Cơ học đại cương pdf

Đại học đà nẵng
Trờng đại học Bách KHOA
khoa s phạm kỹ thuật
ả ã





bài giảng
cơ học đại cơng - Mécanique générale
(CƠ Học vật rắn dao động và sóng cơ)
dùng cho sinh viên chơng trình đào tạo kỹ s chất lợng cao




(LƯU HàNH NộI Bộ)








Biên soạn :
LÊ CUNG - Khoa s phạm kỹ thuật
đà năng 2006

Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng














PHệN I :

C HOĩC VT RếN

Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng


Chổồng ọn tỏỷp:

MĩT S KHAẽI NIM VAè ậNH LYẽ C BAN
CUA ĩNG HOĩC VAè ĩNG LặC HOĩC H CHT

Đ1. Hồỹp vỏỷn tọỳc - Hồỹp gia tọỳc :
Xeùt hóỷ quy chióỳu (R
2
) chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi so vồùi hóỷ quy
chióỳu (R
1
). Goỹi vaỡ
1111
(; , , )
xyz
Oe e e
GGG
2222
(; , , )
xyz
Oe e e
G
GG
laỡ hai hóỷ

toỹa õọỹ Descartes lỏửn lổồỹt gừn lióửn vồùi (R
1
) vaỡ (R
2
).
e
z2
1) Chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi cuớa hai hóỷ quy chióỳu :
a) Veùctồ quay :
Vectồ quay
2/ 1
R
R

G
cuớa hóỷ quy chióỳu (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ quy
chióỳu (R
1
) :
R2/R1 2 2 2 2 2 2

x
xyyz
ee= + +
z
e
GGG
G

vồùi :

2
22
/1
() .
y
xz
R
de
te
dt

=


G
G

Suy ra :


2
2/ 1 2
/1
x
R
Rx
R
de

e
dt

= ì


G
G
G

O
2
e
y
2
e
x2
e
y
1
e
z1
1
()
R
2
()
R
O
1

e
x1
2
22
/1
() .
z
yx
R
de
te
dt

=


G
G

2
2/ 1 2
/1
y
R
Ry
R
de
e
dt

=
ì


G
G
G

2
22
/1
() .
x
zy
R
de
te
dt

=


G
G


2
2/ 1 2
/1
z

R
Rz
R
de
e
dt

=
ì


G
G
G

Vectồ
õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng quay cuớa hóỷ (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ (R
1
) vaỡ õổồỹc goỹi laỡ vectồ
quay keùo theo.
2/ 1RR

G
b) Trổồỡng hồỹp (R
2
) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn tổồng õọỳi so vồùi (R
1
) :

G
Ta coù :
=

2/ 1
0
RR

2
/1
0
x
R
de
dt

=


G

;
2
/1
0
y
R
de
dt

;
=

G
2
/1
0
z
R
de
dt

=


G

O
1
z
1
y
1
1
()
R
z
2
x

2
O
2
2
()
R
x
1
y
2
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng



Caùc veùctồ vaỡ moỹi vectồ gừn lióửn vồùi hóỷ quy chióỳu (R
2
) õóửu laỡ khọng õọứi trong hóỷ
quy chióỳu (R
1
).
22
,,
xyz
eee
GGG
2
Vỏỷn tọỳc
12
2/1
/1

()
R
R
dOO
vO
õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn cuớa hóỷ (R
2
) so vồùi hóỷ (R
1
).
dt

=


JJJJJG
G
b) Trổồỡng hồỹp hóỷ (R
2
) quay tổồng õọỳi xung quanh mọỹt truỷc cọỳ õởnh cuớa hóỷ (R
1
):
Giaớ sổớ hóỷ quy chióỳu (R
2
) quay xung quanh truỷc cọỳ õởnh (O
1
z
1
)
cuớa hóỷ quy chióỳu (R

1
) vaỡ giaớ sổớ O
1
= O
2
, hai truỷc (O
1
z
1
) vaỡ (O
2
z
2
)
truỡng nhau.
z
1
= z

2

x
1
O
1
= O
2
y
1

2
R/R1

G
x
2
Vectồ quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ quy chióỳu (R
1
) :

R2/R1 1
.
z
e

=
G

G

)
Trong õoù :

12 12
(, )(,
xx yy
OO OO

==
JJJGJJJG JJJGJJJG
y
2
b) Trổồỡng hồỹp tọứng quaùt :
Trong trổồỡng hồỹp tọứng quaùt, chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi cuớa hóỷ (R
2
)
cuớa so vồùi hóỷ (R
1
) coù thóứ xem laỡ hồỹp cuớa hai chuyóứn õọỹng :

Chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn vồùi vỏỷn tọỳc :
12
2/1
/1
()
R
R
dOO
vO
dt

=


J
JJJJG
G

Chuyóứn õọỹng quay vồùi vectồ quay

R2/R1
G
coù phổồng chióửu thay õọứi theo thồỡi gian.
2) aỷo haỡm cuớa mọỹt vectồ trong hóỷ (R
1
) vaỡ trong hóỷ (R
2
):
G
Xeùt mọỹt veùctồ
Ut

phuỷ thuọỹc vaỡo thồỡi gian t vaỡ õổồỹc mọ taớ trong cồ sồớ
(,
()
222
,)
xyz
eee
G
GG
cuớa hóỷ (R
2
)
nhổ sau :
22 22 22

() . . .
x
xyyz
Ut U e U e U e=++
z
G
GGG
G

aỷo haỡm cuớa
Ut

trong hóỷ (R
2
) :
()
2
22
22
/2

y
xz
2
.
x
yz
R
dU
dU dU dU

ee
dt dt dt dt

=++


e
G
G
GG

aỷo haỡm cuớa
Ut

trong hóỷ (R
1
) :
()
G
2/ 1
/1 /2
RR
RR
dU dU
U
dt dt

=
+ ì

G
G
G
G

3) Hồỹp vỏỷn tọỳc :
Xeùt hóỷ quy chióỳu (R
2
) chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi so vồùi hóỷ quy chióỳu (R ). Xeùt mọỹt õióứm M chuyóứn
õọỹng vồùi vỏỷn tọỳc
1
/2
()
R
vM
G
trong hóỷ quy chióỳu (R
2
):
2
2
2
/
/
()
R
R
dO M
vM

dt

=


J
JJJJG
G
vaỡ chuyóứn õọỹng vồùi
vỏỷn tọỳc
/1
()
R
vM
G
trong hóỷ quy chióỳu (R
1
) :
1
1
1
/
/
()
R
R
dOM
vM
dt

=


J
JJJJG
G

ởnh lyù hồỹp vỏỷn tọỳc :
/1 /2
() () ()
R
eR
vM v M vM=+
GGG

Trong õoù :
2/1 2/1 2
() ()
eRRR
vM vO OM=+ì
J
JJJJG
G
GG
;
1
1
12
2/
/

()
R
R
dOO
vO
dt

=


J
JJJJG
G

()
e
vM
G
õổồỹc goỹi laỡ vỏỷn tọỳc theo cuớa õióứm M.

4
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Váûn täúc theo

ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l váûn täúc trong hãû (R
1
) ca âiãøm
M* gàõn liãưn våïi hãû (R
2

) v tải thåìi âiãøm âang xẹt M* trng våïi âiãøm M. M* gi l trng âiãøm
ca M tải thåìi âiãøm nọi trãn :
()
e
vM
G
/1
() (*)
eR
vM vM
=
G
G

4) Håüp gia täúc :
Xẹt hãû quy chiãúu (R
2
) chuøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R
1
). Xẹt mäüt âiãøm M chuøn
âäüng trong hãû quy chiãúu (R
2
) våïi gia täúc
/2
()
R
aM
G
v trong hãû quy chiãúu (R
1

) våïi gia täúc
/1
()
R
aM
G
.
Âënh l håüp gia täúc :
/1 /2
() () () ()
R
eC
aM a M a M aM=+ +
GGGG
R

Trong âọ :

2/ 1
21 2 2/1 2/1 2
/1
() () (
RR
eR RRRR
R
d
a M aO OM OM
dt
⎛⎞
Ω

=+ ×+Ω×Ω×
⎜⎟
⎝⎠
)
G
J
JJJJG JJJJJG
G
G
GG

()
e
aM
G
âỉåüc gi l gia täúc theo ca âiãøm M.
Gia täúc theo

ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l gia täúc trong hãû (R
1
) ca trng
âiãøm M* ca âiãøm M tải thåìi âiãøm nọi trãn :
aM
()
e
aM
G
/1
() (*)
eR

aM
=
G
G
R

V :
2/ 1 / 2
()2 ()
CRR
aM vM=Ω ×
G
GG

()
C
aM
G
âỉåüc gi l gia täúc Coriolis ca âiãøm M.
5) Cạc trỉåìng håüp chuøn âäüng âàûc biãût ca (R
2
) âäúi våïi (R
1
):
a) Hãû (R
2
) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R
1
) :
G

y
2
y
1
O
1
= O
2
2
θ
θ
R2/ R1
Ω
G
H
M = M*
x
2
z
1
= z
Ta cọ :

2/ 1
0
RR
Ω=

2/1
() ()
eR
vM vO=
GG
Do âọ :


2/1
() ()
eR
aM aO=
GG

()0
C
aM=
G

b) Hãû (R
2
) quay quanh mäüt trủc cäú âënh ca (R
1
) :
Gi sỉí hãû quy chiãúu (R
2
) quay xung quanh trủc cäú
âënh (O
1

z
1
) ca hãû quy chiãúu (R
1
) v gi sỉí O
1
= O
2
,
hai trủc (O
1
z
1
) v (O
2
z
2
) trng nhau.
x
1
Vectå quay ca hãû quy chiãúu (R
2
) âäúi våïi hãû quy
chiãúu (R
1
) :
R2/R1 1
.
z
e

θ
Ω=
G

G

Trong trỉåìng håüp ny, ta cọ :
2/1
() 0
R
vO =
G
(do O
2
cäú âënh trong R
1
)

1
() .
ez
vM e HM
θ
=×
JJJJG
GG


2/1
() 0

R
aO =
G
(do O
2
cäú âënh trong R
1
)

2
1
() . .
ez
aM e HM HM
θθ
=×−
JJJJG JJJJG
GG
 

Trong âọ : H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay Oz
1
= Oz
2
.
•
Ghi chụ : Gia täúc gäưm hai thnh pháưn : Thnh pháưn
()
e
aM

G
1
.
z
aeH
τ
θ
=×
JJJJG
M
G
G

vng gọc våïi
HM (gia täúc tiãúp tuún) v thnh pháưn
2
.
n
aH
θ
=− M
J
JJJG
G

hỉåïng tỉì M vãư H (gia täúc hỉåïng tám).


5
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

§2. Khäúê lỉåüng v khäúi tám ca hãû cháút - Hãû quy chiãúu khäúi tám :
2) Khäúi lỉåüng ca hãû :
(dV)
M
(V)
•
Xẹt mäüt hãû cháút (S) gäưm n cháút âiãøm M
i
khäúi lỉåüng m
i
.
Khäúi lỉåüng m ca hãû (S) :
i
i
mm=
∑

•
Nãúu hãû (S) l mäüt táûp håüp vä hản cạc cháút âiãøm phán bäú liãn tủc
trong thãø têch V, khäúi lỉåüng m ca hãû:
().
V
mM
ρ
= dV
∫

∫∫

Våïi : ρ(Μ) l khäúi lỉåüng riãng ca phán täú thãø têch dV ca hãû bao quanh âiãøm M (khäúi lỉåüng ca
phán täú dV:
().dm M dV
ρ
=
).
•
Hãû gi l âäưng nháút nãúu nhỉ khäúi lỉåüng riãng ρ = hàòng säú v khäng phủ thüc vo âiãøm M.
2) Khäúi tám (Quạn tám) :
Xẹt mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi trỉåìng ngoi bao quanh hãû) gäưm n cháút âiãøm M
i

cọ khäúi lỉåüng m
i
. Gi O l mäüt âiãøm báút k.
Khäúi tám G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi :
JJJJ
JJJ

i
i
mOG m OM=
∑
i
JG
K
våïi :
i

i
mm=
∑

Nãúu chn O åí G: thç :
OG≡
.0
ii
i
mGM
=
∑
J
JJJJG

Ghi chụ :
•
2
G G
JJJK
Gi sỉí hãû (S) bao gäưm tỉì hai hãû (S
1
) v (S
2
) láưn lỉåüt cọ khäúi tám l G
1
v G
2
, cọ khäúi lỉåüng l
m

1
v m
2
, khäúi tám chung G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi :
JJJJ JJJJ
12 112
(). . .mmOGmOGmOG+=+

•
Khi mäüt hãû l âäưng nháút v cọ mäüt pháưn tỉí âäúi xỉïng (màût âäúi xỉïng, trủc âäúi xỉïng ), khäúi tám
G ca hãû s nàòm trãn pháưn tỉí âäúi xỉïng ny.
3) Hãû quy chiãúu khäúi tám:
Chuøn âäüng ca hãû cháút (S) âỉåüc nghiãn cỉïu trong hãû quy chiãúu (R).
Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R), l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi khäúi
tám G ca hãû cháút (S) v chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc
/
()
R
vG
.
G

O
z
y

(R)
y
z
x

G
(R*)
x
Khi âọ, theo âënh l håüp váûn täúc v håüp gia täúc, ta cọ:
//
() () ()*
RR
vM v G vM=+
GGG

våïi :
/*
()* ()
R
vM vM=
GG

//
() () ()
RR
aM aG aM=+
GGG
*

våïi :
/*
()* ()
R
aM aM=
GG

Chỉïng minh:
Do hãû (R*) chuøn âäüng tënh tiãún trong hãû (R), nãn:
/
() ()
eR
vM vG=
GG
;
aM
;
aM
/
() ()
eR
aG=
GG
()0
C
=
G


6
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Thóỳ maỡ:
//
() () ()
*

R
eR
vM v M vM=+
GGG



//
() () ()*
RR
vM v G vM=+
GGG
Vaỡ :
//
() () () ()
*
R
eC
aM a M a M aM=++
GGGG
R



//
() () ()*
RR
aM aG aM=+
GGG
Đ3. ọỹng lổồỹng vaỡ momen õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt:

1) ọỹng lổồỹng :
a) ởnh nghộa :
Xeùt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v
G
trong hóỷ quy chióỳu (R).
ọỹng lổồỹng

cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) : P
G
.
ii
i
Pm=

G
G
v

Cuợng coù thóứ vióỳt:
()
i
iii
ii
dOM d d

P m m OM mOG
dt dt dt

== =



JJJJJG
J
JJJJG JJJG
G


.( )PmvG=
G
G
vồùi :
i
i
mm=

b) ọỹng lổồỹng trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) :
Trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*), khọỳi tỏm G laỡ õióứm cọỳ õởnh
Vỏỷn tọỳc cuớa khọỳi tỏm G trong
hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) :

()*0vG
=
G

ọỹng lổồỹng
*
P
G
cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi
tỏm (R*) :
*.()*PmvG==
G
0
G

2) Momen õọỹng lổồỹng :
a) ởnh nghộa :
Xeùt mọỹt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v
G
trong hóỷ quy chióỳu (R).
Momen õọỹng lổồỹng
0
L
G
cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi mọỹt õióứm O trong hóỷ quy chióỳu (R) :

0 ii

i
LOMm=ì

JJJJJG
G
G
i
v


b) ởnh lyù Koenig vóử momen õọỹng lổồỹng :

Momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi õióứm O trong hóỷ quy chióỳu (R) :
0
L
G
0
() *
G
LOGmvGL=ì +
JJJG
G
G
G

vồùi :

: Momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi õióứm G trong hóỷ quy chióỳu (R*); G laỡ khọỳi
tỏm cuớa hóỷ;
: Vỏỷn tọỳc cuớa khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R).

*
G
L
G
()vG
G

Suy ra, momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R) :
G
L
G
() *
GG
LGGmvGL=ì +
JJJG
GG
G



*
GG
LL=
G
G

3) Mọmen õọỹng lổồỹng khọỳi tỏm:
Momen õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) khọng phuỷ thuọỹc vaỡo õióứm
tờnh toaùn.

7
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Thỏỷt vỏỷy, goỹi A laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ,
*
A
L
G
laỡ momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi õióứm A trong
hóỷ quy chióỳu (R*),
laỡ vỏỷn tọỳc cuớa õióứm M
i
trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*), ta coù:
*
i
v
G
(
)
(
)
(
)
***
*
A i ii i ii ii i ii
ii ii
L AMmv AGGM mv AG mv GMmv=ì=+ì=ì + ì

JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJJG

G
GGG
*
G

Bồới vỗ:
(
)
*
*
ii
i
Pmv==

G
G
0
Suy ra:
**
AG
L
L=
G
G

4) Momen õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi mọỹt truỷc :
Hỗnh chióỳu cuớa momen õọỹng lổồỹng
0
L
G

cuớa hóỷ chỏỳt (S) õọỳi vồùi õióứm O, trón truỷc õi qua O õổồỹc
goỹi laỡ momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi truỷc

.
0
.LLe

=
G
G

vồùi :
e

G
veùctồ õồn vở cuớa truỷc
Đ4. Tọứng õọỹng lổỷc vaỡ mọmen õọỹng lổỷc cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt :
1) Tọứng õọỹng lổỷc:
Xeùt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù gia tọỳc
i
a
G
trong hóỷ quy chióỳu (R).

Tọứng õọỹng lổỷc cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu (R):
S

G

ii
i
Sm=

G
G
a

Tổồng tổỷ nhổ õọỹng lổồỹng, ta coù:

()SmaG=
G
G
vồùi :
i
i
mm=


Chổùng minh:
()
()
i
iiiG
ii
dv d d
S m m v mv ma G
dt dt dt

== ==



G
G
G
GG


Giổợa tọứng õọỹng lổỷc
S
vaỡ õọỹng lổồỹng
G
P
G
coù hóỷ thổùc:
dP
S
dt
=
G
G

2) Momen õọỹng lổỷc:

Momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi mọỹt õióứm O trong hóỷ quy chióỳu (R):

O

D
G
iOi
i
i
D
OM m a=ì

JJJJJG
G
G


Tổồng tổỷ momen õọỹng lổồỹng, cuợng coù õởnh lyù Koenig vóử momen õọỹng lổỷc:
*
()
OG
D
OG ma G D=ì +
JJJG
GG
G

*
G
D
G
: momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*); G laỡ khọỳi
tỏm cuớa hóỷ,
laỡ gia tọỳc cuớa khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R).

()aG
G

Suy ra momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ chỏỳt (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R) :
G
D
G
() *
GG
DGGmaGD=ì +
JJJG
GG
G
*
GG
DD=



G
G
.

Tổồng tổỷ momen õọỹng lổồỹng, momen õọỹng lổỷc õọỳi vồùi hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) khọng phuỷ
thuọỹc vaỡo õióứm tờnh toaùn. Nóỳu goỹi A laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ, ta coù:

**
AG
DD=
GG

Giổợa vaỡ

O
D
G
O
L
G
ta coù hóỷ thổùc:
v( ) v( )
O
O
dL
DOm
dt
= ì
G
G
G
G
G


8
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Nóỳu O laỡ mọỹt õióứm cọỳ õởnh trong (R) hay
OG

thỗ:
O
O
dL
D
dt
=
G
G

Chổùng minh:
()
()
O
iii i ii iii
ii i
dL d
OM m v v v O mv OM m a
dt dt

= ì=ì+ ì



JJJJJG JJJJJG
GGG G G
G
Ta coù:

Thóỳ maỡ:
vaỡ , nón :
0
ii
vvì=
GG
()
ii
i
mv mv G=

GG
0
() ()
O
dL
DvOmvG
dt
= ì
G
G
G
G

Nóỳu O cọỳ õởnh trong R hay
, sọỳ haỷng thổù hai cuớa vóỳ phaới bũng 0, vaỡ:
OG
0
O
dL

D
dt
=
G
G

Đ5. ọỹng nng cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt :
1) ởnh nghộa :
ọỹng nng cuớa hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
, coù khọỳi lổồỹng m
i
chuyóứn õọỹng vồùi vỏỷn tọỳc trong hóỷ
quy chióỳu (R) :
i
v
G
2
1
2
K
i
ii
E
mv=


2) ởnh lyù Koenig vóử õọỹng nng :
ọỹng nng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) :

2
1
() *
2
KK
EmvGE=+
vồùi :
i
i
mm=


Vồùi :
*
K
E
: ọỹng nng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*).
Chổùng minh:
()
2
2*2**
11 1 1
() ) () 2()
22 2 2
Kiiii k ii
ii i
E
mv m v G v mv G E v G mv== +=++

GG G G G

=
Ta coù:

Thóỳ maỡ: , nón:
*
*0
ii
i
Pmv=

G
G
2
1
() *
2
KK
EmvGE=+

Đ6. Mọỹt sọỳ õởnh lyù cồ baớn cuớa õọỹng lổỷc hoỹc hóỷ chỏỳt :
1) ởnh lyù vóử tọứng õọỹng lổỷc (hay õởnh lyù vóử õọỹng lổồỹng) :

Trong hóỷ quy chióỳu Galileùe (Rg), tọứng õọỹng lổỷc S
G
cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt kheùp kờn (S) bũng tọứng
cuớa tỏỳt caớ caùc ngoaỷi lổỷc taùc duỷng lón hóỷ:
ext
F
G
ext

SF=
G
G


Trong hóỷ quy chióỳu Galileùe (Rg), õaỷo haỡm theo thồỡi gian cuớa tọứng õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ
chỏỳt kheùp kờn (S) bũng tọứng
cuớa tỏỳt caớ caùc ngoaỷi lổỷc taùc duỷng lón hóỷ :
P
G
ext
F
G
ext
dP
F
dt
=
G
G

Nhổ vỏỷy ta coù:
()
ext
dP
SmaG F
dt
== =
G
G

G
G

2) ởnh lyù vóử momen õọỹng lổỷc (hay õởnh lyù vóử momen õọỹng lổồỹng):

Trong hóỷ quy chióỳu Galileùe (Rg), momen õọỹng lổỷc
O
D
G
cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt kheùp kờn (S) õọỳi vồùi
õióứm O bũng momen
õọỳi vồùi õióứm O cuớa tọứng
(
ext
O
MF
GG
)
ext
F
G
cuớa tỏỳt caớ caùc ngoaỷi lổỷc taùc duỷng lón
hóỷ:
(
ext
OO
DMF= )
G
GG

9
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

•
Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo hm theo thåìi gian ca momen âäüng lỉûåüng
O
L
G
ca mäüt
hãû cháút (S) khẹp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trong (Rg) bàòng momen
(
ext
O
MF)
G
G
âäúi våïi âiãøm O
ca täøng
ext
F
G
ca táút c ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû:
(
ext
O
OO
dL
DMF
dt

==
)
G
G
GG
(Våïi O l âiãøm cäú
âënh trong (Rg)).
Tháût váûy, ta cọ:
v( ) v( )
O
O
dL
D
OmG
dt
=− ×
G
G
GG
våïi O l mäüt âiãøm báút k. Khi O l âiãøm cäú âënh
trong Rg, ta cọ:
, do âọ:
v( ) 0O =
G
O
O
dL
D
dt
=

G
G
. Tỉì âọ suy ra:
()
ext
O
OO
dL
DMF
dt
==
G
G
GG

Ghi chụ:
• Trỉåìng håüp O khäng phi l âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhỉng O trng våïi âiãøm G, ta cng cọ:
, do âọ:
v( ) v( ) 0OmG×
GG
=
G
G
dL
D
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

G
G
Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng váùn nghiãûm âụng:
⇒
(
ext
G
GG
dL
)
D
MF
dt
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
G
GGG
(màût dáưu G khäng cäú âënh trong hãû (Rg)).
• Do
*
GG
D
D=
GG
v
*
GG
L

L=
GG
våïi
G
L
G
: momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy
chiãúu (Rg),
*
G
L
G
: momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
Màûc khạc, do (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi (Rg), nãn :
*
**
GG
R
gR
dL dL
dt dt
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
G
G

Suy ra:
*

*
*(
ext
G
GG
R
dL
)
D
MF
dt
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
G
GGG

Nhỉ váûy âënh l vãư momen âäüng lỉåüng cọ thãø váûn dủng cho âiãøm G trong hãû quy chiãúu khäúi
tám (R*) (màûc dáưu hãû quy chiãúu (R*) cọ thãø khäng phi l hãû quy chiãúu Galilẹe).
3) Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt trủc cäú âënh:
Trong hãû quy chiãúu Galilẹe Rg, âảo hm theo thåìi gian ca momen âäüng lỉåüng
L
∆
ca mäüt hãû
cháút (S) khẹp kên âäúi våïi mäüt trủc
cäú âënh trong (Rg) bàòng momen
∆
(
ext

)
M
F
∆
G
âäúi våïi trủc
∆

ca täøng
ext
F
G
ca táút c cạc ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû:
()
ext
dL
MF
dt
∆
∆
=
G

•
Tháût váûy, chiãúu âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn trủc ca hãû (S):
∆
(
ext
O
O

dL
)
M
F
dt
=
G
GG
lãn trủc
∆
, suy ra:
()
ext
dL
MF
dt
∆
∆
=
G

4) Âënh l vãư âäüng nàng :
•
Âảo hm theo thåìi gian ca âäüng nàng ca mäüt hãû cháút (S) khẹp kên trong hãû quy chiãúu Galilẹe
(Rg) bàòng täøng cäng sút ca táút c cạc näüi lỉûc v ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû (S).

10
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Xẹt mäüt hãû (S) khẹp kên gäưm n cháút âiãøm M

cọ khäúi lỉåüng m
i
. Gi
i
e
i
F
G
v l ngoải lỉûc v näüi
lỉûc tạc dủng lãn cháút âiãøm thỉï i ca hãû (S).
i
i
F
G
i
v
G
l váûn täúc trong (Rg) ca cháút âiãøm thỉï i. Gi E
K
l
âäüng nàng ca hãû (S) trong (Rg).
Ta cọ :

ie
K
ii ii
ii
dE
F
vF

dt
=+
∑∑
GG
GG
v
int

Âäü biãún thiãún âäüng nàng ∆E
K
ca mäüt hãû cháút khẹp kên trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg) trong
mäüt khong thåìi gian (t
0
,t) no âọ bàòng täøng cäng ca táút c cạc ngoải lỉûc v näüi lỉûc sinh ra trong
chuøn dåìi tỉång ỉïng våïi khong thåìi gian âọ:
•
00
(,) () ()
Kkkext
E
tt Et Et W W∆=−=+

Våïi:
l cäng ca cạc ngoải lỉûc, l cäng ca táút c cạc näüi lỉûc ụng våïi chuøn dåìi nọi
trãn.
ext
W
int
W

11
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Chổồng 1 :
CHUYỉN ĩNG CUA VT RếN

Đ1. Vỏỷt rừn trong cồ hoỹc :
1) Khaùi nióỷm vóử vỏỷt rừn :
Trong cồ hoỹc, vỏỷt rừn laỡ mọỹt vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng : Khoaớng caùch
giổợa hai õióứm bỏỳt kyỡ cuớa vỏỷt rừn khọng õọứi theo thồỡi gian.

Khaùi nióỷm vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng chố laỡ mọỹt mọ hỗnh. Vỗ vỏỷy, mọỹt tồỡ giỏỳy
moớng trổồỹt trón mỷt baỡn vaỡ khọng bở bióỳn daỷng vỏựn coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt vỏỷt
rừn. Trong khi õoù mọỹt dỏửm kim loaỷi õỷt trón hai gọỳi tổỷa vaỡ chởu lổỷc
J
G
F
khaù lồùn,
seợ bở bióỳn daỷng khaù nhióửu trong quùa trỗnh chởu lổỷc
trong trổồỡng hồỹp naỡy, khọng thóứ coi dỏửm laỡ vỏỷt rừn.
F
G
gọỳi tổỷ
a
dỏửm kim loaỷi
Hỗnh 1

2) Hóỷ quy chióỳu gừn lióửn vồùi vỏỷt rừn :

(R)
S
(R )
z
x
O
Hỗnh 2
z
S
O
S
y
S
x
S
()S
O
z
y

(R)
()
S
R
xs
e
G

x
M
z
S
x
S
C
y = y
S



xs
e
G
Xeùt mọỹt vỏỷt rừn (S) coù daỷng hỗnh vaỡnh troỡn,
tỏm C, chuyóứn õọỹng trong mỷt phúng thúng
õổùng trón mỷt õỏỳt nũm ngang, trong hóỷ quy
chióỳu traùi õỏỳt
(;;;)
x
yz
R
Oe e e
GGG
. ióứm C, tỏm
cuớa vaỡnh troỡn, cuợng coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt
õióứm thuọỹc vỏỷt rừn, mỷc õỏửu taỷi C khọng coù vỏỷt
chỏỳt, bồới vỗ khi vaỡnh troỡn chuyóứn õọỹng, õióứm C
cuợng chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vaỡnh troỡn. Tọứng

quaùt hồn, moỹi õióứm trong khọng gian (mỷc dỏửu
taỷi õoù khọng coù vỏỷt chỏỳt), lión kóỳt chỷt cheợ vồùi
(S) vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi (S) cuợng coù thóứ
xem laỡ caùc õióứm thuọỹc vỏỷt rừn (S).
Nhổ vỏỷy nóỳu gừn cổùng trón vỏỷt rừn (S) mọỹt hóỷ
quy chióỳu
(; ; ; )
SSS
Sxyz
R
Ce e e
GGG
(
1
) lión kóỳt chỷt
cheợ vồùi vỏỷt rừn vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vỏỷt
rừn. Khi õoù, chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn (S) trong
hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xem nhổ tổồng õổồng
vồùi chuyóứn õọỹng cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) so vồùi
hóỷ quy chióỳu (R).
Hỗnh 3
3) Thọng sọỳ cỏửn thióỳt õóứ mọ taớ chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn :
ọỳi vồùi mọỹt hóỷ chỏỳt õióứm (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
. óứ mọ taớ chuyóứn õọỹng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ
quy chióỳu(R), cỏửn phaới bióỳt 3n thọng sọỳ (vồùi mọựi chỏỳt õióứm cỏửn bióỳt ba toỹa õọỹ x, y, z cuớa noù).

1

Caùc hóỷ toaỷ õọỹ vaỡ laỡ caùc hóỷ toỹa õọỹ De scartes
(; ; ; )
xyx
Oe e e
GGG
(; ; ; )
SSS
xyz
Ce e e
GGG

12
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Tuy nhiãn, âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R), chè cáưn biãút nhiãưu
nháút l 6 thäng säú, nhàòm mä t chuøn âäüng ca hãû quy chiãúu (R
S
) gàõn liãưn våïi váût ràõn âäúi våïi
hãû quy chiãúu (R):
+ Ba thäng säú âãø xạc âënh vë trê ca gäúc
ca hãû quy chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) : ba
ta âäü x
OS
, y
OS
, z
OS
ca âiãøm O

S
trong hãû (R)
S
O
+ Ba thäng säú (ba gọc) âãø xạc âënh phỉång chiãưu ca vectå âån vë
S
x
e
G
ca hãû (R
S
) âäúi våïi hãû (R):
α, β, γ
• Trong trỉåìng håüp chuøn âäüng ca váût ràõn âỉåüc dáùn hỉåïng båíi mäüt säú rng büc, säú thäng säú
cáưn thiãút âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn cọ thãø < 6. Vê dủ, vnh trn chuøn âäüng trong màût
phàóng thàóng âỉïng v ln tiãúp xục våïi màût âáút nàòm ngang chè cáưn hai thäng säú âãø mä t
chuøn âäüng ca váût ràõn trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 2):
⇒
+ Honh âäü x ca tám C ca vnh trn trong hãû (R)
+ Gọc θ xạc âënh phỉång chiãưu ca vẹctå âån vë
S
x
e
G
ca hãû (R
S
) trong (R).
§2. Trỉåìng váûn täúc :
1) Quan hãû váûn täúc v gia täúc :
Xẹt mäüt váût ràõn (S) chuøn âäüng trong hãû quy chiãúu

(R). Gi (R
S
) l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi váût ràõn (S)
v cọ gäúc P, våïi P l mäüt âiãøm cäú âënh trãn (S).
@ Gi
l váûn täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn
(S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp dủng âënh l håüp váûn
täúc :

/
()
R
vM
K
//
() () ()
S
Re R
vM v M vM=+
KKK
våïi : : váûn täúc theo ca âiãøm M. ()
e
vM
K

: váûn täúc ca âiãøm M trong hãû quy
chiãúu (R
S
) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R
S

) :
/
()
S
R
vM
K
/
() 0
S
R
vM
=
K
)
Hçnh 4
y
O
z
P
° M
()S
(R)
()
S
z
S
R
x
S

y
S
x
Gi
l vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) (vẹctå quay ca hãû quy
chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R))
/
S
RR
Ω
K
⇒
///
() () ()
S
Re R RR
vM v M vP PM==+Ω×
J
JJJK
K
KKK

Viãút gn lải, ta cọ :
() ()vM vP PM=+Ω×
J
JJJK
K
KK

(1)
Nhỉ váûy, khi biãút váûn täúc ca mäüt âiãøm P v vectå quay tỉïc thåìi
Ω
K
ca váût ràõn (S) ⇒ cọ thãø xạc
âënh váûn täúc ca mäüt âiãøm M báút k thüc váût ràõn (S) theo biãøu thỉïc (1).
@ Tỉång tỉû, gi
l gia täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp
dủng âënh l håüp gia täúc :
/
()
R
aM
G

//
() () () ()
S
R
eC
aM a M a M aM=+ +
GGGG
R

våïi : l gia täúc theo ca âiãøm M : ()
e
aM
G
/
//

() () ( )
S
SS
RR
e R RR RR
d
a M a P PM PM
dt
Ω
= + × +Ω×Ω×
G
JJJJGJGJJJ
G
G
GG

l gia täúc Coriolis :
()
C
aM
G

13
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng


do
//
()2. () 0
S

CRRR
s
aM vM= ì =
G
GG
/
() 0
R
s
vM
=
G

: gia tọỳc cuớa õióứm M trong hóỷ quy chióỳu (R
S
) (ióứm M cọỳ õởnh trong hóỷ quy
chióỳu (R
S
) : )
/
()
S
R
aM
G
/
() 0
S
R
aM =

G
Vióỳt goỹn laỷi, ta coù :
() () ( )
d
aM aP PM PM
dt

= + ì +ì ì
G
J
JJJGJGJJJ
G
G
GG
(2)
Nhổ vỏỷy, khi bióỳt gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm P, vectồ quay tổùc thồỡi

K
(coỡn goỹi laỡ vectồ vỏỷn tọỳc goùc tổùc
thồỡi) vaỡ vectồ gia tọỳc goùc tổùc thồỡi
d
dt

G
cuớa vỏỷt rừn (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xaùc õởnh
gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm M bỏỳt kyỡ thuọỹc vỏỷt rừn (S) theo bióứu
thổùc (2).
Hỗnh 5
y
z

(R)
()S
O
2) Caùc trổồỡng hồỹp õồn giaớn :
a) Vỏỷt rừn (S) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn :
Nóỳu vỏỷt rừn
chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn trong (R) S
0

=
K


() () ()vM vP vt==
KKK

Vỏỷn tọỳc cuớa moỹi õióứm M trón vỏỷt rừn taỷi thồỡi õióứm t cho trổồùc
õóửu bũng nhau.
() () (
dv
aM aP at
dt
===
Tổồng tổỷ cho gia tọỳc :
)
K
G
KK

x

O
z = z
S
y
()R
Hỗnh 6
x
S
y
S
M

()
S
R

G
z
e
G
z

r
e
G
e

G

r

H
x
b) Vỏỷt rừn (S) quay xung quanh mọỹt truỷc Oz cọỳ õởnh
trong (R):
Xeùt vỏỷt rừn (S) quay xung quanh truỷc Oz cọỳ õởnh trong
hóỷ quy chióỳu
(;; ; )
xyz
R
Oe e e
GGG
. Gừn cổùng vồùi vỏỷt rừn mọỹt
hóỷ quy chióỳu (; , , )
SSSS
R
Ox y z nhổ hỗnh 6 vồùi Oz = Oz
S
.
Goỹi laỡ goùc quay cuớa vỏỷt rừn (S) quanh truỷc Oz (goùc
quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) xung quanh truỷc Oz cuớa hóỷ
quy chióỳu (R)).
Veùctồ quay cuớa vỏỷt rừn (S) trong (R):
().
z
te

=

J
JK
K


Mọựi õióứm M cuớa vỏỷt rừn vaỷch nón mọỹt quyợ õaỷo hỗnh troỡn,
coù truỷc laỡ Oz. Trong hóỷ toỹa õọỹ truỷ, vở trờ cuớa M õổồỹc xaùc
õởnh bũng :
JJJJ

r
OM re ze=+
z
G
GG
(r vaỡ z khọng phuỷ thuọỹc vaỡo t)
@ Vỏỷn tọỳc cuớa õióứm M trong (R) :
/
() ()
R
dOM
v M v O OM OM HM
dt

==+ì=ì=ì


JJJJG
J
JJJK JJJJK JJJJK

K
KK
G
K
(
2
)

() vM r e


=
JJK
K


Vectồ
vM
vuọng goùc vồùi HM vaỡ hổồùng theo chióửu chuyóứn õọỹng cuớa (S) trong hóỷ quy chióỳu R.
()
K

2
O vaỡ M laỡ hai õióứm thuọỹc vỏỷt rừn nón :
() ()vM vO OM=+ì
J
JJJK
K
G
K

; cọỳ õởnh trong R nón
() 0vO=
G

14
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

@ Gia täúc ca âiãøm M trong (R) :
//
/
(( )) ( )
()
RR
R
dvM dr e de
aM r r e
dt dt dt
θθ
θ
θ
θ
θ
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
===+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
G

G
K

J
JK
G


våïi :
//
S
zr
RR
de de
eeee
dt dt
θθ
θθ θ
e
θ
θ
⎛⎞⎛⎞
= +Ω×=Ω×= ×=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
GG
GG
GGGG

G

(
3
)
⇒
2
/
(( ))
()
r
R
dvM
aM r e r e
dt
θ
θ
θ
⎛⎞
==−+
⎜⎟
⎝⎠
K
J
KJK
G

J


@ Ghi chụ : Gia täúc ca âiãøm M cọ thãø phán thnh hai thnh pháưn : Thnh pháưn
hỉåïng tỉì M vãư H (gi l gia täúc hỉåïng tám) v thnh pháưn

()aM
G
2
()
n
aM r e
θ
=−
JK
G

r
()
t
aM r e
θ
θ
=
J
JK
G


vng gọc våïi HM (gia täúc tiãúp tuún).
3) Váût ràõn quay xung quanh trủc cọ phỉång khäng âäøi trong (R):
a) Vê dủ 1 : Chuøn âäüng ca thanh truưn :
Xẹt cå cáúu tay quay- con trỉåüt nhỉ hçnh 7ỵ, dng âãø biãún chuøn âäüng quay ca kháu OA thnh
chuøn âäüng tënh tiãún ca con trỉåüt B v ngỉåüc lải. Hy nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh
truưn AB cọ khäúi tám l G.
Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh truưn AB,

ta xẹt thãm hãû quy chiãúu khäúi tám
*( ; , , )
xyz
R
Ge e e
G
GG

tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R).
()R
y
x
A
O
B
M
G
x
y
θ
(*)R
⊕
z
:
@ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), thanh truưn
AB quay xung quanh trủc Gz cäú âënh. Gi M l
mäüt âiãøm báút k ca thanh truưn AB, ta cọ :
JJJJ

()* ()* *vM vG GM=+Ω×
K
K
KK
* *
K

våïi :
v l váûn täúc ca M v G
trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*),
l
()vM
K
()vG
K
*
Ω
K
Hçnh 7
vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB
JJ
K
trong hãû (R*) :
*().
z
te
θ
Ω=
Do khäúi tám G cäú âënh trong hãû (R*)
⇒

()* 0vG
=
K
⇒
()* *vM GM=Ω ×
J
JJJK
K
K

Sỉí dủng âënh l håüp váûn täúc, trong hãû quy chiãúu (R), ta cọ :
() () ()*
e
vM v M vM=+
KK K

Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R)
⇒ () ()
e
vM vG=
KK
⇒ () () *vM vG GM=+Ω×
J
JJJK
K
KK
(1)
@ Màûc khạc, gi
Ω l vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB trong hãû (R), ta cọ :
K

() ()vM vG GM=+Ω×
J
JJJK
K
KK
(2)

3
Chụ ràòng trong R
S
, e
θ
G
khäng âäøi nãn
/
0
S
R
de
dt
θ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
G



15

Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì (1) v (2), suy ra :
*(
z
te
θ
Ω=Ω= ).
J
JK
KK


Vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*). Måí räüng ra, vẹctå quay
tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong cạc hãû quy chiãúu chuøn âäüng tënh tiãún tỉång âäúi âäúi våïi nhau.
@ Ghi chụ: Chuøn âäüng ca thanh truưn AB trong hãû quy chiãúu (R) cọ thãø xem nhỉ håüp ca
hai chuøn âäüng:
• Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R).
• Chuøn âäüng quay xung quanh mäüt trủc Gz âi qua khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám
(R*) (Trủc Gz cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*)).
b) Vê dủ 2 : Chuøn âäüng ca mäüt bạnh xe :
@ Xẹt mäüt bạnh xe, coi nhỉ mäüt âéa trn, bạn kênh b, tám C, chuøn âäüng trong màût phàóng thàóng
âỉïng trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 8).
Gi I l âiãøm tiãúp xục ca bạnh xe v màût âáút tải thåìi âiãøm t. Tải chäù tiãúp xục I vo thåìi âiãøm t,
cáưn phán biãût ba âiãøm khạc nhau:
• Âiãøm I
S
ca màût âáút, cäú âënh trong (R).
• Âiãøm I
R

ca bạnh xe. Do bạnh xe làn ⇒ tải mäüt thåìi âiãøm sau âọ I
R
khäng cn nàòm trãn màût
âáút nỉỵa.
• Âiãøm hçnh hc I xạc âënh vë trê tiãúp xục.














()R
y
O
C
z
I

Hçnh 9
C’
⊕
.dtΩ

tải t
t
ải t + δ
t

:
()∆
:
Ω
G
y
O
z
x
(R)
x
bb
I = I
R
= I
S
Hçnh 8
J
S
= J
C
C’
∆x

:

x
θ

tải t
tải t + ∆
t

J
R

:
z
= e
θ
Ω
G
G

⊕
M
(R*)
y

x
Tải thåìi âiãøm t, ba âiãøm I
S
, I
R
v I cọ váûn täúc khạc nhau trong (R) :
()0

S
vI =
K

() ( )vI vC=
KK
, båíi vç I v C ln ln nàòm trãn cng mäüt âỉåìng thàóng âỉïng.

våïi : () ()
R
vI vC CI=+Ω×
JJK
K
KK
Ω
K
l vẹctå quay ca bạnh xe trong (R).
Váûn täúc
âỉåüc gi l váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút (nhåï ràòng màût âáút l cäú
âënh trong R). Ta tháúy
()
R
vI v=
K
g
K
g
v
K
nàòm theo phỉång tiãúp tuún chung tải I giỉỵa bạnh xe v màût dáút.

@ Bạnh xe âỉåüc gi l làn khäng trỉåüt nãúu nhỉ :
()0
gR
vvI
=
=
K
K
.

16
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, tải thåìi âiãøm t âang xẹt, âiãøm I
R
ca bạnh xe tiãúp xục
våïi màût âáút cọ váûn täúc bàòng khäng
⇒ Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, giỉỵa hai thåìi
âiãøm t v t + dt ráút gáưn nhau bạnh xe cọ thãø xem nhỉ chuøn âäüng quay tỉïc thåìi xung quanh mäüt
trủc
∆ âi I v song song våïi Ω
K
y
. Trủc ∆ âỉåüc gi l trủc quay tỉïc thåìi ca bạnh xe (
4
) (Hçnh 9).
@ Chuøn âäüng ca bạnh xe cọ thãø xem nhỉ håüp ca hai chuøn âäüng :
+ Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám C (

x

OC x e b e=+
J
JJG
G
G
) våïi váûn täúc l .
Cx
vxe=
GG

+ Chuøn âäüng quay xung quanh trủc
Cz
J
JG
âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* våïi
váûn täúc gọc
, trong âọ ().
z
te
θ
Ω=
JJK
K

θ
l gọc giỉỵa trủc Cx v mäüt bạn kênh CM gàõn cỉïng trãn bạnh
xe.
@ Váûn täúc ca âiãøm I
R
trãn bạnh xe tải thåìi âiãøm t:

() ()
R
vI vC CI=+Ω×
J
JK
K
KK

⇒
() . . (.)
Rxz
vI xe e be
θ
=+×−
GG G
K


y
x
⇒
() .
Rx
vI xe be
θ
=+
GG
K



Suy ra váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút :
()( .).
g
Rx
vvI xbe
θ
==+
G
G
K



@ Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút khi:
()0
gR
vvI
=
=
K
K
. Thãú m :
(.).
g
x
vxbe
θ
=+
G
G



. Do âọ,
khi bạnh xe làn khäng trỉåüt :
.0xb
θ
+=



Màût khạc, nãúu gi
∆x v ∆θ láưn lỉåüt l dëch chuøn ca tám C ca bạnh xe v gọc quay ca bạnh
xe trong khong thåìi gian ∆t; J
R
v J
S
láưn lỉåüt l cạc âiãøm ca bạnh xe v ca màût âáút, m tải thåìi
âiãøm t +
∆t âãún tiãúp xục våïi nhau tải J, ta cọ :
SS
I
Jx
=
∆
v cung
.
RR
IJ b
θ
=

∆

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút thç:
.0xb
θ
+=


⇒
.xb
θ
∆= ∆
⇒
q
SS RR
I
JIJ=

@ Ghi chụ : Chuøn âäüng ca thanh truưn (vê dủ 1) v ca bạnh xe (vê dủ 2) cn âỉåüc gi l
chuøn âäüng song phàóng. Trong chuøn âäüng song phàóng, mäüt âiãøm M báút k ca váût ràõn chuøn
âäüng trong cng mäüt màût phàóng hay trong cạc màût phàóng song song våïi mäüt màût phàóng quy chiãúu
âënh trỉåïc. Chuøn âäüng song phàóng ca mäüt váût ràõn cọ thãø xem l täøng håüp ca hai chuøn
âäüng: Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G v chuøn âäüng quay xung quanh trủc Gz âi
qua khäúi tám v vng gọc våïi màût phàóng quy chiãúu nọi trãn.
§3. Cạc âải lỉåüng âäüng hc :
1) Trỉåìng håüp váût ràõn chuø
n âäüng quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh :
a) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt âiãøm trãn mäüt trủc :
Xẹt mäüt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc
∆ gàõn cỉïng våïi (S) (trủc ∆ cäú âënh trong hãû quy

chiãúu R(O ; x, y, z)), våïi vẹctå quay l :
Ω
K
. Láúy trủc Oz ca hãû R trng våïi trủc quay ∆. Gi
θ
l
gọc quay ca hãû quy chiãúu (R
S
) gàõn cỉïng våïi váût ràõn so våïi hãû (R), ta cọ :
z
e
z
e
θ
Ω=Ω =
K
G

G

(Hçnh
10).
Gi M l mäüt âiãøm báút k ca váût ràõn (S), dm l khäúi lỉåüng ca mäüt phán täú thãø têch váût ràõn bao
quanh âiãøm M.

4
Khi bạnh xe chuøn âäüng, trủc quay tỉïc thåìi ∆ dëch chuøn theo âiãøm tiãúp xục I giỉỵa bạnh xe v màût âáút
v ln ln song song våïi vectå
Ω
K

.

17
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Momen âäüng lỉåüng
A
L
G
ca váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn trủc Oz trong hãû quy chiãúu (R) :

()
()
A
S
L
AM v M dm=×
∫∫∫
JJJJG
G
G

Do M v A l hai âiãøm thüc váût ràõn (S) nãn
(Âiãøm A cäú
âënh trãn trủc Oz :
)
() () .
z
vM vA AM e AM=+Ω×=Ω×
JJJJG JJJJG

G
GG G
() 0vA=
G
Suy ra :
()
.(
Az
S
)
L
AM e AM dm=Ω × ×
∫∫∫
JJJJG JJJJ
G
G
G

Hay :
2
()
(.)
Azz
S
L
AM e AM e AM dm
⎡⎤
=Ω −
⎢⎥
⎣⎦

∫∫∫
JJJJG JJJJG JJJJG
G
GG

(Ghi chụ :
()(.)(.)
A
BC BCA CAB×× = −
GGGGGG
GG G
)
Gi H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay
∆, ta cọ :
(.).
zz
A
MAHHM AMeeHM=+ = +
JJJJ JJJ JJJJ JG JG G JJJGJ
y
x
O
z = z
S
(R)
y
S
x
S
()

S
R
Hçnh 10
M
θ

r
H
A
()
∆
Ω
G
(S)
θ

JJJG
G
G
z

Suy ra :
2
() ()
(.)(.)
Azz
SS
L
AM dm AM e AM e e HM dm
⎡⎤

=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
JJJJGJJJJG JJJJG
GG
GGG

22
() ()
.(.).
Az
SS
LAMdmAHeAMeHM
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
z
dm
J
JJJGJJJJG
GG
GG

22
() () ()
(.)
A z
SSS
L

AM dm AH dm AM e HM dm=Ω −Ω −Ω
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
J
JJJJG JJJJG
GG G
G

Màûc khạc : HM
2
= AM
2
 AH
2
Suy ra :
2
() ()
((.))
Az
SS
L
HM dm AM e HM dm=Ω −Ω
∫∫∫ ∫∫∫
J
JJJG JJJJG
GG
G

Nhỉ váûy, momen âäüng lỉåüng
A
L

G
gäưm hai pháưn :
•
2
//
()
.
A
S
.
L
HM dm=Ω
∫∫∫
GG
song song våïi vẹctå quay
.
Ω
G

•
()
.(( .) )
Az
S
L
AM e HM dm
⊥
=−Ω
∫∫∫
JJJJG JJJJG

G
G
vng gọc våïi vẹctå quay
.
Ω
G

Ghi chụ : Thnh pháưn khi :
0
A
L
⊥
=
G
@ Váût ràõn nháûn trủc ∆ lm trủc âäúi xỉïng.
@ Khi váût ràõn l váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua A v vng gọc våïi trủc
∆.
b) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi trủc
∆ - Momen qụan tênh :
• Hçnh chiãúu ca momen âäüng lỉåüng
L
∆
A
L
G
lãn trủc quay ∆ âỉåüc gi l momen âäüng lỉåüng
ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc
∆:
2
//

()
.
AZ A Z
S
L
Le L e HMdm
∆
== =Ω
∫∫∫
GG
GG

L
∆
khäng phủ thüc vo vë trê ca âiãøm A trãn trủc ∆.
• Momen quạn tênh ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc quay ∆ âỉåüc âënh nghéa nhỉ sau :

18
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

2
()
.
S
J
rdm
∆
=
∫∫∫

våïi : r l khong cạch tỉì âiãøm M ca váût ràõn âãún trủc quay
∆.
• Nhỉ váûy :
.LJ
∆∆
=Ω
v :
//
.
A
LJ
∆
=
Ω
G
G

Ghi chụ : Trỉåìng håüp váût ràõn (S) bao gäưìm hai pháưn (S
1
) v (S
2
), láưn lỉåüt cọ momen quạn tênh âäúi våïi trủc
∆ l J
∆1
v J
∆2
. Khi âọ, momen quạn tênh ca (S) âäúi våïi trủc âäúi våïi trủc ∆ s bàòng : J
∆
= J
∆1

+ J
∆2

c) Âäüng nàng :
Âäüng nàng ca váût ràõn (S) nọi trãn trong hãû quy chiãúu (R) :
2
()
1
.( ).
2
K
S
EvM=
∫∫∫
dm våïi :
()vM AM=Ω×
J
JJJG
G
G

Suy ra :
()
1
.( ).().
2
K
S
EAMv=Ω×
∫∫∫

JJJJG
G
Mdm
G

⇒
()
1
.( ())
2
K
S
EAMvMd
⎡⎤
=×
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
JJJJG
m
Ω
G
G

Ta cọ :
().()
A
MvMΩ×
JJJJG

G
G
(()).AM v M×Ω
JJJJG
G
G
) båíi vç : ()()(
A
BC BCA CAB
×
=×=×
G
GGGGG
G
GG
) =
⇒
//
11
.
22
KA A
EL L=Ω=
GG
Ω

⇒
2
11

22
K
EL J
∆∆
=Ω=Ω

2) Ạp dủng cạc âënh l Koenig :

a) Momen âäüng lỉåüng v âäüng nàng ca váût ràõn:
@ Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca mäüt váût ràõn (S)
trong hãû quy chiãúu R(O,x,y,z), ta âỉa thãm vo hãû
quy chiãúu khäúi tám R*(G,x,y,z). Khi âọ, ạp dủng cạc
âënh l Koenig:
Vãư momen âäüng lỉåüng :
*
()
A
G
LAGmvGL=× +
JJJG
GG
G


våïi :
l momen âäüng lỉåüng ca (S) âäúi våïi khäúi
tám G trong hãû quy chiãúu (R*);
*
G
L

G
**
//
G
GG
LL L
*
⊥
=+
GG G
våïi
: thnh pháưn ca song song våïi
*
//G
L
G
*
G
L
G
Ω
G
;
*
G
L
⊥
G
: thnh pháưn ca
*

G
L
G
vng gọc våïi . Ω
G
Ω
G
A
(S)
G
O
(R)
x
z
(R*)
z
y
x
Hçnh 11
y
Vãư âäüng nàng :
2
1
.()
2
*
K
K
E
mv G E=+

våïi :
*
K
E l âäüng nàng ca (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
@ Trỉåìng håüp vectå quay
ca váût ràõn (S) ln ln khäng thay âäøi phỉång trong sút quạ
trçnh chuøn âäüng, chàóng hản
Ω
Ω
K
K

ln nàòm theo phỉång trủc Oz (Hçnh 11) (
5
) :
Trong (R*), (S) quay quanh trủc cäú âënh Gz, ta cọ:

5
Vectå quay l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*) Ω
K

19
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

** * *
//
.
G
G

GG Gz
LL L J L
⊥
⊥
=+=Ω+
GG G GG

**
11

22
KGz Gz
EL J
2
=
Ω= Ω

Våïi:
: momen quạn tênh ca váût ràõn âäúi våïi trủc Gz.
Gz
J

*
Gz
L
: momen âäüng lỉåüng ca váût ràõn âäúi våïi trủc Gz trong hãû R.
Ghi chụ : Trong biãøu thỉïc ca momen âäüng lỉåüng v âäüng nàng ta tháúy gäưm hai thnh pháưn:
Thnh pháưn
()
A

GmvG×
JJJG
G
hay
2
1
.(
2
mv G)
tỉång ỉïng våïi chuøn âäüng tënh tiãún ca ton bäü váût ràõn
(S) cng våïi khäúi tám G; thnh pháưn
**
.
G
Gz G
LJ L
⊥
=Ω+
G
GG
hay
*
1

2
K
Gz
EJ
2
=

Ω
tỉång ỉïng våïi chuøn
âäüng quay ca váût ràõn (S) quanh trủc Gz trong hãû quy chiãúu khäúiï tám (R*).
@ Tråí lải bi toạn chuøn âäüng ca bạnh xe làn trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy
chiãúu trại âáút (R). Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R*(C, x, y, z), bạnh xe quay quanh trủc Cz cäú
âënh trong R*, ta cọ:
våïi:
*
CCz
LJe=Ω
G
G
z
2
1
2
Cz
J
mb=
;
*2
1
2
K
Cz
EJ
=
Ω
.
Ạp dủng âënh l Koenig, trong hãû (R) ta cọ :

*
()
OC
LOCmvCL=× +
JJJG
GG
G
⇒
()
OG
LOCmvCJe=× +Ω
JJJG
G
zz
G
G

2*
1
.()
2
K
K
E
mv G E=+
⇒
22
11
.()
22

KG
EmvGJ=+
z
Ω

(Chụ : Âáy l trỉåìng håüp váût ràõn phàóng chuøn âäüng trong màût phàóng qua C v vng gọc våïi trủc quay
Cz, do âọ thnh pháưn
G
, chè cn lải thnh pháưn
*
0
C
L
⊥
=
*
//C
L
G
)
b) Âënh l Huygens :
z
z
(
∆
)
x
O
G
(∆

G
)
(S)
(R)
H
a
Ω

G

(R*)
Hçnh 12
Xẹt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh
(∆) trng våïi trủc Oz ca hãû quy chiãúu R âang xẹt
våïi vẹc tå quay
. Gi G l khäúi tám ca váût ràõn
(Hçnh 11). Trong (R*), (S) quay xunh quanh trủc cäú
âënh (∆
G
) trng våïi Gz v song song våïi trủc (∆).
Ω
G
Theo âënh l Koenig :

2*
1
.()
2
K
K

E
mv G E=+
(1)
y
y
våïi m : khäúi lỉåüng ca váût ràõn
K
E
l âäüng nàng ca váût ràõn trong (R) :

2
1

2
K
EJ
∆
=Ω
(a)
x
*
K
E l âäüng nàng ca váût ràõn trong R* :
*
1

2
K
G
EJ

∆
2
=
Ω
(b)
Màût khạc, trong R, khäúi tám G chuøn âäüng trãn vng trn tám H bạn kênh a (H l hçnh chiãúu ca
G trãn trủc (
∆)) våïi váûn täúc gọc l , do âọ : Ω
22
()vG a
2
=
Ω (c)
Thay (a) (b) (c) vo (1), suy ra :
2
G
JmaJ
∆
∆
=+
Âáy chênh l âënh l Huygens.



20
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Chỉång 2 :

TIÃÚP XỤC GIỈỴA HAI VÁÛT RÀÕN - ÂËNH LÛT VÃƯ MA SẠT

§1. Nghiãn cỉïu âäüng hc:
(R)
x
O
y
(
Σ
)

(S)
(
Σ
)

I
H
çnh 1:
S/R
v(I )
G
/R xe
v(I ) v
∑
=
GG
g
v(I)
G
z

1) Váûn täúc trỉåüt:
• Xẹt hai váût ràõn (S) v (Σ) ln ln tiãúp xục
våïi nhau, v cng chuøn âäüng trong hãû quy
chiãúu R (Hçnh 1).
Chụng cọ thãø tiãúp xục theo mäüt màût, theo mäüt
âỉåìng hay theo mäüt âiãøm
Tải mäùi thåìi âiãøm
t, ln ln cọ êt nháút mäüt âiãøm I
S
ca (S) trng
våïi mäüt âiãøm I
Σ
ca (Σ) tải âiãøm tiãúp xục I.
⇒
Váûn täúc trỉåüt
v
g
K
ca (S) trãn (Σ) tải âiãøm I vo
thåìi âiãøm t :
//
v() v( ) v( )
g
SR R
II I
∑
=−
KK K

Váûn täúc trỉåüt ca (S) trãn (

Σ) tải âiãøm I cng chênh l váûn täúc ca âiãøm I
S
ca (S) (hçnh trủ) trong
hãû quy chiãúu
()
R
∑
gàõn liãưn våïi (Σ) (xe cam nhäng) :

/
v() v( )
g
SR
II
∑
=
KK

g
v(I)
G
(P)
()
∑
(S)
H
çnh 2
•
Thäng thỉåìng, chụng ta nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca
váût ràõn (S) trãn mäüt giạ âåỵ (Σ) cäú âënh trong hãû quy chiãúu

R : Khi âọ hãû quy chiãúu
()
R
∑
trng våïi hãû quy chiãúu R.
• Trong trỉåìng håüp giỉỵa hai váût ràõn (S) v (Σ) täưn tải
mäüt tiãúp diãûn chung (P), váûn täúc trỉåüt
v
g
K
s nàòm trong
màût phàóng (P) (Hçnh 2).
• (S) âỉåüc gi l khäng trỉåüt trãn (Σ) khi váûn täúc trỉåüt bàòng 0 tải mi âiãøm tiãúp xục I :

v() 0
g
I
=
G
K

2) Chuøn âäüng làn v xoay ca (S) âäúi våïi (
Σ):
• Trong hãû quy chiãúu R, gi v
S
Ω
K
∑
Ω
K

l vectå quay ca váût ràõn (S) v (Σ). Vẹctå quay tỉång
âäúi
ca (S) so våïi (Σ), tỉïc l vẹctå quay ca (S) trong hãû quy chiãúu
/S ∑
Ω
K
()
R
∑
gàõn liãưn våïi (Σ):
/SS∑
Ω=Ω−Ω
KK
∑
K
cọ thãø âỉåüc phán thnh hai thnh pháưn (Hçnh 3).
+ Vẹctå phạp
N
Ω
K
vng gọc våïi tiãúp diãûn chung tải I ca (S) v (Σ).
(P)
N
Ω
K
âỉåüc gi l vectå
quay ca chuøn âäüng xoay.
+ Vẹctå tiãúp
nàòm trong tiãúp diãûn chung .
T

Ω
K
(P)
T
Ω
K
âỉåüc gi l vectå quay ca chuøn âäüng
làn.



21
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng


22
(P)
(
Σ
)
(S)
I
N
Ω
G
T
Ω
G
/S
∑

Ω
G

H
çnh 3:








H
çnh 5: Hçnh trủ (S) chuøn âäüng
làn so våïi giạ âåỵ
T
Ω
=Ω
K
K
()
∑
()S
I
N
Ω=Ω
KK
()∑
()S

I
H
çnh 4 : Khäúi vng (S) chuøn
âäüng xoay so våïi giạ âåỵ








•
Trong ton bäü pháưn Cå hc váût ràõn, chụng ta chè nghiãn cỉïu cạc chuøn âäüng âån gin ca váût
ràõn (S) trãn giạ âåỵ cäú âënh
våïi:
()∑
+ Cạc vectå
N
Ω
K
v khäng thay âäøi phỉång trong qụa trçnh chuøn âäüng.
T
Ω
K
+ (S) làn khäng xoay (
) hay xoay khäng làn (
0
N
Ω=

K
0
T
Ω
=
K
), hồûc khäng làn khäng xoay
(chuøn âäüng tënh tiãún) trãn
()∑
§2. Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục:
1) Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục ca hai váût ràõn:
()
∑
()S
I
i
R
G
@ Hai váût ràõn (S) v (
Σ) cọ thãø tiãúp xục nhau theo màût
(khäúi vng tiãúp xục våïi màût phàóng), theo âỉåìng (hçnh
trủ tiãúp xục våïi màût phàóng) hay theo âiãøm (hçnh cáưu
tiãúp xục våïi màût phàóng). Tuy nhiãn, trãn thỉûc tãú, do cọ
biãún dảng ân häưi, (S) v (
Σ) ln tiãúp xục nhau theo
mäüt màût no âọ (diãûn têch tiãúp xục cọ thãø khạ nh).
H
çnh 6:
Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục giỉỵa (S) v (Σ) gáy ra båíi tỉång tạc giỉỵa cạc phán tỉí ca (S) v (Σ)
trãn bãư màût tiãúp xục, v cọ táưm tạc dủng ráút ngàõn. Nọi chung, âáy l mäüt hãû lỉûc khäng gian phán

bäú (Hçnh 6).
@
Tạc âäüng cå tỉì (Σ) lãn (S) tải chäù tiãúp xục, khi thu gn vãư mäüt âiãøm tiãúp xục I, bao gäưm:
• Lỉûc thu gn (Håüp lỉûc):
i
i
R = R
∑
GG

• Momen thu gn:
I, tiepxuc
M(
Ii
i
)
M
R=
∑
G
GG

Theo âënh lût III Newton, (S) s tạc dủng lãn (
Σ) mäüt hãû lỉûc, khi thu gn vãư I cng bao gäưm:
G
• Lỉûc thu gn: - R
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Momen thu gn:
I, tiepxuc

- M
G

Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục l áøn säú ca bi toạn phán têch lỉûc.









@ Tạc âäüng cå
do (Σ) tạc dủng lãn (S) tải chäù tiãúp xục âỉåüc phán thnh cạc thnh
pháưn (Hçnh 7) :

I, tiepxuc
(R, M )
GG
• Âäúi våïi håüp lỉûc : R
G
+ Thnh pháưn
nòm tải I trong tiãúp diãûn chung (P) tải I ca (S) v (Σ). T
G
+ Thnh pháưn
nòm tải I theo phỉång phạp tuún tải I våïi (P)
N
G

R = T + N
GGG
våïi:
T N⊥
G
G

• Âäúi våïi momen :
I, tiepxuc
M
G
+ Thnh pháưn
nàòm trong tiãúp diãûn chung (P).
I,
M
t
G
+ Thnh pháưn

nàòm theo phỉång phạp tuún våïi (P) .
I,
M
n
G
I, tiepxuc I, I,
M = MM
tn
+
GGG

våïi :
I, I,
MM
tn
⊥
G
G

N
G
âỉåüc gi l ạp lỉûc (phn lỉûc phạp tuún); T
G
âỉåüc gi l lỉûc ma sạt trỉåüt båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng trỉåüt ca (S) trãn (Σ);
I,
M
t
G
âỉåüc gi l momen ma sạt làn båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng làn ca (S) trãn (
Σ);
I,
M
n
G
âỉåüc gi l momen ma sạt xoay båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng xoay ca (S) trãn (
Σ).

@ Trong chỉång ny, chụng ta s b qua ma sạt xoay v ma sạt làn. Båíi vç chụng ta chè nghiãn cỉïu cạc
trỉåìng håüp âån gin :
+ Hồûc: (S) chuøn âäüng tënh tiãún trãn giạ âåỵ (Σ) nhỉ hçnh 9, momen ma sạt xoay v momen ma sạt làn
khäng xút hiãûn.
+ Hồûc : (S) tiãúp xục våïi giạ âåỵ (Σ) theo âiãøm (hçnh cáưu tiãúp xục våïi màût phàóng - hçnh 10, hay trỉåìng håüp
tiãúp xục theo âỉåìng trong bi toạn phàóng : Bạnh xe làn trãn màût âáút - hçnh 11), chụng ta b qua ma sạt làn
v ma sạt xoay.
I, n
M
G
(P)
()
Hçnh 8:
Σ
(S)
I, tiepxuc
M
G
I, t
M
G
N
G
(P)
I

T
G
R
G
(S)
()
Σ
Hçnh 7:
()∑
I
()S
I
(
Σ
)
(
S
)

H
çnh 11
I
x
O
y

H
çnh 10
Hçnh 9

23
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Khi âọ, tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục tỉì váût ràõn (Σ) lãn váût ràõn (S) chè cn lải håüp lỉûc
R = T + N
GGG
âi qua
âiãøm tiãúp xục I.

2) Âënh lût Coulomb vãư ma sạt trỉåüt (khä) :
Khi nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca váût ràõn, phi kãø thãm vo cạc áøn säú ca bi toạn cạc lỉûc ma sạt trỉåüt T
G

v ạp lỉûc
. Cạc âënh l cå bn khäng cho ta â säú phỉång trçnh âãø xạc âënh táút c cạc áøn säú ⇒ Do váûy,
cáưn phi biãút thãm quan hãû giỉỵa
v .
N
G
T
G
N
G
Bàòng thỉûc nghiãûm, Coulomb â tçm âỉåüc mäúi quan hãû giỉỵa lỉûc ma sạt trỉåüt v ạp lỉûcT
G
N
G
.
a) Tênh cháút ca ạp lỉûc
:

N
G
•
Âäúi våïi liãn kãút mäüt phêa, vê dủ khi (S) âỉåüc âàût trãn giạ âåỵ (Σ)
(Hçnh 12), ạp lỉûc tỉì (Σ) tạc dủng lãn (S) ln ln hỉåïng tỉì (Σ)
vãư (S).
N
G
(
S
)

H
çnh 12
(
Σ
)

I
N
G
N
G
(
S
)

(
Σ
)

O
O
H
çnh 13
(S) v (
Σ) khäng tiãúp xục våïi nhau nỉỵa khi:
N = 0
G

• Âäúi våïi liãn kãút hai phêa, vê dủ hçnh trủ räùng (S) läưng qua mäüt
thanh hçnh trủ (
Σ) (Hçnh 13), càõt trủc OO ca hçnh trủ, nhỉng
chỉa thãø kãút lûn gç vãư phỉång, chiãưu ca
N
G
N
G
.
G
b) Tênh cháút ca lỉûc ma sạt trỉåüt T :
• Ty theo (S) trỉåüt hay khäng trỉåüt trãn (Σ) m T
G
cọ cạc tênh
cháút khạc nhau. Gi váûn täúc trỉåüt ca (S) trãn (Σ).
g
v
G
+ Nãúu (S) trỉåüt trãn (
Σ): :

g
v0≠
G
T
G
v
g
v
G
song song v ngỉåüc
chiãưu nhau:
v
g
T v 0×=
G
G
g
T .v 0<
G
G
Sút (môun) ca
T tè lãû våïi sút ca
G
N
G
: .TfN=
G
G

våïi f l hãû säú tè lãû v âỉåüc gi l hãû säú ma sạt trỉåüt (f > 0).

+ Nãúu (S) khäng trỉåüt trãn (Σ), m chè cọ xu hỉåïng trỉåüt trãn (Σ):
g
v0
=
G
: cng phỉång v
ngỉåüc chiãưu våïi chiãưu ca xu hỉåïng trỉåüt.
T
G
Sút ca
v ca tha mn biãøu thỉïc: T
G
N
G
.TfN≤
G
G

Trong c hai trỉåìng håüp, giạ trë cỉûc âải ca
T
G
bàòng
.
f
N
G

•
Khi f = 0, tiãúp xục giỉỵa (S) v (Σ) âỉåüc gi l tiãúp xục
khäng cọ ma sạt. Khi âọ:

v håüp lỉûc
T = 0
G
R = T + N = N
G
GGG

vng gọc våïi tiãúp diãûn chung (P) tải âiãøm tiãúp xục I ca
(S) v (
Σ).
• Vê dủ, khi hçnh khäúi chỉỵ nháût (S) âỉåüc âàût nàòm n trãn
màût phàóng nghiãng (
Σ) (Hçnh 14), (S) cọ xu hỉåïng trỉåüt
xúng trãn màût phàóng nghiãng (
Σ) theo phỉång chiãưu x'x
J
JJG
⇒ T
G
hỉåïng lãn theo phỉång
chiãưu
. xx'
JJG
N
G
g
G
mg
G
T

G
y
x’
x
H
çnh 14
Khi hçnh khäúi chỉỵ nháût (S) cán bàòng, ta cọ :


0
xy
Te Ne mg=+ +
GG G

24
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì âọ :
sin 0Tmg
α
=− <
v
cos 0Nmg
α
=>
(T v N l cạc gêa trë âải säú ca lỉûc ma sạt v ca
ạp lỉûc).
c) Tênh cháút ca hãû säú ma sạt trỉåüt f:
• Hãû säú ma sạt trỉåüt f phủ thüc vo:
+ Bn cháút ca cạc váût ràõn tiãúp xục (váût liãûu cạc bãư màût tiãúp xục), vê dủ khi váût ràõn bàòng thẹp tiãúp xục våïi

váût ràõn bàòng gäù, hãû säú ma sạt f s khạc våïi trỉåìng håüp váût ràõn bàòng thẹp tiãúp xục våïi váût ràõn bàòng cao su.
+ Trảng thại cạc bãư màût tiãúp xục, vê dủ khi hai bãư màût tiãúp xục gäư ghãư, f s låïn. Khi hai bãư màût tiãúp xục
âỉåüc ph mäüt låïp cháút bäi trån, f s gim xúng.
+ Tàng theo thåìi gian tiãúp xục ban âáưu (thåìi gian cọ ạp lỉûc
N
G
nhỉng chỉa cọ trỉåüt tỉång âäúi hay xu
hỉåïng trỉåüt tỉång âäúi).
• Hãû säú ma sạt trỉåüt f khäng phủ thüc vo diãûn têch tiãúp xục v háưu nhỉ khäng phủ thüc vo váûn täúc
trỉåüt.
Ghi chụ: Âënh lût Coulomb chè phn ạnh gáưn âụng quy lût ma sạt trỉåüt khä, tuy nhiãn váùn cọ thãø ạp
dủng nọ trong nhiãưu bi tênh k thût. Trãn thỉûc tãú, f khäng phi l hon ton âäüc láûp våïi váûn täúc trỉåüt:
Trỉåìng håüp (S) khäng trỉåüt trãn (Σ), f låïn hån trong trỉåìng håüp (S) trỉåüt trãn (Σ), do váûy ngỉåìi ta phán
biãût hãû säú ma sạt âäüng f
â
khi (S) trỉåüt trãn (Σ) v hãû säú ma sạt ténh f
t
khi (S) khäng trỉåüt trãn (Σ). Trong
âa säú trỉåìng håüp: f
â
<

f
t

2) Mäüt säú hãû qu ca âënh lût Coulomb:
a) Váût ràõn cán bàòng:
y
@ Hãû ngoải lỉûc tạc dủng lãn váût ràõn (S) khi thu
gn vãư âiãøm A no âọ bao gäưm lỉûc thu gn

e xt
F
G

v momen thu gn
. Trong hãû quy chiãúu
Rg gi sỉí l hãû quy chiãúu Galilẹe, váût ràõn (S) cán
bàòng khi :
A, ext
M
G
e xt
F0=
G
;
A, ext
M0=
G
v nãúu váût ràõn
âỉïng n tải thåìi âãøm ban âáưu.
Ngoi ra, nãúu (S) chëu tạc âäüng cå
I, tiepxuc
(R, M )
G
G

tải âiãøm tiãúp xục I, thç hãû lỉûc
ny phi tn theo âënh lût Coulomb.
I, tiepxuc
(R, M )

GG
F
G
x’
()
Σ
mg
G
I
N
G
T
G
G
(S)
O
x
H
H
çnh 15
@ Vê dủ: Khäúi chỉỵ nháût (S) tiãúp xục våïi màût âáút
(Σ) (Hçnh 15). Hãû ngoải lỉûc tạc dủng lãn (S)
bao gäưm: Trng lỉåüng ; lỉûc kẹo
mg
G
F
G
v tạc âäüng cå tiãúp
xục tỉì
(Σ) lãn (S) : .

I, tiepxuc
(R, M )
GG
N
G
H
çnh 1
6

T
G
R
G
α
ϕ
(,)NR
α
=
G
G
()
Σ
Nọn (N)
(S)
Dỉåïi tạc dủng ca
, gi sỉí váût ràõn (S) cọ xu hỉåïng chuøn
âäüng so våïi
(Σ) theo phỉång chiãưu xx’ (nhỉng chỉa chuøn
âäüng tỉång âäúi so våïi
(Σ)) hỉåïng theo chiãưu x’x. Ta

cọ:
F
G
⇒ T
G
• ; T =
N = - mg
G
G
- F
GG
(S) khäng trỉåüt trãn màût âáút: TfN≤
GG
⇒ F fmg≤
G

•
,
IG IH ( ) 0
I tiepxuc
mg F II T N M×+×+×++ =
JJG JJG JJG
G
GGGG
G




25