  z ) 2  EF 
.
3
3
9

13

SangKienKinhNghiem.net


Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A' B ' C ' . Tìm góc giữa hai đường thẳng AB ' và
BC ' , biết AA ' 

AB
5

. [3]

C'

B'

A'

C

B
A

Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài tốn
uuuur
uuuur
Để bài tốn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn hai véc tơ AB ' và BC '
uuuur uuuur
theo các véc tơ cơ sở đó và tính tích vơ hướng AB '.BC ' . Từ đó áp dụng cơng thức
uuuur uuuur
uuuur uuuur
tính tích vơ hướng AB '.BC '  AB '.BC '.cos AB ', BC ', suy ra góc giữa hai đường
thẳng AB ' và BC ' .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuur

r uuur

r

uuuur

r uuur

r

r

Đặt AB  x , AA '  a; AB  b; AC  c , với a 
uuuur

r

uuur

uuuuur

r

r

r

x 5 r r
, b  c  x.
5

Ta có AB '  a  b , BC '  BB '  B ' C '  a  b  c
uuuur uuuur
r r r r r
r2 r r r r r r r2 r r
x2
x2
3x 2
2
Do đó AB '.BC '  a  b . a  b  c  a  a.b  a.c  b.a  b  b.c   x   
.
5
2
10







x 30
x 30
, BC '  B ' C '2  BB '2 
5
5
uuuur uuuur
uuuur uuuur
AB '.BC '
1
1
    AB ', BC'  arccos .
Do đó: cos AB ', BC ' 
AB '.BC '
4
4

Mà AB '  AB 2  BB '2 





Một số bài tập tương tự:
14

SangKienKinhNghiem.net


Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
uuuur

uuur

AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD ,  là góc giữa 2 vectơ MG và NP .

Tính cos  . [5]
·
Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD
  với
cos  

uuuur
uuur
3
, cạnh bên AA '  2a. Gọi M là điểm thỏa mãn DM  k .DA và N là trung
4

điểm của cạnh A ' B '. Tìm k để C ' M  D ' N . [5]
·
 1200 .
Bài 3. Cho lăng trụ (ABCD.A'B'C'D') có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc BAD
Hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng CD và
tam giác ABB’ là tam giác cân. Tính cos với  là góc giữa hai đường thẳng BH
và AC ' . [6]

Dạng IV. Tính giá trị biểu thức và chứng minh các hệ thức hình học
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A , C 
uuur

1 uur uuur
1 uuur
SC . Mặt phẳng P  chứa đường thẳng AC  cắt
3
2019
các cạnh SB , SD lần lượt tại B , D ( B ', D ' không trùng S ) . Tính giá trị biểu thức:

thỏa mãn SA  SA , SC  

T

SB SD

. [8]
SB ' SD '

Hướng dẫn

S

A'

B'
C'

D'

D

A

C

B

Bước 1. Phân tích bài tốn
uuur
uur
uuur
uuur
Để giải bài tốn ta biểu diễn véc tơ SB ' theo SB và SD ' theo SD . Từ đó áp dụng
15

SangKienKinhNghiem.net


uuur

uuur

uuur

uuur

quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ SA ' theo SB ' , SD ' và SC ' . Sau đó sử dụng điều kiện
đồng phẳng của các điểm suy ra kết quả.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán

uuur

uur uuur

uuur

1
x

Đặt SB  x.SB , SD  y.SD x, y  0  , khi đó T  
uuur

uuur

uuur uur

uuur uur

uur

uur

1
.
y

uuur uuur

Ta có AD  BC  SD  SA  SC  SB  SA  SB  SD  SC

uuur 1 uuur 1 uuur 2019 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur
.SC 
 3.SA  SB  SD  2019.SC   SA  SB  SD 
3x
3y
3
x
y

Do 4 điểm A , B , C  , D đồng phẳng
Nên ta có 1 

1
1 2019
1 1


 T    2022 .
3x 3 y
3
x y

Bài 2. (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC. ABC  có AB  AA  a . Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB sao cho mặt
phẳng qua M , vng góc AB cắt đường thẳng BC  tại điểm N trên đoạn BC  . Xác
định vị trí của M để biểu thức 2AM 2  MN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. [5]
Hướng dẫn

A'

C'

B'
N
M
A

C
B

Bước 1. Phân tích bài toán
uuuur
uuur uuur
uuuur
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt AM  m AB , BN  nBC  rồi biểu
uuuur
diễn véc tơ MN theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử dụng điều kiện vuông
16

SangKienKinhNghiem.net


góc của hai véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo m, n và đưa về hàm số bậc
hai để xét tìm giá trị nhỏ nhất.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuur r uuur r uuur r uuuur
uuur uuur
uuuur

Đặt AB  a , AC  b , AA  c , AM  m AB , BN  nBC  .
uuuur

uuur

uuur uuur

r

r

r

Khi đó MN  MA  AB  BN  1  m  n a  nb  n  m c .
Do P  vuông góc AB nên MN vng góc AB , ta được
uuuur uuur
r
1
r
r
r
MN . AB  0  a 1  m  n a  nb  n  m c   0  1  m  n a 2  n. a 2  0
2
rr 1 2
(do a.b  a ). Từ đó n  2  2m .
2
Khi đó MN 2  12m 2  18m  7 a 2 nên 2 AM 2  MN 2  20m 2  18m  7 a 2

Do N thuộc đoạn BC  nên n  0;1, suy ra m   ;1
2 

1

b
9 1
m
 nên f m  đồng biến trên
2a
20 2
1
1
Từ đó f m  nhỏ nhất bằng f   khi m  .
2
2
2
2
Tức là 2AM  MN nhỏ nhất khi M là trung điểm AB .

Đặt f m   20m 2  18m  7 , do 

1 
 2 ;1 .

Bài 3. (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  1 .
Một mặt phẳng ( ) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt các cạnh
SA, SB, SC lần lượt tại các điểm A ', B ', C ' . Chứng minh rằng biểu thức
T

1
1
1

có giá trị khơng đổi. [5]


SA ' SB ' SC '

Hướng dẫn

17

SangKienKinhNghiem.net


S

C'

A'
A

G
B'

E

I

C

M

B
Bước 1. Phân tích bài tốn
uuur
Để bài tốn ta sử dụng quy tắc trọng tâm rồi biểu diễn véc tơ SG theo các véc tơ
uur uur uuur
uur uur uuur
uuur uuur uuur
SA, SB, SC . Sau đó lại biểu diễn SA, SB, SC theo các véc tơ SA ', SB ', SC ' , rồi sử dụng
điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán .
Bước 2. Thực hiện giải bài tốn
uuuur

Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: MG 

1 uuur uuur uuur uuuur
MS  MA  MB  MC ,
4





với M là điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm M  S ta có:
uuur 1 uur uur uur uuur
1 uur uur uuur
SG  SS  SA  SB  SC  SA  SB  SC
4
4
uur SA uuur uur SB uuur uuur SC uuur

Lại có SA 
SA ', SB 
SB ', SC 
SC '
SA '
SB '
SC '
uuur
1 uuur
1 uuur
1 uuur
Do đó SG 
SA ' 
SB ' 
SC '
4 SA '
4 SB '
4 SC '



 



1
1
1



 1  T  4.
4 SA ' 4 SB ' 4 SC '
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có tâm O và AB  3a, AD  AA  4a .

Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có

Mặt phẳng P  đi qua O và cắt các tia AB ', AC , AD ' tương ứng tại ba điểm phân biệt
M , N , P . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  AM . AN . AP .[7]

Hướng dẫn

18

SangKienKinhNghiem.net


B

A

C

A

D

B'
A'

P

M

O

C'

B'

N

O

Q
D'

H

R

C

D'

Bước 1. Phân tích bài tốn
uuuur
uuur uuur
uuur
Để bài tốn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt AM  m AB , AN  n AC ,
uuur

uuur
uuuur
AN  p AD ' rồi biểu diễn véc tơ AO theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử
dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo
m, n, p và sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuuur r r r
uuur r uuur r uuur ur
Đặt AA '  a, AB  b, AD  d . Ta có AC '  a  b  c
uuur
uuuur
uuur
uuur
 AO  x. AM  y. AN  z. AP
Vì M , N , P, O đồng phẳng nên 
 x  y  z  1
uuuur
uuuur
r r uuur
uuur
r ur uuur
uuuur
r ur
Ta có : AM  m. AB '  m(a  b), AN  n. AC  n(b  d ), AP  p AD '  p(a  d ).
uuur 1 uuuur 1 r r ur
1
1 1 1
AO  AC '  (a  b  d ) . Suy ra mx  ny  pz      4
4
m n p

2
2



1
1
4 2 4
AB ' AC AD '
5a
5a 4a 2





4


4
AM AN 5 AD ' 5
AM AN AP
AM AN
AD '

BĐT Cauchy :
Vậy minT 

4
4 2

675 2
 33
T 
5
5T
16

675 2
15
. Khi AM  AN  , AD '  3 2
16
4

Một số bài tập tương tự [5]:

19

SangKienKinhNghiem.net


Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi G là trung điểm
của BD ' . Mặt phẳng ( P ) thay đổi luôn đi qua điểm G cắt các đoạn thẳng
AD ', CD ', D ' B ' tương ứng tại H , K , I . Chứng minh:

1
1
1
+
+
= 2 2.

D'I D'K D'H

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đơi một vng góc với nhau tại
O. Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên mặt phẳng (ABC ) và P là điểm bất
PA 2 PB 2 PC 2
PH 2
+
+
= 2+
.
kỳ trong tam giác ABC . Chứng minh rằng
OA 2 OB 2 OC 2
OH 2

Bài 3. Cho hình hộp ABCD. A' B 'C ' D ' . Lấy M , N lần lượt trên đoạn CA' và C ' D sao
cho: MA'  m.MC , NC '  nND ( M khác C , A' và N khác C ' , D ). Giả sử MN // BD ' ,
chứng minh rằng: m 2  n 2  10
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng P  bất kì
khơng đi qua S ,cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', D ' .
Chứng minh rằng

SA SB SC SD



SA ' SB ' SC ' SD '

2.4. Hiệu quả trong việc triển khai đề tài SKKN
Khi triển khai đề tài này được tiến hành trên 02 lớp thuộc trường THPT 4
Thọ Xuân, đó là: Lớp dạy 11A1 (học ban cơ bản A) và lớp dạy 11A4 (học ban cơ

bản)
* Kết quả đạt được
- Về mặt định tính :
Khi tơi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ cơ sở vào giải
các dạng tốn hình học khơng gian phức tạp, tôi thấy học sinh của tôi ham học hình
hơn, u thích các bài tập về hình khơng gian hơn và khơng cịn thấy lo lắng, lúng
túng trong việc xử lí các bài tốn hình khơng gian phức tạp.
- Về mặt định lượng :
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả
đạt được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai
lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm
bài kiểm tra như sau:
20

SangKienKinhNghiem.net