Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

TRƯờng đại học hùng vơng
Khoa khoa học tự nhiên

Một số ứng dụng của phơng pháp toạ độ
trong việc giảI toán ë tr−êng thpt

Ng−êi h−íng dÉn: Ths. Nguyễn Chí Thanh
Ng−êi thùc hiện : Nguyn Phng Tho
Lớp K4 ĐHSP Toán

Phú Thọ, Tháng 06 năm 2009

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2

MỤC LỤC
Lời nói đầu………………………………………………………………. .3
Mục lục…………………………………………………………………… 4
Chương I: C¸c kiÕn thức chuẩn bị .......................................................... 6
Chơng II: Mt s lp bi toán gii bng phng phỏp to ủ
2.1. Các bài toán tính toán ...................................................................... 15
2.2. Các bài toán giải phơng trình, hệ phơng trình.............................. 18
2.3. Các bài toán giải bất phơng trình, hệ bất phơng trình.................. 20
2.4. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức ........................................... 22
2.5. Các bài toán tìm cực trị .................................................................... 23
2.6. Các bài toán tìm quỹ tích ................................................................. 26
2.7. Các bài toán dựng hình..................................................................... 28
Chng III: Mt số bài toán vận dụng ................................................... 30
Kết luận ...................................................................................................... 51

Tài liệu tham khảo……………………………………………………….52

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học giải tích là mơn học cơ bản của chương trình tốn phổ
thơng cũng như ở đại học, nó là cơ sở để học tốt các mơn tốn khác. Chính
vì vậy, việc hiểu và nắm vững mơn học này là rất cần thiết.
Hình học giải tích được sáng lập ra đồng thời do hai nhà bác học
người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đặc trưng của
môn học này là dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tốn hình học.
Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa độ đã
chứng tỏ ưu điểm của mình. Phương pháp này khơng chỉ dùng để giải các
bài tốn hình trong mặt phẳng hay trong khơng gian 3 chiều mà cịn giải
được các bài tốn trong khơng gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc
vẽ hình để giải tốn là điều khơng thể. Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển
sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí tốn học có nhiều bài
tốn khơng liên quan tới hình học nhưng được giải bằng phương pháp tọa
độ. Đó là các bài tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Hoặc đó là các bài tốn chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị. Điều đó
đã gợi cho chúng tơi đề xuất đề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa
ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”.
Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tơi đã có điều kiện củng cố
lại kiến thức đã học, bổ sung thêm nhiều điều bổ ích.

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


4

Chng 1: Các kiến thức chuẩn bị
1. Cỏc khỏi nim cơ bản.
1.1. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng

y

Hệ tọa độ afin (O; i , j ) có cơ sở ( i, j ) gồm hai
vectơ ñơn vị vng góc với nhau được gọi là hệ
tọa độ trực chuẩn ( hay cịn gọi là hệ tọa độ
Descartes vng gãc). KÝ hiƯu: Oxy (hình 1.1).
1.2. Tọa độ vectơ- Tọa ñộ ñiểm
Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , j ), nếu vectơ a được

M(x, y)

y
j
O

i

x

x

Hình 1.1

viết dưới dạng: a = xi+ y j thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a .
Kí hiệu: a =(x, y).
Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm
M. Kí hiệu: M(x, y) ⇔ OM = xi + y j .
1.3. Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ: a = (a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 )
và các điểm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta cú:
ã

a = b1
a = b ⇔  1
 a 2 = b 2

•

a +b = (a1+ b1, a2+ b2)

•

a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 )

•

k a = (ka1 , ka2 )

•

a =

a12 + a2 2

•

AB= ( x B − x A )2 + ( y B − y A)

•

a b ⇔ a1b2 = a2b1 .

•

a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 .

2

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


5

•

Nếu a , b khác 0 thì: cos( a, b ) =

a1b1 + a2b2
.
a12 + a2 2 . b12 + b2 2

1.4. Các cơng thức liên quan
§iĨm M( x , y )chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ -1 ⇔ MA = k MB
M M
⇔

x − kx

B
 x
= A
1− k
 M

y − ky

B
A
y M =
1− k


§iĨm I (x1 , y1) là trung điểm của đoạn thẳng

§iĨm M là trọng tâm cña ∆ ABC ⇔

x +x


B
x = A
2
AB ⇔  1
y +y

B
y = A
 1
2

x +x +x

B
C
 x
= A
3
 M

y +y +y

B
A
C
y M =
3


Phương trình đường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ 0.

§ường thẳng cho bi (1) cú vectơ pháp tuyến n = ( A, B); vect¬ chØ
ph−¬ng u (-B, A).
Đường thẳng đi qua điểm M ( x0 , y0 ) và có vectơ pháp tuyến n =( A, B)
có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0.
Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M ( x0 , y0 ) và có
 x = x 0 + a t

vect¬ chØ ph−¬ng u ( a, b) là: 

 y = y 0 + b t

Phương trình chính tắc của đường thẳng ñi qua ñiểm M ( x0 , y0 ) và cã

vectơ chỉ phương u ( a, b) là:

x − x0 y − y0
=
.
a
b

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 , y0 ) và có hệ số góc k
cho
trước: y = k(x- x0) + y0.
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

6

Phương trình đường thẳng đi qua A( a, 0) và B(0, b) có phương trình:
x y
+ = 1 . (cßn gọi là phơng trình đoạn chắn)
a b
Cho chựm ủng thng xác định bởi hai đường thẳng c¾t nhau:
(d1): A1 x + B1 y + C1 = 0 và ñường thẳng (d2): A 2 x + B2 y + C2 = 0 .

Khi đó mọi đường thẳng của chùm có phương trình d¹ng:

α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 với α 2 + β 2 0 .
Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng
Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (d1) có phơng trình:
Ax + By +C = 0 và một điểm M( x0 , y0 ). Khoảng cách từ M đến đờng
thẳng (d1) đợc tính theo công thức: d(M, d1)=

Ax0 + By0 + C
A2 + B 2

.

Góc giữa hai đờng thẳng
Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (a) có
phơng trình: Ax + By +C = 0 và (a) có

a

n

phơng trình: Ax + By +C = 0. Khi đó:
góc giữa hai đờng thẳng (a) và (a) đợc
tính theo c«ng thøc: cos α =

AA '+ BB '
A + B . A' + B '
2

2

2

n'

a'

2

.

Hỡnh 1.2

Nh vậy: 2 đờng thẳng (a) và (a) vuông góc với nhau AA '+ BB ' = 0 .
Đờng tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phơng trình là:
(x- a) 2 + (y- b)2= R2.

z

1.5. Khái niệm hệ trục tọa độ trong khơng gian

Cho 3 trơc täa ®é Ox, Oy, Oz đơi một vng góc

M
k

víi nhau vµ chung mét điểm gốc O. Gọi i , j , k

O

là các vectơ đơn vị tơng ứng trên các trục Ox,

i

Oy, Oz. Hệ 3 trục nh vậy gọi là hệ tọa độ
Descartes vu«ng gãc Oxyz, hay (O; i, j, k ).

1.6. Tọa ñộ vectơ - Tọa ñộ ñiểm

j

y
M'

x

Hình 1 .3
6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

7

+ Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , j, k ),nếu vectơ
a ñược viết dưới dạng: a = xi+ y j + zk thì
cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a ,
kí hiệu: a =(x, y, z).
+ Trong khơng gian Oxyz, tọa độ của vectơ OM ñược gọi là tọa ñộ của

ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y, z) ⇔ OM = xi + y j + zk .
1.7. Phép tính vectơ: Trong khơng gian cho các véctơ:
a = (a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 ) và các ñiểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ); M 2 ( x2 , y2 , z2 ).
Ta có:
a +b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ).
a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) .
k a = (ka1 , ka2 , ka 3 ) .
M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) .

Khoảng cách d giữa hai ñiểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) là ñộ dài
của vectơ M 1 M 2 , ñược xác ñịnh bởi: d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 .

Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k: MM 1 = k MM 2

được xác định bởi cơng thức:


x =


y =



z=


x1 − kx2
1− k
y1 − ky2
1− k
z1 − kz2
1− k

• Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M1M2. Khi ñó

x +x y +y z +z
tọa ñộ của ñiểm M là: M ( A B , A B , A B ) .
2

2

2

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


8

NÕu u = ( x1 , y1 , z1 ) ; v = ( x2 , y2 , z2 ) th×: u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

ã

Đặc biệt: u v u.v = 0 .

NÕu u ≠ 0 , v ≠ 0 th×: cos( u, v ) =

u.v
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
=
.
2
2
2
2
2
2
u.v
x1 + y1 + z1 . x2 + y2 + z2

Tích vevtơ (hay tích có hướng) của hai vectơ u ( x1 , y1 , z1 ) và

v ( x2 , y2 , z2 ) kí hiệu là u, v  là một vectơ xác ñịnh bởi:
u,v =  y1
   y
 2

z1
z2

,

z1

x1

z2

x2

,

y1 

x1


y 2 

x2

.

Các tính chất: u và v cộng tuyến ⇔ u, v  = 0 .
u ⊥ u, v  và v ⊥ u, v 
u, v  = u . v .sin α trong ñó



α là góc giữa hai vectơ u và v .

 u , v  = −  v, u 




 ku, v  = u, kv  = k u, v  k ∈ R.

 



u , v + t  = u , v  + u , t




Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ u , v , t đồng phẳng là: u, v t = 0 .
1.8. Các công thức liên quan.
Diện tích của tam giác có các đỉnh A(x1, y1, z1),
B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) đợc cho bởi công thøc:

A

1
S
=  AB, AC .
△ABC 2

y2 −y1 z2 −z1 z2 −z1 x2 −x1 x2 −x1 y2 −y1
=

+
+
hay: S
△ABC y3 −y1 z3 −z1 z3 −z1 x3 −x1 x3 −x1 y3 −y1
2

2

B

2

C

ThÓ tích hình hộp dựng trên 3 vectơ AB , AD , AA ' lµ:
D'

Vhép=  AB; AD  . AA ' .

A

C'
B'

A'
C

D

8

A

B

B

D

C

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


9

Thể tích hình tứ diện ABCD là:
V tứ diện =

1
AB; AC . AD .
6

Điểm G là trọng tâm ABC khi vµ chØ khi:
x +x +x y +y +y z +z +z
G = ( A B C , A B C , A B C ).
3

3

3

Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
x +x +x +x
y +y +y +y z +z +z +z
G = ( A B C D , A B C D , A B C D ).
4

4

4

Vectơ n 0 nằm trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) gọi là vectơ
pháp tuyến của (P).
Mặt phẳng (P) qua M( x0 , y0 , z0 ) có vectơ pháp tuyến là n(A, B, C ) có
phơng trình là: A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0.
Phơng trình tổng quát của mp(P) là: Ax+By+Cz+D=0 víi
( A2 + B 2 + C 2 > 0 ).
Một số trờng hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0).
mp: Ax + Cz+D = 0 song song víi Oy.
mp: Ax+ D = 0 song song víi mp(yOz).

mp: x= 0 lµ mp(yOz).
∆ ABC có n = AB, AC là vectơ pháp tuyến của mp(ABC).



Phơng trình

x y z

+ + = 1 đợc gọi là phơng trình đoạn chắn của
a b c

mặt ph¼ng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c 0).
Vị trí tơng đối của 2 mặt phẳng- Chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0.
Khi ®ã: (P) ≡ (P’) ⇔ A:B:C:D=A’:B’:C’:D’


(P) (P’) ⇔ 

A : B : C = A ': B ': C '

 A : B : C : D ≠ A ': B ': C ': D '

(P) c¾t (P’) ⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


10

Nếu (P) cắt (P) theo đờng thẳng () thì mọi mặt phẳng qua () có phơng
trình: (Ax+ By+ Cz+D) + µ (A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( λ 2 + à 2 0 ).
Phơng trình của đờng thẳng:
Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P): Ax+ By+ Cz+ D= 0,
(P) (P)= (). Khi đó phơng trình tổng quát của () là:
Ax + By + Cz + D = 0


 A’x + B’y + C’z + D = 0

(1)
(2)

mp(1) có vectơ pháp tuyến n1 = ( A, B, C ) , mp(2) có vectơ pháp tuyến
n2 = ( A ', B ', C ') . Khi ®ã: u =  n1 , n 2  lµ vectơ chỉ phơng của ().

Đờng thẳng () qua điểm M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a, b, c)
 x = x0 + at
cã: + Phơng trình tham số là: y = y0 + bt

z = z0 + ct

+ Phơng trình chính tắc lµ:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
(a.b.c ≠ 0).
a
b
c

Vị trí tơng đối của các đờng thẳng
Cho đờng thẳng (d) qua M0( x0 , y0 , z0 ) cã vectơ chỉ phơng u (a, b, c) ,
đờng thẳng (d) qua M( x '0 , y '0 , z '0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a ', b ', c ') . Khi
đó:
+ d và d đồng phẳng u, u ' MM 0 = 0 .

 u, u ' MM 0 = 0

+ d c¾t d’ ⇔  
a : b : c ≠ a ': b ': c '

u

Mo

d
d'

M

u'

+ d d’ ⇔ a: b: c = a’: b’: c’ ≠ ( x0 '− x0 ) : ( y0 '− y0 ) : ( z0 '− z0 ) ( tức là u, u ' cùng
phơng nhng không cùng ph−¬ng M 0 M 0 ' ).
+ d ≡ d’ ⇔ u ; u ' ; M 0 M 0 ' cïng ph−¬ng.

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


11

⇔ a: b: c = a’: b’: c’= ( x0 '− x0 ) : ( y0 '− y0 ) : ( z0 '− z0 ) .

+ d vµ d’ chÐo nhau ⇔ u, u ' MM 0 ≠ 0 .

VÞ trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Cho đờng th¼ng (d):

 x = x0 + at

 y = y0 + bt

 z = z0 + ct

qua M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng

u (a, b, c) vµ mp(P): Ax + By + Cz + D=0 có vectơ pháp tuyến n = ( A, B, C )

( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ).
+ (d) cắt (P) khi và chỉ khi: Aa + Bb + Cc ≠ 0.
Aa + Bb + Cc= 0
 Ax 0 + By0 + Cz 0 + D ≠ 0


+ (d) song song víi (P) khi vµ chØ khi:

+ (d) nằm trên (P) khi và chỉ khi:

Aa + Bb + Cc = 0

 Ax 0 + By0 + Cz 0 + D = 0

Khoảng cách
Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 ( x0 , y0 , z0 ).
Khi đó khoảng cách từ M0 tới (P) đợc xác ®Þnh nh− sau :

d ( M 0 ,( P )) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

.

Cho điểm M1 và đờng thẳng (d) đi qua M0 và có vectơ chỉ phơng u . Khi
đó khoảng cách từ M1 tới (d) đợc xác định nh− sau:




M 0 M 1; u 
.
d (M 1 ,(d )) = M 1 H =
u

ã

Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau:

Trong không gian cho 2 đờng thẳng chéo nhau có phơng trình tham số:
x = x0 + at

(d1):  y = y0 + bt

 z = z0 + ct

 x = x '0 + a ' t


(d2):  y = y '0 + b ' t ;

z = z '0 + c ' t

Mo

u

d1
h

Khoảng cách giữa 2 đờng thẳng (d1) và (d2) đợc
Mo'

u'

d2

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


12

tÝnh theo c«ng thøc:

d (d1 , d 2 ) =

(u, u ', M M ') =
0

u, u '



0

a1
a1 '

b1
b '1

c1
c '1

x '0 − x0

y '0 − y0

z '0 − z0

b1

c1

2

b '1 c '1

+

c1

a1

c '1

a1 '

2

+

a1

.
b1

2

a '1 b '1

Gãc
Trong hÖ täa độ trực chuẩn Oxyz cho 2 đờng thẳng (d) và (d) có vectơ
chỉ phơng lần lợt là: u = ( p, q, r) và u ' =(p, q, r).
Góc giữa 2 đờng thẳng (d) và (d) đợc tính theo công thøc:
cos((d), (d’)) =

pp '+ qq '+ rr '
.
p 2 + q 2 + r 2 . p '2 + q '2 + r '2

Đặc biệt: (d) (d) pp + qq+ rr = 0.
Góc giữa hai mặt phẳng:
Trong hệ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ), n = ( A, B, C ) vµ (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
( A '2 + B '2 + C '2 ≠ 0 ), n ' = ( A ', B ', C ') .

Khi đó: Góc giữa (P) và (P) đợc tính theo công thức:
cos =

AA '+ BB '+ CC '

n

(d)

A2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2

.
(d')

Đặc biƯt (P) ⊥ (P’) khi vµ chØ khi:

w

P

AA’ + BB’ + CC = 0.
Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( A2 + B 2 + C 2 0 )
x = x0 + at

và đờng thẳng (d) có phơng trình: y = y0 + bt , ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ).

 z = z0 + ct

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


13

Khi đó: góc giữa (d) và (P) đợc tính theo c«ng thøc:
sin ϕ =

Aa + Bb + Cc
A + B +C . a +b +c
2

2

2

2

2

2

, 0 ≤ ϕ ≤ 900.

Đặc biệt: (d) (P) hoặc (d) (P) khi và chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0.

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


14

Chng 2: Một số lớp bài toán giảI bằng phơng pháp
toạ độ
2.1. Cỏc bi toỏn tớnh toỏn
Phơng pháp giải:
+ Chọn hệ tọa độ thích hợp:
- Trong mặt phẳng, chọn hệ tọa độ có 2 đờng thẳng vuông góc với
nhau, gốc tọa độ là giao điểm của 2 đờng thẳng đó.
- Trong không gian, chọn hệ tọa độ có đỉnh và các trục Ox, Oy, Oz là
tam diện vuông hoặc ta vẽ thêm một số đờng để đợc một tam diện
vuông. Gắn các trục Ox, Oy, Oz thích hợp.
+ Biểu diễn các điểm đ cho qua hệ tọa độ vừa chọn. Tìm phơng trình các
đờng, mặt đ cho.
+ Sử dụng các kiến thức hình học giải tích, phơng trình đờng, mặt, các
công thức tính khoảng cách, diện tích, góc, thể tích để làm sáng tỏ yêu cầu
bài toán.

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có 3 kích thớc là a, b, c.
H y tính khoảng cách giữa hai đờng chộo nhau BD và CD theo các kích
thớc a, b, c.
Gii:
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz trïng víi c¸c tia AB, AD,
AA’( Hình 2.1). Theo cách đặt đó và theo bài ra ta có:

z

A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0).

A'

Vì: CD (ABD) nên d(CD, BD) = d[C, (ABD)].

c

Mặt phẳng ABD có phơng trình:

C'

B'

x y z
+ + = 1.
a b c

Do ®ã: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]=

D'

a
x

B

y

b
D

A
C

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


15

=

1 +1 + 0 −1
abc
= 2 2 2 2 2 2.
1 1 1
a b +b c +c a
+ 2+ 2
2

a b c

Vậy khoảng cách giữa BD và CD bằng

abc
.
a b + c 2b 2 + a 2 c 2
2

2

Bµi 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh BC, CA, AB lần
lợt lấy các điểm M, N, P sao cho:

MB NC PA
=
=
.
MC NA PB

Chøng minh r»ng: a) CP MN.
b) CP= MN.
Gii:
Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông gãc Oxy sao cho: O ≡ C, tia Ox ≡ CA, tia
Oy CB (hỡnh 2.2). Ta có toạ độ các điểm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1).
Từ giả thiết ta đặt:

MB NC PA
=
=

= k ( k > 0).
MC NA PB

Do ®ã:
 BM = k MC

 CN = k NA

 AP = k PB

y

1

CM =
CB

1
+
k


k
⇒
CN =
CA
1+ k


1

k
CA +
CB
CP =
1+ k
1+ k


B
M
P

C

N

A

x

Hình 2.2
1

 M (0, 1 + k )


k
k −1
1
k

⇒  N(
,0) ⇒ MN (
, ) ; CP(
,
).
1+ k
1+ k k
1+ k 1+ k


1
k
,
)
 P(
 1+ k 1+ k

a ) Ta thÊy: MN .CP = 0 ⇒ MN ⊥ CP .
2
2
k 2 +1
k 2 +1
 k   −1 
 1   k 
b) MN = 
+
=
;
CP
=

+
=
.

 1+ k   1+ k 
 
(1 + k )2
(1 + k )2

 
 1+ k   1+ k 

2

2

2

2

VËy MN= CP (®pcm).
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


16

Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều có cạnh là 2a, cạnh SC
vuông góc với mặt phẳng(ABC) và có SC= a. Gọi d1 là đờng thẳng đi qua

đỉnh S và trung điểm E của cạnh BC, d2 là đờng thẳng đi qua C và trung
điểm D của cạnh AB. Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng d1 và
d2.
Gii:
Chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz sao cho: O C, các điểm D, S
lần lợt nằm trên các trục Oy, Oz (Hỡnh 2.3). Khi ®ã: Ox

AB. Ta cã:

a a 3
, 0); S(0, 0, a).
C(0, 0, 0); D(0, a 3 , 0); B(a, a 3 , 0); E( ,
2 2

a a 3
⇒ CD =(0, a 3 , 0); SE =( ,
, -a).
2 2

C¸c đờng thẳng d1 và d2 lần lợt có VTCP là SE vµ CD .
3 2
a
6
2
⇒ cos( SE , CD ) =
=
.
a 3.a 2 4

z

S(0, 0, a)

Vậy góc giữa 2 đờng thẳng SE và CD là góc
thoả m n: cos( SE , CD )=

A

6
.
4

O
C

Để tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng
SE, CD ta lập phơng trình mp(P) chứa CD

d2

E
x

và song song víi SE.

D
d1

y

B

Hình 2.3
Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhËn SE vµ CD làm cặp VTCP.
a 3

Gọi n = CD, SE  = 
 a 3
 2

0

0

,
−a − a

0 0
a,a
2 2

Do đó phơng trình mp(P) là: a 2 3 x-

a 3


a2 3
2
= ( −a 3 , 0, ).
a 3 
2

2 

a2 3
z =0. Tõ ®ã ta cã:
2

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


17

a3 3
2
a 5
d(d1, d2)= d(S, (P))=
=
.
5
3 4
4
3a + a
4

VËy kho¶ng cách giữa SE và CD là d(d1, d2)=

a 5
.
5

2.2. Cỏc bi toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh
Phơng pháp giải:
+ Sử dụng bất đẳng thức vectơ: u + v u + v dÊu “ = ” x¶y ra ⇔ u = k.v
(k >0), u − v ≥ u − v dÊu “=” x¶y ra ⇔ u = k .v (k > 0)

+ Sử dụng sự tơng giao của các đờng trong mặt phẳng: Trong mặt phẳng
cho phơng trình các ®−êng y= f(x), y= ax+ b. Khi ®ã: nghiƯm cđa f(x) =
ax+ b là hoành độ giao điểm của 2 đờng y= f(x) và y= ax+ b.
Bài 4. Giải phơng tr×nh: x 2 + 2 x + 10 + x 2 − 6 x + 13 = 41 .(1)
Gi¶i:
Ta cã: (1) ⇔ ( x + 1)2 + 9 + ( x 3)2 + 4 = 41 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ:
u = ( x + 1,3) ⇒ u = ( x + 1)2 + 9 ;

v = (− x + 3,2) ⇒ v = ( x − 3)2 + 4 .

⇒ u + v = ( x + 1)2 + 9 + ( x 3)2 + 4 . Mặt khác:
u + v = ( x + 1 + 3 − x,3 + 2) = (4,5) ⇒ u + v = 42 + 52 = 41 .

Mµ: u + v ≥ u + v nªn: x 2 + 2 x + 10 + x 2 − 6 x + 13 ≥ 41 .
DÊu “=” x¶y ra ⇔ u = kv víi k > 0 nªn :

x +1 3
= ⇔ 2 x + 2 = 9 − 3x
3− x 2

7
⇔ 5x = 7 x = .
5

7
Vậy nghiệm của phơng trình đ cho lµ: x = .
5

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


18

Bài 5. Tìm m để hệ phơng trình sau có 1 nghiÖm duy nhÊt:
x2 + y2 − x − 6 y + 8 = 0 (1)
 2
2
 x + y 2mx 1 = 0 (2)

Giải:
1
Phơng trình (1) là phơng trình đờng tròn(C), tâm I1( , 3); bán kính
2

R1 =

5
. Phơng trình (2) là phơng trình đờng tròn (C), tâm I2(m, 0); b¸n
2

kÝnh R2 = 1 + m2 .
HƯ cã nghiƯm duy nhÊt khi vµ chØ khi (C) tiÕp xóc (C).

+ Trờng hợp 1: (C) và (C) tiếp xúc ngoài nhau: ThÕ th×: I1I2 = R1+ R2.
2

1
5

Nh−ng: I1I2 =  m −  + 32 , R1+ R2 =
+ 1 + m2 , nªn ta cã:
2
2

2

1
5
5
37

2
2
2
2
2
 m − 2  + 3 = 2 + 1 + m ⇔ 4 + m + 1 + 5(m + 1) = m − m + 4


⇔ 5(m2 + 1) = 7 − m ⇔ 5(m2 + 1) = 49 − 14m + m 2 ( m ≤ 7).
 m=2
⇔ 2m + 7m − 22 = 0 ⇒ 
11

 m = − 2
2

VËy có hai giá trị m = 2, m = -

11
để hai đờng tròn đ cho tiếp xúc ngoài
2

nhau.
+ Trờng hợp 2: (C) vµ (C’) tiÕp xóc trong: Tøc lµ: I1I2 = R1 − R2 hay:
2

1
1
5
5

2
2
2
2
2
 m − 2  + 3 = 2 − m + 1 ⇔ m − m + 4 + 9 = m + 1 − 5(m + 1) + 4


 m=2
⇔ 2m + 7m − 22 = 0
11
m

=


2
2

Vậy có hai giá trị của m ®Ĩ hƯ ® cho cã nghiƯm duy nhÊt.

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


19

Bài 6. Biện luận số nghiệm của phơng trình sau theo m: 4 − x 2 = mx + 2 m
Giải:

y

Ta xét đờng cong y= 4 x 2 (1) ( x 2,2 ) và

2

A

O

1

đờng y= mx + 2 − m .(2)
XÐt ®−êng cong: y =

 y≥0
(I)
4 − x 2 ⇔  2
2
 x + y = 4

-2
B

C

x

Hỡnh 2.4
(I) là nửa phía trên trục Ox của đờng tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 có
phơng trình: x 2 + y 2 = 4 .
Xét: y= mx + 2 m (2) là đờng thẳng (∆) cã hƯ sè gãc k= m vµ víi mäi giá
trị của m đờng thẳng () luôn đi qua điểm A(1, 2).
Vậy phơng trình đ cho có nghiệm khi đờng thẳng (): y= mx + 2 m cắt
nửa đờng tròn tâm O(0, 0), bán kính R= 2 với y > 0.
Xét (d) là tiếp tuyến đi qua A(1, 2), khi đó khoảng cách từ O đến (d) bằng 2
4

m=
2m

3

=2 
m2 + 1
 m=0


Gọi 2 ñiểm B(-2, 0) và C(2, 0), hệ số góc của đường thẳng AB: kAB =

2
, h
3

s gúc ca ủng thng AC: kAC= -2.
Vy: Phơng trình cã hai nghiƯm khi 0 < m <
Phương trình có 1 nghiệm khi

2
4
; -2 < m < − .
3
3

2
< m; m< -2.
3

2.3. Các bài tốn giải bất phương trình, hệ bt phng trỡnh
Sử dụng bất đẳng thức vectơ: u.v u v ; u.v ≤ u v ; u − v ≥ u − v ;
u+v+w ≤ u + v + w ;

Sử dụng sự tơng giao của các đờng trong mặt phẳng.
Bài 7 . Giải bất phơng trình: x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x ≤ 12 .

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


20

Giải:
3 50
Tập xác định: x , .
2 3 

Trong không gian Oxyz chän: u = ( x + 1 , 2 x − 3 , 50 − 3x ).
⇒u=

x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x =

Ta cã: u . v = 12 vµ u.v =
Mµ u.v ≤ u . v hay

48 = 4 3 ; v = ( 1, 1, 1) ⇒ v =

3.

x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x .

x + 1 + 2 x − 3 + 50 − 3x ≤ 12 .

 3 50
Vậy bất phơng trình đúng với x , .
2 3

Bài 8. Cho hệ phơng trình:

m

x2 − (3m −1) x + 2m2 − m < 0
(I)

x2 + m2 = 4


2

B

-2

I
O

1. Tìm m để hệ có nghiệm.
2. Tìm m để hệ có đúng một nghiệm.

x= m
C
2

x
x+ m- 2= 0

A
-2

3. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Giải:

D

Hỡnh 2.5

( x m)( x 2 + m) ≤ 0 (1)
(I) ⇔ 
x 2 + m2 ≤ 4
(2)


Xét hệ toạ độ Oxm, ta có:
+ Các điểm M(x, m) thoả m n (1) thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi 2
đờng thẳng x- m = 0 và x- 2+ m= 0.
+ Các điểm M(x, m) thoả m n (2) thuộc phần trong hình tròn tâm O(0, 0)
bán kính R= 2 (kể cả đờng viền).
+ Các điểm thoả m n hệ thuộc miền gạch trong hình vẽ 2.5, với toạ độ A, D
xm =0
A( 2, 2)
là nghiƯm cđa hƯ:  2
⇒


2
 x + m = 4
 D( 2, 2)
x − 2 + m = 0
 B(0,2)
To¹ ®é cđa B, C lµ nghiƯm cđa hƯ:  2
⇒

2
 x + m = 4
C (2,0)

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


21

Chiếu 2 cung AB và CD lên Om ta đợc: I m =  − 2,2  .
VËy: a) HÖ cã nghiÖm khi m∈  − 2,2  .
b) HÖ cã ®óng mét nghiƯm khi: − 2 < m < 0 ∪ 2 ≤ m < 2 .
c) HÖ cã 2 nghiƯm ph©n biƯt khi: 0 < m < 2 .
2.4. Cỏc bi toỏn chng minh bt ủng thc
Phơng pháp giải:
+ Sử dụng các công thức: u.v u . v ; u + v ≤ u + v ; u − v ≥ u − v .
+ Chän hÖ tọa độ thích hợp biểu diễn các điểm qua hệ tọa độ, sử
dụng các kiến thức hình học để giải bài toán.
Bài 9. Cho ba số thực a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng:

(b + 1)2 + (c − a)2 + (b − 1)2 + (c − a)2 ≥ 2 .

Giải:
Trong mặt phẳng Oxy chọn các vectơ có toạ ®é:
u = (−b − 1, a − c) ⇒ u = (b + 1)2 + (a − c)2
v = (b −1, c − a) ⇒ v = (b −1)2 + (c − a)2 ;

Ta cã: u + v = (−2,0) ⇒ u + v = 2 ;
u + v = (b + 1)2 + (c − a)2 + (b − 1)2 + (c − a)2 ;

Mµ: u + v ≤ u + v nªn: (b + 1)2 + (c − a)2 + (b − 1)2 + (c − a)2 ≥ 2 (đpcm).

{

2
2
Bài 10. Cho bốn số thực a, b, c, d tho¶ m n: a + b = 1
c+ d =3

Chøng minh r»ng: ac+ bd+ cd ≤

9+6 2
.
4

Gi¶i:
Do a 2 + b 2 = 1 ⇒ Gäi M(a, b) th× M∈ (C): x 2 + y 2 = 1 .
V× c+ d= 3, gäi N(c, d) th× N∈ (d): x+ y- 3 = 0.

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


22

⇒ MN (c − a, d − b)

y

2

⇒ MN = (c − a)2 + (d − b)2

3

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2db
2

I

c + d = (c + d ) − 2cd = 9 2cd .
2

2

J

1

Mà ta lại có: a + b = 1 ;
2

2

-1

O

1

3

(d)

x

2

⇒ MN = 1 + 9 − 2cd − 2ac − 2bd

= 10 − 2(cd + ac + db) .
⇒ ac + bd + cd =

Hình 2.6

10 − MN 2
.
2

Do đó: ac + bd + cd đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MN đạt giá trị nhỏ
nhất.
Vậy MN là đoạn IJ vuông góc với (d), đờng IJ là phân giác của góc phần
2

3
2 2
3 3
2  11
t− thø nhÊt nªn I ( , ) ; J( , ) ⇒ IJ 2 = 2  −  = − 3 2 .
2 2
2 2
2
2 2 

⇒ ac + bd + cd ≤

10 − IJ 2 9 + 6 2
.
=
2
4

DÊu “=” x¶y ra ⇔ a = b =

2
3
;c = d = .
2
2

2.5. Các bài toán tỡm cc tr
Phơng pháp giải:
Bớc 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp biểu diễn các điểm cần thiết qua hệ
tọa ®é.
B−íc 2: ThiÕt lËp biĨu thøc gi¶i tÝch cho ®èi tợng cần tìm cực trị.
Bớc 3: Lựa chọn phơng pháp tìm cực trị: Phơng pháp tam thức bậc
hai, sử dụng bất đẳng thức hoặc sử dụng đạo hàm.
Bài 11. Cho các số thực x, y, z thoả m n: x+ 2y+ z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thøc: P= ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z −1)2 + ( x − 2)2 + ( y − 2)2 + ( z − 2)2 .
Gi¶i:
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


23

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz lấy điểm A(1, 1, 1); B(2, 2, 2).
Bài tốn quy về tìm ñiểm M(x, y, z) nằm trong mp: x+ 2y+ z = 0 ñể:
AM+ BM ñạt giá trị nhỏ nhất với A(1, 1, 1); B(2, 2, 2).
Ta xét vị trí tương ñối của A, B với mp (P): x+ 2y+ z = 0.
Ta có: (1+ 2.1+1).(2+ 2.2+ 2) = 32 > 0
VËy A, B cùng phía với mp(P).
Gọi A’ là điểm ñối xứng của A qua (P) thì ñiểm M
cần tìm là giao ñiểm của A’B và mp(P).
A
B

Thật vậy: MA’= MA ⇒ MA+ MB = MA’ + MB= A’B.

Với mọi ñiểm M’∈ ( P) ta có: M’A= M’A’.
⇒ M’A + M’B = M’A’+ M’B > A’B= MA + M

I

M

P

⇒ M =M’.

(P) cú vectơ pháp tuyến n (1, 2, 1). ng thng (d) qua

A'

A(1, 1, 1)

vng góc với (P) cã vect¬ chØ phơng l n (1, 2, 1). Vậy phơng trình
x = 1+ t

đờng thẳng (d) là: y = 1 + 2t

 z = 1+ t
 x = 1+ t

 y = 1 + 2t
Gäi I= (d) ∩ (P) ⇒ Tọa độ của I là nghiệm của hệ:
z = 1+ t

x + 2y + z = 0

1 −1 1
, ).
3 3 3

⇒ I( ,

⇒ Täa ®é ®iĨm A’ lµ: A’(

−1 −5 −1
7 11 7
, , ) ⇒ AB ' ( , , ).
3 3 3
3 3 3

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


24

Đờng thẳng AB đi qua B(2, 2, 2) nhận u (7 ,11, 7) làm vectơ chỉ

x = 2 + 7t

phơng có phơng trình là: y = 2 + 11t

z = 2 + 7t

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đờng thẳng AB với mp(P). Täa ®é
 x = 2 + 7t

 y = 2 + 11t
cđa M lµ nghiƯm cđa hƯ: 
 z = 2 + 7t

x + 2y + z = 0

 4 −4 4 
⇒ M ,
, .
9 9 9

219
 4 −4 4
Vậy điểm M , , là điểm cần tìm. Khi đó: AB=
.
3
9 9 9
Giá trị nhỏ nhất của P là:

219
4
4
khi x= z= , y=
.
3
9
9

Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=

a + cos x + a + sin x víi x ∈ R; a 1.

Giải:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ:


u (1,1) u = 2 ; v = ( a + cos x , a + sin x ) ⇒ v = 2a + 2 sin( x + ) .
4

A= u.v =

π

a + cos x + a + sin x ≤ u . v = 2(2a + 2 sin( x + )) .
4

⇒ A ≤ 4a + 2 2 .

Dấu =xảy ra khi và chỉ khi:

sinx = cos x
1
1
=
⇔ 
π

a + cos x
a + sin x
sin( x + ) = 1
4


x=


4

+ k 2 .

Vậy giá trị lín nhÊt cđa A lµ: 4a + 2 2 khi x =

π
4

+ k 2π (k∈ Z).

24

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


25

Bài 13. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD cạnh đáy dài gấp
đôi chiều cao. Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc
= A ' MC ' .

Giải:
Giả sử độ dài của cạnh là 2a, độ dài của đờng cao là a.
Chọn hệ toạ ®é Axyz nh− sau: A(0, 0, 0), c¸c tia AB, AD, AA lần lợt
trùng với các tia Ax, Ay, Az.
Đặt AM =x0 khi ®ã: A’(0, 0, a) ; C’(2a, 2a, a); M(x0, 0, 0).
⇒ MA ' = (-x0, 0, a); MC ' =(2a-x0, 2a, a).
⇒ cos ϕ =

z

MA '.MC ' ( x0 − a)
=
≥0
MA '.MC ' MA '.MC '
2

A'

VËy max =900 x0 = a.

a

B'

M là trung điểm của AB.

D'
C'
2a

M

Vậy giá trị lớn nhất của góc là: =900.
2.6. Cỏc bi toỏn tỡm qu tớch

x

D

A

B

y

C

Phơng pháp giải:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy
ra quỹ tích của nó.
Bài 14. Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA= 2MB.

y

Giải:
Chọn hệ trục toạ độ vu«ng gãc Oxy sao cho:
O ≡ A và e ≡ AB . Trơc Ox chøa A, B, trơc

1
Oy vu«ng gãc víi AB t¹i A.Ta cã: A(0, 0);

M(x, y)

O
A

B(1, 0) H

x

B(1, 0). Theo gi¶ thiÕt MA= 2MB, ta cã:
x 2 + y 2 = 2 (1 − x)2 + y 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4 (1 − 2 x + x 2 + y 2  .

25

LUAN VAN CHAT LUONG download : add