Chuyên đề biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.91 KB, 58 trang )
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
CHUYÊN ĐỀ:
BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi.
MỞ ĐẦU
Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác là nội dung cơ bản và quan
trọng trong học tập lượng giác và là một nội dung trong cấu trúc đề thi THPTQG.
Thành thạo các phép biến đổi lượng giác giúp các em học sinh thêm tự tin trong kì thi
THPTQG.
Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT. Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Các
phương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.
Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng
giác và cách giải phương trình lượng giác.
Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến
đổi lượng giác và phương trình lượng giác.
Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến
đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.
PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
A. Lí thuyết cơ bản.
B. Bài tập và phương pháp giải toán.
Dạng 1. Bài tập về hệ thức lượng giác cơ bản.
I. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị của biểu thức lượng giác.
1. Cho một hàm số lượng giác. Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại.
2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác.Tính giá trị của
một biểu thức lượng giác.
3. Cho một biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá của biểu thức
lượng giác.
Tổ: Tốn - Tin
1
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
Bài tập tính giá trị của biểu thức lượng giác qua các đề thi thử THPTQG năm
2015.
II. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.
IV. Rút gọn các biểu thức lượng giác.
Dạng 2: Bài tập về công thức quy gọn góc (Cơng thức biểu diễn góc (cung)
có liên quan đặc biệt).
Dạng 3: Bài tập về công thức lượng giác. (Công thức cộng. Công thức nhân.
Công thức biến đổi).
I. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
II. Rút gọn biểu thức lượng giác.
III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
IV. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác.
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp.
I.
Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.
II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
III. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.
IV. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.
Dạng 3. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình tích các
phương trình lượng giác thường gặp.
I.
Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
II. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng
giác.
III. Phương trình đưa về phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và
cosx.
IV. Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.
Dạng 4. Phương trình lượng giác khơng mẫu mực với phương pháp khác.
I
Phương pháp tổng bình phương.
II. Phương pháp đánh giá hai vế.
Tổ: Tốn - Tin
2
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
PHẦN I. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Số tiết dạy:18 tiết = 6 buổi.
A.Mục tiêu bài dạy.
1.Mục tiêu bài dạy.
- Học sinh nhớ được các hệ thức lượng giác cơ bản.
-Hiểu được các cơng thức thu gọn góc.
-Hiểu và nhớ công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi.
2. Kỹ năng.
-Dùng cơng thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác.
+Rút gọn biểu thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
B.
LÝ THUYẾT CƠ BẢN.
I. ĐƠN VỊ ĐO GĨC VÀ CUNG:
1. Độ:
Góc 10 =
1
góc bẹt
180
x
2. Radian: (rad)
180 0 = π rad
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung) thơng dụng:
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
3600
Radian
0
π
π
π
π
3
2
5π
6
2π
4
3π
4
π
6
2π
3
II. GĨC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC:
y
1. Định nghĩa:
y
(tia ngọn)
(điểm ngọn)
+
B
α
+
α
t
α
O
x
O
(tia gốc)
x
A (điểm gốc)
AB = α + k 2π
(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)
Tổ: Toán - Tin
t
M
3
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
III. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
y
1. Đường trịn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục cơsin (trục hồnh )
−1
(trục tung )
C
x'
• t'At : trục tang
u
B
1
u'
• y'Oy : trục sin
t
• u'Bu : trục cotang
+
1
A
R =1
O
−
−1
y'
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
x
t'
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
t
y
t
Trục sin
Trục cotang
u'
U
B
M
Q
t
O
+
T
α
α
x'
u
P
sin α = OQ
x
A
−
Trục cosin
−1
y'
cos α = OP
tgα
= AT
cot gα = BU
Trục tang
t'
b. Các tính chất:
Với mọi α ta có:
−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1
• tanα xác định ∀α ≠
π
2
+ kπ với k ∈ ℤ
• cotα xác định ∀α ≠ kπ k ∈ ℤ
Tổ: Tốn - Tin
4
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
c. Tính tuần hồn
sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cosα
= tan α
tan(α + kπ )
(k ∈ Z )
cot(α + kπ ) = cot α
IV. GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC
BIỆT:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y
t
3
- 3
- 3 /3
-1
u'
2π/3
3π/4
π
π/2
1
3 /3
3
1
u
π/3
3 /2
π/4
2 /2
5π/6
x'
B
π/6
3 /3
1/2
1/2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2
-1
3 /2
2 /2
x
1 A (Điểm gốc)
O
-1/2
-π/6
- 2 /2
- 3 /3
-π/4
- 3 /2
-1
-π/3
-1
π/2
-π
y'
Góc
Hslg
sin α
cos α
tan α
cot α
00
300
450
600
0
π
π
6
0
t'
- 3
900
1200
1350
1500
π
π
4
3
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
2π
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
0
1
3
2
2
2
1
2
0
0
3
3
1
3
kxđ
kxđ
3
1
3
3
0
Tổ: Tốn - Tin
−
−
2
2
3600
−
3
2
-1
1
3
3
0
0
kxđ
kxđ
− 3
-1
−
3
3
-1
− 3
−
5
1
2
1800
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GĨC) CĨ LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT:
Đó là các cung:
1. Cung đối nhau
: α vaø -α
2. Cung bù nhau
: α vaø π -α
3. Cung phụ nhau
: α vaø
π
: α vaø
π
4. Cung hơn kém
π
2
2
2
(tổng bằng 0)
(tổng bằng π )
− α (tổng bằng
+α
5. Cung hơn kém π : α vaø π + α
1. Cung đối nhau:
= − sin α
tan(−α )
= − tan α
Cos đối
π
= cosα Phụ chéo
= cot α
π
) (Vd:
(Vd:
π
(Vd:
π
6
6
6
&
&
6
&
&
,…)
5π
,…)
6
π
3
,…)
2π
,…)
3
7π
,…)
6
= sin α
= − tan α
cot(π − α ) = − cot α
4. Cung hơn kém
π
2
π
Hơn kém
π
2
cos( + α ) = − sin α
2
π
sin( + α ) = cos α
sin bằng cos
2
cos bằng trừ sin
π
tan( + α )
2
= −cot α
π
π
cot( + α ) = − tan α
2
cot( − α ) = tan α
2
Tổ: Toán - Tin
6
tan(π − α )
π
cos( − α ) = sin α
2
tan( − α )
2
π
(Vd:
sin(π − α )
Sin bù
3. Cung phụ nhau:
sin( − α )
2
2
6
π
cos(π − α ) = − cosα
cot(−α ) = − cot α
π
π
&−
2. Cung bù nhau:
cos(−α ) = cosα
sin(−α )
π
(Vd:
6
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
5. Cung hơn kém π :
cos(π + α ) = − cosα
sin(π + α ) = − sin α
tan(π + α ) = tan α
Hơn kém π
tan , cot
cot(π + α ) = cot α
VI. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Các hệ thức cơ bản:
2
1 + tan 2α =
2
cos α + sin α = 1
sinα
π
(α ≠ +kπ )
cosα
2
cosα
cotα =
(α ≠ kπ )
sinα
1 + cot 2α =
tanα =
1
cos2α
1
sin 2 α
(α ≠
π
2
+kπ )
(α ≠ kπ )
tanα . cotα = 1 (α ≠
kπ
)
2
2. Công thức cộng:
cos(α + β ) = cosα .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cosα .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cosα
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα
tanα +tanβ
1 − tan α .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
tan(α +β ) =
3. Công thức nhân đôi:
cos2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2sin α .cosα
2 tan α
π
π kπ
π
tan 2α =
(
≠
±
+k
,
≠
+
,
≠
+kπ )
α
π
α
α
4
4 2
2
1 − tan2 α
4. Công thức nhân ba:
cos3α = 4cos 3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
5. Công thức hạ bậc:
cos 2 α =
Tổ: Toán - Tin
1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2
7
tg 2α =
cos 3 α =
cos 3α + 3 cos α
4
sin 3 α =
3 sin α − sin 3α
4
1 − cos 2α
1 + cos 2α
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
6. Cơng thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan
sin α =
2t
;
1+ t2
2
cos α =
1− t
;
1+ t2
tan α =
GV: Đào Mỹ Hạnh
α
2
2t
1 + t2
7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cos β =
8. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos α + cos β = 2 cos
α +β
cos α − cos β = −2sin
sin α + sin β = 2 sin
2
.cos
α +β
2
α +β
α −β
.sin
.cos
2
α −β
2
α −β
2
2
α +β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
cos α cos β
sin(α − β )
tan α − tan β =
cos α cos β
tan α + tan β =
9. Các công thức thường dùng khác:
π
π
cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + )
4
4
π
π
cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4
3 + cos 4α
4
5
+
3
cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8
cos 4 α + sin 4 α =
Tổ: Tốn - Tin
8
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
C. BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
DẠNG 1. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN
I. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG
GIÁC.
1. Cho 1 hàm số lượng giác. Tính giá trị của các hàm số lượng giác còn lại.
* Các bước thực hiện:
Bước 1: Kiểm tra dấu của các hàm số lượng giác cần tính.
Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.
Bước 3: Kết luận.
* Ví dụ 1:
a) Cho sinα =
π
4
và < α < π
5
2
Tính cosα, tanα, cotα.
Giải:
+ Vì:
π
2
< α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0
+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
cos2α = 1 – sin2α = 1 tanα =
sin α
4
=−
cosα
3
cotα = −
b) Cho cosα = + Vì π < α <
16 9
3
=
⇒ cosα = −
25 25
5
3
4
1
3π
với π < α <
. Tính sinα, tanα, cotα.
4
2
3π
=> sinα < 0, tanα > 0, cotα > 0.
2
+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
sin2α = 1 – cos2α =
Tổ: Toán - Tin
15
− 15
⇒ sin α =
16
4
9
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
tanα = 15 ;cot α =
GV: Đào Mỹ Hạnh
15
15
* Ví dụ 2:
a) Cho tanα = - 2 và
π
2
< α < π . Tính sinα, cosα, cotα;
b) Cho cotα = 3 và π < α <
3π
. Tính sinα, cosα, tanα.
2
2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác. Tính giá trị của
một biểu thức lượng giác.
* Phương pháp:
Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác đã cho chỉ còn hàm số lượng giác đã biết.
Cách 2: + Tính các hàm số có trong biểu thức.
+ Thay kết quả tìm được vào biểu thức.
Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn.
* Áp dụng:
Ví dụ 1: Cho tanα = - 2. Tính giá trị của các biểu thức.
A=
sin α + 2cos α
sin α − 2cos α
Giải:
Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ 0
Chia cả tử và mẫu của A cho cosα ≠ 0 và thay tanα = - 2, được:
A=
tan α + 2 −2 + 2
=
=0
tan α − 2 −2 − 2
Ví dụ 2: Cho cotα = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
A=
1
cos 2α − sin α cosα + sin 2 α
Giải:
Chia cả tử và mẫu của B cho sin2α ≠ 0 thay cotaα = 3, được:
1 + cot 2 α
10
A=
=
2
cot α − cot α + 1 7
Ví dụ 3:
Tổ: Tốn - Tin
10
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
a) Cho 3sin4α - cos4α =
GV: Đào Mỹ Hạnh
1
(1). Tính
2
A = sin4α + 3cos4α.
Giải: Đặt t = sin2α với 0 < t < 1. => cos2α = 1 – t
Thì (1) trở thành 3t2 – (1 – t)2 =
1
2
6t2 – 2(1 – 2t + t2) = 1
4t2 + 4t – 3 = 0
Với t =
−3
t = 2 ∉ [ 0;1]
t = 1 ∈ [ 0;1]
2
1
1
1
ta có sin2α = => cos2α = thay vào A ta được:
2
2
2
A=
1 3
+ =1
4 4
b) Tương tự cho 3 sin4α +2cos4α =
98
. Tính A = 2sin2α + 3cos4α.
81
Ví dụ 4: (Đề minh họa – THPT Quốc Gia – 2015)
Cho
π
2
< α < π và sinα =
3
tan α
. Tính A =
5
1 + tan 2 α
Ví dụ 5: Đề thi THPT Quốc gia năm 2015
Tính giá trị của biểu thức p = (1-3cos2α) (2+3cos2α), biết
2
sin α =
3
Giải:
2 7 14
P = (−2 + 6sin 2 α )(5 − 6sin 2 α ) = . =
3 3 3
3. Cho 1 biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá trị của biểu thức
lượng giác.
* Phương pháp:
- Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.
* Áp dụng:
Ví dụ 1: Cho sinα + cosα =
2
a) Tính sinα , cosα, tanα, cotα.
Tổ: Tốn - Tin
11
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
b) Tính giá trị của biểu thức A = sin5α + cos2α
Giải:
a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản, ta có
sin α + cosα = 2
sin α = 2 − cosα
⇔
2
2
2
2
sin α + cos α = 1
( 2 − cosα ) + cos α = 1
2
2
=
sin α = 2 −
tan α = 1
2
2
⇒
cot α = 1
cosα = 2
2
b) Theo kết quả a) sinα = cosα =
5
2
. Thay vào A ta được:
2
5
2 2
2
A=
+
=
4
2 2
Ví dụ 2: Cho tanα + cotα = 2
a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα
b) Tính giá trị của biểu thức A =
sin α cosα
tan 2 α + cot 2 α
Giải:
a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản ta có:
tan α = 2 − cot α
tan α = 2 − cot α
<=> 2
cot α (2 − cot α ) = 1
cot α − 2cot α + 1 = 0
tan α + cot α = 2
tan α cot α = 1
tan α = 1
cot α = 1
+ sin α = cosα =
2
2
2 2
.
1
b) Theo kết quả a, thì A = 2 2 =
1+1
4
Ví dụ 3: Cho sin2αcos2α =
1
4
a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα
Tổ: Tốn - Tin
12
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
b) Tính giá trị của biểu thức A = sin4α + cos4α
Giải:
a) Theo hệ thức lượng giác cơ bản và giả thiết có:
1
2
sinx = ±
sin 2 α + cos 2α = 1
sin
x
=
2
⇔
2
1 ⇔
2
1
sin
c
os
=
α
α
2
cos x =
cos x = ±
4
2
1
2
1
2
⇒ tanx = ± 1; cotx = ± 1
b) A = (sin2x)2 + (cos2x)2 =
1 1 1
+ =
4 4 2
BÀI TẬP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
QUA CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015
1. Cho góc α thỏa mãn π < α <
3π
và tanα = 2
2
2
π
5π
Tính M = sin α + sin α + + sin
− 2α
2
2
2
THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội)
Giải:
+ Vì π < α <
3π
1
1
1
= ⇒ cosα = −
(gt) ⇒ cosα < 0 ⇒ cos2α =
2
1 + tan α 5
5
+ M = sin2α + cosα + cos2α = sin2α + 2cos2α + cosα - 1
= cos2α + cosα =
1 1
−
5
5
2. Biết rằng số thực α thỏa mãn tanα = 2. Tính:
sin α + 2cos3 α
(Trường ĐH Vinh – TPTH chuyên lần 2)
cosα + 2sin 3 α
π
7
3. Biết rằng α ∈ (−π ; − ) và sin2α = . Tính:
2
9
A=
A=
cos 2α − 4cos α + 4 + sin 2 α − 4sin α + 4
(ĐH Vinh – THPT chun lần 3)
Tổ: Tốn - Tin
13
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
4. Cho
GV: Đào Mỹ Hạnh
π
< α < 2π và tan α + = 1
2
4
π
Tính A = cos α −
π
+ sinα
6
(Đề THPT Hùng Vương – Phú Thọ)
5. Cho sinα + 2cosα = - 1 và
π
2
< α < π . Tính sin2α
(Đề THPT Cẩm Lý – Bắc Giang)
6. Cho góc α thỏa mãn π < α <
3π
π
−4
và cosα =
. Tính tan α −
2
4
5
(Đề THPT Thạch Thành I)
7. Cho góc α. Thỏa mãn
π
2
< α < π và sinα =
4
. Tính A = sin2(α + π)
5
(Đề Sở GD&ĐT Hà Tĩnh)
8. Cho góc α thỏa mãn π < α <
3π
và sinα - 2cosα = 1. Tính A = 2tanα - cotα
2
(Đề Sở GD&ĐT Nghệ An)
9. Cho cosα =
π
π
π
4
với - < α < 0 . Tính A = sin α − cos α +
2
4
4
5
(Đề THPT Thủ Đức)
10. Cho tanα = 2. Tính A =
sin 3 α + cos3α − sin 3 α + sin α
2sin 3 α − 3cos3 α + sin α + cosα
(Mẫu đề thi thử THPT QG đề 9)
4. Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho sinα - cosα =
2
a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα
b) Tính giá trị của biểu thức A = sin6α + cot6α
Bài 2: Cho sinα + cosα = a với a ∈ − 2; 2 . Tính giá trị của biểu thức:
a)
A = sinαcosα;
B = sinα - cosα;
D = tan2α + cot2α
E=
C = sin4α + cos4α
sin 2 α
sin α + cosα
−
sin α − cosα
tan 2 α − 1
Bài 3: Tính sinα, cosα, tanα, cotα, biết
a) asinα + bcosα = 0 với a2 + b2 ≠ 0
Tổ: Toán - Tin
14
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
1
1
b) 1 +
sin α + 1 +
cosα = 2 + 2
cosα
sin
c) 5sinα - 20cosα = 4(tanα - 4)
d) 49 – 50sinαcosα = 12(tanα + cotα)
II. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Bài toán: CMR: A (sin, cos, tan, cot) = B(sin, cos, tan, cot)
2. Phương pháp:
Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản
A = A1 = A2 = ... = Am = B
B = B = B = ... = B = A
1
2
m
Cách 2: Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.
A = A1 = A2 = ... = Am = G
⇒ A= B
B = B = B = ... = G
1
2
Cách 3: Biến đổi tương đương
A = B ⇔ A1 = B1 ⇔ A2 = B2 ⇔ … ⇔ An = Bn – đúng.
Cách 4: Xuất phát từ 1 đẳng thức đúng
An = Bn ⇔ An-1 = Bn-1 ⇔ … ⇔ A = B
3. Ví dụ minh họa:
1 + sin 2 a
Ví dụ 1: CMR:
= 1 + 2 tan 2 a
2
1 − sin a
(1)
Giải: Sử dụng cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản.
1 + sin 2 a 1 + sin 2 a
1
sin 2 a
=
=
+
= (1 + tan 2 a) + tan 2 a = 1 + 2 tan 2 a
2
2
2
2
1 − sin a
cos a
cos a cos a
Ví dụ 2: Biến đổi đến cùng một biểu thức trung gian:
tan 2 a 1 + cot 2 a
1 + tan 4 a
.
=
1 + tan 2 a cot 2 a
tan 2 a + cot 2 a
(1)
Giải: Sử dụng cách 2. Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.
VT(1) =
tan 2 a 1
tan 2 a
+
1
=
tan 2 a + 1) = tan 2 a
(
2
2
2
1 + tan a cot a 1 + tan α
(2)
VP(1) =
1 + tan 2 a
tan 2 a (tan 2 a + cot 2 a)
=
= tan 2 a
tan 2 a + cot 2 a
tan 2 a + cot 2 a
(3)
Từ (2), (3) ⇒ đpcm.
Tổ: Tốn - Tin
15
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
Ví dụ 3: CMR:
GV: Đào Mỹ Hạnh
1 − sin a
cos a
π
=
, ∀a ≠ + kπ
cos a
1 + sin a
2
Giải: Sử dụng cách 3: Biến đổi tương đương.
1 − sin a
cos a
=
⇔ (1 − sin a )(1 + sin a ) = cos 2 a
cos a
1 + sin a
⇔ 1 – sin2a = cos2a ⇔ sin2a + cos2 = 1 đúng.
Chứng tỏ:
1 − sin a
cos a
=
đúng (đpcm).
cos a
1 + sin a
4. Bài tập tương tự:
Bài 1: CMR:
cos a
1
+ t ana =
1 + sin a
cos a
b)
sin a
1 + cos a
2
+
=
1 + cos a
sin a
sin a
t ana cot 2 a − 1
c)
.
=1
1 − tan 2 a cot a
d)
1 + cos a 1 − cos a 4cot a
−
=
1 − cosa 1 + cos a sin a
a)
Bài 2: CMR:
a) (sina + cosa)2 - (sina – cosa)2 = 4sinacosa
b) 1 + 2sinacosa = sinacosa (1 + tana) (1 + cota)2
c) tan2a – sin2a = tan2a sin2a
d)
(sin a + cos a)2 − 1
= 2 tan 2 a
cot a − sin a cos a
Bài 3: CMR:
a) 1 -
sin 2 a
cos 2 a
−
= sin a cos a
1 + cot a 1 + t ana
c) sin4a – cos4a = 1 – 2cos2a
b)
1 + cot a 1 + t ana
=
1 − cot1 t ana − 1
d) sin4a + cos4a = 1-2sin2acos2a
e) sin6a + cos6a = 1 – 3sin2acos2a
g) sin8a + cos8a = 1 – 4sin2acos2a + 2sin4acos4a.
h) sin2a – tan2a = tan6a (cos2a – cot2a)
i)
tan 3 a
1
cot 3 a
−
+
= tan 3 a + cot 3 a
2
2
sin a sin a cos a cos a
k)
t ana − sin a
1
=
3
sin a
cosa(1+ cos a )
Tổ: Tốn - Tin
16
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC BIẾN SỐ
1. Phương pháp
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà
không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài tốn.
- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.
2. Ví dụ minh họa:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số.
Bài 1: a)
A = cos4x – sin4x + 2sin2x
= cos2x – sin2x + 2sin2x
= cos2x + sin2x = 1
b)
B = cos4x + sin2xcos2x + sin2x
= cos2x (cos2x + sin2x) + sin2x = 1
c) Tương tự: C = 2(cos6x + sin6x) – 3 (sin4x + cos4x)
d)
Bài 2: a)
D = 3(sin8x – cos8x) + 4(sin6x – 2sin6x) + 6sin4x
A = (sin4x + cos4x – 1) (tan2x + cot2x + 2)
(1 − tan 2 x)2
1
− 2
2
tan x
sin x cos 2 x
b)
B=
c)
tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x
+
C=
sin 2 x
cos 2 x
d)
D=
1 − sin 6 x 3tan 2 x
−
cos6 x
cos2 x
IV. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp
- Đưa về cùng một hàm số lượng giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn
cho nhân tử chung.
- Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng lũy
thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
A = cos2a + cos2acot2a = cos2a (1 + cot2a) = cos2a .
1
= cot2a
2
sin a
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
Tổ: Toán - Tin
17
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
1
1
1
2
B = 1 + t ana +
1 + t ana −
= (1 + t ana) −
cos a
cos a
cos 2 a
= 1 + 2tana + tan2a - 1- tan2a = 2tana.
Ví dụ 3: Rút gọn
C=
2cos 2 a − 1 (cos a + sin a)(cos a − sin a)
=
= cos a − sin a
sin a + cos a
sin a + cos a
3. Bài tập tương tự
Rút gọn biểu thức
a)
A = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2
b)
B=
cos 2 a + cos 2 a cot 2 a
sin 2 a + sin 2 a tan 2 a
c) C =
d)
D=
tan a sin a
−
sin a cot a
e) E =
sin 2 a − tan 2 a
cos 2 a − cot 2 a
1 + sin a
1 − sin a
+
1 − sin a
1 + sin a
DẠNG 2: CÔNG THỨC QUI GỌN GĨC
(CƠNG THỨC BIỂU DIỄN CUNG CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT)
I. BẢNG CƠNG THỨC QUY GỌN GĨC.
Góc
-α
900-α
900+α
sin
-sin
cosα
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
sinα
cos
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
sinα
cosα
tan
-tanα
cotα
-cotα
-tanα
tanα
tanα
-cotα
tanα
cot
-cotα
tanα
-tanα
-cotα
cotα
cotα
tanα
cotα
HSLG
1800-α 1800+α 2700-α 2700+α 3600+α
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác của các góc sau:
a) 4950
b)
43π
6
Giải:
a) Ta có: 4950 = 3600 + 1800 - 450
sin4950 = sin[3600 + (1800 – 450)] = sin(1800 - 450) = sin450 =
Tổ: Tốn - Tin
18
2
2
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
cos4950 = cos[3600 + (1800 – 450)] = cos(1800 – 450) = -cos450 = -
2
2
tan4950 = - 1
cot4950 = - 1
b)
43π
π
= 6π + π +
6
6
sin
43π
1
π
π
π
= sin 6π + (π + ) = sin π + = − sin = −
6
6
6
6
2
cos
π
π
43π
3
= cos(π + ) = −cos = −
6
6
6
2
tan
π
π
43π
1
= tan(π + ) = tan = +
6
6
6
3
cot
43π cot π
=
= 3
6
6
(cot 440 + tan 2260 )cos4060
− cot 720.cot180
Bài 2: Tính A =
0
cos316
Giải:
cot440 = tan460 ;
cos4060 = cos460
tan2260 = tan 460 ; cos3160 = sin460
Khi đó: A =
cot720 = tan180
(tan 460 + tan 460 )cos460
− tan180.cot180
0
sin 46
= 2 (tan460 . cot460) – 1 = 2 – 1 = 1
Bài 3: Tính a) B = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800
b) C = tan100tan200 … tan700tan800.
Giải:
a) B = (cos200 + cos1600) + (cos400 + cos1400) + (cos600 + cos1200) +
(cos800 + cos1000) + cos1800 = - 1
b) C = (tan100tan800) (tan200 tan700) (tan300 tan600) (tan400tan500) = 1
III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
cos( −2880 )cot 720
Bài 1: a) A =
− tan180
0
0
tan( −162 )sin108
sin(−2340 ) − cos2160
b) B =
.tan 360
0
0
sin144 − cos126
Tổ: Toán - Tin
19
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
c) C =
GV: Đào Mỹ Hạnh
cos 21970 + cos 2 2870 sin 2 3230
−
1 − sin 2 2170
cos 2 370
1
2sin 25500.cos(−1880 )
+
d) D =
tan 3680
2cos 6380 + cos980
Bài 2: Tính:
a) A = tan200 + tan400 + … + tan1600 + tan1800
b) B = sin50 + sin100 + … + sin3550 + sin3600
DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
(CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN, CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI)
I. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp:
Khi gặp các dạng tốn này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong bài. Từ
đó có các phương pháp để giải quyết như sau:
Phương pháp 1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.
Phương pháp 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh về một đẳng
thức luôn đúng.
Phương pháp 3: Rút gọn hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một
biểu thức trung gian thứ ba.
Phương pháp 4: Từ một đẳng thức luôn đúng hoặc đẳng thức cho trước qua các
phép biến đổi tương đương để được đẳng thức cần chứng minh.
2. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Chứng minh rằng
sin x − sin y
x+y
= −cot(
)
cos x − cos y
2
Giải
x+y
cos
x+y
2 .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức
Bởi vì cot
=
2 sin x + y
2
x+y
x+y
xuất hiện cos
, sin
.
2
2
Tổ: Tốn - Tin
20
Trường THPT Xn Hồ
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
Khi đó ta có:
x+y
x−y
2cos
sin
sin x − sin y
2
2 = −cot x + y
=
cos x − cos y −2sin x + y sin x − y
2
2
2
Bài 2:
Chứng minh rằng:
cos x + sin x
cos2x
=
cos x − sin x 1 − sin 2x
Giải:
cos2x
cos2x − sin 2 x
( cos x + sin x )( cos x − sin x ) = cos x + sin x
=
=
1 − sin 2x cos2x + sin 2 x − 2sinxcosx
cosx − sin x
( cos x − sin x )2
Bài 3: Chứng minh rằng:
n
tan n α + cos nα
tan α + cosα
(n ∈ Z+ )
=
n
n
1 + cotα .cosα 1 + cot α .cos α
n
n
n
tan α + cosα tan α + cosα
Ta có
= ( tan α )
=
1 + cotα .cosα 1 + 1 .cosα
tan α
(1)
tan n α + cos nα
tan n α + cos nα
n
=
= ( tan α )
n
n
1
1 + cot α .cos α 1 +
.cos nα
n
( tan α )
(2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
sin 4 x + cos 4 x − 1 2
Bài 4: chứng minh:
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 3
Giải:
Ta có sin 4 a + cos 4 a − 1 = 1 − 2sin 2 acos 2 a − 1 = −2sin 2 acos 2 a
sin 6 a + cos 6 a − 1 = (sin 2 a + cos 2 a )3 − 3sin 2 acos 2 a (sin 2 a + cos 2 a ) − 1
= −3sin 2 acos 2 a
sin 4 x + cos 4 x − 1 −2sin 2 acos 2 a 2
Do đó
=
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 −3sin 2 acos 2 a 3
Bài 5: Chứng minh rằng: 8 + 4tan
Tổ: Toán - Tin
π
8
+ 2tan
21
π
16
+ tan
π
32
= cot
π
32
(*)
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
Ta có: (*) ⇔ 8 = cot
Mà cota-tana=
π
32
− tan
π
32
− 2tan
π
16
− 4tan
GV: Đào Mỹ Hạnh
π
8
cosa sin a cos 2a-sin 2 a 2cos2a
−
=
=
= 2cot2a
sina cosa
sinacosa
sin2a
Do đó:
π
π
π
π
⇔ cot − tan − 2tan − 4tan = 8
32
16
8
32
π
π
π
⇔ 2cot − 2tan − 4tan = 8
16
16
8
⇔ 4cot
⇔ 8cot
π
8
π
4
− 4tan
π
8
=8
= 8 (hiển nhiên đúng).
Bài 6: Chứng minh:
2π
2π
3
a/cos 2 x+cos 2
− x + cos 2
+ x =
3
3
2
b/
1
1
1
1
+
+
+
= cotx - cot16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
Giải:
2π
2π
− x + cos 2
+ x
3
3
a/ Ta có: cos 2 x+cos 2
1
1
4π 1
4π
= (1 + cos2x) + 1 + cos 2x+
- 2x
+ 1 + cos
2
2
3 2
3
=
3 1
4π
+ cos2x + cos 2x+
2 2
3
=
3 1
4π
+ cos2x + 2cos2xcos
2 2
3
=
3 1
-1 3
+ cos2x + 2cos2x =
2 2
2 2
b/ Ta có: cota - cotb =
Tổ: Toán - Tin
4π
- 2x
+ cos
3
cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b − a )
−
=
=
sina sinb
sin asinb
sin asinb
22
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
sin(2 x − x )
1
=
(1)
sinxsin2x sin 2 x
Do đó: cot x − cot 2 x =
sin(4 x − 2 x)
1
=
(2)
sin 2 x sin 4 x sin 4 x
sin(8 x − 4 x )
1
cot 4 x − cot8 x =
(3)
=
sin 4 x sin 8 x sin8 x
sin(16 x − 8 x)
1
cot 8 x − cot16 x =
(4)
=
sin16 x sin8 x sin16 x
cot 2 x − cot 4 x =
Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được:
cotx - cot16x =
1
1
1
1
+
+
+
sin2x sin 4 x sin 8 x sin16 x
9 3
1
1
+ cos4x +
(1 + cos8x) − (1 − 2cos4x+cos 2 4 x)
16 8
32
32
9 3
1
1
1
= + cos4x +
cos8x+ cos4x (1+cos8x)
16 8
32
16
64
35 7
1
=
+ cos4x+ cos8x
64 16
64
=
3. Bài tập tương tự
Bài 1. Chứng minh rằng:
π
π
1
a.sinxsin − x sin + x = sin3x
3
3
4
π
π
1
b.cosxcos − x cos + x = cos3x
3
3
4
c. tan α .tan(
π
π
+ α ).tan( − α ) = tan 3α
3
3
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
cot 2
α − cot 2 3α
2
2 = 8cos2 α .cosα
3α
2
1 + cot 2
2
b. tan a.tan 3a =
tan 2 a − tan 2 2a
1 − tan 2 a.tan 2 2a
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x ta có:
a. sin10 x + cos10 x =
Tổ: Toán - Tin
63 15
5
+ cos4x +
cos8x
128 32
128
23
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
b. cos6 x − sin 6 x =
GV: Đào Mỹ Hạnh
15
1
cos2x + cos6x
16
16
7
8
1
8
c. cos8x − sin8 x = cos2x + cos6x
II. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp
- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác giác và rút gọn đến biểu thức đơn
giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức lượng giác thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích
rồi rút gọn cho nhân tử chung.
- Nếu gặp căn thức lượng giác thì phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn dưới
dạng luỹ thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.
2. Áp dụng
2
1 + cos x (1 − cos x)
VD: Rút gọn biểu thức A=
1 +
sin 2 x
sinx
1 π
< x <π
2 2
Tính giá trị của A nếu cos x = − ,
Giải
2
2
1 + cos x sin x + 1 − 2cos x + cos x
A=
sin 2 x
sinx
1 + cos x 2(1 − cos x)
=
2
sinx sin x
2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x
2
=
=
3
3
sin x
sin x sinx
1 3
3
1 π
< x < π có sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sinx =
2 2
4 4
2
Với cos x = − ,
(do sinx > 0)
Do đó A =
2
4
4 3
=
=
s inx
3
3
3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
A=
Tổ: Toán - Tin
sin2a + sin5a -sin3a
1+ cosa - 2sin 2 2a
24
Trường THPT Xuân Hoà
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
GV: Đào Mỹ Hạnh
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
a. A = sin 3xsin 3 x + cos3x cos3 x
b. B =
1 + cos x (1 − cos x)2
1 +
sin x
sin 2 x
c. C = sin3xcos3x + cos3x sin 3 x
d. D = cos3x.cos3x − sin3xsin 3 x
π
e. E = cos(x + ) sin 2 x(1 + cotx) + cos 2 x(1 + tan x)
4
π
(x ≠ k )
2
π
4sin(4x − )
2
f. F =
π
3
3π
cot 2 (2x − ) − tan 2 (2x + )
2
2
III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN:
1. Nhận xét:
Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hồn tồn
có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thơng qua một suy luận đơn giản là:Vì
biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức khơng thay
đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu
thức:
2. Phương pháp:
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà
không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa 1 biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.
3. Áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
π
π
3
3
a. A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 (
b. B = cos2 x + cos2 (
c. C = sin 2 x + sin 2 (
2π
2π
− x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x
3
3
2π
2π
− x) + cos 2 ( + x)
3
3
2π
2π
− x) + sin 2 ( + x)
3
3
Giải:
a/ A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 (
2π
2π
− x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x
3
3
Tổ: Tốn - Tin
25
π
π
3
3
Trường THPT Xn Hồ
