29 Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.93 KB, 4 trang )
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1)
(C): y = f(x)
1) Phương trình (1)
f(x) =m-1
2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1
3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu thì
Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D
/
y
0
x
D
0
0
a
Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D
/
y
0
x
D
0
0
a
Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)
1) Đạo hàm
/
y
2)Hàm số có hai cực trị
phương trình
/
y
=0 có hai nghiệm phân biệt
0
0
a
Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x
1) Đạo hàm
/
y
2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x
/
0
( ) 0
y x
m=?
2) Thử lại với m=? thì
/
y
=?
3)
/
y
=0
0
x x
4)
//
?
y
;
//
0
0
y x a
0
x
là điểm cực tiểu
//
0
0
y x a
0
x
là điểm cực đại
4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x =
0
x
Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3)Vì
0
suy ra
/
y
0
x
D nên hàm số đồng biến trên tập xác định
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
3) Vì
0
suy ra
/
y
0
x
D nên hàm số nghịch biến trên TXĐ D
Bài 8: Chứng minh hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)
1) Đạo hàm
/
y
2) Vì
0
nên pt
/
y
=0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số đã cho luôn có hai cực trị
Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị
Đạo hàm
/
y
2)
/
y
=0
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
3)Hàm số có 3 cực trị
PT
/
y
=0 có 3 nghiệm pb
g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khác
0
x
0
0
( ) 0
g x
Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị (
m
C
): y=f(x)
1) y=f(x)
mg(x) +h(x) –y=0 2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ
( ) 0
( ) 0
g x
h x y
( ) 0
( )
g x
y h x
3)vậy (
m
C
) có các điểm cố định là A( : ) B( : ) Trung tâm dạy kèm toán lý hóa 140 LNQ
Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt
1) Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x) (1)
2) (1)
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
3) d cắt (C) tại 3 điểm
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
phương trình g(x) =0 có hai nghiệm
phân biệt khác
0
x
0
0
( ) 0
g x
Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b)
1) TXĐ: D = ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0 4) lập BBT
5) Kết luận
d 1
( ; )
ax ( )
c
a b
M y y f x
với
1
x
( ; )
a b
2
( ; )
( )
ct
a b
M iny y f x
với
2
x
( ; )
a b
Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
1)TXĐ: D = ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0
1
2
( ; )
( ; )
x x a b
x x a b
3)Tính
1
( ) ; ( ) ; ( )
y a m y b n y x p
giả sử p>n>m
4)Kết luận
1
[ ; ]
ax ( )
a b
M y y x p
[ ; ]
( )
a b
M iny f a m
Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x)
1) TXĐ: D= ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0 (nếu có) 3) BBT 4) Kết luận
Chú ý: + Giả sử
2
ax ( 0)
y bx c a
nếu
2
4
b ac
<0 thì
0
y x R
+ Giả sử
2
ax ( 0)
y bx c a
nếu
2
4
b ac
<0 thì
0
y x R
+ Giả sử
2
ax ( 0)
y bx c a
nếu
2
4
b ac
=0 thì
0
y x R
+ Giả sử
2
ax ( 0)
y bx c a
nếu
2
4
b ac
=0 thì
0
y x R
Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)
1)TXĐ: D= ? 2) đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0
1
2
x x
x x
3)
//
y
=?
Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận Dấu hiệu 1
Cách 2: Đạo hàm cấp 2
//
y
Dấu hiệu 2
Nếu
1
( ) 0
y x a
thì
1
x
là điểm cực tiểu của hàm số
Nếu
2
( ) 0
y x b
thì
2
x
là điểm cực đại của hàm số
Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại
Điểm M có
:
o o
M x y
a. Điểm M có hoành độ
0
x x
0 0
( )
y f x y
0 0
;
M x y
b. Điểm M có tung độ
0
y y
0 0 0 0
( ) ( ; )
y f x x x M x y
1)
/
y
=?
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
0 0
;
M x y
là:
0
( ) ?
y x
2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
0 0
;
M x y
là: y
0 0 0
( )( )
y y x x x
Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến
a)Tiếp tuyến có hệ số góc k
Tiếp tuyến d: y=kx+c
b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b
Tiếp tuyến d: y=kx+c (c
b)
c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y=
1
x b
k
Tiếp tuyến d: y=kx+c
d)Tiếp tuyến đi qua điểm
0 0
;
M x y
có hệ số góc k
Tiếp tuyến d: y-
0
y
=k(x-
0
x
)
y=kx+c
1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
f x kx c
f x k
2) Giải hệ phương trình tìm x
c=?. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=kx+c
Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
f x a x b
f x a
2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc
0
45
tiếp tuyến có hệ số góc k=
tan
0
45
=
1
Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị (
m
c
): y=f(x)
1) Chia y cho
/
y
được
2
ax
bx c
dư ex +f ta có
/ 2
. ax ex
y y bx c f
2) Gọi
1 1 1 2 2 2
; ; ;
M x y M x y
là 2 điểm cực trị của (
m
c
)
3) Vì
1 1 1
; ( )
m
M x y C
nên ta có
/ 2
1 1 1 1 1 1 1
( )(ax ) ex ex
y y x bx c f y f
do
/
1
( ) 0
y x
Tương tự
2 2 2
; ( )
m
M x y C
nên ta có
/ 2
2 2 2 2 2 2 2
( )(ax ) ex ex
y y x bx c f y f
do
/
2
( ) 0
y x
2) Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của (
m
c
) có phương trình là
ex
y f
Bài 18: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt
1) PT f(x) =0
0
0
( ). ( ) 0
( ) 0
x x
x x g x
g x
2) PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt
phương trình g(x)
=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
( ) 0
g x
Bài 19: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt
PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt
hàm số có 2 cực trị và
d
. 0
c ct
y y
pt
/
0
y
có hai nghiệm phân biệt
và
d
. 0
c ct
y y
0
. 0
cd ct
y y
Sử dụng trong th không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị
Bài 20: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) sử dụng đồ thị
1) Phương trình (1)
f(x) =m-1 (C): y = f(x)
2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm )
đồ thị (C): y = f(x) cắt đường thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm
(2 điểm , 1 điểm )
Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)
Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)
? < m < ?
Bài 22: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm, 2 nghiệm)
1) Phương trình (1)
f(x) =m-1 (C): y = f(x)
2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1
1) Phương trình (1) có 3 nghiệm
d cắt (C) tại 3 điểm
? < m-1 < ?
Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy
Gọi M=(C)
I
Oy
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
( )
0
y f x
x
Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox
Gọi M=(C)
I
Ox
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
( ) ( ) 0
0 0
y f x f x
y y
Bài 25: 7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/
y
cho
/
y
=0 nếu có 3) Chiều biến thiên (để trống 4 dòng) 4) Giới hạn
5) BBT 6) Cực trị 7) Vẽ
Bài 26: Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (
;+
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )
y g x ax bx c
(a > 0 ) 3) lập
= ?
4) Nếu
0
thì
/
y
0
x R
nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (
;+
)
5) Nếu
0
thì PT
/
y
=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
(
1 2
x x
)BBT x
Hàm số đồng biến trên (
;+
)
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;
x x
/
y
thỏa đk
1 2
x x a
0
( ) 0
0
2
ag
S
Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
Bài 27: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (
;
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )
y g x ax bx c
(a > 0 ) 3) lập
= ?
4) Nếu
0
thì
/
y
0
x R
nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên (
;
) o thỏa đkbt
5) Nếu
0
thì PT
/
y
=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
(
1 2
x x
)BBT x
Hàm số nghịch biến trên (
;
)
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;
x x
/
y
thỏa đk
1 2
x x
( ) 0
( ) 0
ag
ag
y
Bài 28: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (
;+
)
1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm
/ 2
( )
y g x ax bx c
(a < 0 ) 3) lập
= ?
4) Nếu
0
thì
/
y
0
x R
nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó nghịch biến trên (
;+
)
5) Nếu
0
thì PT
/
y
=0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
(
1 2
x x
) x
Hàm số nghịch biến trên (
;+
)
pt
/
y
=0 có 2 nghiệm pb
1 2
;
x x
/
y
thỏa đk
1 2
x x a
0
( ) 0
0
2
ag
S
Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm
/ 2
( )
y g x ax bx c
(a
0)
1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy
hàm số có 2 (điểm ) cực trị
trái dấu
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm trái dấu
P=
1 2
. 0
c
x x
a
2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung Oy
hàm số có 2 (điểm ) cực
trị cùng dấu
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm cùng dấu
0
0
P
3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với trục tung Oy
hàm số có 2
(điểm ) cực trị cùng dấu dương
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm dương pb
0
0
0
c
P
a
b
S
a
4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái đối với trục tung Oy
hàm số có 2
(điểm ) cực trị cùng dấu âm
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm âm pb
0
0
0
c
P
a
b
S
a
5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành Ox
hàm số có 2 giá trị cực
trị cùng dấu
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb và
d
. 0
c ct
y y
0
. 0
cd ct
y y
6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox
hàm số có 2 giá trị cực trị
trái dấu
PT
/
y
=0 có 2 nghiệm pb và
d
. 0
c ct
y y
0
. 0
cd ct
y y
Thầy Nguyễn Quang Huy - 140 Lương Ngọc Quyến - ĐT: 0905848655
