Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM)
1
Chuyên đề
SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
cos sinz r i
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b R, z 0)
*
22
r a b
là môđun của z.
*
là một acgumen của z thỏa
cos
sin
a
r
b
r
1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu
cos sinz r i
,
' ' cos ' sin 'z r i
thì:
*
. ' . ' cos ' sin 'z z r r i
*
cos ' sin '
''
zr
i
zr
2. Công thức Moivre:
*nN
thì
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức
cos sinz r i
(r > 0) là
cos sin
22
ri
và
cos sin
22
ri
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
zzA
.
ĐS: A=20
2. Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0zz
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
2
12
zz
A
zz
.
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)
2
(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
iz
iz
iz
2
734
.
ĐS: a. a=2, b=3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn:
22zi
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i
.
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn
102 iz
và
25. zz
.
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
6. Tìm số phức z thỏa mãn:
1
11
3
12
z
zi
zi
zi
.
HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.
ĐS: z=1+i.
7. Giải phương trình:
4
1
zi
zi
.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM)
2
ĐS: z{0;1;1}
8. Giải phương trình:
2
0zz
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.
ĐS: z{0;i;i}
9. Giải phương trình:
2
0zz
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.
ĐS: z=0, z=1,
13
22
zi
10. Giải phương trình:
2
43
1 0
2
z
z z z
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
.
ĐS: z=1±i,
11
22
zi
.
11. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i
.
12. Cho phương trình: (z + i)(z
2
2mz+m
2
2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
làm nghiệm biết:
a.
= 25i b.
= 2i
3
c.
=
3 - 2i
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
iz
2
2iz2 = 0. b. z
3
+(i3)z
2
+(44i)z7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
243 iz
.
ĐS: (x3)
2
+(y+4)
2
=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
22z i z z i
.
ĐS:
2
4
x
y
.
17. Trong các số phức thỏa mãn
3
23
2
zi
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
23
2
zi
…
22
9
23
4
xy
.
* Vẽ hình |z|
min
z.
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
zi
.
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a.
10
9
(1 i)
3i
. b.
7
5
cos sin 1 3
33
i i i
.
HD: Sử dụng công thức Moivre.
ĐS: a. Phần thực
1
16
, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM)
3
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
!
kn
n
A
k
n
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
!!
!
knk
n
C
k
n
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba
11222222110
.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2
x
x
, (x>0).
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1
x
x
với x>0.
ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x
5
3
1
, biết rằng
37
3
1
4
nCC
n
n
n
n
,
(n nguyên dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức
!1
3
34
1
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
nnnn
CCCC
(n là số nguyên
dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
M
5. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
n
nnn
CCC
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
n
nnn
CCC
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(12x)
5
+x
2
(1+3x)
10
.
ĐS: 3320
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n3
là hệ số của x
3n3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
.
Tìm n để a
3n3
=26n.
ĐS: n=5
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM)
4
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
nn
n n n n
C C C C
.
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2
1
1
11
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C
n
0
3
n1
C
n
1
+3
n2
C
n
2
3
n3
C
n
3
+ … +(1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
ĐS:
1
23
11
n
nn
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
,
tìm n.
ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó nN* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
n
n
a
a
a
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.
ĐS: a
8
=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
nn
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
n
n
n
nnnn
CnCCCC
,
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1x)]
8
.
ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
22222222
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM)
5
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S
1
=1C
n
2
+C
n
4
C
n
6
+… S
2
=C
n
1
C
n
3
+C
n
5
…
21. Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
=–2
50
.
o0o